Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 7 jan 2016, kl. 8:15-12:15 Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare:

(1)

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903

7 jan 2016, kl. 8:15-12:15 Examinator: Armin Halilovic

Undervisande lärare: Fredrik Bergholm, Jonas Stenholm, Elias Said För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR.

Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad. Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F.

Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).

• Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar.

• Skriv endast på en sida av papperet.

• Skriv namn och personnummer på varje blad.

• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget

• Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar

Uppgift 1. (2p)

Lös olikheten 0

3

2 4

− <

− x

x .

Uppgift 2. (4p)

Vi betraktar triangeln ABC vars hörn är i punkterna A=(1,1,1), B=(1,2,2) och C=(3, 2, 2).

Bestäm

a) triangelns area (2p) b) triangelns omkrets (1p)

c) vinkeln mellan sidorna AB och AC (du svarar med arccos) (1p) .

Uppgift 3. (2p)

1. Lös ekvationssystemet









= + +

13 3 2 2

7 2

6 9 2 2

z y x

Var god vänd.

(2)

Uppgift 4. (2p)

Ett plan går genom punkten A=(2,3,4) och genom linjen (x,y,z)=(1,2,3)+t(1,2,0). Bestäm planets ekvation.

Uppgift 5. (4p)

a) (2p) Bestäm volymen av pyramiden ABCD vars hörn är A=(1,1,2), B=(2,2,3) , C=(3,2,3) och D=(2,2,4).

b) (2p) Bestäm avståndet från punkten A till planet som går genom punkterna B, C och D.

Uppgift 6. (4p) En punkt i en konstruktion påverkas av krafter i tre riktningar a=(1,1,1) , )

1 , 2 , 1

=( b

och c=(2,3,5)

. Punkten är i jämvikt när den påverkas av en fjärde kraft i sidled )

17 , 16 , 11

=( F

. Kraftsumman xa+ yb+zcska uppväga F. Bestäm x,y och z så att F

c z b y a

x   

−

= +

+ .

Uppgift 7. (4p) Lös följande matrisekvationer med avseende på X a) (2p) AX −B=C där 



 



=  3 2

5

A 5 , 



 



=  1 1

1

B 0 och 



 





= −

1 3

2 C 1

b) (1p) DX=E då 



 



=  3

D 2 , 



 





−

= −

6 9

4

E 6

c) (1p) FX=G då 



 



=  5

F 2 , 



 



= 

16 11

6

G 4 .

Uppgift 8. (2p) Beräkna determinanten

d c b

a

d c b

a

d c b

a

d c b

a

−

− +

−

− +

3 ) (

.

Lycka till.

(3)

FACIT

Uppgift 1. (2p)

Lös olikheten 0

3

2 4

− <

− x

x .

Lösning: Gör ett teckenstudium av vänster led. Kvoten är < 0 då täljaren och nämnaren har olika tecken.

x -2 0 2 3

2 −4 x

−3 x

+ + + 0 - - - - - - 0 + + + + + + - - - 0 + + +

3

2 4

−

− x x

- - - - 0 + + + + + + + + + + 0 - - odef + + +

Svar: Olikheten är uppfylld då x<−2 eller 2< x<3.

Rättningsmall: Korrekt tecken för faktorerna x-3 och x² −4 (alternativt (x-2) och ( x+2)) ger 1p. Allt rätt ger 2p

Uppgift 2. (4p)

Vi betraktar triangeln ABC vars hörn är i punkterna A=(1,1,1), B=(1,2,2) och C=(3, 2, 2).

Bestäm

a) triangelns area (2p) b) triangelns omkrets (1p)

c) vinkeln mellan sidorna AB och AC (du svarar med arccos) (1p) .

Lösning: a) Arean av den triangel som spänns upp av vektorerna u och v

är A= ⋅u ×v 2 1

Triangeln ABC spänns upp av (t.ex.)

→

AB och

→

BC .

→

AB = (1,2,2) - (1,1,1) = (0,1,1),

→

BC = (3, 2, 2) - (1,2,2) = (2,0,0)

) 2 , 2 , 0 ( ) 2 ( 2 0

0 0 2

1 1

0 = ⋅ + ⋅ + ⋅ − = −

=

× ^→

→

z y x

e e

e e e e BC

AB   



. . 2 2

2 2 2 ) 8 2 ( 2 2 0

1 2

1 ₂ ₂ ₂

e a BC

AB

A= ⋅ ^→ × ^→ = ⋅ + + − = = =

b) Triangelns omkrets är summan av sidornas längder.

→

AB och

→

BC är beräknade.

(4)

Beräkna

→

AC :

→

AC = (3, 2, 2) - (1,1,1) = (2,1,1)

Omkrets: O = AB^→ + BC^→ + AC^→ = 0²+1²+1² + 2² +0²+0² + 2² +1² +1² = 2+2+ 6

c) Vinkeln, θ, mellan två vektorer fås ur

v u

v u 





= ⋅ θ

cos .

Vinkeln, θ, mellan sidorna AB och AC ges då av:

3 3 3 1 6 2 6 2

2 (2,1,1)

(0,1,1)

(2,1,1) (0,1,1)

AC AB

AC

cos AB = = =

= ⋅

⋅

= _→ _→

→

→  

θ

Därför )

3 arccos( 3 θ =

Svar: a) 2 a.e. b) 2+ 2+ 6 l.e. c) vinkeln ) 3 arccos( 3 θ =

Rättningsmall: a) Rätt kryssprodukt ger 1p b) och c) Rätt eller fel.

Uppgift 3. (2p)

1. Lös ekvationssystemet









= + +

13 3 2 2

7 2

6 9 2 2

z y x

Lösning: Gausselimination ger:









=

= +

= + +

0 0

1 3

9 2 2

z z y

z y x

vilket ger







=

1 2 3

z y x

Svar: En unik lösning: x=3, y=2, z=1

Rättningsmall: Korrekt metod och en korrekt variabel ger 1p. Allt rätt ger 2p.

Uppgift 4. (2p)

Ett plan går genom punkten A=(2,3,4) och genom linjen (x,y,z)=(1,2,3)+t(1,2,0). Bestäm planets ekvation.

Lösning:

En punkt i planet: A=(2,3,4)

(5)

En punkt på linjen: A₀=(1,2,3) som även tillhör planet Linjens riktningsvektor: r=(1,2,0)

En normalvektor till planet: n= A₀A×r=(1,1,1)×(1,2,0)=(−2,1,1)

Planets ekvation: −2x+y+z+d =0 insättning av punkten A i ekvationen ger d.

3 0

4 3 2

2⋅ + + + = ⇒ =−

− d d

Svar: Planets ekvation: −2x+y+z−3=0. Rättningsmall:

- Rätt normalvektor +1p, Allt rätt=2p.

- Fel normalvektor ger 0p.

Uppgift 5. (4p)

a) (2p) Bestäm volymen av pyramiden ABCD vars hörn är A=(1,1,2), B=(2,2,3) , C=(3,2,3) och D=(2,2,4).

b) (2p) Bestäm avståndet från punkten A till planet som går genom punkterna B, C och D.

Lösning:

a) Teckna vektorerna AB=(1,1,1),AC =(2,1,1)och AD=(1,1,2)

Volymen:

6 1 1 6 1 1 1

1 2 2 1

1 1 6 1 2 1 1

1 1 2

1 1 1 6

1 = − =



 



 − +

=

= V

b) En normalvektor till planet: n=BC×BD=(1,0,0)×(0,0,1)=(0,−1,0)

Planets ekvation: −y+d =0 ⇒ d =2 som erhålls genom insättning av t. ex punkten B.

Alltså planets ekvation: − y+2=0

Metod 1. (Formelblad) Avståndet d från punkten A=(x₁,y₁,z₁) till planet

=0 + +

+By Cz D

Ax är | 1

1

| 1

| 0 1 0

2 2 0 1 1 1

|0

|

| 2 2 2

1 1

1 − =

+ = +

+

⋅ +

⋅

−

= ⋅ +

+

+ +

= +

C B A

D Cz By

d Ax .

Metod 2. Avståndet kan beräknas som längden av ortogonalprojektionen av vektorn mellan

punkterna A och B på planets normal, dvs. 1

) 0 , 1 , 0 (

) 0 , 1 , 0 ( ) 1 , 1 , 1

| (

| =

−

= •

= • n

n Avstånd AB

Rättningsmall:

a) Fel volymdeterminat 0p.

Korrekt uttryck

2 1 1

1 1 2

1 1 1 6

=1

V men räknefel =1p.

Saknas 1/6 framför determinant –1 p.

Allt korrekt =2p

b) Fel planets ekvation 0p.

Rätt planets ekvation +1p. Rätt avstånd +1p.

Uppgift 6. (4p) En punkt i en konstruktion påverkas av krafter i tre riktningar a=(1,1,1) , )

1 , 2 , 1

=( b

och c=(2,3,5)

. Punkten är i jämvikt när den påverkas av en fjärde kraft i sidled

(6)

) 17 , 16 , 11

=( F

. Kraftsumman xa yb zc +

+ ska uppväga F. Bestäm x,y och z så att F

c z b y a

x   

−

= +

+ .

Lösning:

⇔

−

= +

+yb zc F a

x   

















−

=















+















+















17 16 11 5

3 2 1

2 1 1

1 1

z y

x ger följande ekvationssystem:







−

= + +

−

= + +

−

= + +

17 5

16 3

2

11 2

z y x

som vi löser med Gaussmetoden:

2 :

3 6

5 11

3 0 0

1 1 0

2 1 1 )

( ) (

17 16 11

5 1 1

3 2 1

2 1 1

3 1 2

1 ⇒ =−

















−

⇒ +

− +

−

















−

z Rad r

r och r r

3 5

2 :

2 y− =− ⇒ y=− Rad

4 11

4 3 :

1 x− − =− ⇒ x=− Rad

Svar: x=−4, y=−3 och z=−2 Rättningsmall:

- Rätt ekvationssystem +1p.

- Rätt lösning av ekvationssystemet +3p.

- Enstaka räknefel ger -1p (för varje räknefel upp till -3 p).

- Fel ekvationssystem 0p.

Uppgift 7. (4p) Lös följande matrisekvationer med avseende på X a) (2p) AX −B=C där 



 



=  3 2

5

A 5 , 



 



=  1 1

1

B 0 och 



 





= −

1 3

2 C 1

b) (1p) DX=E då 



 



=  3

D 2 , 



 





−

= −

6 9

4

E 6

c) (1p) FX=G då 



 



=  5

F 2 , 



 



= 

16 11

6

G 4 .

Lösning:

7a) Eftersom det(A)=5 ≠0 är matrisen A inverterbar.

−1=

A 



 





−

− 5 2

5 3 5

1 .

⇒ +

=B C X

A X = A⁻¹(B+C)= 



 





−

− 5 2

5 3 5

1 



 



 0 4

3

1 = 



 





−

5 / 6 5 / 18

5 / 9 5 /

17

(eller 



 





−

= −

2 . 1 6 . 3

8 . 1 4 .

X 3 ).

b) Eftersom matrisstorlekar omvandlas enligt (n x m) (m x q) = n x q så får man: matrisen X måste vara en 1x2 matris.

Låt ^X ⁼

[

^x ^y

]

^.

(7)

⇔

= E X

D då _

[

^x ^y

]



 



 3

2 



 





−

= −

6 9

4

6

⇔ =



 





y x

3 3

2

2 



 





−

− 6 9

4 6 Härav: 2x= 6, 3x=9 samt 2y= −4, 3y= −6

som ger x=3 och y= −2 och därmed X =

[

3 −2

]

c) Låt ^X ⁼

[

^x ^y

]

^.

G

FX= ⇔ _

[ ]

⁼



 



 x y

5

2 



 



 16 11

6

4

⇔ =



 





y x

5 5

2

2 



 



 16 11

6

4 .

Detta ger 4 ekvationer, en för varje position i 2 x 2 matriserna:

2x= 4, 5x= 11, vilket är motsägelsefull information => lösning saknas.

(2y=6, 5y= 16 är också en motsägelse. )

SVAR a) 



 





−

= −

5 / 6 5 / 18

5 / 9 5 /

X 17 (eller 



 





−

= −

2 . 1 6 . 3

8 . 1 4 .

X 3 ).

b) : X =

[

³ −²

]

. c) Lösning saknas c)

Rättningsmall

a) Korrekt invers ger 1p. Avdrag för slarvfel.

b) och c) Rätt eller fel på 1p-uppgifter.

Uppgift 8. (2p) Beräkna determinanten

d c b

a

d c b

a

d c b

a

d c b

a

−

− +

−

− +

3 ) (

.

Lösning:

8) I en stor determinant är det bättre att först utnyttja räkneregler för linjära operationer i en determinant.

Addera alltså första raden till de tre andra,

d c b

a

d c b

a

d c b

a

d c b

a D

−

− +

−

− +

=

3 ) (

=

4 1

3 1

2 1

r r

+ +

+ =

d d c

d c

d c b

a

2 0 0 0

2 2 0 0

2 2 6 0

3 ) ( +

(*)

(8)

(Här kan man använda egenskaper för triangulära determinanter och beräkna direkt) )

( 24 2 2 6 )

(a b c d cd a b

D= + ⋅ ⋅ ⋅ = + .

Allternativt kan man utveckla (*) efter första kolonnen

= +

=

d d c

d c b

a D

2 0 0

2 2 0

2 2 6 )

( ( utveckla 3x3 determinanten efter första kolonnen)

) ( 24 2 2 6 ) 2 (

0 2 6 2

)

( a b c d cd a b

d d b c

a+ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ = +

Svar: 24cd(a+b)

Rättningsmall: 1p avdrag, om man inte ange utfärda radoperationer.

Avdrag för slarvfel, räknefel och teckenfel.