Tentamen i Diskret matematik M0009M, M0036M-0003

(1)

Tentamen i Diskret matematik M0009M, M0036M-0003

Tentamensdatum: 2012-01-09 Skrivtid: 09.00 - 14.00

Betygsgränser:0-13 U, 14-19 3, 20-24 4, 25-30 5 alt. 0-13 U, 14-20 G, 21-30 VG Inga hjälpmedel tillåtna.

Till alla uppgifter ska fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, införda beteck- ningar och uträkningar får inte vara så knapphändigt redovisade att de blir svåra att följa. Även delvis lösta uppgifter bör emellertid lämnas in.

Lycka till!

1

(2)

1. En farbror har 12 identiska godisklubbor som han tänker dela ut till fyra barn. På hur många olika sätt kan detta göras

a) totalt?

b) om favoritbarnet skall få åtminstone tre klubbor och de övriga åtmin- stone en vardera?

c) om farbrorn är elak och tänker behålla åtminstone två klubbor själv?

(5 p) 2. a) Förklara logiken i ett motsägelsebevis.

b) Ibland är det e¤ektivt att bevisa en logisk implikation via kontraposi- tion. Visa att det är tillåtet, dvs visa att

(p ! q) ! (:q ! :p) är en tautologi.

c) Låt A och B vara mängder för vilka det gäller jAj = 6, jBj = 5 och jA \ Bj = 3. Bestäm jP(A [ B)j.

d) Låt x, y och z vara booleska variabler. Bestäm den disjunktiva nor- malformen för det booleska uttrycket

x(yz + z) + xz.

(5 p) 3. Låt F

n

vara Fibonacci-talen, dvs talen de…nierade via F

n

= F

_{n 1}

+ F

_{n 2}

,

n 2, F

0

= 0, F

1

= 1. Bevisa följande påstående med hjälp av induktion X

n

i=0

F

_i

= F

_n+2

1, n 0.

(5 p) 4. De…niera S

n

enligt

S

_n

= X

n k=1

k2

^k

, n 1.

a) Ställ upp en rekurrensekvation som fullständigt beskriver S

n

: b) Lös rekurrensekvationen från a) uppgiften.

(5 p)

2

(3)

5. Konstruera en Hu¤man-kod för kodning av symbolerna A; B; C; D; E; F;

G; H; I; J då vikterna ges enligt

symbol A B C D E F G H I J

vikt 24 4 2 7 25 8 14 8 25 2 .

Hur kodas strängen "J ABBA"? Vad menas med en pre…xfri kod? (5 p) 6. a) Bestäm samtliga lösningar till

30x 47 mod 1001.

b) Konstruera en 1-felskorrigerande matriskod av typen (9; 5), dvs med- delande, kodord och syndrom följer schemat

Z

⁵2

! Z

⁹2

! Z

⁴2

.

Visa hur [11001] kodas. Introducera ett fel, dvs en bit i kodordet mottages felaktigt. Visa hur avkodningen fungerar och hur felet kan korrigeras.

(5 p)

3

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)