Diskret representation av kontinuerliga signaler

Kapitel 6

Diskret representation av kontinuerliga signaler

I digital signalbehandling ¨ar det vanligt att en kontinuerlig signal representeras i form av en diskret sekvens, t.ex. f¨or att ¨overf¨oras eller lagras i digital form, s˚asom i digital telekommunikation och digitala audiotill¨ampningar. Vid dylika till¨ampningar ¨ar det viktigt att exakt k¨anna till vilka komponenter av en kontinuerlig signal kan represen- teras i form av en diskret sekvens, samt hur och under vilka villkor den kontinuerliga signalen kan rekonstrueras fr˚an den diskreta.

Det ¨ar l¨att att inse att varje kontinuerlig signal ej kan representeras med hj¨alp av en diskret sekvens, d˚a antalet punkter i en kontinuerlig funktion x_a(t) ju ¨ar mycket st¨orre

¨an antalet v¨arden i en diskret sekvens {x_d(n)}. I allm¨anhet g˚ar d¨arf¨or en viss m¨angd av informationen i den kontinuerliga signalen f¨orlorad vid ¨overg˚ang till en diskret rep- resentation. Det anm¨arkningsv¨arda ¨ar att det g˚ar att exakt karakterisera de funktioner x_a(t) som kan representeras med hj¨alp av en diskret sekvens {x_d(n)}. Dessutom kan en s˚adan funktion x_a(t) rekonstrueras exakt fr˚an sekvensen {x_d(n)}. Dessa viktiga resultat g˚ar i litteraturen under ben¨amningen samplingsteoremet.

6.1 Sampling av signaler och aliaseffekten

F¨or att klarg¨ora sambandet mellan kontinuerliga och diskreta signalrepresentationer studerar vi f¨oljande grundl¨aggande situation. Vi betraktar en kontinuerlig signal x_a(t).

Denna ”samplas” vid tidpunkterna {nT_s}, s˚a att man f˚ar den diskreta sekvensen {xa(nTs)} = {. . . , xa(−2Ts), xa(−Ts), xa(0), xa(Ts), xa(2Ts), . . .} (6.1) Tiden T_skallas samplingstid eller samplingsperiod. Samplingsfrekvensen (i Hz) definieras som

f_s = 1

T_s (6.2)

och samplingsfrekvensen angiven som en vinkelfrekvens ¨ar ω_s= 2πf_s = 2π

T_s (6.3)

Man kan naturligtvis t¨anka sig ett mera komplicerat samband mellan den kontinuerliga och diskreta signalen ¨an den i ekvation (6.1). Det visar sig emellertid att det ¨ar tillr¨ackligt att studera diskretiseringen enligt (6.1) f¨or att utreda sambandet mellan kontinuerliga och diskreta signalrepresentationer.

Analysen av f¨orh˚allandet mellan kontinuerliga och diskreta signaler g¨ors bekv¨amast i frekvensplanet. F¨or att ge en insikt i problematiken skall vi f¨orst betrakta ett enkelt exempel med en sinusformad signal.

Exempel 6.1.

Betrakta en sinusformad signal x₀(t) med vinkelfrekvensen ω₀,

x₀(t) = sin(ω₀t) (6.4)

Antag att signalen samplas med samplingsperioden T_s, varvid man f˚ar den diskreta sekvensen {x0(nTs)},

x0(nTs) = sin(ω0Tsn) (6.5)

Om man ur den samplade sekvensen {x₀(nT_s)} entydigt kunde best¨amma sinusfunk- tionens amplitud och frekvens ω₀ s˚a skulle den kontinuerliga signalen x₀(t) kunna rekonstrueras ur den samplade sekvensen. Detta ¨ar emellertid inte m¨ojligt, eftersom det fr˚an sinusfunktionens periodicitet f¨oljer att

x₀(nT_s) = sin(ω₀T_sn)

= sin(ω₀2π ω_sn)

= sin(ω₀2π

ω_sn + 2πln)

= sin(2π(ω0+ ωsl) ω_s n)

= sin((ω₀+ ω_sl)T_sn), alla heltal l (6.6) Detta inneb¨ar att signalerna x_l(t) = sin((ω₀ + ω_sl)t) ger samma diskreta sekvens, {xl(nTs)} = {x0(nTs)} f¨or alla heltalsv¨arden l. Sinusfunktioner med vinkelfrekvenserna ω_l = ω₀+ ω_sl, l = 0, ±1, ±2, . . . (6.7) kan s˚aledes inte urskiljas fr˚an varandra efter sampling. Situationen illustreras i det mellersta diagrammet i figur 6.1.

Vinkelfrekvenserna ω_l = ω₀ + ω_sl (motsvarande frekvenserna f_l = f₀+ f_sl) kallas aliasfrekvenser till frekvensen ω₀ (respektive f₀) i avseende ˚a samplingsfrekvensen

ωs, eftersom de alla f¨orefaller identiska efter sampling. Fenomenet i vilket ett antal frekvenser hos den kontinuerliga signalen blir identiska efter diskretisering kallas alias- effekten (eng. aliasing).

Enligt ovan skulle det b¨asta man kan g¨ora efter sampling vara att beskriva en kontinuerlig signal inom ett frekvensband av bredden ω_s. Situationen ¨ar emellertid t.o.m. ¨annu n˚agot s¨amre ¨an s˚a; i kapitel 3 s˚ag vi att spektret f¨or negativa frekvenser ej var oberoende av v¨ardet f¨or positiva frekvenser. Speciellt g¨aller f¨or reella signaler sam- bandet X(−ω) = X^∗(ω). Frekvensen ω i intervallet [ω_s/2, ω_s] har en aliasfrekvens ω−ω_s i intervallet [−ω_s/2, 0]. Det f¨oljer att signaler med frekvenser i intervallet [ω_s/2, ω_s] efter sampling ej kan urskiljas fr˚an signaler med frekvenser i intervallet [0, ω_s/2], s˚asom ¨aven f¨oljande exempel visar.

Figur 6.1: Sampling av sinusformade signaler med samplingsfrekvensen ω_s. ¨Overst: sampling av l˚agfrekvent signal sin(ω₀t) med ω₀ = ω_s/4. Mitten: sampling av signalen sin(ω₁t) ger ekvivalent samplad signal d˚a ω₁= ω₀+ ω_s¨ar aliasfrekvens till ω₀ (jfr exempel 6.1). Nederst:

sampling av signalen sin(ω_ft − π) ger ekvivalent samplad signal d˚a ω_f = ω_s − ω₀ ¨ar den frekvens som viks in till frekvensen ω₀ (jfr exempel 6.2).

Exempel 6.2.

Betrakta en periodisk signal med vinkelfrekvensen ω₀ och fasen φ,

x(t) = cos(ω₀t + φ) (6.8)

Antag att signalen samplas med samplingsfrekvensen ωs = 2π/Ts, s˚a att ω0 ¨ar i inter- vallet (ω_s/2, ω_s), dvs ω_s/2 < ω₀ < ω_s. H¨arvid f˚as den diskreta sekvensen {x(nT_s)},

x(nTs) = cos(ω0nTs+ φ) = cos(ω0

2π

ω_sn + φ) (6.9)

Betrakta sedan en annan signal x_f(t) med frekvensen ω_f = ω_s− ω₀ och fasen −φ,

x_f(t) = cos(ω_ft − φ) (6.10)

Tydligen g¨aller 0 < ωf < ωs/2. Sampling av signalen xf(t) ger sekvensen x_f(nT_s) = cos(ω_fnT_s− φ)

= cos(ωf2π

ω_sn − φ)

= cos(ω_f2π ωs

n − φ − 2πn)

= cos((ωf − ωs)2π

ω_s n − φ)

= cos(−(ω_f − ω_s)2π ωs

n + φ) [j¨amn funktion]

= cos(ω₀2π

ω_sn + φ) [ω₀ = ω_s− ω_f]

= x(nT_s) (6.11)

H¨ar har vi utnyttjat dels aliasegenskapen fr˚an Exempel 6.1 samt det faktum att cosinus

¨ar en j¨amn funktion; cos(−θ) = cos(θ). Ekvationen (6.11) inneb¨ar att de diskreta sekvenserna {x(nTs)} och {xf(nTs)} ej kan urskiljas fr˚an varandra. Frekvensvikning illustreras i det nedersta diagrammet i figur 6.1.

Exempel 6.2 visar att f¨or varje periodisk signal x(t) med en frekvens ω₀ i intervallet [ω_s/2, ω_s] existerar en annan periodisk signal x_f(t) med frekvensen ω_f = ω_s−ω₀ i inter- vallet [0, ω_s/2] s˚a att de samplade sekvenserna {x(nT_s)} och {x_f(nT_s)} ¨ar ekvivalenta, och signalerna kan allts˚a ej urskiljas efter sampling. Man s¨ager att frekvensen ω₀ fr˚an intervallet [ω_s/2, ω_s] ”viks” in till frekvensen ω_f i intervallet [0, ω_s/2] (frekvensvikning, eng. frequency folding), ty frekvenserna ω_f och ω₀befinner sig symmetriskt i f¨orh˚allande till ω_s/2 (ω₀ − ω_s/2 = ω_s/2 − ω_f). Frekvensvikning h¨anger ihop med aliaseffekten, ty frekvensen ω₀ = −ω_f + ω_s ¨ar en aliasfrekvens till frekvensen −ω_f, som i praktiken ej kan urskiljas fr˚an frekvensen ω_f.

F¨or att undvika aliaseffekten och frekvensvikning b¨or en signal samplas med till- r¨ackligt h¨og frekvens. Om man vet att frekvensen ω0 hos en sinusformad signal x(t)

¨ar mindre ¨an ωmax, s˚a b¨or samplingsfrekvensen v¨aljas s˚a att ωmax < ωs/2, dvs den skall satisfiera ωs > 2ωmax, f¨or att frekvensen hos x(t) skall kunna best¨ammas entydigt ur den samplade sekvensen {x(nT_s)}. Halva samplingsfrekvensen ω_N = ω_s/2 ¨ar k¨and

som Nyquist-frekvensen (efter Harry Nyquist (1889–1976), svensk-amerikansk ingenj¨or,

¨aven k¨and f¨or fundamentala bidrag inom klassisk reglerteori).

Det ¨ar ofta av intresse att best¨amma den till absoluta beloppet minsta alias- frekvensen ω₀ till en given frekvens ω. Denna ¨ar alltid i intervallet −ω_N < ω₀ ≤ ω_N. Det ¨ar enkelt att visa, att ω₀ ges av formeln

ω0 = (ω + ωN) mod (ωs) − ωN, om ω > ωN (6.12) d¨ar a mod b anger resten vid division av a med b.

Det finns flera viktiga praktiska till¨ampningar d¨ar det ¨ar viktigt att beakta alias- effekten och frekvensvikning. Ett exempel ¨ar digitala audiotill¨ampningar. I CD- spelare anv¨ands samplingsfrekvensen 44.1 kHz f¨or lagring av den digitala audiosignalen.

Nyquistfrekvensen ¨ar s˚aledes 22.05 kHz, vilket ¨ar n˚agot ¨over 20 kHz, som ¨ar den ¨ovre gr¨ansen f¨or frekvenser som m¨anniskan uppfattar.

Problem 6.1.

Figur 6.2 visar sampling och rekonstruktionen av n˚agra sinusformade signaler. Best¨am de rekonstruerade signalernas frekvenser.

Exempel 6.3.

Ett vardagsexempel p˚a aliasfenomenet kan man se p˚a en film som visar ett roterande k¨arrhjul eller liknande. Den ursprungligen tidskontinuerliga periodiska rotationen rep- resenteras h¨ar som en diskret bildsekvens (ca 20 bilder per sekund) (figur 6.3). N¨ar man ser p˚a filmen uppfattas rotationen som kontinuerlig med en frekvens som motsvarar den till absoluta beloppet minsta aliasfrekvensen.

Intressant ¨ar att ett liknande fenomen kan observeras med bara ¨ogon genom att titta snett p˚a ett roterande hjul. Detta beror p˚a att nervimpulserna fr˚an syncellerna i synf¨altets perifera delar s¨ands l˚angsammare ¨an vad hj¨arnans kapacitet f¨oruts¨atter. Den bristande informationen kompletteras h¨arvid i hj¨arnan genom rekonstruktion, vilket kan leda till rekonstruktion som uppvisar aliasfrekvenser.

6.2 Shannons samplingsteorem

Resultaten i avsnitt 6.1 kan generaliseras till generella, icke-periodiska signaler. Analy- sen ger ocks˚a en generell formel f¨or hur en samplad kontinuerlig signal kan rekonstrueras fr˚an den samplade sekvensen.

Vi skall betrakta en kontinuerlig signal x_a(t) med Fouriertransformen X_a(ω) defin- erad av ekvation (3.61). Signalen samplas med samplingstiden T_s. Vi skall best¨amma Fouriertransformen X_s(ω) hos den samplade sekvensen {x_a(nT_s)}.

Observera f¨orst att d˚a en sinusfunktion sin(ωt) samplas vid tidpunkterna {nT_s} = {. . . , −2T_s, −T_s, 0, T_s, 2T_s} f˚as den diskreta signalen {sin(ωT_sn)}. Enligt exempel 6.1 ger sinusfunktioner med frekvensen ω och dess aliasfrekvenser ω+ω_sl upphov till samma diskreta sekvens (ekvation (6.6)). En frekvensutveckling av den samplade signalen

(a) (b)

(c) (d)

Figur 6.2: Sampling och rekonstruktion av sinusformade signaler. De heldragna kurvorna anger ursrunglig signal och de streckade kurvorna anger motsvarande rekonstruerad signal.

{x_a(nT_s)} best˚ar d¨arf¨or av frekvenser begr¨ansade till intervallet [−ω_s/2, ω_s/2]. Frek- vensutvecklingen av sekvensen {x_a(nT_s)} kan i analogi med ekvationerna (4.24) och (4.23) skrivas

x_a(T_sn) = T_s 2π

Z _ωs/2

−ωs/2X_s(ω)e^jωTsndω (6.13) d¨ar Fouriertransformen X_s(ω) ges av

X_s(ω) =

X∞ n=−∞

x_a(T_sn)e^−jωTsn (6.14) Observera att de tidigare formlerna (4.24) och (4.23) f¨or Fouriertransformen av en diskret sekvens ¨ar ett specialfall av (6.13), (6.14) med samplingstiden Ts = 1 och ω_s= 2π/T_s = 2π.

Figur 6.3: Exempel p˚a aliasing vid filmning av roterande hjul.

˚A andra sidan har den kontinuerliga signalen x_a(t) Fouriertransformrepresentatio- nen i enlighet med (3.60), (3.61),

x_a(t) = 1 2π

Z _∞

−∞X_a(ω)e^jωtdω (6.15)

d¨ar

Xa(ω) =

Z _∞

−∞xa(t)e^−jωtdt (6.16)

Representationen (6.15) ger f¨or x_a(T_sn), x_a(T_sn) = 1

2π

Z _∞

−∞X_a(ω)e^jωTsndω, n = 0, ±1, ±2, . . . (6.17) Genom att dela upp integralen i intervall av bredden ω_s, [ω_sl − ω_s/2, ω_sl + ω_s/2], l = . . . , −1, 0, 1, . . ., kan vi skriva (6.17) i formen

x_a(T_sn) = 1 2π

Z _ωs/2

−ωs/2

X∞ l=−∞

X_a(ω + ω_sl)e^{j(ω+ωsl)Tsn}dω (6.18) Fr˚an periodiciteten hos exponentialfunktionen f¨oljer

e^{j(ω+ωsl)Tsn}= e^{j(ωTsn+ωsTsln)} = e^{j(ωTsn+2πln)} = e^jωTsn, l = 0, ±1, ±2, . . . och (6.18) kan skrivas

x_a(T_sn) = 1 2π

Z _ωs/2

−ωs/2

X∞

l=−∞

X_a(ω + ω_sl)e^{j(ω+ωsl)Tsn}dω

= T_s 2π

Z _ωs/2

−ωs/2

1 Ts

h X^∞

l=−∞

X_a(ω + ω_sl)ⁱe^jωTsndω

= T_s 2π

Z _ωs/2

−ωs/2Xs(ω)e^jωTsndω (6.19) d¨ar vi introducerat

X_s(ω) = 1 Ts

X∞

l=−∞

X_a(ω + ω_sl) (6.20)

Ekvationerna (6.13), (6.19) och (6.20) visar, att sambandet mellan den kontinuerliga signalens x_a(t) och den samplade sekvensens {x_a(T_sn)} Fouriertransformer X_a(ω) och X_s(ω) ges av ekvation (6.20).

Ekvation (6.20) ¨ar den kvantitativa formuleringen av aliasfenomenet uttryckt med hj¨alp av signalernas Fouriertransformer. Sambandet mellan X_a(ω) och X_s(ω) visar explicit hur alla aliasfrekvenserna {ω+ω_sl} bidrar till den samplade signalens spektrum.

Faktorn 1/T_s = f_s = ω_s/(2π) beh¨ovs f¨or att kompensera f¨or att samplingsperioden ¨ar olikt ett.

Sambandet (6.20) ger ocks˚a en insikt i m¨ojligheterna att rekonstruera den kontin- uerliga signalen x_a(t) fr˚an den samplade sekvensen {x_a(T_sn)}. Observera att sekvensen {xa(Tsn)} definierar entydigt spektret Xs(ω) och vice versa, och p˚a samma s¨att definie- rar spektret Xa(ω) entydigt signalen xa(t) och vice versa. Det f¨oljer att rekonstruktion

¨ar m¨ojlig om och endast om spektret Xa(ω) p˚a ett entydigt s¨att kan ber¨aknas fr˚an X_s(ω). Sambandet (6.20) mellan de kontinuerliga och diskreta signalernas spektra visar exakt n¨ar detta ¨ar m¨ojligt. Om X_a(ω) ¨ar olikt noll inom ett frekvensomr˚ade

−ω_max ≤ ω ≤ ω_max f¨or vilken ω_max > ω_s/2, ¨ar rekonstruktion inte m¨ojlig, eftersom det inte g˚ar att best¨amma hur stor andel av X_s(ω) h¨arstammar fr˚an de olika alias- frekvenserna. F¨or en bandbegr¨ansad signal x_a(t) d¨aremot, f¨or vilken X_a(ω) f¨orsvinner f¨or alla |ω| ≥ ω_s/2, s˚a kan X_a(ω) best¨ammas p˚a ett entydigt s¨att fr˚an X_s(ω), och rekonstruktion blir m¨ojlig. Situationen illustreras i figurerna 6.4 och 6.5. Resultatet kan kvantitativt sammanfattas i det sk. samplingsteoremet.

0 X_a(ω)

ω_max

−ω_max

0 ω_s/2 ω_s

−ω_s

X_a(ω+ω_sl)

0 ω_s/2

−ω_s/2

X_s(ω)

Figur 6.4: Spektret X_a(ω) hos en kontinuerlig signal (¨overst), komponenterna X_a(ω + ω_sl) (i mitten), samt den diskreta signalens spektrum X_s(ω) (nederst). Villkoret ω_max < ω_s/2 g¨aller och ingen aliasing f˚as. Rekonstruktion ¨ar s˚aledes m¨ojlig.

Shannons samplingsteorem.

En kontinuerlig signal x_a(t) vars Fouriertransform X_a(ω) f¨orsvinner f¨or |ω| ≥ ω_max, kan entydigt rekonstrueras fr˚an den samplade sekvensen {x_a(T_sn)} om samplings-

0 X_a(ω)

ω_max

−ω_max

0 ω_s/2 ω_s

−ω_s

X_a(ω+ω_sl)

0 ω_s/2

−ω_s/2

X_s(ω)

Figur 6.5: Spektret X_a(ω) hos en kontinuerlig signal (¨overst), komponenterna X_a(ω + ω_sl) (i mitten), samt den diskreta signalens spektrum X_s(ω) (nederst). H¨ar ¨ar ω_max> ω_s/2 och aliasing f˚as. Rekonstruktion ¨ar s˚aledes inte m¨ojlig.

frekvensen satisfierar ω_s > 2ω_max. Den kontinuerliga signalen ges d˚a av interpola- tionsformeln

x_a(t) =

X∞ n=−∞

x_a(nT_s) sin(ω_s(t − nT_s)/2)

ωs(t − nTs)/2 (6.21)

Samplingsteoremet ¨ar ett klassiskt resultat inom signalteori, som h¨arleddes ˚ar 1949 av Claude Shannon (”Communication in the Presence of Noise,” Proceedings of the Insti- tute of Radio Engineers, vol. 37, ss. 10–21). Shannon ¨ar mest k¨and f¨or fundamentala arbeten inom informationsteori och kodning, vilka ligger som grund f¨or den moderna informationsteorin.

Rekonstruktionsformeln (6.21) kallas Shannons rekonstruktionsformel. Den kan enkelt h¨arledas med hj¨alp av signalernas Fouriertransformer. Principen illustreras i figur 6.6. Vi skall f¨or fullst¨andighetens skull presentera en h¨arledning av formeln (6.21) nedan.

H¨arledning av Shannons rekonstruktionsformel (6.21).

Antagandet att signalen x_a(t) ¨ar bandbegr¨ansad, s˚a att X_a(ω) = 0 f¨or |ω| ≥ ω_max, och ωmax < ωs/2 implicerar att inga aliasfrekvenser ger bidrag till summan i (6.20), och sambandet reduceras till

X_s(ω) = 1

T_sX_a(ω), |ω| < ω_s/2 (6.22) Den kontinuerliga signalens spektrum X_a(ω) kan d˚a entydigt ber¨aknas ur den diskreta

-

¾

?

{x_a(nT_s)}

x_a(t)

X_s(ω)

X_a(ω) (6.14)

(6.15)

(6.20) (6.23) (6.21)

?

Figur 6.6: Rekonstruktion av bandbegr¨ansad kontinuerlig signal fr˚an samplad sekvens via Fouriertransformerna.

sekvensens spektrum X_s(ω) enligt X_a(ω) =

½T_s X_s(ω), |ω| < ω_s/2

0, |ω| ≥ ω_s/2 (6.23)

˚A andra sidan ges signalen xa(t) av (6.15), s˚a att x_a(t) = 1

2π

Z _∞

−∞X_a(ω)e^jωtdω

= 1

2π

Z _ωs/2

−ωs/2X_a(ω)e^jωtdω

= T_s 2π

Z _ωs/2

−ωs/2Xs(ω)e^jωtdω

= T_s 2π

Z _ωs/2

−ωs/2

h X^∞

n=−∞

x_a(T_sn)e^−jωTsnie^jωtdω [(6.14)]

= T_s 2π

X∞ n=−∞

x_a(T_sn)

Z _ωs/2

−ωs/2e^jω(t−Tsn)dω (6.24)

H¨ar ¨ar

Z _ωs/2

−ωs/2e^jω(t−Tsn)dω = e^jω(t−Tsn) j(t − T_sn)

¯¯

¯¯

¯

ωs/2

ω=−ωs/2

= 1

j(t − T_sn)

he^{j(t−Tsn)ωs/2}− e^{−j(t−Tsn)ωs/2i}

= 2

t − T_sn sin((t − T_sn)ω_s/2) (6.25) Ins¨attning i (6.24) och beaktande av att ωs = 2π/Ts ger

x_a(t) = T_s 2π

X∞ n=−∞

x_a(T_sn) 2

t − Tsn sin((t − T_sn)ω_s/2)

=

X∞ n=−∞

x_a(T_sn) sin((t − T_sn)ω_s/2)

ωs(t − Tsn)/2 (6.26)

x_a ^- F _x ^-

f A/D ^-

xd

Figur 6.7: Analog-till-digital omvandling.

vilket ¨ar (6.21).

6.3 Praktisk analog-till digital och digital-till-analog omvan- dling

Samplingsteoremet ger den teoretiska grunden f¨or vad som ¨ar m¨ojligt vid diskret rep- resentation av en analog signal, och hur den analoga signalen kan rekonstrueras fr˚an den diskreta sekvensen. I praktiken realiseras signalomvandlingarna med hj¨alp av filter av ¨andlig ordning samt A/D- och D/A-omvandlare, som har en ¨andlig resolution.

6.3.1 Praktisk analog-till-digital omvandling

Fr˚an samplingsteoremet vet vi att d˚a en kontinuerlig signal samplas, s˚a ger frekvenser som ¨ar h¨ogre ¨an halva samplingsfrekvensen upphov till en aliaseffekt. I praktiken inneh˚aller kontinuerliga signaler s.g.s. alltid h¨ogfrekventa komponenter. F¨or att und- vika aliaseffekten b¨or dessa filtreras bort f¨ore sampling. Detta ˚astadkommas genom att inf¨ora ett l˚agpassfilter f¨ore A/D-omvandlaren enligt figur 6.7. Filtret F kallas antialias-filter.

Antag att signalen x_a(t) har spektret X_a(ω). Filtret F i figur 6.7 p˚averkar frekvens- komponenterna i den analoga signalen x_a enligt

X_f(ω) = F (jω)X_a(ω) (6.27)

d¨ar F (s) anger ¨overf¨oringsoperatorn hos filtret F , och X_f(ω) ¨ar spektret hos den filtrerade signalen xf(t).

Ett l˚agpassfilter karakteriseras av ett l˚agfrekvent passband |ω| ≤ ω1, d¨ar F (jω) ≈ 1, och ett h¨ogfrekvent sp¨arrband ω ≥ ω₂, d¨ar |F (jω)| << 1. Intervallet ω₁ < ω < ω₂ utg¨or ett ¨overg˚angsband mellan passband och sp¨arrband. F¨or att undvika aliaseffekten b¨or filtret F v¨aljas s˚a att frekvenser som ¨ar h¨ogre ¨an halva samplingsfrekvensen finns i sp¨arrbandet, dvs ω₂ < ω_s/2. De frekvenskomponenter som man ¨onskar bevara i den diskreta signalrepresentationen b¨or befinna sig i passbandet.

D¨ampningen av frekvensen ω enligt (6.27) ges av f¨orh˚allandet

|X_f(ω)|

|X_a(ω)| = |F (jω)| (6.28)

Filterf¨orst¨arkningar och f¨orh˚allandet mellan signalers storlek brukar anges i en speciell logaritmisk skala som kallas decibel (dB). F¨orst¨arkningen |F (jω)| i (6.28) angiven i deci- bel ¨ar 20 log(|F (jω)|) decibel. Faktorn 20 kommer fr˚an det faktum, att 20 log(|F (jω)|) = 10 log(|F (jω)|²). Fr˚an avsnitt 3.3.1 har vi att en signals energi vid en frekvens ¨ar pro- portionell mot spektrets kvadrat vid frekvensen. En decibel ¨ar allts˚a 10 ggr logaritmen av energin. En decibel ¨ar en tiondedel av log(|F (jω)|²), som ej ov¨antat kallas bel, och som f˚att sitt namn efter Alexander Graham Bell (1847–1922).

Det analoga l˚agpassfiltret b¨or implementeras i form av en elektronisk krets och konstrueras i praktiken vanligen med hj¨alp av standardkomponenter. En vanlig typ av l˚agpassfilter ¨ar Butterworth-filtren. Ett Butterworth-filter B_n(s) av ordningen n ¨ar konstruerad s˚a att dess frekvensf¨orst¨arkning ¨ar

|B_n(jω)| =

"

1 1 + (ω/ω_c)²ⁿ

#_1/2

(6.29) H¨ar anger ω_c filtrets bandbredd, och ¨ar en frekvens mitt i ¨overg˚angsbandet, s˚a att

|B_n(jω_c)| = 1/√

2. Ju h¨ogre filterordningen n ¨ar, desto brantare ¨overg˚ang mellan passbandet och sp¨arrbandet f˚as. Filtrets bandbredd anges ofta i Hz; f_c = ω_c/(2π).

Formeln f¨or filtrets f¨orst¨arkning kan d˚a uttryckas som

|B_n(jω)| =

"

1 1 + (f /f_c)²ⁿ

#_1/2

, d¨ar f = ω

2π (6.30)

Figurerna 6.8 och 6.9 visar f¨orst¨arkningen hos Butterworth filter i linj¨ar respektive logaritmisk skala.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Figur 6.8: F¨orst¨arkning hos Butterworth filter med n = 1, 2, 4 och 8.

Vid specifikationen av antialias-filtret ¨ar det ocks˚a ¨andam˚alsenligt att beakta res- olutionen vid A/D-omvandlingen. I praktiken konstrueras filtret s˚aledes s˚a, att det d¨ampar frekvenser ovanf¨or Nyquistfrekvensen ω_s/2 till en niv˚a som inte p˚averkar A/D- omvandlaren. Detta ¨ar fallet om det kan garanteras att frekvenserna d¨ampas till en niv˚a som understiger kvantiseringsbruset i A/D-omvandlaren.

10⁻¹ 10⁰ 10¹

−80

−60

−40

−20 0

Figur 6.9: F¨orst¨arkning hos Butterworth filter med n = 1, 2, 4 och 8 i logaritmisk skala (dB).

Kvantiseringsfelet vid A/D-omvandling kan best¨ammas p˚a f¨oljande s¨att. Vid digital representation kan signalv¨ardena ej anta vilka realtalsv¨arden som helst, utan avrundas till en av 2^B niv˚aer, som beror av antalet bin¨ara siffror som anv¨ands vid representatio- nen. Detta introducerar ett kvantiseringsfel e. Om V anger hela talomr˚adet som skall representeras, s˚a ges avst˚andet q mellan kvantiseringsniv˚aerna av

q = V /(2^B− 1) ≈ V /2^B (6.31)

Om man antar att det analoga signalv¨ardet avrundas till n¨armaste kvantiseringsniv˚a

¨ar det maximala kvantiseringsfelet ±q/2. En skattning av den genomsnittliga storleken hos kvantiseringsfelet kan best¨ammas genom att anta att det ¨ar likformigt f¨ordelat i intervallet [−q/2, q/2]. Det har d˚a en konstant sannolikhetst¨athetsfunktion P (e) = q⁻¹, v¨antev¨ardet noll, och variansen ges av

σ_e² =

Z _q/2

−q/2e²P (e)de = 1 q

Z _q/2

−q/2e²de

= 1 q

e³ 3

¯¯

¯¯

¯

q/2 e=−q/2

= 1 3q

"

q³

8 −^³−q³ 8

´#

= q²

12 (6.32)

Exempel 6.4.

Betrakta ett system f¨or analog-till-digital omvandling med samplingsfrekvensen 100 kHz. Det kr¨avs att felet p˚a grund av aliasfenomenet ¨ar h¨ogst 2% av signalniv˚an. Man anv¨ander ett Butterworth filter av f¨orsta ordningen, och ¨onskar best¨amma l¨amplig bandbredd f¨or filtret.

Det g¨aller allts˚a att best¨amma l¨ampligt v¨arde f¨or frekvensen ωc i ekvation (6.29) f¨or Butterworth-filtrets f¨orst¨arkning. Kravet att felet p˚a grund av aliasfenomenet skall vara h¨ogst 2% av signalniv˚an motsvarar enligt (6.28),

|Xf(ω)|

|X_a(ω)| = |B_n(jω)| < 0.02, alla ω > ω_N

I detta fall ¨ar Nyquistfrekvensen ωN = ¹₂ · 2π100 · 10³ = 10⁵π (rad/s). Kravet uppfylls av ett Butterworth filter av f¨orsta ordningen om frekvensen ωc v¨aljs s˚a att

"

1 1 + (ω/ω_c)²

#_1/2

< 0.02 g¨aller f¨or alla ω > ω_N. Detta ¨ar fallet om

"

1 1 + (ωN/ωc)²

#_1/2

=

"

1 1 + (10⁵π/ωc)²

#_1/2

< 0.02 som ger ω_c= 2π · 10³, eller f_c = 1.0 kHz.

Problem 6.2.

Best¨am l¨ampligt v¨arde f¨or frekvensen ω_c om man anv¨ander ett Butterworth-filter av fj¨arde ordning i exempel 6.4.

Exempel 6.5.

Betrakta problemet att best¨amma l¨amplig samplingsfrekvens och antialias-filter d˚a man anv¨ander en 12 bitars A/D-omvandlare, och det intressanta frekvensbandet som man ¨onskar representera i den digitala signalen best˚ar av frekvenser mellan 0 och 4 kHz.

F¨or att aliaseffekten ej skall p˚averka diskretiseringen skall antialias-filtret d¨ampa frekvenser som ger upphov till aliaseffekt till en niv˚a som motsvarar kvantiseringsfelets storlek. Kvantiseringsfelets storlek ¨ar maximalt q/2, d¨ar q = V /(2^B− 1) ≈ V /2^B, och V anger insignalens maximala amplitud. Om vi betraktar kvantiseringsfelet statistiskt som ett brus, s˚a ¨ar dess genomsnittliga storlek enligt (6.32) σ_e = q/√

12 = q/(2√ 3).

F¨or att garantera att en signal av maximal storlek V d¨ampas till en niv˚a som motsvarar kvantiseringsfelets storlek b¨or frekvenserna i sp¨arrbandet d¨ampas minst med faktorn V /σ_e≈√

3 × 2^B+1. I detta exempel antogs B = 12, och vi har s˚aledes kravet

|X_f(ω)|

|X_a(ω)| ≤ 1

√3 × 2^B+1

¯¯

¯¯

¯B=12

= 1

14189 = −83 dB

Antialias-filtret b¨or s˚aledes satisfiera |F (jω)| ≤ 1/14189 f¨or alla ω ≥ ω_s/2. Om vi som antialias-filter v¨aljer ett Butterworth filter, s˚a f˚ar vi villkoret

"

1 1 + (f /fc)²ⁿ

#_1/2

≤ 1

14189, f ≥ f_s/2

Om vi v¨aljer fc = 4 kHz (motsvarande den h¨ogsta frekvens som skall representeras) och filterordningen n = 6 (ett vanligt anv¨ant Butterworth filter) f˚as

"

1 1 + (f /4)¹²

#_1/2

= 1

14189 vid f ≈ 20 kHz

Det f¨oljer att samplingsfrekvensen skall vara minst f_s= 2 × 20 kHz = 40 kHz.

Vi skall till slut ¨aven uppskatta aliasfelet vid 4 kHz. Det st¨orsta bidraget till aliasfelet vid denna frekvens h¨arstammar fr˚an aliasfrekvensen f_s− 4 kHz, allts˚a den frekvens i intervallet (f_s/2, f_s), som genom frekvensvikning blandas med frekvensen 4 kHz, j¨amf¨or avsnitt 6.1. Frekvensen f_s− 4 kHz = 36 kHz d¨ampas med faktorn

"

1 1 + (36/4)¹²

#_1/2

= 1.88 × 10⁻⁶

D˚a en signal vid fc = 4 kHz av Butterworth filtret d¨ampas med faktorn 1/√ 2,

¨ar f¨orh˚allandet mellan aliasfelet och signalniv˚an vid 4 kHz approximativt (1.88 × 10⁻⁶)/(1/√

2) = 2.7 × 10⁻⁶.

6.3.2 Praktisk digital-till-analog omvandling

Shannons rekonstruktionsformel (6.21) definierar den ideala rekonstruktionsformeln, som exakt rekonstruerar en bandbegr¨ansad signal. Formeln ¨ar emellertid fr¨amst av teoretiskt intresse, och ¨ar inte speciellt anv¨andbar i praktiken. En begr¨ansning hos (6.21) ¨ar att xa(t) ¨ar en funktion av alla sampel xa(Tsn), −∞ < n < ∞. Formeln l¨ampar sig d¨arf¨or i allm¨anhet inte f¨or realtidstill¨ampningar, eftersom ber¨akning av xa(t) kr¨aver kunskap om (alla) framtida sampelv¨arden xa(Tsn), med Tsn > t. En annan egenskap som begr¨ansar anv¨andningen av (6.21) ¨ar det faktum att vikterna sin((t − T_sn)ω_s/2)/(ω_s(t − T_sn)/2) konvergerar r¨att l˚angsamt mot noll d˚a |t − T_sn|

v¨axer, vilket medf¨or att m˚anga termer b¨or medtas f¨or att approximera summan i (6.21) noggrant. Vid digitala implementeringar har den ideala rekonstruktionsformeln dock funnit praktiska till¨ampningar, j¨amf¨or nedan.

P˚a grund av dessa orsaker anv¨ands i praktiken rekonstruktionsmetoder som ¨ar en- klare att implementera. Den ideala rekonstruktionsformeln (6.21) ger en insikt i hur en s˚adan metod skall konstrueras. Man kan enkelt visa att signalen x_a(t) enligt (6.21) ges som utsignalen fr˚an ett idealt l˚agpassfilter, vars insignal ¨ar sekvensen {x_a(T_sn)}.

Det ideala l˚agpassfiltret har f¨orst¨arkningen 1 f¨or |ω| ≤ ω_s/2 och f¨orst¨arkningen 0 f¨or

|ω| > ωs/2. Ett s¨att att approximera den ideala rekonstruktionsformeln ¨ar d¨arf¨or att anv¨anda ett reellt, icke-idealt, analogt l˚agpassfilter H med en l¨ampligt vald bandbredd ωb < ωs/2. J¨amf¨or figur 6.10.

Ett reellt filter har alltid ett ¨overg˚angsband mellan passbandet, d¨ar f¨orst¨arkningen

¨ar ungef¨ar 1, och sp¨arrbandet, d¨ar f¨orst¨arkningen ¨ar liten. Ju smalare ¨overg˚angs- bandet ¨ar, desto h¨ogre krav st¨alls p˚a det analoga filtret. Vid rekonstruktion av en bandbegr¨ansad signal med bandbredden ω_max b¨or ω_max befinna sig i filtrets passband,

x_d - D/A ^-

x H x^-_a

Figur 6.10: Digital-till-analog omvandling.

f¨or att alla frekvenser hos signalen skall f˚as med, medan Nyquistfrekvensen ω_N = ω_s/2 b¨or befinna sig i filtrets sp¨arrband, f¨or att undvika aliasfrekvenser. Ju mindre skill- naden ω_N − ω_max ¨ar, desto h¨ogre krav st¨alls s˚aledes p˚a rekonstruktionsfiltret. Det

¨ar av denna orsak som signalen i en CD-spelare ¨oversamplas med fyrfaldig frekvens 4 × f_s = 4 × 44.1 kHz f¨ore D/A omvandling. ¨Oversamplingen l¨amnar ω_max of¨or¨andrad, men fyrdubblar ω_s/2. Detta g¨or den maximalt till˚atna bredden hos det analoga filtrets

¨overg˚angsband betydligt st¨orre, vilket medger mera realistiska filterspecifikationer f¨or det analoga rekonstruktionsfiltret. I den ¨oversamplade signalen b¨or de mellanliggande signalv¨ardena {xa(Tsn+Ts/4)}, {xa(Tsn+2Ts/4)} och {xa(Tsn+3Ts/4)} rekonstrueras fr˚an sekvensen {x_a(T_sn)}, men d˚a detta kan g¨oras digitalt utg¨or strikta filterspecifika- tioner inget problem. I CD-teknik rekonstrueras de tre mellanliggande signalv¨ardena med hj¨alp av den ideala rekonstruktionsformeln (6.21). CD-spelaren anv¨ander s˚aledes ocks˚a ”framtida” signalv¨arden. Det analoga filtret som rekonstruerar den kontinuerliga signalen b¨or d¨aremot implementeras i form av h˚ardvara med hj¨alp av elektroniska kret- sar.

Valet av l˚agpassfiltret H efter D/A-omvandlaren beror av funktionen hos D/A- omvandlaren. En vanlig typ av D/A-omvandlare producerar en styckevis konstant utsignal enligt

x(t) = xd(nTs), nTs≤ t < nTs+ Ts (6.33) Detta slags element kallas f¨or nollte ordningens h˚allkrets (eng. zero-order hold; ZOH), eftersom signalen x(t) mellan samplingstidpunkterna kan uppfattas som utsignalen fr˚an ett nollte ordningens system. Spektret hos den kontinuerliga utsignalen fr˚an en nollte ordningens h˚allkrets f˚as enligt definitionen,

X(ω) =

Z _∞

−∞x(t)e^−jωtdt =

X∞ n=−∞

xd(nTs)

Z _nTs+Ts

nTs

e^−jωtdt (6.34) H¨ar ges integralen av

Z _nTs+Ts

nTs

e^−jωtdt =

Z _Ts

0 e^{−jω(t0+nTs)}dt⁰ [t⁰ = t − nT_s]

= e^−jωnTs

Z _Ts

0 e^−jωt0dt⁰

= e^−jωnTs 1 (−jω)

he^−jωTs − 1ⁱ

= e^−jωnTs 1

jωe^−jωTs/2he^jωTs/2− e^−jωTs/2i

= e^−jωnTse^−jωTs/2 T_s sin(ωT_s/2) ωT_s/2

= e^−jωnTs · T_s· ZOH(ω) (6.35)

d¨ar vi inf¨ort beteckningen

ZOH(ω) = e^−jωTs/2 sin(ωTs/2)

ωT_s/2 (6.36)

Ins¨attning i (6.34) ger

X(ω) = T_s

X∞ n=−∞

x_d(nT_s)e^−jωnTs· ZOH(ω) (6.37) H¨ar observerar vi i enlighet med (6.14) att spektret X_d(ω) hos den diskreta sekvensen {x(nTs)} ¨ar

Xd(ω) =

X∞ n=−∞

xd(nTs)e^−jωnTs (6.38)

s˚a att (6.37) kan skrivas som

X(ω) = ZOH(ω) · Ts· Xd(ω) (6.39) Denna ekvation ger spektret hos den kontinuerliga utsignalen fr˚an en nollte ordnin- gens h˚allfunktion som funktion av den diskreta sekvensens spektrum. Faktorn T_s = 2π/ω_s kompenserar f¨or det faktum att det diskreta spektret X_d(ω) definierats f¨or en sekvens som samplats med perioden T_s, och den har motsvarande funktion som faktorn 1/Ts som f¨orekommer i ekvation (6.20). Ekvation (6.39) definierar spektret hos den kontinuerliga utsignalen x(t) fr˚an en nollte ordningens h˚allfunktion f¨or alla frekvenser. Observera att det diskreta spektret Xd(ω) ¨ar periodiskt med perioden ωs; X_d(ω + ω_sl) = X_d(ω) (j¨amf¨or t.ex. ekvation (6.38)). Spektret X(ω) best˚ar s˚aledes av alla aliasfrekvenser till frekvenserna hos den diskreta signalen. Dessutom viktas de olika frekvenserna med faktorn ZOH(ω), som karakteriserar h˚allfunktionens dynamik.

Figur 6.11 illustrerar den diskreta signalen {x(nT_s)}, den kontinuerliga signalen x(t) fr˚an h˚allkretsen, samt spektren i ekvation (6.39).

Funktionen ZOH(ω) ¨ar densamma som f¨orekom i exempel 3.5. Vi s˚ag tidigare att funktionen inneh˚aller en betydande m¨angd h¨ogfrekventa komponenter (j¨amf¨or anm¨arkning 3.4), som b¨or filtreras bort f¨or att ej ge upphov till icke-¨onskade sidoeffekter i den rekon- struerade analoga signalen.

F¨or att korrekt rekonstruera den analoga signalen filtreras x(t) enligt figur 6.10.

Den analoga signalen xa(t) i figur 6.10 har spektret

X_a(ω) = H(jω) · ZOH(ω) · T_s· X_d(ω) (6.40)

nTs xd(nT

s)

0 ω_s 2ω_s

Xd(ω)

x(t)

t 0 ω_s 2ω_s

|ZOH(ω)|

X(ω)

Figur 6.11: Signalerna {x(nT_s)} och x(t) samt frekvensfunktionerna i ekvation (6.39).

Enligt sambandet (6.20) eller (6.23) ¨ar vid ideal rekonstruktion X_a(ω) = T_s · X_d(ω) f¨or frekvenser ω < ω_s/2 och X_a(ω) = 0 f¨or h¨ogre frekvenser. Valet av l˚agpassfiltret H kan g¨oras p˚a basen av ekvation (6.40) s˚a att ideal rekonstruktion approximeras till en specificerad noggrannhet.

Exempel 6.6.

Betrakta rekonstruktionen av en analog audiosignal enligt figur 6.10 med en nollte ordningens h˚allfunktion. Signalen ¨ar bandbegr¨ansad med bandbredden 20 kHz. Sam- plingsfrekvensen ¨ar 176.4 kHz. Det kr¨avs att aliasfrekvenser d¨ampas med minst 50 dB och de intressanta signalkomponenterna f˚ar ¨andras med maximalt 0.5 dB.

Figur 6.12 illustrerar det diskreta spektret X_d(ω) samt faktorn |ZOH(ω)| fr˚an nollte ordningens h˚allfunktion. Enligt (6.39) d¨ampar nollte ordningens h˚allfunktion frekvenser vid 20 kHz med faktorn

|ZOH(ω)| = sin(ωT_s/2)

ωT_s/2 = 0.9790 = −0.184 dB vid ω = 2π × 20 · 10³

Den totala d¨ampningen av produkten av nollte ordningens h˚allfunktion och filtret H ges av |H(jω) · ZOH(ω)| = |H(jω)| · |ZOH(ω)|. Fr˚an den logaritmiska definitionen av decibelskalan f¨oljer att den totala d¨ampningen i decibel helt enkelt ¨ar summan av de enskilda d¨ampningarna angivna i decibel,

20 log(|H(jω) · ZOH(ω)|) = 20 log(|ZOH(ω)|) + 20 log(|H(jω)|) (dB)

Det f¨oljer s˚aledes fr˚an specifikationerna att filtret H f˚ar ha maximalt en d¨ampning motsvarande 0.5 − 0.184 = 0.316 dB vid 20 kHz. Med andra ord skall filtrets H f¨orst¨arkning vid 20 kHz satisfiera olikheten 20 log(|H(jω)|) ≥ −0.316 dB.

Eftersom signalen ¨ar bandbegr¨ansad f¨orsvinner det diskreta spektret Xd(ω) f¨or frekvenser mellan 20 kHz och Nyquistfrekvensen 88.2 kHz. Det f¨oljer att X_d(ω) = 0 ocks˚a f¨or frekvenser mellan 88.2 kHz och frekvensen (176.4 − 20) kHz. Enligt (6.39) ¨ar den l¨agsta aliasfrekvens som p˚averkar signalen s˚aledes frekvensen (176.4 − 20) kHz, ty p˚a grund av periodiciteten ¨ar X_d(ω) ekvivalent vid ω = 176.4 − 20 kHz och ω = −20 kHz. Enligt (6.39) d¨ampas frekvenser vid 176.4 − 20 = 156.4 kHz med faktorn

|ZOH(ω)| = sin(ωT_s/2)

ωT_s/2 = 0.125 = −18 dB vid ω = 2π × 156 · 10³

Det f¨oljer fr˚an specifikationerna att filtret H b¨or d¨ampa frekvenser vid 156.4 kHz

−0.184 dB

−18 dB

X_d(ω)

|ZOH(ω)|

0 20 156.4 176.4 f (kHz)

Figur 6.12: Diskreta signalens spektrum X_d(ω) och faktorn |ZOH(ω)| i exempel 6.6.

minst med en faktor motsvarande 50 − 18 = 32 dB. Med andra ord skall filtrets H f¨orst¨arkning vid 156.4 kHz satisfiera olikheten 20 log(|H(jω)|) ≤ −32 dB.

Om vi antar ett Butterworth filter med ordningen n och bandbredden f_cf˚ar vi fr˚an ovan villkoren

20 log[1 + (20/f_c)²ⁿ]^1/2 ≤ 0.316 dB 20 log[1 + (156.4/f_c)²ⁿ]^1/2 ≥ 32 dB

Det minsta (heltals) n f¨or vilket dessa olikheter satisfieras ¨ar n = 3, varvid t.ex. valet f_c = 32 kHz uppfyller specifikationerna.

6.3.3 N˚agra exempel fr˚an digital kommunikation

Viktiga till¨ampningar av digital representation av analoga signaler finns inom digital kommunikation. Som tidigare konstaterats, kan bitsekvenser ¨overf¨oras genom modu- lering av b¨arv˚agor. Bitsekvenserna i sin tur representerar symbolsekvenser. Dessa kan kan i sin tur best˚a av de diskreta signaler som representerar en bandbegr¨ansad signal.

En standardmetod f¨or att best¨amma den digitala representationen av en analog sig- nal ¨ar pulskodmodulering (eng. pulse-code modulation – PCM). Vid denna samplas den analoga, bandbegr¨ansade, signalen vid ekvidistanta tidpunkter genom multiplikation med en pulssekvens (se figur 6.13). Resultatet kvantiseras och representeras digitalt.

D˚a endast en br˚akdel av den totala samplingsperioden T_s beh¨ovs f¨or processering och

¨overf¨oring av den digitalt kodade signalen, ¨ar det m¨ojligt att anv¨anda samma kom- munikationskanal (frekvensband) f¨or samtidig ¨overf¨oring av flera signaler. Detta kan

˚astadkommas genom att tilldela de olika signalerna antingen var sin tidsslot (TDMA – Time Division Multiple Access) eller kodord (CDMA – Code Division Multiple Access).

TDMA

Principen f¨or TDMA (Time Division Multiple Access) visas i figur 6.14 och den prak- tiska implementering av f¨orfarandet visas schematiskt i figur 6.15. TDMA anv¨ands t.ex. i GSM mobiltelefonsystem f¨or parallell ¨overf¨oring av flera signaler p˚a samma kommunikationskanal.

||

|| Ts

−−−−−−− −−−−−−−−−−−

Figur 6.13: Pulskodmodulering. Analog signal (¨overst) modulerar en pulssekvens (i mitten) och resultatet ger efter kvantisering en digital samplad signal (nederst).

• • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • •

|| ||

Ts

−−−−−−− −−−−−−−−−−−

Figur 6.14: Pulskodmodulering och TDMA. Flera analoga signaler kan ¨overf¨oras p˚a samma kanal genom pulskodmodulering.

CDMA

En svaghet hos TDMA ¨ar att om signal¨overf¨oringen ¨ar korrumperad av brus, kan symbolen under en tidsslot som h¨anf¨or sig till en enskild signal l¨att tappas bort helt.

En metod som ¨ar mera robust mot brus f˚as genom att i st¨allet sprida de enskilda signalernas symboler ¨over alla tidslots genom att representera de olika symbolerna med hj¨alp av givna kodord. F¨or att inse hur detta kan ˚astadkommas betrakta ett trivialt exempel d¨ar fyra separata signaler s¨ands ¨over samma kanal. Antag att under ett samplingsintervall symbolerna s1, s2, s3 och s4 associerade med de fyra signalerna skall s¨andas. I TDMA skulle d˚a symbolerna s¨andas separat under samplingsintervallet som den diskreta sekvensen {x(1), x(2), x(3), x(4)} = {s1, s2, s3, s4}. I CDMA d¨aremot sprids symbolerna ¨over hela sekvensen {x(n), n = 1, 2, 3, 4} med hj¨alp av l¨ampligt valda kodord. Tag t.ex. de fyra kodordsekvenserna

{c₁(n)} = {1, 1, 1, 1}

{c₂(n)} = {1, 1, −1, −1}

{c₃(n)} = {1, −1, 1, −1}

{c4(n)} = {1, −1, −1, 1}

Observera att kodordssekvenserna ¨ar ortogonala, dvs

X4 n=1

c_k(n)c_l(n) =

½0, om k 6= l 4, om k = l

I CDMA representeras symbolen s₁ med hj¨alp av kodsekvensen {c₁(n)} i form av