Något om Integraler och Mathematica

Något om Integraler och Mathematica

Bertil Nilsson 2021-08-15



1

1 x ¹² x tan ¹  ^{2 x 2}

2 

6 2

tan ¹  ^{2 x 2}

2 

6 2

 1 3  tan ¹  ^{4 x 6 2}

2  1 3   12 2

1 3  tan ¹  ^{4 x 6 2}

2 1 3   12 2

1 3  tan ¹  ^{4 x 6 2}

2 1 3   12 2

 1 3  tan ¹  ^{4 x 6 2}

2  1 3   12 2

1

24 2  1 3  log 2 x ² 6 x 2 x 2

1

24 2 1 3  log 2 x ² 6 x 2 x 2

log x ² 2 x 1

12 2

logx ² 2 x 1

12 2 1

24 2  1 3  log2 x ² 6 x 2 x 2

1

24 2 1 3  log2 x ² 6 x 2 x 2

ť Förord

På följande sidor presenteras en elementär “streetwise guide” till integraler med flitig användning av Mathematica. Framställningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteck- ningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och typiska exempel ges.

ť Primitiv funktion

Om F ' x f x för alla x i ett intervall I, säger vi att F x är en primitiv funktion till f x i intervallet I. Exempelvis har funktionen x den primitiva funktionen ¹₂x². En annan är ¹₂x² 7 eller mer allmänt ¹₂x² C, där C betecknar en godtycklig konstant. Detta inses genom att derivera “baklänges”, därför kallas på engelska den primitiva funktionen för “the antiderivative of f x ”.

Så om vi har hittat en primitiv funktion F x till f x så skiljer sig alla andra primitiva funktioner från denna enbart med en konstant.

OmF x är enprimitiv funktiontill f x i intervallet I, så gäller attF ' x f x och varje annan primitiv funktion till f x kan skrivasF x C, där C betecknar en godtycklig konstant.

Uttrycket F x C kallas denobestämda integralentill f x och betecknas f x x. Alltså

f x x F x C

där kallasintegraltecken. x kallasmåttet.

f x kallasintegranden. F x kallasprimitiva funktionen, sådan att F ' x f x. x kallasintegrationsvariabel. C kallasintegrationskonstanten.

Exempel: Genom att snegla på tabellen för standardderivator har vi exempelvis att x² x ¹₃x³ C, ^x x ^x C och sin x x cos x C.

Om f x är en kontinuerlig funktion har vi speciellt följande att vila oss mot. Observera att detta bara talar om existensen, inget om hur den faktiskt ser ut eller hur man ska “räkna ut den”.

Huvudsatsen för primitiva funktioner. Om f x är kontinuerlig i intervallet I, så har f x primitiva funktioner i detta intervall.

Om F x är en av dem, så kan varje annan primitiv funktion skrivas F x C, där C är en godtycklig konstant.

ť Bestämd integral

Främsta argumentet för integralens införande är att få ett sätt att mäta arean A av en plan figur. Vi tänker oss att denna plana figur är innesluten mellan kurvan y f x , x–axeln och linjerna x a och x b, det vill säga vi har situationen enligt figuren till höger.

a b x

y

y f x

Antag att en f x är kontinuerlig i intervallet I och att a och b är punkter inne i detta intervall. Strategin är nu att dela in intervallet a, b i mindre delområden, en så kallad partition, a x0 x1 xn b, se nedan. Mellan två på varandra följande tal har vi intervallet xk xk 1, xk. I dessa intervall bestämmer vi sedan funktionens extremvärde, mk min

x x_k f x respektive Mk max

x x_k f x .

a x0 x1 x2 xn 2 xn 1 xn b x y

y f x

a x0 xk 1 xk xk xn b x

Mk

mk

y

a x0 xk 1 xk xk xn b x

Mk

mk

y

I varje delområde bestämmer vi nu en undertäckande rektangel med arean Uk mk xk, där xk är längden av intervallet xk, och en övertäckande rektangel med arean Ök Mk xk. Om vi kallar den sökta arean för Anhar vi följande naturliga olikhet

U _{k 1}ⁿ Uk k 1n mk xk An k 1n Mk xk k 1n Ök Ö

Om vi nu gör en förfining av partitionen så att n

max xk 0 Ö U 0,

så har vi genom gränsövergång vid instängning att

An A U Ö

och säger att arean A ärmätbaroch att f ärintegrerbar i Riemanns mening Bernhard Riemann 1826 1866 .

a b x

y

Över- respektive undersumma i ändlig form ovan, exempelvis U _{k 1}ⁿ U_{k k 1}ⁿ m_k x_k, kallar vi för Riemannsumma. Denna kommer till flitig användning vid modellering.

Med den bestämda integralen av f x från a till b, betecknad _a^bf x x menas då talet A. Man säger ofta att detta är “arean under y f x mellan a och b” istället för det lite mer omständiga, “arean av det område som begränsas av kurvan y f x , x-axeln och linjerna x a och x b”. Strax får vi nytta av

Integralkalkylens medelvärdessats. Om f är kontinuerlig i intervallet a, b så finns en punkt Ξ a, b så att

a

bf x x f Ξ b a .

Den geometriska innebörden av denna sats är att arean av rektangeln f Ξ b a är lika stor som _a^bf x x, eller “ f Ξ är det djup vi får när stormen lagt sig och ankdammen ligger spegelblank”. Låt m min

x a,b f x och M max

x a,b f x så har vi

y f x

a Ξ b x

m f Ξ

M y

a

bm x _a^bf x x _a^bM x Självklar olikhet m b a _a^bf x x M b a Dividera med b a m _{b a a}^{1 b}f x x M Låt talet K _{b a a}^{1 b}f x x m K M

Men f är kontinuerlig och antar därför enligt satsen om mellanliggande värden alla värden i m, M och speciellt då K. Alltså finns ettΞ a, b så att f Ξ K _{b a a}^{1 b}f x x, vilket är satsens innebörd.

Kopplingen mellan bestämd integral och primitiv funktion till integranden utreds i

Analysens huvudsats. Om f är kontinuerlig i intervallet a x b så är F x _a^xf t t en primitiv funktion till f, det vill säga F ' x f x .

Geometrisk betyder F x arean under f x i a, x . Vi får

y f x

F x

a x b t

y

F x h F x h

1

h_a^{x h}f t t _a^xf t t Differenskvoten

F x h F x h

1 h x

x hf t t Medelvärdessatsen,Ξ x, x h

F x h F x h

1

hf Ξ x h x f Ξ Låt nu h 0 F ' x och Ξ x

F ' x f x Färdig

Därmed har vi _a^bf x x F b F a . För skillnaden F b F a används symbolen F x _a^b, kallad insättningstecken. Vi sammanfattar

Denbestämda integralenav f x från a till b

a

b f x x F x _a ^b F b F a

där

kallasintegraltecken. x kallasintegrationsvariabel.

a kallasundre integrationsgränsen. x kallasmåttet.

b kallasövre integrationsgränsen. F x _a^bkallasinsättningstecken.

f x kallasintegranden.

Observera att F b F a inte beror på vilken primitiv funktion vi väljer. Är nämligen F och F1 båda primitiva funktioner till f så är F1x F x C och

F1b F1a F b C F a C F b F a Notera

Den obestämda integralen f x x är en funktion.

Den bestämda integralen _a^bf x x är ett tal helt bestämt av integranden f x och integrationsgränserna.

I Riemannsumman får vi en konkret bild av integralens beståndsdelar lim

n n

k 1

a b

mk



f x

xk x

a bf x x.

Av Riemansumman inser vi att mk xk ska uppfattas som en produkt, varför _{f x}¹ x ofta skrivs kompaktare som _{f x}^x . Vägen till den bestämda integralen går via den obestämda, ty _a^bf x x  f x x_a^b F x _a^b F b F a .

Den bestämda integralen är helt oberoende av namnet på integrationsvariabeln

a

bf x x _a^bf y y _a^bf ö ö _a^bf .

Vi sammanfattar den bestämda integralens välkända geometriska innebörd.

Om f x 0 och f x är kontinuerlig i intervallet a, b , så är _a^bf x x lika med arean av det område som begränsas av kurvan y f x , x-axeln och linjerna x a och x b. Detta kan generaliseras till ett byte av x-axeln mot en funktion g x f x i a, b .

a b x y

y f x

a bf x x

a b x

y

y f x

y g x

a

bf x g x x

Lika välkänt bör det vara att _a^bf x x beräknar arean med tecken. Positiv om f x 0 och negativ om f x 0.

Så skilj noga på _a^bf x x och den målade arean som kan behövas inför en resa till färghandeln!

x y

y f x

Inte så sällan har man nytta av att derivera en bestämd integral med avseende på integrationsvariabeln. Å inte nog med det, även integrationsgränserna behagar ibland också vara funktioner av samma variabel. Då är det onödigt att först bestämma den primitiva funktionen, det kanske inte ens är möjligt, utan vi utnyttjar bara existensen av en sådan om integranden är kontinuerlig. Vi får

x_{g x}^{h x} f x x _xF x _{g x}^{h x} _x F h x F g x F ' h x h' x F ' g x g ' x f h x h' x f g x g ' x Ibland har man nytta av följande om kontinuerliga funktioner

Generaliserade medelvärdessatsen. Om g x 0 i a, b finns ett tal Ξ a, b så att _a^bf x g x x f Ξ _a^bg x x.

Triangelolikheten för integraler. _a^bf x x _a^b f x x.

ť Enkla integrationsregler och standardintegraler

Liksom vid derivering används metoden med att “söndra och härska”. Strategin som ska följas är att systematiskt tillämpa integrationsregler som återför integralerna till vissa standardintegraler (SI). Vi sammanfattar dessa.

Integrationsregler, Standardintegraler

k konstant, f och g integrerbara i I, a, b, c I SI k f x x k f x x

a

bk f x x k _a^bf x x f x g x x f x x g x x

a

bf x g x x _a^bf x x _a^bg x x

a

bf x x _a^cf x x _c^bf x x

a

bf x x _b^af x x

a

bk x k b a

f x f x x C

x^Α _Α¹₁x^{Α 1},Α 1

1

x ln x

x x

sin x cos x

cos x sin x

1

1 x² arctan x

Exempel: så vi får anledning att titta på tabellerna med regler och (SI) igen

2 t t 2 t^{1 2} t _{1 2 1}² t^{1 2 1} C ⁴₃t^{3 2} C ⁴₃t t C 2cos x x 2 cos x x 2sin x C

0

1t t t ₀¹t^{1 1 2} t ₀¹t^{3 2} t _{3 2 1}¹ t^{3 2 1}

0

1 2

51^{5 2} 0^{5 2} ²_{5 1}^{5 1}_x x ln x ₁⁵ ln 5 ln 1 ln 5

0

cx² c² x ₃¹x³ c²x₀^c ₃¹c³ c²c 0 0 ²₃c³ ₀^{1 x} x ^x₀^{1 1 0} 1

Jämfört med att derivera, som är rätt fram med givna regler och standardderivator, bjuder integration väsentligt mer motstånd och har ofta karaktären av knep och knåp. En nödvändighet när man integrerar för hand är att man måste ha deriverat så mycket att man känner igen strukturer och standardderivator “baklänges”, samt har ett rejält uppslagsverk med standardintegraler och diverse tricks till hands. Dessa standardverk med tusentals standardintegraler och en uppsjö av arbetskrävande trick har plågat generationer av ingenjörer. Titta gärna i en gammal lärobok, eller ny för den delen också, exempelvis PB! Men nu är det nya tider

Att lära en dator att derivera är förhållandevis mycket enkelt, medan integrationsalgoritmer ständigt kräver resultat från den senaste forskningen inom matematik. Mathematica ligger i absolut topp bland CAS (computer algebra systems) och klarar i princip av att bestämma en primitiv funktion om det är möjligt. Det hela är mycket lättanvänt, antingen direkt via palette , eller på funktionsform Integrate[f,x] och Integrate[f,{x,a,b}], vilka naturligtvis döljer sig bakom de mer smakfulla grafiska varianterna. Funktionsformerna har dock fördelen att man i vanlig ordning kan lägga till Options om man behöver skedmata med hjälpande information om integrand och gränser som inte går att lista ut från formuleringen. Enda tillägget man behöver göra själv vid obestämd integral är att lägga till C, om man nu i praktiken är intresserad av detta.

Exempel: ₁²x² 1 x ¹₃x³ x₁² ¹₃2³ 2 ¹₃1³ 1 ¹⁰₃. Mathematica vill ha () om integranden är f x g x .



1 2

x² 1 x 10

3

Som sagt, C får man lägga till själv om så önskas

 x² 1 x x³

3 x

Vi har tidigare lärt oss att sammansättningen av två kontinuerliga funktioner är en ny kontinuerlig funktion och för sådana existerar en primitiv funktion. Problemet är att det är bara en mycket liten mängd av alla sådana som kan skrivas ned med hjälp av våra elementära funktioner. När det går bra brukar man kalla integralen elementär annars icke elementär. Naturligtvis finns det gott om tillämpningar där icke elementära bestämda integraler dyker upp, då får man nöja sig med en numerisk lösning, exempelvis har vi

a x² x som är mycket vanlig i statistik. I Mathematica finns NIntegrate[f,{x,a,b}] för numerisk integration. I princip används en Riemannsumma, där partitionen förfinas på ett fiffigt sätt tills önskad noggrannhet uppnåtts.

Exempel: Vid konstruktion av kameralinser drabbas man av Fresnels integraler Ci s ₀^scos t² t och Si s ₀^ssin t² t.

Integranderna är som synes en sammansättning av de snälla kontinuerliga funktionerna g x x² och f x cos x respektive f x sin x , men den kontinuerliga sammansättningen f g x resulterar i en icke elementär integral. En annan tillämpning är av- och påfartsramper till motorvägar. Om s är den körda sträckan så kommer x, y Ci s , Si s att vara positionen på rampen. Denna lussekattsformade kurva (av vilken man använder sig av den inledande biten ;-) brukar av väg- och vatteningenjörer kallas för en klotoid. Eftersom dessa integraler är så vanliga finns de definierade i Mathematica på ett ur datorsynpunkt effektivt sätt. Så här har vi en normaliserad avfartsramp och var vi befinner oss på kartan efter att ha kört 0.75 längdenheter längs vägen.

0.2 0.4 0.6 0.8 x 0.1

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 y

s 0.75

För sådana här integraler måste vi i det allmänna fallet göra en numerisk integration, även om Mathematica är duktig nog att härleda många vanligt förekommande fall till lite mer raffinerade standardintegraler.



0 1

Sint² t N Π

2 S 2

Π

0.310268

NIntegrateSint², t, 0, 1  0.310268

Exempel: Låt f vara den styckvis konstanta funktionen i figuren och beräkna ⁴₄ f x 3 x.

4 3 2 1 1 2 3 4 x

3 2 1 1 2 3 4 f x

Lösningsförslag: Integration av styckvis konstant funktion. Dela upp integrationsområdet i lämpliga bitar enligt styckvisheten så har vi _a^bk x k b a i varje intervall. Nu är det bara att räkna på.

4

4 f x 3 x ⁴₄f x x 3 ⁴₄ x ⁴₄f x x 3 x⁴₄ ⁴₄f x x 3 4 4 ⁴₄f x x 24

1 3 4 2 1 3 3 2 1 4 4 2 24 1 4 9 8 24 22



4 4

1 x 3

2 x 1

3 x 2

4 x 4

3 x

22

Exempel: Bestäm ₀^2Πcos x x och den målade arean som innesluts mellan kurvan y cos x , x-axeln och de två linjerna x 0 och x 2Π.

Lösningsförslag:Situationen återges i figuren

1 2 3 4 5 6 x

1 1 y

y cos x

Vi får den bestämda integralen ₀^2Πcos x x sin x ₀^2Π sin 2Π sin 0 0 0 0.



0 2 Π

Cos x x 0

Den målade arean blir däremot ₀^2Πcos x x. Det finns ingen direkt metod att integrera absolutbeloppsfunktionen, utan denna måste lösas ut med hjälp av sin definition z z om z 0

z om z 0. Om vi då har teckenväxling i integrationsintervallet måste detta styckas upp på motsvarande sätt. Så är fallet här, cos x byter tecken både vid ^Π₂ och ³₂^Π enligt figur ovan, varför

0

2Πcos x x ₀^Π2cos x x _Π³₂^Π2 cos x x ₃²_Π^Π₂cos x x

sin x ₀^Π2 sin x _Π^3Π₂² sin x ₃²_Π^Π₂ 1 0 1 1 0 1 1 2 1 4.

Naturligtvis tar Mathematica hand om situationen på ett korrekt sätt



0 2 Π

Abs Cos x x 4

Exempel: Sök den målade arean som innesluts mellan kurvorna y x², y ¹₂x och linjen x 1 i första kvadranten.

Lösningsförslag: Vi har situationen Plotx², x

2

, x, 0, 1 , Filling 1 2 , FillingStyle Green,

AxesLabel "x", "y" , Epilog Text"y x²", 0.8, 0.8 , Text "y x 2", 0.8, 0.3 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 y

y x²

y x 2

Kurvorna skär varandra vid x ¹₂, så den målade arean blir

₀^{1 2}¹₂x x² x _{1 2}¹ x² ₂¹x x ¹₄x^{2 1}₃x³₀^{1 2} ¹₃x^{3 1}₄x²_{1 2}¹ ₁₆¹ ₂₄¹ 0 ¹₃ ¹₄ ₂₄¹ ₁₆¹ ¹₈.



0 1

Abs

1

2 x x² x 1

8

Återigen, rita figur så problemställningen blir tydlig. En direkt förväxling med integral ger ett av de två felaktiga svaren



0 1 1

2

x x² x, 

0 1

x² 1 2

x x

 1 12, 1

12^

ť Partiell integration

Enligt regeln för derivering av en produkt har vi

x f x g x f ' x g x f x g ' x Integrera nu båda sidor med avseende på x

x f x g x x f ' x g x x f x g ' x x

I vänsterledet kan vi “förkorta bort” måttet x och kvar blir f x g x  C f x g x C så f x g x C f ' x g x x f x g ' x x

Om vi bakar in integrationskonstanten C i någon av de två integrationskonstanterna som genereras av de obestämda integralerna på högersidan och stuvar om termer så har vi partiell integration.

f x g ' x x f x g x f ' x g x x Partiell integration. Obestämd form.

a

bf x g ' x x f x g x _a^b _a^bf ' x g x x Partiell integration. Bestämd form.

Det handlar alltså om ett litet trick när integranden är en produkt. Genom att flytta “sparven” från g till f så är önskemålet att inte- gralen på högersidan ska bli enklare än den på vänstersidan. Vi tar det typiska exemplet

Exempel: Bestäm xln x x.

Lösningsförslag: Partiell integration (vad annars?). Det gäller bara att välja rätt g och f! Om vi tycker att integralen blir svårare kan man ju alltid prova tvärtom, eller så är det inte partiell integration som är medicinen

xln x x Vi provar med att derivera ihjäl ln x , så välj g ' x x och f x ln x

1 2x²

g x

ln x

f x



1 2x²

g x 1

x f ' x

x ¹₂x²ln x ¹₂x x ¹₂x²ln x ¹₄x² C

Naturligtvis känner Mathematica till partiell integration

 x Log x x 1

2x²log x x² 4

Exempel: Bestäm ₀^Πx²sin x x.

Lösningsförslag: Partiell integration...

0

Πx²sin x x Välj f x x²och g ' x sin x x² cos x ₀^Π ₀^Π2x cos x x x² cos x ₀^Π 2₀^Πxcos x x å igen med f x x, g ' x cos x x² cos x ^Π₀ 2xsin x ₀^Π ₀^Πsin x x

x² cos x ₀^Π 2 xsin x ₀^Π cos x ₀^Π 2 x²cos x 2xsin x₀^Π

2 Π²cosΠ 2ΠsinΠ  2 0²cos 0 2 0 sin 0 2 Π² 1 0 2 1 0 Π² 4 Eller med lite mindre möda

 x²Sin x x 2 x sin x x² 2cos x



0 Π

x²Sin x x Π² 4

ť Variabelsubstitution

Om vi drar oss till minnes kedjeregeln vid derivering och kör detta baklänges får vi integration genom variabelsubstitution f g x g ' x x f u u med u g x . Om nämligen F är en primitiv funktion till f har vi

x F g x F ' g x g ' x f g x g ' x Med u g x f g x g ' x x F g x C F u C f u u Vi sammanfattar i en

Kokbok för variabelsubstitution

a

bf g x g ' x x

1. Välj substitution u g x

2. Byt mått, derivera substitutionen implicit; ^u_{x x} g x u g ' x x 3. Om bestämd integral, så byt gränser ub g b

ua g a

ua

u_b

f u u

Exempel: Bestäm ₀^Π4cos 2x x.

Lösningsförslag: Variabelsubstitution (vad annars?). Vi tar fram kokboken.

0

Π4cos 2x x

1. Välj substitution u g x 2x

2. Byt mått, ^u_{x x} g x ^u_x 2 x ¹₂ u 3. Om bestämd integral, så byt gränser ub g^Π₄ ^Π₂

ua g 0 0

0

Π2cos u ¹₂ u ¹₂ sin u ₀^{Π2 1}₂

Med Mathematica är det bara att skedmata som vanligt



0 Π 4

Cos 2 x x 1

2

Exempel: Bestäm ₀¹arctan x x.

Lösningsförslag: Först partiell integration, g ' x 1 g x x

f x arctan x f ' x _{1 x}¹₂ ⁰

1arctan x x xarctan x ₀¹ ₀^{1 x}_{1 x2} x.

I sista integralen får vi ta till variabelsubstitution. Fram mé kokboken

0 1 x

1 x² x

1. Välj substitution u g x 1 x²

2. Byt mått, ^u_{x x} g x ^u_x 2x x _2x^u 3. Om bestämd integral, så byt gränser ub g 1 2

ua g 0 1

1 2 x

u u 2x

1 2 1

2 1

u u ¹₂ ln u ₁^{2 1}₂ln 2

Varav slutligen

0

1arctan x x xarctan x ₀¹ ₀^{1 x}_{1 x2} x ^Π₄ 0 ¹₂ln 2 ₄^{Π 2}₄ln 2 ^Π₄ ¹₄ln2² ¹₄ Π ln 4



0 1

ArcTan x x 1

4 ^Π log 4 Exempel: Bestäm ₂^{4 1}

x x 1 x.

Lösningsförslag: Visst, variabelsubstitution. Vad skulle vi göra utan kokboken

2

4 1

x x 1 x

1. Välj substitution u g x x 1 x 1 0 x 1 u² 2. Byt mått, ^u_{x x} g x ^u_{x 2 x 1}¹ x 2u u

3. Om bestämd integral, så byt gränser ub g 4 3 ua g 2 1

1

3 1

1 u²u2u u

2₁ ³_{1 u}¹₂ u 2 arctan u ₁³ 2^Π₃ ^Π₄ ^Π₆



2

4 1

x x 1 x

Π 6

Exempel: Bestäm arean av en cirkel med radien R.

Lösningsförslag: På grund av dubbel symmetri räcker det att studera en fjärdedel av tårtan och förväntar oss alltså svaret ¹₄ΠR².

R R

R R

x y

R x

R y

y R² x²

x x x R x

R y

y R² x²

y x

Åkalla cirkelns ekvation x x02 y y02 R². Vi väljer naturligtvis att placera dess centrum i origo, så x0 y0 0. Låt nu blicken svepa från vänster till höger över figurerna, det vill säga approximera kvartscirkelns area underifrån med många smala rektanglar och studera sedan en i mängden vid x. Denna har arean A höjd bas y x x. Dividera båda sidor med x, ^A_x y x och låt x 0 så har vi ^A_x y x A y x x. Sedan är det bara att lägga samman alla de små areorna A ₀^AA ₀^Ry x x

0

Ry x x ₀^R R² x² x. Nu väntar variabelsubstitution!

0

R R² x² x

1. Välj substitution x R sinΘ 2. Byt mått, x R cosΘ Θ

3. Byt gränser x 0 0 R sinΘ Θ 0 x R R R sinΘ Θ ^Π₂

0

Π2 R² R²sin²Θ R cosΘ Θ Trig. ettan

R² ₀^Π2cosΘ cosΘ Θ Θ 0, ₂^Π cosΘ 0 R²₀^Π2cos²Θ Θ

Dubbla vinkeln, cos 2Θ cos²Θ sin²Θ Trig. ettan cos²Θ 1 cos²Θ cos 2Θ 2cos²Θ 1 cos²Θ ¹₂ 1 cos 2Θ

1

2R²₀^Π21 cos 2Θ Θ ₂¹R²Θ ¹₂sin 2Θ ₀^{Π2 1}₂R²^Π₂ ¹₂ 0 0 ¹₂ 0 ¹₄ΠR²



0 R

R² x² x PowerExpand Med lite mindre möda

ΠR² 4

ť Dubbel- och trippelintegral

Vi har tidigare stiftat bekantskap med funktioner som har flera oberoende variabler och en beroende variabel. På samma sätt som vid analys i en variabel är man även i dessa fall intresserad av hur funktionen beter sig i närheten av en punkt. Därför introducerades begreppet partiell derivata. Om man vill kan man se derivata som en lokal operation och integral som en global operation, det vill säga beräkning av exempelvis area, volym och massa för ett område. Följaktligen vill man utvidga integralbegreppet för en enkelinte- gral, _a^bf x x, till att gälla för funktioner med flera oberoende variabler och en beroende variabel. Antag att vi har en funktion z f x, y : ² och vill ge mening åt dubbelintegralen f x, y x y.

Resan följer i allt väsentligt den för framtagning av bestämd enkelintegral, repetera gärna denna och se figurerna nedan. Vi börjar med att täcka över integrationsområdet med ett rektangulärt rutnät och låter partitionen vara de små ytstyckena med arean

A x y som genereras av rutnätet. Om vi finner att n st av dessa rutor ligger i så kommer ruta nr k att innehålla punkten x_k, y_k och ha den lilla rektangulära arean Ak xk yk. Tillsammans med funktionsvärdet f x_k, y_k definieras så en smal pelare med volymen f x_k, y_k Ak.

Om vi utgår från att f är snäll kan vi göra proceduren kort med hjälp av en Riemannsumma. Gör ett allt finare rutnät och se till att den största rutans area går mot noll så har vi att

Dubbelintegralen f x, y x y lim

n

max A_k 0k 1

n f x_k, y_k Ak kan tolkas som volymen under funktionsytan f x, y

då x, y genomlöper . Speciellt har vi med f x, y 1 att x y arean av .

På grund av denna konstruktion är det inte så märkligt att de enkla integrationsreglerna vi känner sedan tidigare ärvs över.

Integrationssregler,

k f x, y x y k f x, y x y k konstant

f x, y g x, y x y f x, y x y g x, y x y

f x, y x y

1

f x, y x y

2

f x, y x y

k x y k arean

För att ha “en chans” att beräkna f x, y x y analytiskt krävs att integrationsområdet är vänligt sinnat i den meningen att dess utseende gör att vi kan beräkna f x, y x y som två enkelintegraler. Vi väljer att behandla två sådana utseenden under separata rubriker. Men först en kort notis om att dubbelintegralen utvidgas naturligt till polära koordinater, se de två figurerna till vänster, samt till trippelintegral i den högra figuren.

Dubbelintegral i polära koordinater Trippelintegral

Α Β

r₁Θ

r₂Θ f r,Θ r r Θ f x, y, x x y z

där lilla arean A båglängd radieökning r Θ r r r Θ där lilla volymen V x y z

del av ananasring A ₂^Θ

ΠΠr r² r² Θr r1 _{2 r}^r A r Θ r Rektangulärt integrationsområde _

Med detta menar vi ett rektangulärt område parallellt med xy-axlarna a, b c, d , se figurerna nedan.

Med skivformeln har vi att volymen enligt den vänstra figuren är V f x, y x y _c^dA y y _c^d_a^bf x, y x y men också enligt den högra figuren V f x, y x y _a^bA x x _a^b_c^df x, y y x.

Så vi kan tydligen vid rektangulärt reducera beräkningen av dubbelintegralen till beräkning av två enkelintegraler. Man brukar tala om den yttre och den inre integralen. Vid beräkning av den inre integralen betraktar man den yttre integralens integrationsvari- abel som konstant (jämför partiell derivering). Slutligen noterar vi att det är oberoende i vilken ordning vi behandlar integralerna

f x, y x y _c^d_a^bf x, y x y _a^b_c^df x, y y x vid rektangulärt a, b c, d .

I Mathematica är det bara att starta med att trycka på integrationspaketet i paletten å en gång till med markören ställd i integrandrutan.

Exempel: Bestäm arean av den rektangel som har sidorna a och b.

Lösningsförslag: Meka in rektangeln i första kvadranten så att dess sidor blir parallella med x-axeln respektive y-axeln. Efter en liten kalkyl har vi den välkända arean. Förtydliga gärna gränserna vid insättningstecknet med vilken variabel det faktiskt är som man ska göra insättningen i, exempelvis xy y_{x 0}^{x a}. Denna enkla bokhållning eliminerar många “tryckfel” vid handräkning !

A ₀^b₀^a x y ₀^bx _{x 0}^{x a} y ₀^ba 0 y a₀^b y a y _{y 0}^{y b} a b 0 ab



0 b



0 a

x y a b

Exempel: Bestäm ²₃₀¹xy² 2 x y.

Lösningsförslag: Vi söker tydligen volymen under z f x, y xy² 2, 0, 1 3, 2 . Vi börjar väl med en liten bild Plot3Dx y² 2, x, 0, 1 , y, 3, 2 , AxesLabel "x", "y", "z" 

Håll ordning på vilken integrationsvariabel “som gäller” för tillfället så får vi följande lilla kalkyl.

V ²₃₀¹xy² 2 x y ²₃¹₂x²y² 2x_{x 0}^{x 1} y ²₃¹₂1²y² 2 1 ¹₂0²y² 2 0 y

3 2 1

2y² 2 y ¹₆y³ 2 y_y^{y 2}₃ ¹₆2³ 2 2 ¹₆ 3³ 2 3  ⁹⁵₆ Undrar ängsligt om det blir samma svar om vi byter ordning på integralerna

V ₀^{1 2}₃xy² 2 y x ₀¹¹₃xy³ 2 y^{y 2}_{y 3} x ₀¹¹₃x 2³ 2 2 ¹₃x 3³ 2 3 x

01 35

3 x 10 x ³⁵₆x² 10x_{x 0}^{x 1} ³⁵₆1² 10 1 ³⁵₆0² 10 0 ⁹⁵₆ Så bra, nu återstår bara att låta Mathematica få sista ordet



3 2



0 1

x y² 2 x y, 

0 1



3 2

x y² 2 y x

95 6,95

6 ^

Exempel: Bestäm volymen under den flygande mattan z f x, y cos x sin y , 0, 2Π 0, 2Π. Lösningsförslag: Vi börjar väl som vanligt med en liten bild

Plot3D Cos x Sin y , x, 0, 2 Π , y, 0, 2 Π , AxesLabel "x", "y", "z"

Håll ordning på vilken integrationsvariabel “som gäller” för tillfället så får vi följande lilla kalkyl.

V ₀^2Π₀^2Πcos x sin y x y ₀^2Πsin x xsin y _{x 0}^{x 2Π} y ₀^2Π sin 2Π 2Π sin y sin 0 0 sin y y 2Π ₀^2Πsin y y 2Π cos y _{y 0}^{y 2Π} 2Πcos 2Π cos 0 0

Undrar vad Mathematica säger i ärendet



0 2 Π



0 2 Π

Cos x Sin y x y 0

Icke-rektangulärt integrationsområde _

Med detta menar vi att vi “släpper i väg” en av integrationsriktningarna till att få ha funktioner som undre och övre integrations- gränser, se figurerna nedan.

I fallet med de två vänstra figurerna har vi f x, y x y _a^b_g

1x g₂x

f x, y y x

och analogt med ett enligt den högra figuren.

f x, y x y _c^d_h

1y h₂y

f x, y x y

Notera i dessa fall att den inre integralen måste beräknas först eftersom dess gränser är funktioner av den yttre integralens integrationsvariabel!

Exempel: Bestäm arean av den triangel som begränsas av x-axeln och linjerna y ¹₂x och x 6.

Lösningsförslag: Vi börjar väl med en liten bild . Plot

1

2x , x, 0, 6 , Filling Axis, FillingStyle Orange, AxesLabel "x", "y" 

1 2 3 4 5 6 x

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 y

Eftersom vi söker arean är f x, y 1. Vidare har vi funktioner som integrationsgränser i y-riktningen, så nu är det bara att välja rätt formel ovan. Håll slutligen ordning på vilken integrationsvariabel “som gäller” för tillfället så får vi följande lilla kalkyl.

A _a^b_g

1x

g₂x f x, y y x ₀⁶₀^{x 2} y x ₀⁶ y _{y 0}^{y x 2} x ₀⁶¹₂x 0 x ¹₄x²^{x 6}_{x 0} ¹₄6² 0² 9 Ser ju bra ut, eftersom vi vet att A ¹₂ bas höjd ¹₂6 3 9. Men Mathematica då



0 6



0 x 2

y x 9