är anpassning

Linj är anpassning

Exempel Astrid

och Samuel har

gjort

några

mätningar

på längden

y

cm av en stockros.

I tabellen är

x

antalet dagar efter

planteringen.

Astrid

och Samuel

markerar sina

uppmätta värden

i ett koordinatsystem

och

vill

beskriva

hur

stockrosen växer med

en

linjär modell

!:kx+m.

llnjår anpassning

o'båsta linjen"?

rni nsta kvadratrnetoden

linjår regrcssion

I.2

^{RATn rIruIrruS EKVATION}

De anpassar med

"ögonmått"

en rät

linje till

sina

uppmätta data och använder sedan den

inritade

linjen

som modell för

hur

längden

varierar

med

tiden.

Linjens ekvation kan beräknas med

hjälp

av

avläsningar på

linjqn.

Punkterna (0, B) och (12, 32) ligger på

linjen.

,._M-_ ^32-B _.,

Ax I2-O

-A

Y:2x+B

Metoden att anpassa en rät

linje till

uppmätta

värden med ögonmått ger

naturligtvis olika

resultat beroende på

hur linjen

ritas.

För att få den bcistalinien måste

vi

använda en

bättre metod. Ett sätt är att beräkna

awikelserna

i

vertikal

led mellan mätpunkterna och

linjen,

se

figur.

Om

vi

summerar kvadraterna på awikelserna,

så har den bästa

linjen

den minsta summan

dr'rdr'*dr2+do2

En

grafritande

räknare kan beräkna bästa

möjiiga

linje

med minstakvq-dratmetoden eller så

kallad

linjcir regression.

d4

d"

I

a

drl,

(d,

a-

X 4 6 10 L2

v

I4

22 26 32

4I

t295 Använd din räknare

och

bestäm

bästa

möjliga linje till Astrids

och

Samuels

stockrosdata.

40

Arbetsgång:

1. tägg in data i statistiklistor

(x-värdena

och

motsvarande y-värden).

2. Välj program för linjär anpassning (regression)

(t ex

Calc

- Linear reg).

3. Anteckna linjens ekvation.

4. Rita grafen

med

punkterna

och

linjen.

Svar: Linjens ekvation blir y _{= 2x +}

7,5

74

X 4 6 10

I2

v ⁷⁴ 22 26 32

L296

@

a) Bestäm ekvationen för den

linje

som

Thea har

ritat.

b)Avläs de fyra punkterna i diagrammet,

skriv

in

data i din räknare och bestäm

ekvationen för bästa möjliga linje.

t297

Tabellen visar blodtrycket hos fem personer.

a) Anpassa en rät

linje till

^dessa data.

b) Beräkna det övre

tryck

som en person

med det undre

trycket

85 har

enligt

modellen.

42

En villaägare

i

Sydsverige har studerat sin

oljeförbrukning

under ett år.

Ställ upp en

linjär

modell och bestäm

med hjälp av den

oljeförbrukningen

då

medeltemperaturen ar 4,0 ^" C.

Mäwärdena ovan bör

följa

sambandet

U

: E -R,'1.

^{Ett av mäwärdena är fel.}

Ta

bort

det felaktiga värdet och bestäm

E och

R, utifrån

övriga värden.

1.2 RATA LINJENS EKVATION

I en laborations-

rapport

har Thea

med ögonmått

anpassat en

rät

linje till

^fyra

mätpunkter.

r298

wffi

L299

Månad Medeltemp ^("C) Antal liter olja

Jan

2n

₅₅₀

Mars 6,4 435

Maj TI,2 275

Juli 17,6 75

Sept 14,0 200

Nov 9,6 310

Undre tryck X 65 75 75 BO 90

Ovre tryck

v

^{100 110 720 130 150}

U 8,62 8,23 8,19 7,26 6,77

I o,4 0,8 r,2 1,6 2,0

Ekvationssystem _med tre obekanta

1350

52

Ekvationen2x * 2y + 3z:

^{11 är en}

linjär

ekvation med tre obekanta.

ur

ett system med tre sådana ekvationer kan i allmänhet variablerna

x,

yochzberäknas.

Med hjälp av substitutionsmetoden eller additionsmetoden kan

vi

eliminera en av variablerna. Vi får då ett ekvationssystem med

wå

obekanta.

T.g rI n:Änn EKVATIoNSSYSTEIVI

Lös

ekvationssystemet lz*+2y+32-rt

]s"-2y+z=o

lx+ay+22-9

(1)

(2)

(3)

Vi löser ut

z

ur ekvation (2) och far

z - ^2y -3x ⁽⁴⁾

Detta uttryck för

z sätts

in

i ekvation (1) och (3). Vi får

)Zx+2y+3(2y-3x):11

lx+4y+2(2y-3x)=9

Efter förenkling kan vi skriva

{il

^_

^,;r=;t

Detta ekvationssystem har

endast

två obekanta.

Lösningen

är

x - ^{-1 och ./ =}

^0,5

Sätter

vi in detta i ekvation (4) får vi z =

^4.

Svar:

lx=-1

], ^{= o,t}

lz-4

En

qlternativ _metod attlösa

exemplet ovan:

Med

additionsmetoden elimineras y

dels

ur ekvation (1) och (2),

dels

ur ekvation (2) och (3).

Även

detta leder till ett

system med

wå obekanta, {:"

'f

^{* 4z} - ^7l

Zx+ 4z=9

z

: 2

en lösning til1

Arx-IO,y--3,

ekvationssystemet?

fx +

^sy

-z: -r

|U-y*32:29

Lt"- ^2y-t z:

⁴⁶

Motivera.

Ställ upp ett

linjärt

ekvationssystem

med tre obekanta som har lösningen

lx:

⁵

J-.

^.)

]J - _J

lz:

¹⁰

Lös ekvationssystemen

l" -,

lE -t

ul]" _-z:o

t2

I

[3*-y ^-t 2z:

60

lx v

^z

b)]2 s

⁶

Iz**y-z:6

får lösningen

lx:-7

a)]v:3

r__.)

lo--"

b)x:!:z:I

1354

1355

1356

L357

1358

1

^Lös ekvationssystemen

lz*-5:1

illz**y:

^s

[

"-, i z:9

|

*-v:

^z

b)] v t z:7

L"*, tz:14

l**y:10

c)]Y rz:7

L"*, tz:14

135

@

Lös ekvationssystemen

l"*ytz:39

a)]x +y-z:7

[

"-, -z: ^-rS

l"-y-z:o

b)] " ⁺ 2y-22:70

lz" ⁺ 3y:

¹³

fo"+ 2y-z=7

c)]ex-y+52:30

It+*+3y-42:3

L352

Lös ekvationssystemet

I

*-y t z:3

lO*+9yr4z:Q

Itz* ⁺ 6y-z:4

|...-...-...".-...=|

I

tze grur ^I

Bilden visar några olika

kombinationer

av

bultar, muttrar

och brickor.

a)

Hur

mycket väger en bricka?

b) Hur mycket väger en mutter?

c)

Hur

mycket väger en bult?

Undersök om det är

möjligt

att bestämma

talen a och b så att ekvationssystemet

l*-oytz:-22

]*+oy-tbz:-I

[x+3y-tbz---a

T.g I-I ll.;Änn EKVATIoNSSYSTEIVI 53

Ksmplexa tal -

Exempel 1

imaginärt tal

Exempel 2

Komplexa tal

9B

Mängden av de komplexa

talen,

z

:

e

I

både alla reella

tal

och alla imaginära tal.

z:7 +

²ⁱ

betecknas

C

och

innehåller

C

:

komplexa talen

R

:

reella talen

2.2 AN DRAGRADSEKVATIONER

en introduktioll

Lösekvationen

x2

+ 1:0

-"2- 1

-\ --r

16: * {-1

Ekvationen saknar reella lösningar eftersom det inte finns något reellt

tal

vars kvadrat år negativ.

För att kunna lösa ekvationer av denna typ har man

infört

ett

nytt

tal,

ettimaginörttal

¹

:'{-1

med egenskapen att i2

- -1.

Med hjälp av talet i har ekvationen x2

: * ₁ lösningenx :

^-r I

Lös

ekvation

x2

- ^{2x -l}

⁵

:

0

Lösningsformeln ger:

x:

¹

^* t[-+:

1

-r{4 _C1) :

1

-r{Z _{-1 :I+ 2i

Med våra vanliga räkneregler och

talet

i

hittar vi

en lösning som

är sammansatt av en reeli del och en imaginär _del.

Införandet

av I

^{ger oss} dekomplexatalen, som man kan definiera enligt:

Ett

komplext

tal z

kan

skrivas Z= ä+ bi där a och b

är reella

konstanter.

a

^kaf las realdelen

till z

och

betecknas

Re

z.

Re z

=

^a

b

kallas imaginärdelen

till z

och

betecknas

Im

z.

Im z

-

^b

i

^kaf las imaginära enheten och har egenskapen

i2

₌

-l

Z:4

F.r*=f

F*tffi-l

z:3i

'l-l 12

³

komplexa

talplanet

För att rymma de komplexa talen utökar vi

tallinjen till

komplexa

talplanet

ettkomplext talplan.

2266

2267

z:3 ^{+ 2i}

1r-

2 ^rt

i\

-2-I 0 r 2 3

⁴

=

reella

tallinjen

I det komplexa talplanet är alla komplexa tal punkter.

x-axeln är den ^reella- axeln (Re) med våra reella

tal

och

y-axeln är den imagincira axeln

(Im)

med de imaginära talen.

Skriv

som

ett imaginärt tal

a) ^r/-16 D,E

a) {-ro: fi6- ^{(-1) *} r/ro. {-g - ⁴ⁱ

D {j _-,[7 ^.'f,t _{- '[7} ⁱ

Lös

ekvationen

a)22+2o=71

a) z2+20

=11-

z2=-9

s - *1[4

z-+3i

b) 222*Bz *40=0

b)

222

+82*40=0

z2

+ 4z * ²⁰ =

⁰

z=-2!r[4-zo

z = -2 _=,/-rO

z=-2+4i

Svar:

Ekvationen har

de

komplexa lösningarna

a) z, - 3i ^zz= -3i ^b) zt= -2 * 4i 22= -2-4i

Kan din räknare lösa andragradsekvationer med komplexa rötter?

Använd den i så

fall

gärna för

kontroll

av dina lösningar!

2.2 AN DRAGRADSEKVATION ER

2268

@

2269

Skriv som ett

imaginärt tai

a)

r/25 b){-81

^c)

r/-s

2270

Lös ekvationen

a)22

: -100

^{c) 222}

*

²⁰

:

0

b)22

+

36

: 0

d) 18

-422 :

34

227L

Lös ekvationen och markera lösningen

i ett komplext

talplan

a)22-Bz-l 25:0

b)22

+

6z

-f 13:0

c)422*Bz-lB:0

2272

Ar talet 4 ett komplext tal?

2273

Lös ekvationen

$,ffi

^a)3x2

^{* 45} :

1Bx

b) (x

+ I)2 :

(2x

- ^4)2+IB

2274

Våra

"vanliga"

räkneregler gäller

och

i2

- -1.

^Förenkla

^uttrycket

a)2(i-

1)

- ^{(3i +}

^s)

b)t (i +

2)

c)

(2i +

3) (2i

-

³⁾

2275 visa art

" - =; 3 , fii ^* ;

Å* ^{är en}

^-

^rot

^till

ekvationen x2-

3x

* 3:0

Vilka

är de markerade talen?

2276

2277

Lös ekvationen

a)22+4iz*5:0

b)22

+ ⁽⁴ -2i)z - ⁴ⁱ :

0

Förenkla

uttrycket

^{a^*. 3,1} genom atr

z+L

förlänga med nämnarens

konjugat

(2

- ^i).

ult III

Iluvcor

tlN0i_ Hc0

srn{ 'JI

r

lotu

np uros Jeuolten>lasuatod

qro;asuetod

e;aleda;

peur;e!gq tte

1n

't4sre-rqa8le

qro

r4sr;e-r8 apgq

?auoqen4asualod

qto

-iettuauodxa ESol

euun{

I^ ro^or{eq rualqo-rdlxp^llp

ne -reddt

E{llo

e8ueru

1

ozx'0000S:0000/

3uru41ot ue teJe^s ne ^III1 uauollD^4asualod

ue8e-r; gd Je

ra-rezrg

u*rpen4asualod

'-rol4e;s8ulrpuero.J ua

x

rE

ozx. 000 rpp

: f

OS

uauort{unJsuatod paru se^rJ{seq

JE uE{

0Z -rage rf eJeuE^uI IEIUV

0z reue LrE

000 61 uapSueru{loJ;a3

luarord

3uru4o 3t1;g r

ua4pn

eSerg :6

":::::,:&i:,:::r#:1i,i,'"$;,",0,'f"o,l;33ffi

-.?3,??f

ils'l*Å*a,ä,truauodxa

*ZO'1.

0g

000

: f

uauou{unJleuuauodxe

^e se^IDISeq

ue{

x

Je

JeUe.,f a"reuenul leletue

Ue -re8

Z0(I

uJol{e;s8ur-rpue-rog

;:e

-red o/oZ rg uaSuru4o ruo 000

uap8ueru{loJ 91

rpN

rg

eSerg :1

'"re ef"ren eururesuap

ueSuru>lo -re

ellenlueto;d

s^p uap

'tllartuauodxa ;e4o telelueJeue^ur ]te

retue

'areue^ul rA

000 0S rerl pels

uE

;eduex3

'allrueC releq

euue4 'Ig-OI-I197

eu;eutddt;11 'e;lue;4

t

sappgl'oqceue3 ecrue6 lapref1rru

leuunu Z

ate8loqpausppg1

äulupalul

JontltJe3ol

rlco

Jeuolllunilelluouodxl

v'z

Potenser och potensekvationer

potenslagarna Potenslag

Qr.Ql - qx+y (a*)Y : q*!

_ 0.*

- ^ I- V

240L

Ekvationen xn

=

^a

Lr4

Ett exempel på en potens år as där a är potensens bas och 5 dess exponent.

Vi repeterar räknelagarna för potenser.

gt

(q'b)' - ^e* 'b*

la\*- ^o*

\t/ - _b"

eo:I a#O

a-*-7 o"+O

ox

Exempel

34.3s -

³⁴⁺

s:3e

(yr)a:y2.0:yt

m7al.

-: m'--:m"

m+

(5x)s :

53

'x3 :

125x3

/*\t- *t

\zl -

B

(y'+ 1)o:

¹

P-r 1

1

rs22s

EfterSOm q7/3. e7/3. e7/3

- g(I/3+t/3+7/3): e7: A

OCh

tt".1,lA.\E-:

_o

ger det att "tredjeroten

lr ^q"

kan skrivas e1/3 och

allmänt

gäller:

Ekvationen xn

= a

^har den positiva roten

a\ln. \lj ₌

^2rtn

2.4 EXPONENTIALFUNKTIONER OCH LOGARITMER

Förenkla

med

potenslagarna

a) a13 ' a-6

o)fo

.,14

c)

^(bs 1-z

d)

^(2xa)3

e)

²⁰

+

0,50

+ (4 +

x4)o

f) ^2-3

d)

e)

f)

a)

b)

c)

x13 ^. x ^*6 = ^{x13 + (-6) .= x7}

v74

fu_y14-ro-y4

(bs;-z

=bs'(-2) -b-lo

(2xa )z =

^2s

^.(xa

)3

=

^8x12

20

+

o,5o

+ (4 +xa

)o

=L*l*1-3

2-3=+-1=o,lzs

238

ull 9II

ltuvcot

ulNotlyNnltvil_NlNodxl HcO

v'z

xtz.Z7, =

etZ-

etZ

x

ruo

uatueuodxa ruetseg

tZ:

sxb(P

- t'o

()

zx

Z:

szx(9

:

91

ox(E

z-f(P

rZQ

'-rasuatod uetn {Erq }te ruos

^IDIS

SOVZ

.I0'0

:

z_oT ro.JrEAErEPIroc

Lovz

a ^tvz

z-(g'o) (p

r-(t'o)

(r

(å),0 .

(f)," ,

'JO4JrsepJe^ eJ]

paru EJe^s 'JauorlE^)le

apuetlo.;

illt

uetor ennrsod uep

ruetsag, 6OVZ

r-Z(9

r-S (e

^IDIS

^I etsePlue urroplErq

glnz

E,o_xz

esIA

De

nlvz

'rnqer'plrgc't:,-o

q)o

De

:

T

lle

0D

llotu ]le

eJe

Jg.J

tt

r't of ue{

^{sePuE^ue}

of qro

ua{r^rDn

Elvz

or(r-L)

,o

oozl'

6r(s/)

t"

ePluerod

govz

t(#'d

@

ePlueroc

govz

vrt:

"(zt)

(9

:

oZ

zrZ'*Z(e

x

rE

lueuodxa ua4yn

rgf,

VOVZ

z

Il

'Jaleurr)ep

peur EJe^s g^t

:

0

- 0I

vs,z(b

x) uauolte^{a -

so.l

gl

ztvz

#".zen(e

,(#),,

LS L

:

*S/oS (P

si :

gb/*b

Q ^or.rx(E

: ^Z{6 .V9's(q, z{tx = gL'9

'ro4Jrsepre^ ert peIU

x luelsag

TTnz

OT:

,7rx(q

L'O:

tzx(e

L(]lIrJ x eJ4

ro.J De

petrr uepel epgq etoqddn

e{s r,r

OIVZ pe1

L-01/r0l(P

e(r-t) (r

eL'z-L(9

'9

s9

(B

suatod Epue ue ruos

^IDIS

zovz

o ^tovz

TL'I=

x

(e

:reng

|'L'T=gtrSZ=x

sftiZ

=

sn(gx)

sx SZ=

(e

"'

x =

I

JEJ

ile

Es s,rp 'lepa1

erlsup^

,.tllry rIIq

I

x.. De

Iet

Es

IIp uapel

Da

epgq

rafoqddn

ln

gL'S

*,tx (i =

sx gZ=

(e

uauope^{e ilp

uelor

errplsod uep Jo4JISepJB^

arl

palu

tuB}safl

6z't, =

x

(q

6Z,t= n\/rSL,g=x

n\nSL'S

tv'r/r(1''rx) =

gL'g

n,tx =

(g

Potensfunkti0ner och expCInentlalfunktisner

24L7

potensfunktåon

24L8

exponentialf unkticn

II6

Värdet

på

ett

hus

har fördubblats under

en 20-års

period.

Beräkna

den

årliga procentuella ökningen,

om den antas

ha

varit lika stor varje

år.

Vi utgår fuänpotensfunktionen y -

^{C .}

^{x", där}

^{C är}

^{värdet från}

början, x är

den

årliga förändringsfaktorn

och o

är antal

år.

Då a * 2O

är

värdet dubbelt

så

stort, dvs y :

2 ^.

C. Detta ger

Dividera båda leden med C.

Upphöj båda leden med 1120.

Svar:

Värdet har ökat med

3,5olo

per

_år.

2'C = ^C'x2o

2-*zo

y - ^)7/2o-

^1,035

Ett stort industriföretag släppte år

2010

ut

140 000

ton koldioxid.

Företaget planerar att minska utsläppen

med 4o/o

per är.

a)

Beräkna

utsläppen

av

koldioxid år

2015 om

planen följs.

b) Undersök grafiskt vilket

år

utsläppen

är

halverade.

a) Vi utgår fränexponentialfunktionen ! :

^C

^{.a", dår}

C är

värdet från början,

a är

förändringsfaktorn

och

x

är antal

år

efter

2010.

y = ^140000'

^A,96"

År 2015 motsvarar x = 5 vilket ger

y :740000'0,96s ₌ 114000

Svar: er

^{ZOf S}

är utsläppet

ca

110000 ron.

b)

En

halvering motsvarar

y ₌ 70000

Vi ritar graferna till

! ⁼ 14O000'0,96" och

! ^{= 7O000 och}

^avläser

skärningspunkten

xxlT

i40000

Svar: i*

^ZaZZ

är utsläppen halverade.

INTERSECTION

x=16,9797... Y=70000

EXPONENTIALFUNKTIONER OCH LOGARITMER

LII

L,b:'rx

ueuorlB^{a Jerl JeSurusol

eSueu

;np1

AftE^ eJE

er.UUeSUOp

lue)oJd Je

uaSurDISUrru uro r

'Bl0Z

JV

eluE^JoJ sso

ue{

i^

JESEtu e8ueur -rng

'000

III]

9

0I

000

reseru uE4

ruolo{

^e

ape{suFu ue

0I0z

IIIr 0002 rB

rE uBrc SZVZ

;3ueod

O00I

,ra8 ploq

ua{ll1(q

LU;:

pd

VLI

ddoq

lle

;aB Sueod ua41r4 (e

'reterurtuer

ueploq r

rt rV

rpp

evt'Jsl-

lDtzgv7'T

:

(tDd

ueuolllunJsuatod

patu seu>leleq

ddoqploq na

ro.J

a

GD

ua8ueo4 'raruep

-ro.;

drue4nfs

eu"reua;3 ne r

ua

ddoqpiopl

re

LZVZ

Lo/ozl pelu epJe^

JE{suIlu r

;e

aften uep tuo

epJE^

lrs

EJe^leq

tle

ert{e ua lo.J

tel;e

}ep

eSueu

gzvz rnT

seluE^,to;3uru4o cBp

IlanluaJord 3r1:e SrlllrusruouaB ua>1ln

'por,rads"re-E7

repun se1qqnpill ue

returuo{

]tE

ua8uru4n;q-ro.yr8-reua tte -ia8es souSo:d

uI

EZVZ

'e8g-i; urp Ere^saq qJo

uouorteole

(q sgT

0t

000

orx' :

0BI

000

uauorle^{a

sBje^seq ^e

uros e8erJ ua ed

ledruaxe ]e8e

eD ne

VZVZ

(E

ulm_LtEVcOt H30

u:No[yNnitvtlN]N odxl

t'z

'selqqnpolt

tle eurelrallBq

ro.J

re] tep prt 3ue1 rnq

r>1sr;e-r8 ruerseg (p

eJBurrurl

B

roue

suurJ

lap

terrat{Eq eSueru -rng

(r

aeruturl afue,t

talBluB

re{o

tuaJo;d eSueru

"rnq

pe6

(q

;uefrgq ue4

suueJ

teuet{Eq

e8ueru

lng

(e 'Jerurur]

x teua

3ur1po ua

suurJ r

tap,,f JarJet{eq e8ueru

;nq

rerre4sddrr

,b'1.

00I

000

:

,( ueuort>1un1, EZVZ

'r4sr;e-r8

:

OL

uauorte^Ia sgT ,Z

ZZVZ

eEllop epeJe^slou

Suru4sunu

Ilentue)ord

3r1"re

ue{ll1

'rI000t

III]

]e{suru

taprE^

apei{ erEues

e:dg -re

000

'r{

rgJ:o}Ep ue gZ

a1do4

i-rey

TZVZ

eellep JeJe^sloIu

ElueJ 3r1"te

sluato;d

e8ueru JnH (q

'uorteole

ddn ua

11ers

tl)o

urot{e;s8ur-rpuero.J ere^

lg1

x

(e

'Dl 000

06I

IIIr

lrxn^

rE rueJ ed -req DI 000

gd

00f

letrde{ }ry,

OZVZ

9 ed a3{

ueppeSlarurue8 -ren Suel rnH (q

eurr 09 ed eppeS ue

;e8er

pe1 (E

':oppe3:-o.J

. ex

S6'L

: f

tu

q)o

uesseu

34,{

re11e3 ]apuequres

r uE

rBlsed alEISrJ

tle

uap8uel uellaru

6

6ZVZ

ffi ^tvz

::i-{ ;!&. jf+

Exponentialekvationer och logaritmer

Exempel 1

Exempel 2

Hur löser man exokr exponentialekvationer av typen

7U :

b?

I enkia

fall

kan båda leden skrivas med basen 10.

10*

:

10*

:

-^"

-

1 000

103 3

Om baserna är lika så är exponenterna lika.

10-logaritm

Exempel 3

Definition

av logaritm

Tyvärr går det inte

lika lätt

att

tillämpa

metoden på t ex

ekvationenlU :

7.

Vi tar hjälp av grafen

till y :

19".

En ungefdrlig lösning

till

ekvationen

10":7årx=0,85

Det exakta värdet på

exponentenx

som ger

att

10"

: ₇

kallas

7)-logaritmenför

7.

Ett kortare skrivsätt

ärIg7.

Figuren visar att det

till

varje

positivt

tal

y

finns en exponent x så

att 10" :./

Ekvationen 10"

:

15 kan lösas

.

grafiskt

till _{x =} 1,18

genom avläsning i grafen

till y :

19"

.

exakt

till x :

1g

15

med hjälp av 10-logaritmen.

Din räknare kan ge noggranna närmevärden

till

1O-logaritmer.

I(nappen brukar betecknas log. Kontrollera att

lg

15 _{= 1,18.}

För varje

positivt tal ygäller att om

LO' =

!

kallas

x för

10-logaritmen för y.

10'= y?x=lgy

0bs!

/ :

^10"

^>

⁰

^för

^{alla reella värden}

^päx,Igy

^är bara definierad

föry >

0.

2.4 EXPONENTIALFUNKTIONER OCH LOGARITN/ER

118

6TI

(apreneru;gu)

SgZ'l =

x

(r4exa;

9131

= x

,re8 ru11.re3o1ne

uauoplulJeq 8I

*0f =

'relelulteP en

peru

eprE^eluJpu

ile

Es{Do

eD'Dlexe

BI

r0I =

ueuopPÄ),Ie soT

t- :

100'0

3l

<>

100'0

s-gl :

ull

ltuveot

ulNotlyNnltvtlNlNodxl

HcO

v'z

ttvz

zEvz

Itvz

oEvz

r:oor

: 0I

r0I

000I

3l

<>

000I

:

eOI

x=[.31 <>

f:rOI

lUOllruIlUV9O]

l

t{3o

NUOISN:llOd

uelleru

epe^

Euun{

le

tBF{r^

teC re

o:rBI

<?

:0r3l

<>

I

t-

sa1.xOI

= "(ear0I)

"t =

gas0l=tEC(Q

JIIQ

7e10I

Z =

(e uouorlrur+ec Ae uulr;e8o; ^{reqsuur ]ie}

g

= qaroT

xr(q

z@

ueseq peru

0I

suetod ua ruos

ruJoJ Dlexe

^IDIS I

- 9

n0I3I

(e

- z-

z-or8l

ro'o -

3t

(q

- h

.OTBI

0000I3I -

(e

'0I

uaseq peru s^IDIS

lept

uelueuodxa

Ep

ueurlrJeSol

rE

sor8l

I0'0

(a

(q 3I

0I3I

000

(e

aJBTDIeJ UEln rUBlSeA

(ap.rEnauJgu)

9'I€

s,1ef

=

= x

(r4exe; s.rgl

= x X3I S.I _

= g

x317

000I

= x

eOI=x

g-x31

t=x3rc

(q

g=x31

(e

ueuope^)le

sgT

2434

Bestäm med räknare och avrunda

till

^tre decimaler.

a)

lg3

^{b) 1g 1s0}

2435

Lös ekvationen. Svara exakt och med ett

närmevärde med tre decimaler.

2440

Lös ekvationen. Svara exakt och med

ett närmevärde med wå decimaler.

a)

2'

^10"

:

₄₈

b)5'10"-48:0

a) 22"

:

2z

b) 2":

B

c)

3lgx:

1,8

d)1-lgx:0,5

a)

10":

^$

b)

10":

13

a)Ig2

b) lgB

c)

10" : 5000

d)

10" :

0,045

c)

lgx: _-3

d)

lgx : _-1

244L

Skriv i exakt

form

som en potens med

basen 10

a)4 b)4'

^c) 1,05

d)0,92

2436

Vad ska det stå i rutan?

a)

102: 100 e

^1g100

: I,-'.:,f..l

b)

104: 10000 e

^1g10000

: llllllll::ll

c) 1g

1000 : 3 <>

103

- ll.:-;:-I

d)

190,1

: -1 ^<>

^10-1

- ^{f -.} l ll I

2437

Bestäm med hjälp av avläsning i grafen

till

! : ^I0"

nedan ett ungefdrligt värde på c) 1g0,5

d)a såatt lgo:0,5

L ö s ekv ationen

utrn

^r iiknar ^e.

2438

a)

10":0,00001 c) 102":

10000

b)

10": 10 d) 10t":

0,1

2442

Gina säger att värdet på 1g400 måste vara

större än 2 men mindre än 3. Har hon rätt?

Besvara frågan utan att använda räknare

och motivera

ditt

svar.

2443 Försökberäknalg0 och 1g(-1) meddin

$S

räknare. Förklara

varför

det inte går.

2444

Undersök med din räknare och skriv upp

följande värden:

lg2 1920 1g200

^{1g2 000}

a)

Vilket

mönster kan du se? Förklara.

b)Vad bör lg

20000 respektive

lg

0,2

bli?

2445

Lös ekvationerna exakt utan iogaritmer.

c)8":16

d)

49"

:7

2439 a)Igx:2

b)lgx:

5

r20

244

@

2446

Lös ekvationen. Svara exakt och med

ett närmevärde med wå decimaler.

a) 10" * 10":

^B

b) Ig2x:

0,15

c) 10"

-0,2 ^' 10":

40

d)0,3'103"-1:18

7

^Lös ekvationerna exakt.

a)lg(x*7):2

b)

lg (lgx) : _-1

2448

Lös ekvationen

2:

^{5 exakt genom}

^att

skriva om båda leden

till

en potens med

basen 10.

2.4 EXPONENTIALFUNKTIONER OCH LOGARITIVIER

ulnruveot IZI

ulNotlyNnltv[N]N0dx3 H30

v'z

ogvz

6VVZ

Pure8elulileBo'l

(t)

./( =

VBI

rVBl

suelod

lol

ua

ueu1ue8o1

g Fl

Q)

-

Fl

f

@/il81 =

lo^I

ro; uaulueäo1

ue

(I)

gFl +

= gVEl

VBI

llnpotd

lol

ue

uau1ue3o1

-ra1e8 g

V q)o

pt

ernltsod -rog

'sESr^

suatod ue

]o^4

q)o

ue

Jo.J

uarutrJeSol

ue4les

epueu{ll

Ed

'gBI

VBI: +

.V) @

31 rre

;ap,,{raq

enec

'ngs E{IIo E^r

uar4npo-rd Te Ed

IDIS

q)o

.V

g

uErJ

"rg8rn 1n

';arutr-re3o1

"ro.;

re8el

elJeq Ep

ue{

rlr

eu;eSelsualod

r:10I qro

D

-

}epueques

dplq

ne

pa61

eaelurlueEol eur

6=x

-

631

x31 6t31

x31

=

t8tz

x31 -

(q

e8tZ-x31

(q

0g=l

093I

xBI -

(Zr .S)

=

31

x31

z1'8l

+ sBI

= x31

(e

ztSl

+ sBI

x31 -

(e

'eure8epulpeSol.rre

dpfq

pat11

ueuopu6le

so'I

'earOT Peul

t

Uco

zar0T Paul

]]?srl Z

s8s'r

= x

z3t/t,3l

* -

- tBI

Z3l.x

sqOI

= 7ft.x0I

sa10l

*(zarOl)

-

t=*Z

ggg'r

3 x

7311g31

x -

tBI

=

Z,3l.x

=,731

931

'uapal ep?q ereurltteSol

t=*Z

Sultut!.rln,F,ol

Enyu4mSolpa6 uwn

'JelerulJep eJl

pelu

epJe^atuJ9u

es{Jo

De

aD

'ryexe

t

= *Z

ueuopeA{e

sqT

245t

245

@

Vilket

tal

ska stå i den tomma

parenresen? 2457

a)le?7'13):1t1 _)+1g13

^@ffi

b)rg9: '"77 tst5o-lg(

)

c)Ig22z:1 _).1e2

d)1g56:Ig7 + 1g(

)

2453

Lös ekvationen exakt. Ge också ett

närmevärde med tre decimaler.

2454

Lös ekvationen

a)lgx: lg5 + 196 c)Ig2x:

196

+

b)

lgx :

Ig20

-IS4

^d)

^lgx : _3lg2

2455

Lös ekvationen exakt. Ge också

ett

närmevärde med wå decimaler.

a) 3

'

1,08"

: 74

c) 31 ^. 2s"

:

101

b) SZ ' 0,65"

: 38 d)67

^. 0,5 ^-0,0"

-

2456 Vilka

fel gör de?

a) Pierre

förenklar

Ig37

- ^lgB

^och

ro ^Ig37

TäI'

-

IgB

b) Fia

förenklar lg5x2

och

får 2.Iglx

122

Lös ekvationen _exakt.

a)lgx:2193+31g2

b)lgx: lg5 +

195

+

1g5

c)

lgx : ig30 -

²

2458

Förenkla

a)lg1+ lg10

n)

rsf + h].

2459

Anta att du vet

art

7O0,3

=

²

Ge ett närmevärde

till

a) 1g2 000 b) lgB

lg5 ²⁴⁶⁰

^Lös ekvationen exakt.

a)

2lgx : _lg2x

b)lS(1 -rc) + lg(1 ⁺ x) :

1g0,75

c) 2Igx

-lS4:

^1g

^{(3x +}

¹⁶⁾

a)5":B

b)3":

12

c) 10"

:250

d) 1,05"

:

2

246t

30s

Lös ekvationen _exakt.

a)2'j':4" b)5.6":7.8'

Visa med hjälp av potenslagarna

den

trede logaritmlagen lgAr : y .lgA.

Lös ekvationen

2

100

2.4 EXPONENTIALFUNKTIONER OCH LOGARITMER

2462

@

2463

Lös

ekvationen

5

.23"

-

⁷

Metod

L:

5.23" -

⁷

23*

= ^7/5

lg2t* - ^lg(7/5)

exakt.

Ge också

ett närmevärde

med

tre decimaler.

Metod

2:

5'23" =

⁷

lg(S.23*) -lg7

lg5 + lg2t" = lg1 @r-rrll

lg5 + 3x

lg

z * rsr |Logailrr.-l

3xlg2-Ig7 -lgi

* ₌ lg7- lgs

= o.t62

3lg2

Lg,(7/5) = lg7 - lg5 enligt logaritmlag2.

3xrg2 *rs(7/5)

lL.c*ft'hg.-l

lg,(7/5)

.r'= # _{3lg2 =}

^O,L62

De båda

resultaten

är

lika eftersorn

?.zr

LD:Ssr8o1 ruo

6tr3ol

rppe1

ZLVZ

;np

"ro8 -rng

';erutrreSol-L

ddeu4 ua8ur rgJ

rEq uererDl€U

'ZlLBq

]eprel

AE

EDIereq

II1zr

np ]te

EtuV

I

> SttSol 'N

t

te W

^euepes

ruos Je

qro r8rlfou

ruos

EJpueJe^

Ereu

;e33rt ruos Es

r{)o

N

Ietleq r4f

lu.L

OLVZ

e8ol

t

+

eSol z

(q

63ol

I

g s3o1

a

(e

EPlueroc

5

ulNItuveot

ulNo[yNnllv[N]Nodxf

H30

,'z

IIBBoI

n:

.

eII8Bo1

(r

oE3o1

+

LEBq:

StnSol(q

u t3o1

:

783o1-

t3o1(e gE

telet

'D

aBuV ggVZ

I'031

: x(p

IBtSol:

r(g

sSol SZI

x

-

(r

zSol

9I

:

x(e

'xrrretseq

q)o

ruroJsualod

^lr{S

I

LqVZ

a

^LVZ

0

^9VZ

o

^9gVZ

S=x

Zt

= *Z

repffeq tw

7gz3o1- x

'x uetseq

qao ruroJsuatod

I

zSoI

Zt

x -

^IDIS

t (

rp.J

t

uaur11.ru3ol-6) 1163oI

x -

ttereqauul

II

x6

=

'ruJoJrulrreSol

r II

*6 =

^IDIS

'Jeseq eJpue

ue

Jalle8 e

eu;e8epulr;eSol

szrp

']tes erutues

gd sesrn ep ue>I Jeseq EJpue

'0I

Jgd

uaseq

Jo.J

tesrlr I^

Jer{

eu;e8epulr.re3o1

q

ueulrreFo'.e

rgl

).e.

e x

q

uos P nE

11t1

lueuodxa usp

Ie x

q"Bol=x

4=rP e

:q r{ro

Iet D

e^Itlsod.ro.;;a11e8

}ueurllv

LtSoI

x -

JaAIDIs

/

qJo

ro.J

uau1ue3o1-g ro.J

L:

xt

Lz.or:

x

T'AIDIS

/ q)o

ro.J

uelrrrrr"r";:'r"#'r'!-

.2

uateq{rl

x

r

uetuauodxa

relle{

I^

}}es etuIuBS Ed

'LBI:

eretro{

rc

re1le L otSol

x -

EÄIDls

IA

ue{

'L

uerulueSol-Ol rgJ

leile{

req

I^

: L

uelarpl[ *oT

x

I

ue]ueuodxg

: I0I

"tI

(p

: IZ

"0I

(l

OT: *L(9

t:*V(e

ruloJrutrJeSol

zru4g r

ggvz

v9vz

ulueto;

uorlrurlee Ae

Joseq e),lll0

leullleFol peu

'uellepotu rSgue.reuoflnu

S'SZ

SuFDloJeq s€1etuelenD

1ZOZTV rg

-lerrS

s'sz

ozrct(tz'L/Lg'zr). =

tz'L =

sv(ozn(tz'L/Lg'zr) )

tz'L -,(

.

:re8 1e4y'r

= gb

JeJe^slou

x

SZ0Z JV

'roleLUrsap elle suareulgl

pueAUe

lalla ]lexa

eu),1?u

Lvvgzo'T =

ozn(tZ'

/ L

Lg'zI)

D

-

tz'L/Lg'zr

=

ozD

Lg'Zl=ozD.tZ'L

0z =

s^p

Bp Lg'zT x

yf

-

.re8 0002

re.reuo[ILu

Lg,zI

'D Eruruptseq

re^oqeq

'tZ'L

IA

- )

tepre^lrels

'*D

) -

.

f ^e

uep

e[apueuodxa ^ueileporu

9961

sa8

rarye

x re

reuoltpu

uepSueur4log

rf

ellepueuodxe

e,ren

sulue

ueuE^IIII

ruo

'SZOZ rE eq u1eruerenD

rgq

p8ueur4loJ

ua{IIA';auofipu Lg,Zl

rE^

uep

0002 .ry '.rauoflltur

tZ'L

uep8ueur4loJ

0g6I

^e rE

ueilnu

I epeq e1erueleng

ltuveot

uSt

ulNotlyNnltv[N]Nodxl

H30

g,Lvz

rou0tlB^IolBllueuodxs

Je8uludrupl pd

II

I

'uellapoul r8lue

repruflru

uepSueuDIIoJ 6

rg'ttoz

s^p'8002 reua

rE

sz rg

(q

*Z1O'T.89'9-f (e

rre^S

sz=1f,jffi="

(eg'g/6) 3l

=

I0'I3l .x

U

tr-rr-tr,-l

@9'9/6)81 =,61s'181

'uapal epgq eraurlueSol

89'9/6 =

*zTo'T

"zlo'r 6 =

.99'9

ueuopen{alepueuodxe.rg;

qDo 6

rf -

;enes

(q IA

*Zlo'T.

g9'9 =

f ^;a8

619'1

D uroqe;s8ul,lpueJo.J -

rlro

g9'9 =

tapre^lrels J

*n') -

f ^e

uep

uallepotu ellepueuodxe

9996 se8

rarya rE

repr€ltp x

uap8ueur4loC

rf

(e

ållepoul

Buuep

r31pe;aprefipu

uepBueuDIIoJ 6

rEN rg

(q

'seJpue

alur

ue8urrn{o

eilenluecord

e31pg

De uep

retue

ruo p8ugur4log rA

sueprofra8

ruos laruroJ

ddn

ue

IIE]S

(e

'.re

o/oZ'I.ren

red

uaSuru{O 'reprefiFu

89'9

IIII

8002

4cr8ddn

p8ueur4loJ

sueprof

247 ffi

\d/

Ett

kapital

på S 000 kr växer med 3 ^o/o per

år. Ställ Lrpp ett

uttryck

för kapitalet

y kr

efter

a)1år

b)2

är

c) 10 år

d)xår

2476

Formeln

! :

^{265 000 .}

^0,85"

^visar

^hur

värdet y kr

av en

bil

avtar med

tiden

x år.

a) Vad kostade bilen som ny?

b)Vad innebär basen 0,85?

c) Beräkna efter

hur

många år värdet

är 100 000 kr.

d)

Kontroilera ditt

resultat grafiskt.

2477

Anders sätter in

4000 kr

på ett bankkonto

med fast ränta. Efter fem år har beloppet

vuxit till4640kr.

a) Beräkna räntesatsen.

b) Efter

hur

många år har beloppet

fördubblats?

2478 År

2008 hade Pakistan 168

miijoner

invånare.

Tillväxten

antas vara 1,8 ^o/o per är.

a) Ställ upp en formel för beräkning av

Pakistans folkmängd.

b)Vilken

folkmängd ger

formeln för

år 2015?

c)

Vilket

år kommer folkmängden

att uppgå

till200

miljoner?

'd v'

2479 Atomkärnor

som sponrant sönderfaller och

skickar

ut

strålning kallas radioaktiva.

När atomkärnorna sönderfaller avtar

mängden och strålningen

exponentiellt

med tiden.

Ett

vanligt

mått för sönderfallet är att ange

ämnets halveringstid,

I

^dvs

^hur

^lång

^tid

^det

tar för

häiften

av ämner atr sönderfalla.

Vi har 400 mg

jod-131

_som har en

halveringstid på 8,0 dygn.

a)

Hur

mycket återstår

efter

16 dygn?

b) Efter _8,0 dygn har

hälften sönderfallit.

Beräkna

hur

många procent som

sönderfaller varje dygn.

c) Ställ upp en

formel

som anger

hur

mycket jod-131

vi

har efter x dygn.

2480

^Värdet på en fastighet stiger med i genom-

:-,i',

^snitt 4,0 o/ovarje är.

Hur

många år tar det innan värdet har

fördubblats?

2.4 EXPONENTIALFUNKTIONER OCH LOGARITIVIER

ffiÅruffiffiffi

ⁱ

fiadiati*n

rtslq'

ⁱ

.v \r,

'{

^'vi

''{ '{

\

't ^fi"

{?.

'E x:

LZI

1r311ur-r e]tep

rV'uepelies

r

rarJeryeq uolpru

seuurJ

I

ue4 sreld

ure^

ue

ed -rerututt e;8eu raua

ue tep

ryrsgd

uerlof

'uapefiPsspelod

r

reurueq

rerraDleqellauoups

000 z

ne

qro

Surqrd4

ddn;e4s

ua

np

etuv

De

'retnurlu 0z

d ppsSu{qqnpr-o.J E

ue eq ep ue>l trurE^

]ap te

'3urgrd4 ;eg

r

sEuurJ

Iq E

rerre}{eqElleuouFs ue{

tgvz

'lelEllnseJ

EJatuauuox

ellenueuodxa

ueug^llp

-re

ne retue r^ ruo

-rap;eipru

uarpul Z

uap8ueu{loJ

r

rpN rg

'p;eilrru

IIII reuofttur

I

Ogg uErJ 6667

IIII086I

uE4 epe{g rB

p3ueru41o;

suarpul

zgvz

ult

IUVSO]

ulNotlyNnltv[N]Nodxl

Hco

v'z

X

^

'ua;n8g

euret{und

r

ruoua8 "re3;e"r8

s-rezr

.) -

*D

uort4unJlenueuodxa ,(

a8uy

ua

lgi1

(e

'Eurelleporrr

E^l ^ap

r31pa

000I

;e uap8ueur{loJ

eu4e;eg

(q

'flaporu llauuauodxe ue

peur slep ilepotu

rgfull

ue peru slap

009I

rE

t{)o 0 rE uelletu

3uru41o;aq

sueprelnr;4sag

(e

'[ar]ueuodxe

-ren ua8uru4o

Jetue tn

]le

ruo

0002

qro 0S6I

re uellatu Suru4logeq

sueplre^

ua8uru{o ne

ellantuaro;d

e8rl"rg

eulerag

uap

'0S02

rlro

006I

'O1LI

e{l4v

rE

uap8ueu

r

-{loJ

qto

edo;ng

uep8ueru4lo; ene4sddn r

:ellgy 8JS

006 8

oo9z

00I

000 z 9

009 z 096

T

I

001

I

006

09/

06L

r

009 009

T

008 0

pauo[11w1 3u1u41o7aq suepUeA JV

0002091i 009I 09zI 0001

0E1 009

092

'telellnser

Iep ue ^e

sesl^

uelleqel I

'uepp

tguleg rlro

I

tg{eq

epgq 3uru41o;aq suaplre^

zre;e8uruffe4sddn

qro

-re8uru4ereq

trolS req NC

Sutu4to{aq

suapupA

0g0Z-0 re 3uru11o1aq sueppe1

rIIrotsIII

09 L

0902 OZ

9Z

B LE

006I

v9 TZ

II

OELI

edotnl uatsv

e4utv

tv

^e uap elelol uap7upw4loJ

! %

ppuv

2484

2485

I en kärnreaktor bildas

bl

a

plutonium-239

med en halveringstid på 24OO0 är.

a)

Ställupp

en

formel

och beräkna

hur

mycket av 400 mg

plutonium

-239

som

fortfarande

är

radioaktivt

efter

100000

år.

b) Hur länge måste man förvara en mängd

plutonium,

om man

vill

att mängden ska

gå ned

till

1

promille

av den

ursprungliga

mängden?

L28

2486 Lufttrycket

p

hPa

avtar exponentiellt med

höjden

h km över havet. Vid höjden 5,8 km

har trycket sjunkit

till hälften

av det

tryck,

1013 hPa, som råder vid havsytan.

a) Ange en formel for

hur

p beror av h.

b) Beräkna trycket på höjden 15 km.

c) På vilken höjd är trycket 250 hPa?

2.4 EXPONENTIALFUNKTIONER OCH LOGARITMER

Vi har /o

^mg

radium-226

som

avtar

exponentiellt

med

halveringstiden

L

600

år.

a) Ställ upp

en

formel

som

visar hur

radiummängden avtar.

b)

c)

Efter hur många år är

9oo/o av

mängden fortfarande radioaktiv?'ii

Visa

att

den

mängd radium y

som

återstår efter x

år

kan skrivas

!

⁼

lo. 2-x/r där

yo är begynnelse-

mängden och

T

halveringstiden.

a) Vi utgår från y - C.tr

^där

^y

är mängden i

mg

efter x

år.

x=0 gery-C dvsC=yo

Efter 1600 år återstår hälften,

/ =

^0,5

'./o vilket ger

0,5 '/o

=

lo'01600

0,5 =

^ol6oo

q=O,57/7600= 0,999567

!

=

!o.0,999567*

!

⁼

!o.

(O,5rzroqo)' =

/o

^{. 0,5*zrooo}

b) y =0,90./o ^ger

0,90'lo=!o.0,5xlrooo

0,90 =

^Or5*/reoo

lg 0,90 = ^lg

^0,5xl1600

lg 0,90 = låo

^.

^lg

^0,5

1600

^.

ls

x:..- _rgo,s@ ^x 24o

Efter

24O

är är

90olo

radioaktivt.

c)

^Vår

modell i a) kan skrivas

!

⁼

lo.

^O,5*tr

Vi utnyttjar att 0,5 =

^1./2

=

^2-t

!

⁼

lo. ^O,5*tr

⁼

lo. ^(z-t1rtr

⁼

lo. ^2-x/r

i

;j

I

6ZI

')" 0'Lt

Jn]€JedrualsddoDl Je

IeuroN

ateproru eppa{s rEN

0'02

')'

]uelsuo{

JE

terotuo{

ua;nteredruel

ed

')"

0'LZ IIII

rl4unls ua;nte-raduat eperl

0E'9I

I)

^{) '}

"

6Z -tnte-ledruat S'

suaddo"r4

00'EI I{

rE^

setl)gtddn

laprour tpN

'totuo{

eperauortrpuo{Unl

11rs

gd

peprour sepenp{ ueruotsueh4ueq

uE

'l

ueplt peru tllartueuodxe ret^e

J: oJ-

o

uesue;aJJrp;nle-radruet ]]e ]tES tuepes

lle

ed ua8urule^s^e

"re4s 'po8 uaSurixezugnl

qro

luelsuol

"re

;nte:adruat

suaSurunr8ruo

rug

;nte:adruar 0-1

atSgl paru Suruzrrsuo

ua

reule^s r

uernte;adruat

J

pau

ddo-r4

l6VZ ug

sElqqnpro.; urS,raua a

ep"ro l3r-r;

tuo uap

uapuru8eru re{o

tapdru

-rng

(t

'rfl/zr

uato^I E{lot

q)o

Eu>Iereg

: I'B

epeq906l ,W

rE

ueperu

uep

: l'L

I7,y

uepnlruSeu

epeq

of,sr)uerC

I ues

686I

"re

ue8urungqp;o1(q

'leLUroJ Buuap

g

I

tn sgl

(B

ull

ltuvco-t

ulNO[yNnl]vtrN:Nodx= HcO

v.z

- O'v

fl8r)

lapueqlxes

uele{sretr{)lH

r8rlua suurJ

ur8-raue 1g'

eprofSr-r; uep q)o

pnrruSeru 741

sua8ururreqplo

uelleN

I

tleq 'rE

rra gd re{nrqro.J

a8r:eng ruos SurupJos{elJols

erurues,te rS;aua s"ro8r-r;

(afoq

relle

uapnrru8eru) 6

Suruleqp-ro[ 1e;o"rrsete{

pr1

ue pt,t sasolln 'Suruzreqp:ol ua

ruos r3-raua uep gd ngru

tle

rE

ueleIsratqrlu

uapnlru8eW

Ed

O6VZ

'la8els eJapJB^

reurote ^E

e8ueru

e{rl sapeplq

rsruo4ddn

suap:olprn lep De Jetue ueur ruo

.JeplB

suap;olelep

essep ne

dpfq

peru

e]te{sddn

'stz

-uEJn

uros ^E

BtZ-ueJn

Joruole e8ueru ^e

es;e8ue8 gy1 :e.;a8un

Jeruleuue:n

suap;of

ralleqeuur epuBrB^rgu

.ru rgc

, 601

L,0

re stz_uErn uap

ro.J r{Jo

rv

. 60T

s,v

ueprls8ur-re^leq re BtZ-uErn

6gVZ

roc

2,:ep3ueru{loJ erors

p{rl

uEr{ eq eurepuel

epBq ep eproq rE

}a{lr^

rcd rc

"y"

reuollrLu 1'g

uar 9'gg

ueluqrols u

rcd te

"7"

rauot;ruu 9'7

eurau 1'gg

rlr; rdd

l\eltxP^ll!l 9167 p8uew41ol

pue-l

lueddot4

r

aurJrp u

aru

J

J o.

aprls8ur-ranleq u

"re 3ue1 -rng

'uaddo:4

uEur)rperu r

o/o ne

Je^)I Jerururt

0t

reuo

zv

suueJ ]ep

Sutureru ue

pl^'uapr]

paur tllepueuodxa

rel^e

p8ueru euuap

tle

uelylaperua{El

te^

^e

lle

uort>lafur ue

]uetled rEJ

ug

LSVZ

f:w

@

^88VZ

Area - ^{och volymskala}

Exempel

längdskala

areaskala

Kartor och

ritningar

år

likformiga

avbildningar avverkligheten.

Om skalan på en karta år

I:20

000 så är en sträcka i verkligheten

20 000 gånger längre än motsvarande sträcka på kartan.

Om vi bara säger skala menar

vi

längdskala.

Föremål Avbildning

(cm)

,w****'*-%

{3 l"***'*-^-*- *-'*"*i

5r ^iå "i

^å

I

4- ,;

ö

Den

lilla cylindern

är en

likformig avbildning

av den stora cylindern.

Längdskalan:

^en längd i avbildninsen

motsvarande längd i föremålet

en area i avbildnineen

62 93

volymskala

Sammanfattning

SKANE

Areaskalan:

Areaskalan:

Volymskalan Volymskalan

motsvarande area i föremålet

(längdskalan)2

en volym i

avbildninsen

motsvarande volym i föremålet

:

(längdskalan)3

n'82 /

B \2

- t_l

n.r22 - _\rzl

n.82.6 t2\2 t2\ ^t2\3

:

^.12\s:15] ^ls,l:IE,l

:(+)'

Om längdskala n =

+,så

^är areaskalan

= (f)'ocrr

volymskata"

= (å)'

I

4o ^km

I

162 3.2 LIKFORMIGHET

,"F,..

,, :s:r

l(\

t<

Karlshamn

19r

llHCtt\tu0ryn

z'E

EurJ

JB

ozz

rrr^lo^

suese^

aJpullu

ueo

:JuAS

trJJJ

=

OZZ

rIuJ

9lZ

A

=

,(å)

000

=

r

n(uep4sp8ugl)

uele{sruÄlon -

r

000

Uelu{srur(lon -

ffit

9T

ssr ^;=

6:u€le{spSrgt

.ra8

laqln'e.rrgls

uep

llepotu

Ae

pe{surrurg.J ue

ruos

ue{

ses

uese^

eJpurw

uao

'eurÄ

'ruz(1on

suese^

eJpulu

eu{eJofl

uep

'3oq

ur

rp.

0'6

uese^

aJpuru

ueq'srur

000I

ueudlon

req

r.Iro

3oq

SI

ruc

rg

uese^

eJJOls

ueo'{elJots

E{rIo uelu

ruJoJ Erurues Jeq Jase^

EAl

It. t_

t\

?

zwf,ZL

zJ

w

uEeJV

Ae

rre^S

ZL=V

y(r

uep>{sp8uel -

(e

v 6 'zt,

-

=,(+)= +

.(uep4spauel)

uererseorv *

(q

z8 tzT

^{euolrol 13ug; ?s Luos 'FttfqLu}

-

'Vueale

1J

\*rv

/

YZ,

"ff;;ffii::E ^{,, ' \*/}

*elsefl

(urc)

,-L \Z

'tJ I

ne Buruppqne

ue

te.z1

'e31tu.ro;4lltg

rlco

zJ

eu.relSuep; rJ

LTZT, 9TZE

32L

@

8

Av ett föremål med

hojden

4 cm görs

en kopia med

höjden

1 cm. Ange

a) längdskalan

b) areaskalan

c) volymskalan.

32L9

Trianglarna har

olika

storlek men

samma

form. Trår

en

avbildning

av 7,,.

Bestäm

a) längdskalan

b) areaskalan

c) den mindre triangelns area.

3220

Rätblocken är

liKormiga.

Beräkna den

okända volymen, V.

3223

På en karta i skala 1

:4000

uppskattar Bella

ö

^{arean av} ett naturreservat

till

^{B0 cm2.}

Hur

många ha

(hektar)

_är området

i verkligheten? (1 ha

:

1 . 10a m2)

3224

Vilken längdskala ger en

fördubbling

av

a)

arean

^b)volymen?

3225

Sverige är ca 157

mil

långt och har en

total

(cm)

area på ca 450 000 km2.

Är det sant att en Sverigekarta

i

skala

1:1 000 000 får plats på ett A4-papper?

Motivera

ditt

svar.

3226 Till

ett par jeans med byxlängden (inner-

sömmen) B0 cm går det åt A m2 tyg.

Med

hur

många procent bör rygåtgången

öka, om man syr ett par jeans _{av samma}

modell men med en 10 o/olangre innersöm?

I

]

t

7

322 I

o

322L

I den mindre av wå

likformiga trianglar

är en sida B0 ^o/o av motsvarande sida

i

den större triangeln.

Vilket

är förhållandet mellan den mindre

och den större triangelns areor?

A-formaten är de vanligaste pappers-

rektanglarna i A-serien

A2 . ä.liKormiga.

A0 har arean

,

¹ m2.A1 har måtten

594

mm x

841 mm.

a)

Den korta sidan på ett A7

år 74 mm.

Vilket

mått har

,

^långsidan?

' ^{b) Vilken}

area har A2?

r64

7 Ettkoniskt

glas

rFnmer

B cl då det är

fyllt till

bredden.

Hur många

centiliter

har man

druckit

då

vätskans hojd

sjunkit

till

hälften?

3228

Ett rätblock med

sidorna a,b

och c

avbildas med skalan s. Visa

att

a) areaskalan är s2

b) volymskalan är s3.

3229

Triangeln CDEhar

lika

stor area som

parallelltrapetset _ABDE.

C

Bestäm i exakt

form

kvotenb

/a.

3.2 LIKFORMIGHET

(cm)

3222

ffi$

, ^*,:i

AO

A1

7-v

8,0

-20

cm3