GEOMETRIEN I FOLKSKOLAN
O C H
FÖR SYBEGYMARE.
METODISKA A N V I S N I N G A R
A F
SEMlNiBfi-ADJUNKT.
K A R L S T A D ,
H J . P E T E K S S O N & C O M P : S F Ö R L A G .
•
K A R L S T A D , C. FORSSELLS BOKTRYCKERI.
1871.
-
Geometrien i Folkskolan.
Undervisningens mål och utsträckning, m a t e r i e l m . m . Den g e o m e t r i s k a u n d e r v i s n i n g e n i f o l k s k o l a n b ö r l i a f v a t i l l hufvudmål a t t sätta lärjungarne i stånd a t t k u n n a u p p r i t a , äfvensom uppmäta och uträkna s t o r l e k e n af de v a n l i g a s t förekommande l i n i e r n a , y t o r n a o c h k r o p p a r n e . H a f v a b a r n e n erhållit g o d i n s i g t häruti, så h a r s k o l a n , med afseende på d e t t a ämne, u p p f y l l t s i t t förnämsta ålig- g a n d e ; m a n b ö r då lära dessa m e r a försigkomna b a r n be- visa och k o n s t r u e r a några a f e l e m e n t a r g e o m e t r i e n s lätta- ste satser, såsom t . ex. d e m , som här längre f r a m omnäm- nas. F ö r a t t uppnå ofvannämnda mål, måste m a n först b i b r i n g a b a r n e n k ä n n e d o m o m de g e o m e t r i s k a s t o r h e t e r - nas förnämsta egenskaper, äfvensom de v i g t i g a s t e geome- t r i s k a t e r m e r n a . F ö r i n h e m t a n d e t häraf äro, u t o m "svarta taflan", passaren o c h l i n e a l e n , äfven g r a d s k i f v a n och en sats s t e r e o m e t r i s k a figurer nödvändiga. Dessa böra göras af fast o c h t o r k a d t trä, m e n s k u l l e sådana figurer ej k u n n a anskaffas, k a n läraren a f s t y f t p a p p e r e l l e r p a p p s j e l f u t - skära o c h h o p k l i s t r a d e m . T i l l i k a bör e t t snöre m e d e t t l o d , e t t vattpass — äfven e t t sådant k a n läraren lätt t i l l - v e r k a — och e t t fotmått a f trä e l l e r en a l n finnas. F ö r uppmätningar på fältet behöfver m a n e t t längre snöre m e d k n u t a r för h v a r j e f o t .
Den behöfliga m a t e r i e l e n är således särdeles e n k e l och lätt anskaffad, så m y c k e t m e r som någon l ä r o b o k för b a r n e n ej är nödvändig.
E m e d a n l i n e a r - r i t n i n g e n , u t o m a n d r a fördelar, särskildt h v a d d e t t a ämne beträffar, klargör o c h befäster det i n - h e m t a d e , b ö r d e t t a slags r i t n i n g nära a n s l u t a s i g t i l l den g e o m e t r i s k a åskådningsundervisningen. T i l l i k a är r i t n i n - gen en y p p e r l i g t y s t öfning u t i en på flera läslag d e l a d s k o l a .
D e a f staten u t g i f n a väggplanscherna böra här utgöra ritmönstret. I s k o l o r , der dessa ej ännu k u n n a t anskaf- fas, u p p r i t a r läraren — före l e k t i o n e n s början — figuren e l l e r figurerna, som s k o l a aftecknas, på svarta t a f l a n .
E t t annat ämne, som l i k a nära sammanhänger m e d g e o m e t r i e n , är r ä k n i n g e n : uträkningen a f p r o b l e m e r ; så- d a n a räkningar ske väl de flesta gånger v i d svarta t a f l a n , m e n b a r n e n böra äfveu för sig sjelfva uträkna e n k l a frå- gor. Dessa u p p s k r i f v a s a n t i n g e n a f läraren på förutnämnda tafla o c h få d e r qvarstå, t i l l s de a f b a r n e n h u n n i t uträk- nas, e l l e r o c k få b a r n e n u r någon e x e m p e l s a m l i n g sjelfva a f s k r i f v a o c h uträkna sådana. E n efter dessa a n v i s n i n g a r lämpad l i t e n s a m l i n g p r o b l e m e r s k a l l möjligen s n a r t u t - k o m m a .
Uiidervisuingssätlet.
V i d d e t t a ämne gäller, k a n s k e mer än v i d något a n - n a t , d e n g r u n d s a t s e n , a t t a l l a svar s k o l a afgifvas t y d l i g t och bestämdt i f u l l a satser, så a t t frågans innehåll k o r t - l i g e n återgifves i s v a r e t ; t . ex. H v a d k a l l a s d e n y t a , som i n n e s l u t e s af en k ö r d a och en b å g e ? Sv.: D e n y t a , som i n n e s l u t e s a f en k ö r d a och en båge, k a l l a s segment. I n - gen lärjunge får s l i p p a ifrån en erhållen fråga förr, än h a n u p p f y l l t d e n n a s k y l d i g h e t . H v a d e t t t i l l innehållet f e l a k t i g t svar beträffar, härleder sig e t t d y l i k t ej a l l t i d a f o k u n n i g h e t , u t a n s t u n d o m b l o t t a f b r i s t på e f t e r t a n k e ; i d e t senare f a l l e t b ö r m a n , o m möjligt är, göra lärjungen uppmärksam på f e l e t , d e r i g e n o m a t t m a n , u t a n a t t g e n o m o r d rätta h o n o m , v i s a r , h u r u saken e n l i g t hans svar s k u l l e förhålla s i g , och sålunda t v i n g a r h o n o m a t t sjelf rätta det f e l a k t i g a . Säger lärjungen t . ex. a t t "radie" är en l i n i e , som går från m e d e l p u n k t e n t i l l " p e r i f e r i e n " , så d r a g e r m a n från m e d e l p u n k t e n i en u p p r i t a d c i r k e l en k r o k i g l i n i e t i l l p e r i f e r i e n o c h frågar, o m d e t t a är en r a d i e o. s. v.
D e flesta g e o m e t r i s k a t e r m e r o c h begrepp k u n n a ge- nom frågor erhållas u r barnens egen m u n , och böra dessa ej a f läraren föresägas. H v a d fullständiga d e f i n i t i o n e r d e r e m o t beträffar, får m a n ej f o r d r a sådana a n n a t än
på s i n liöjd a f de på l i u f v u d e t s vägnar bäst u t r u s t a d e i d e n högsta e l l e r de båda högsta a f d e l n i n g a r n a . Dessa d e f i n i t i o n e r få inläras, först sedan b a r n e n genom frågor k l a r t f a t t a t d e n a f h a n d l a d e storhetens egenskaper.
De y t o r , k r o p p a r m . m . , som u n d e r l e k t i o n e n k o m m a att afhandlas, s k a l l läraren förut t e c k n a på s v a r t a taflani och v i d u n d e r v i s n i n g e n begagna sig både a f d e n t e c k n a d e och a f d e n s t e r e o m e t r i s k a figuren. Härigenom lära sig b a r n e n såväl a t t förstå en t e c k n a d f i g u r som o c k a t t lät- t a r e återgifva densamma, då de sjelfva s k o l a a f r i t a d e n . Men det är ej n o g a t t v i d d e n n a u n d e r v i s n i n g b l o t t a n - vända t e c k n i n g e n o c h d e n s t e r e o m e t r i s k a figuren: b o r d e t , k a r a f f i n e n , glaset, t a k e t , väggarne, golfvet m e d s p r i n g o r n a derpå, t i m m e r s t o c k e n , sädeslåren, välten, h j u l e t o. s. v . k o r t e l i g e n a l l a föremål o c h r e d s k a p , h v i l k a s f o r m b a r n e n känna, måste utgöra e t t m a t e r i e l , som m a n flitigt använ- der. B l o t t g e n o m e t t sådant förfaringssätt lära sig b a r - n e n tillämpa d e t i n h e m t a d e . När m a n v i d a r e börjar u t - räkna y t o r n a s och k r o p p a r n e s s t o r l e k , måste hvarje läro- sats g e n o m uträkning a f s i f f e r e x e m p e l fästas i m i n n e t .
De af b a r n e n såsom t y s t öfning verkstälda r i t n i n g a r n a och uträkningarna måste sorgfälligt granskas och rättas j om ej så sker, medföra dessa öfningar b l o t t skada, eme- d a n b a r n e t d e r i g e n o m då vänjer sig v i d lätja o c h s l a r f .
H v a d för öfrigt e n s k i l d h e t e r n a v i d undervisningssät- tet angår, så hänvisas t i l l de u n d e r lärosatserna l e m n a d e a n t y d n i n g a r n a , äfvensom t i l l de b i f o g a d e läroprofven.
A t t a l l a här n e d a n g j o r d a uppställningar äro t i l l - k o m n a b l o t t för lärarens s k u l l , för a t t v i s a gången v i d u n d e r v i s n i n g e n , o c h ej för elevernas, t o r d e v a r a o n ö d i g t att anmärka.
Såsom l e d n i n g för läraren, v i d i n h e m t a n d e t a f de
" s t e r e o m e t r i s k a k r o p p a r n e s " egenskaper, t o r d e , o m någon l ä r o b o k behöfves, d e n a f B e r g i u s u t g i f n a v a r a d e n lämp- l i g a s t e , såsom innehållande e n t e m l i g e n fullständig åskåd- ningslära.
Efterföljande uppställning är d e l a d i t r e n n e k u r s e r ,
h v a r a f l : s t a k a p . utgör d e n förste, de u t a n s t j e r n a f ö r e - k o m m a n d e satserna i 2:dra k a p . d e n a n d r e , o c h 3:dje k a p . , äfvensom de m e d * utmärkta satserna, t r e d j e k u r - sen. I de flesta, u n d e r någorlunda g y n n s a m m a förhållan- d e n arbetande, fasta s k o l o r n a b ö r a de 2 förste k u r s e r n a m e d h i n n a s och i de a m b u l a t o r i s k a , der bastiden b l o t t är d e l a d på två r o t a r , b ö r åtminstone l : s t e k u r s e n k u n n a genomgås.
I u n d e r v i s n i n g e n b ö r a a l l a b a r n , som l e m n a t småsko- l a n , deltaga.
H u r u de åt g e o m e t r i e n anslagna t i m m a r n e bäst s k o l a fördelas, b e r o r n a t u r l i g t v i s på deras, såväl som på a f d e l - n i n g a r n a s a n t a l o c h k a n bäst bestämmas a f läraren. Så m y c k e t t o r d e d o c k antagas för gifvet, a t t , o m en h e l t i m m e är anslagen t i l l hvarje l e k t i o n , denne delas m i d t i t u , o c h första h a l f v a n d e r a f egnas — m e d få u n d a n t a g — åt lägsta a f d e l n i n g e n , m e d h v i l k e n d e n e l l e r de a n d r a då som oftast förenas.
Då i d e t följande några f i g u r e r omtalas, behagade läraren sjelf u p p r i t a d e m , h v i l k e t är särdeles lätt, då de a l l a äro m y c k e t e n k l a .
•
I . K A P .
Skema för geometriska åskådnings- undervisningen.
De stereometriska figurerna (kropparne) med plana ytor.
( K u b e n , p a r a l l e l e p i p e d e n , t r e - , f y r - , f e m - och s e x - k a n t i g a p e l a r n e ( p r i s m o r n a ) ; t r e - , f y r - , f e m - och s e x - k a n t i g a spets- p e l a r n e ( p y r a m i d e r n a ) ; r e g e l b u n d n a f y r - , sex-, åtta-, t o l f - och t j u g u - p l a n i n g a r n e . )
1. Y t o r n a . (Kroppens gränser).
A . Deras beskaffenhet ( m e d af- seende på d e l i n i e r , som
i d e m k u n n a dragas): p l a n a . J3. „ o l i k a benämning m e d
afseende på deras ställ-
n i n g i k r o p p e n : . . . a) g r u n d y t o r , b) s i d o y t o r . C. „ a n t a l .
D . „ ställning 1:6 m e d afse- ende på det l u g n a v a t t -
nets y t a : a) vågräta, lodräta (uppåt, nedåt), c) sneda.
2:o m e d afseende p å
h v a r a n d r a : . . . . a) j e m n l ö p a n d e ( p a r a l l e - l a ) , b ) i c k e j e m n l ö p a n d e . E . „ s t o r l e k i förhållande t i l l h v a r a n d r a .
2. K a n t l i n i e m a . (Ytans gränser).
A . D e r a s beskaffenhet ( m e d af- seende på d e l a r n e s i n -
bordes r i k t n i n g ) : . . r a t a .
B . „ a n t a l : a) k r i n g h v a r j e y t a , b ) i h e l a k r o p p e n .
C „ ställning l : o a) vågräta, b ) lodräta, c) sneda.
2:o a) j e m n l ö p a n d e , b ) i c k e j e m n l ö p a n d e .
3. I i i n i e v i n k l a r n e .
(Öppningen mellan tvenne linier, som skära hvarandra) A . Deras gränser: a) b e n , b ) spets.
B . „ beskaffenhet ( m e d af- seende p å v i n k e l b e -
nens beskaffenhet): . rätliniga.
C „ s t o r l e k : a) räta, b ) t r u b b i g a , c) spetsiga. ( O b s . a t t en v i n k e l s s t o r l e k ej b e r o r på v i n k e l b e n e n s längd!) D . „ a n t a l : a) i hvarje y t a , b ) i h e l a
k r o p p e n . 4. Y t o r n a s n a m n .
(Sammanfattning af det föregående för ytornas benämning).
A . Deras beskaffenhet: p l a n a . B . „ gränsliniers: a) a n t a l , b ) beskaffenhet,
c) s t o r l e k ( i förhållande t i l l h v a r a n d r a ) , d ) ställ- n i n g ( i förhållande t i l l h v a r a n d r a ) .
C. „ v i n k l a r : a) räta, b ) t r u b b i g a , c ) spetsiga.
D . ,, y t o r n a s n a m n .
5. K a n t v i n k l a r n e (äfven kallade yivinklar eller kanter).
(Rummet mellan två ytor, som skära hvarandra).
A . Deras g r ä n s e r : a) y t o r n a , b ) k a n t l i n i e n . B . „ beskaffenhet ( m e d af-
seende p å k a n t l i n i e n ) : räta.
C „ s t o r l e k : a) r ä t , b) t r u b b i g , c) spe s i g .
• •
D . Deras r i k t n i n g : a) utgående, b ) ingående.
E . „ a n t a l : a) k r i n g h v a r j e y t a , b ) i h e l a k r o p p e n .
(Obs. s k i l n a d e n m e l l a n k a n t v i n k e l och k a n t l i n i e ! )
.
6. H ö r n e n .
(Skärningspunkten mellan tre eller flera ytor).
A . Deras o l i k a slag i anseende
t i l l k a n t e r n a s a n t a l : a) t r e - , b ) f y r - . . . . k a n t i g a . B . ,, o l i k a r i k t n i n g : . . . . a) utgående, b ) ingående.
C „ a n t a l : a) v i d hvarje y t a , b ) i hela k r o p p e n .
(Obs. s k i l n a d e n m e l l a n k a n t o c h hörn!)
-
7. A x l a r n e .
Y t - \ f a) a n t a l , b ) ställning ( m e d K a n t - i \ afseende på h v a r a n d r a o c h H ö r n -
\
a x|
a r. j
m e d afseende på det l u g n a K a n t y t - t \ v a t t n e t s y t a ) , c) s t o r l e k H ö r n - (spets-) y t - \ j ( m e d afseende på h v a r - Hörnkant- j l a n d r a ) .8. K r o p p e n s n a m n .
(Kort sammanfattning af det föregående för kropparnes benämning).
A . Gränsytornas a) a n t a l , b) beskaffenhet ( p l a n a e l l e r b u g t i g a ) , c) n a m n .
B- K r o p p e n s n a m n .
Läroprof. Kuben.
(Kuben tecknas på svarta taflan — före lektionens början — i perspektiv).
1. Ytorna.
A. Utpeka grönsytorna på denna kropp! (När en yta på någon af de stereometriska figurerna skall utpekas, får barnet öfverfara hela ytan med flata handen). Nämn detta rums-gränsytor! Om jag lägger denne räta lineal med kanten på denna (kubens) yta och sedan på karaffinens yta; faller då l i n . lika på båda
•
ytorna? Hvarföre ligger den alldeles intill kubens yta? Huru- dana äro således i detta fall kubens ytor? Hurudan var deremot karaffinens yta? Huru undersöker man med l i n , om en yta är plan eller bugtig? Undersök på detta sätt bordets, glasets o. s. v ytor! (Man göre barnen uppmärksamma på, att lin. måste falla jemt efter ytan i alla riktningar, om ytan är plan, och visar, att den hos valsen och käglan faller jemt i en riktning, fastän dessa kroppars sidoytor äro bugtiga.
B. Hvad kallas den yta, på hvilken en kropp står? Den midtemot grundytan stående, med densamma parallela ytan, kallas ock grundyta! Hvad kallas de ytor, som omgifva en kropps sidor?
Utpeka dessa grund- och sidoytor! Hvilka äro rummets grund-, och hvilka dess sidoytor?
C. A f huru många ytor begränsas denne kropp? Huru många af dessa äro grund-, och huru många sidoytor? Visa på denna teckning grundytorna! sidoytorna! (Då en yta på en ritning ut- visas, utpekar man dess gränser.)
D . I:o Hurudan ställning ställning sägas armarne på en våg hafva, då den väger jemt? Huru sägas de ytor ligga, som hafva samma ställning, som vågarmen i nyssnämnda fall? Utpeka de vågräta ytorna i denna kropp! Vet du något ämne, hvars yta alltid har vågrät ställning, när ämnet ej är i rörelse?
(Vattnets och vätskors i allmänhet.) Iföljdderaf, att det lugna vattnets yta alltid är vågrät, kallar man detta instrument, med hvilket ytors ställning undersökes, vattpass! (Vattpasset fö- revisas och förklaras.) Undersök med vattpasset, hurudan ställning bordet, golfvet o. s. v. hafva!
Om jag låter detta snöre, med det påfästade lodet, hänga fritt, hvad ställning säger jag då, att snöret har? Hvad kallas denna riktning (uppåt)? och denna (nedåt)? Huru sägas de ytor stå, som hafva samma ställning, som detta snöre nu har?
Huru många lodräta ytor har denna kub? Utpeka dem!
Undersök med snöret, om väggen o. s. v. är lodrät!
Hurudan ställning sägas de ytor hafva, som hvarken äro våg- eller lodräta? Visa några sneda ytor härinne! Huru många sneda ytor har kuben nu? (Kuben ställes med en kantlinie ut- efter en vågrät bordskifva). Huru många lodräta? Håll din tafla så, att dess yta är vågrät! Lodrät! Sned!
2;o Huru långt skall jag utdraga dessa ytor (två motstående), för att de skola råka hvarandra? Hurudan ställning sägas dessa ytor derföre hafva t i l l hvarandra? Hvad förstås derföre der- med, att två ytor äro parallela? Utvisa hvilka ytor i denna kropp, som äro parallela med hvarandra! Uppräkna några
ytor i rummet, hvilka äro jemnlöpande! Utvisa några på detta bord! o. s. v.
Utvisa några ytor, som icke äro parallela ! Håll dessa två taflor så, att deras ytor äro parallela! A t t de icke äro det!
Hvilken utaf dessa ytor (i kuben) är störst?
-
% K a n t l i n i e r n a .
A. Utpeka denna ytas gränser! Gränserna för bordskifvans yta!
För denna på taflan tecknade yta (på taflan uppritas en qvadrat)!
Hvad kalla vi ytans gränser? Hvaraf begränsas således en yta?
Hvad ser du för olikhet mellan de linier, som begränsa denna (kubens) yta, och den här linien (en krokig linie)? Huru många slag af linier hafva vi således? Utaf hvilken beskaffenhet äro således de l i n . , som begränsa kubens ytor? Hvad kan jag gifva ytan för namn, som utmärker, att dess gränslin. äro räta?
(rätlinig). Utvisa här i rummet några krokiga, några räta linier!
Huru kan jag undersöka, om en liniea är rät? (medelst linealen, som lägges utefter linien).
B. A f huru många linier begränsas hvarje yta i denna kropp ? Gif ytan ett namn, som utmärker, att den har fyra sidor! (fyrsiding).
Huru många voro ytorna? Då hvarje yta begränsas af 4 kant- llnier, och kroppen har sex ytor, huru många kantlinier skulle det då blifva i hela kroppen? (24). Räkna, om kantlinierna äro tjugufyra! Hvarföre blifva de blott tolf? (ty hvarje kantlinie hö- rer t i l l två ytor).
Utvisa på ritningen kantlinierna! Hvarföre äro dessa kant- linier prickade?
C. l:o Hurudan ställning har denne kantlinie, i förhållande t i l l det lugna vattnets yta? (samma ställning, eller vågrät). Hu- rudan ställning har denna? Huru många kantlinier i denna kropp äro vågräta, och huru många äro lodräta? (Kuben står på en vågrät bordskifva). Utpeka på taflan vågräta, lodräta, sneda linier! Utpeka några vågräta o. s. Y . l i n . här i rummet! Drag på taflan en vågrät lin. o. s. v.
2:o Huru långt skall jag utdraga dessa l i n . , för att de skola rå- kas? (de två motst. sidorna i en af kubens ytor). Hvad ställning hafva de således t i l l hvarandra? (Här är blott frå- gan om linier, som ligga i samma plan). Med huru många andra kantlin. i kuben är denna jemnlöpande? Utvisa några kantlin. i rummet, som äro parallela! Hvad ställning hafva golfspringorna t i l l hvarandra? Drag (på taflan) en l i n . pa- rallel med denna!
Äro också dessa linier parallela? (två icke parallela l i n .
visas). Hvarföre icke? Upprita en linie, som icke är pa- rallel med denna!
D. Hvad kallas slutet af en linie? (punkt, gränspunkt). Utvisa denna (en kantlinie i kuben) liniens gränspunkter! Utvisa gräns- punkterna för denna! (någon kantlinie i rummet).
E. Om jag mäter längderna af dessa l i n . (kantlin. i kuben), och jemför längderna med hvarandra, hvilken är störst? Hvad kal- las ytan derföre, att dess gränslinier äro lika stora? (liksidig).
3. L i n i e v i n k l a m e .
A . Hvad kallas öppningen, som ligger mellan dessa två linier, som råka hvarandra? Hvad kallas linierna, som omsluta vinkeln?
Hvad kallas den punkt, deri vinkelbenen råkas? Visa sjelfvavin- keln (vinkelöppningen)! Utvisa några vinklar på detta bord!
B . A f hurudan beskaffenhet (i anseende till delarnes inbördes r i k t - ning) äro de linier, som bilda desse vinklar (i kuben)? Hvad kallas en vinkel, som bildas af räta linier? (rättlinig). Hvad kallas då denne vinkel? (kroklinig).
C. Huru stor är denne vinkel, som bildas af en vågrät och en lod- rät linie? (Man bör låta de mera försigkomne redogöra för, att en rät vinkel äfven uppstår, då en rät linie står på en annan rät linie och gör vinklarne å ömse sidor, sidovinklarne, lika stora, och att den ena linien då säges hafva vinkelrät ställning mot den andra). Huru stora vinklar hafva således dessa ytor? Utvisa några flera räta vinklar i rummet! Bita på taflan en rät vinkel!
Huru kallas den vinkel, som är större än en rät? Utvisa några trubbiga vinklar! Hvad kallas den vinkel, som är mindre än en rät! Utvisa några spetsiga vinklar! Upprita en trubbig, en spetsig vinkel! Hvilkendera af desse vinklar (en trubbig med korta ben och en spetsig med långa ben) är störst? För att göra klart för barnen, att vinkelns storlek ej beror på vinkelbenens längd, lägger man de jemförda vinklarne med det ena benet och spetsarne på hvarandra och säger, att den vinkel, hvars andra ben ligger längst bort från det gemensamma, är störst).
D. Huru många vinklar finnas i hvarje yta? I hela kroppen?
•
4. Y t o r n a (repet, a f det föreg.).
A. Utaf hurudan beskaffenhet voro dessa ytor? (plana)
B. A f huru många linier är hvarje yta begränsad ? A f hurudan be- skaffenhet äro dessa linier? (räta). Huru stora äro de, jemförda med hvarandra? Hvad ställning hafva de motstående linierna sinsemellan?
C. Hurudana vinklar bildade linierna i denna yta med hvarandra?
D. Hvad kallar jag en-sådan yta?
Man kan nu låta någon af de mera försigkomne definiera qvadraten, hvilken definition då skall framställas i samma ord- ning, som här ofvan.
Upprita här på taflan en qvadrat!
5. K a n t v i n k l a r n e .
A. Hvad kallas rummet, som ligger mellan dessa två ytor, som råka hvarandra? Hvad kallas kantvinkeln med för annat namn, derföre att den bildas af ytor? (ytvinkel). Vet du något tredje namn derpå? (kant). Hvad kallas den linie, utefter hvilken ytorna skära hvarandra? (kantlinie). Utpeka denne kropps kantvinklar!
(Då barnet skall utpeka en kantvinkel, får det hålla tummen och pekfingret tillsammans och med de båda fingerspetsarne beröra hvardera ytan, som bildar vinkeln; då åter en kantlinie utvisas, begagnas blott ett finger; göres ej denna skilnad, så förblanda barnen ofta kant och kantlinie). Utvisa några kantvinklar på detta bord!
B. A f hurudan beskaffenhet äro kantlinierna i denne kantvinkel?
Hurudana är samma linie i denne (cylinderns eller käglans) kantvinkel?
C. A f huru många slag voro linievinklarne med afseende på storle- ken? A f huru många slag äro då kantvinklarne? Huru stora äro kantvinklarne i denne kropp? Utvisa härinne räta, trubbiga, spet- siga kantvinklar! Håll permen på denna bok så, att den och t i - telbladet bilda en rät, trubbig, spetsig vinkel!
D. Ser jag dessa (kubens) kantvinklar utifrån eller inifrån? Huru kallas de kantvinklar, som ses utifrån? (utgående). Hvad kallas deremot de kanter, som jag ser inifrån? (ingående). Utpeka några utgående kantvinklar på dörrposten! Visa några ingående!
(Af detta slag äro kantvinklarne mellan väggarne, mellan väg- garne och taket och golfvet o. s. v.)
E . Huru många kantvinklar finnas kring hvarje yta? I hela figuren?
Hvarföre ej 24?
6. H ö r n e n .
A. Hvad kallas denne punkt, der dessa tre ytor sammanträffa? Huru uppkommer således ett hörn? Huru många kanter har detta hörn? Huru kallas det derföre? (trekantigt). Visa bland desse (stereometriska) kroppar något fyrkantigt o. s. v. hörn! Utvisa hörnen på detta bord!
B Ser jag dessa (kubens) hörn utifrån eller inifrån? Huru kallas de derföre? (utgående). Hvad kallas åter ett hörn (något af rummets hörn), som är riktadtsom detta? Utvisa några utgående, några ingående här i rummet!
C. Huru många hörn ligga vid hvarje yta? Huru många således i
hela kroppen? Hvarföre ej 24? (hvarje höra hörer t i l l tre ytor).
Utvisa hörnen på denna r i t n i n g ! 7. A x l a r n e .
Y t a x l a r n e . Hvad kallas den räta linie, som jag tänker mig dragen från midten af en yta t i l l midten af den motstående?
Genom hvilken punkt i figuren skall en axel gå? (genom medel- punkten). Huru många ytor har denna figur? Huru många ytax- lar således? Utvisa mellan hvilka punkter dessa gå? Utvisa, hvar de gå i detta rum ! Hvilken ställning hafva dessa axlar t i l l hvarandra? Hvilken riktning hafva de, jemförda med vat- tenytans ställning? Ställ kroppen så, att en af dessa axlar är vågrät och de andra sneda! Huru stora äro dessa axlar sins- emellan?
Kant- och hörnaxlarna genomgås på samma sätt.
8. K r o p p e n s n a m n .
Af huru många gränsytor är denne kropp omgifven? A f huru- dan beskaffenhet äro dessa ytor? (plana). Hvad kallas de? Hvad kallas en kropp, som begränsas af sex qvadrater?
A n m . Det är naturligtvis icke meningen, att allt detta skall ge- nomgås på en gång, utan blott så mycket, som medhinnes på en half timme. Genomgås på detta noggranna sätt två eller tre af kropparne ined plana ytor, så kan man så mycket hastigare medhinna de öfrige.
De stereometriska figurerna med bugtiga ytor.
V a i l s e n ( c y l i n d e r n ) . 9. Y t o r n a (se 1 ) .
l ) Grundytorna.
A . Deras gränslinier: a) a n t a l , b ) beskaffenhet ( l i k a höjd öfverallt).
B . „ n a m n : c i r k e l ; dess o m k r e t s ( p e r i f e r i ) , m e d e l p u n k t , r a d i e , d i a - m e t e r , båge, körda, seg- m e n t , h a l f c i r k e l , s e k t o r ,
t a n g e n t ;
o m k r e t s e n s d e l n i n g i g r a d e r .
2) Sidoytan.
A . Dess gränslinier: a) a n t a l , b ) beskaffenhet.
B . „ u t b r e d n i n g på en p l a n
y t a ( e t t p l a n ) : . . . . a) r e k t a n g e l ;
dess bas, höjd.
10. K a n t v i n k l a r n e (se 5 ) . 1 1 . A x l a r n e .
A . G r u n d y t a x l a r : "i a) a n t a l , ställning ( m o t B . S i d o y t a x l a r : \ g r u n d y t a n o c h m o t C. K a n t a x l a r : j h v a r a n d r a ) .
12. V a l s e n s s k ä r n i n g m e d e n p l a n y t a (ett plan).
A . P l a n e t j e m n l ö p a n d e m e d h ö j d e n : r e k t a n g e l ; B . vinkelrätt m o t „ c i r k e l ; C. snedt „ „ ' - o v a l ( e l l i p s ) .
•
13. V a l s e n s u p p k o m s t .
V a l s e n ( d e n räta m e d c i r k e l f o r m i g a g r u n d y t o r ) u p p - k o m m e r genom en r e k t a n g e l s rörelse k r i n g en a f s i d o r n a (t.- ex. dörrens rörelse k r i n g gångjernen).
14. K r o p p e n s n a m n (se 8 ) .
Läroprof. Valsen.
(Valsen uppritas i perspektiv på svarta taflan).
9. i) Grundytorna.
A. Huru många gränslinier omgifva denna yta? Hurudan visar sig denna linie vara, då en undersökes af linealen? Hvar är linien mest böjd eller krokig?
B. Hvad kallas en yta. som har en sådan gränslinie? Hvad menas således med en cirkel? (Cirkel är en plan figur, som begränsas af en öfverallt lika böjd linie). Utvisa någon cirkelyta här i rummet! Hvad kallas cirkelns gränslinie? Hvad kallas denne punkt, som ligger midt i cirkeln? Hvad kallas denna räta linie, som dragés från medelpunkten t i l l periferien? Hvad kallas den , räta linie, som börjar i periferien, går genom medelpunkten och slutar i periferien? Hvad kallas en del af cirkelomkretsen?
Hvad kallas den räta linie, som sammanbinder bågens ändpunk- ter? (t. ex. på pilbågen; korda-sträng). Hvad kallas den del af cirkelns yta, som inneslutes af kordan och bågen? I huru många
segmenter delas cirkeln af kordan? Hvad kallas hvardera segmen- tet, om de äro lika stora? Hvaraf begränsas halfcirkeln? Hvad kallas denna yta, som inneslutes af dessa två radier och bågen?
I huru många sektorer delas cirkeln af dessa två radier? Hvad kallas denna linie, som endast vidrör cirkeln i en punkt, men icke skär den, äfven om den utdrages? Om en radie dragés t i l l tangeringspunkten, hvad vinkel gör den med tang.?
Om jag genom medelpunkten drager två mot hvarandra vin- kelräta diametrar, i huru många räta vinklar blifver då cirkeln delad? Hvarje fjerdedels båge delas i 90 delar, och hvarje del kallas en grad. Huru många grader innehåller då halfcirkeln?
3/4 af cirkeln? Hela cirkeln? o. s. v.
9- 2) Sidoytan.
A. Utvisa denna (sidoytans) ytas gränslinier! Huru många äro de?
A f hvad form? (cirkelperferier). Utvisa samma linier på ritnin- gen! Hvarföre är den halfva linien här prickad?
B. För att visa ytans utbredning på ett plan, klipper man af pap- per en rektangel, lika hög som valsen och med en bas så stor, som valsens omkrets; denne lindas om valsen, då den jemt täcker hela sidoytan.
Om jag tänker mig sidoytan uppskuren sålunda och utbredd på ett plan (papperet aftages och utbredes på svarta taflan), hvad bildar den då för figur? Utvisa här på valsen, hvar denna rektangels bas är! Hvar dess höjd finnes!
För att visa de ytors utseende o. s. v., som uppkomma, då valsen, käglan o. s. v. skäras af en plan yta, låter man itusåga de stereometriska fig. i den riktning, som man tänker sig, att ytan skär dem, och hopfäster dem genom pinnar, så att de lätt kunna söndertagas; i brist af så skurna fig. kan man af något löst ämne, t. ex. en kålrot, en rofva, utskära valsen och käglan och under lektionen skära dem i de riktningar, man önskar o. s. v.
K ä g l a n ( k ö n e n ) . 15. Y t o r n a (se 1).
1) Grundytorna (se 9, 1).
2) Sidoytan (manteln).
A . Dess gränser: l : o gränslinier: 1) a n t a l , b ) beskaffenhet.
2:o spets.
B . „ u t b r e d n i n g på en p l a n y t a : c i r k e l s e k t o r ; dess bas ( b å g e ) , höjd ( r a d i e ) .
16. K a n t v i n k l a r n e (se 5 ) .
• • .
17. A x l a r n e .
G r u n d y t a x l a r ( h ö j d ) : a) a n t a l , b ) ställning ( m o t g r u n d y t a n ) .
18. K ä g l a n s s k ä r n i n g m e d e n p l a n y t a . A . P l a n e t vinkelrätt m o t a x e l n : a) c i r k e l .
B . „ s n e d t „ „ . . : o v a l e l l e r en i c k e s l u t e n k r o k l i n i e .
C „ p a r a l l e l t m e d „ . . : en i c k e s l u t e n k r o k l i n i e . D . „ d r a g e t f r . könens spets: t r i a n g e l .
19. K ä g l a n s u p p k o m s t .
K ä g l a n ( d e n räta m e d c i r k e l f o r m i g g r u n d y t a ) u p p k o m - m e r g e n o m en rätvinklig t r i a n g e l s rörelse k r i n g en a f de s i d o r , s o m o m f a t t a d e n räta v i n k e l n .
20. K r o p p e n s n a m n (se 8 ) .
F ö r a t t v i s a kägelytans u t b r e d n i n g , utskäres en c i r - k e l s e k t o r , hvars båge = g r u n d y t a n s o m k r e t s , och hvars r a d i e h a r samma längd som s i d o y t a n i k ä g l a n ; denne s e k t o r k a n n u läggas o m k r i n g s i d o y t a n , så a t t d e n j e m t o m s l u t e r densamma.
K l o t e t ( s f e r e n ) . 2 1 . G r ä n s y t o r n a . A . A n t a l .
B . Beskaffenhet: l i k a b u g t i g öfverallt;
m e d e l p u n k t , r a d i e , d i a - m e t e r , p o l e r .
C. Skärning m e d en p l a n y t a : c i r k e l , s t o r c i r k e l ; h a l f k l o t , k a l o t t , s f e r i s k t segment ( z o n ) , s f e r i s k
s e k t o r . 2
22. K l o t e t s u p p k o m s t .
K l o t e t u p p k o m m e r g e n o m en h a l f c i r k e l s rörelse k r i n g d i a m e t e r n (ex. g r a d s k i f v a n s rörelse k r i n g d e n räta s i d a n ) .
23. K r o p p e n s n a m n (se 8 ) .
Sedan det föregående är genomgånget, sammanfattas det v i g t i g a s t e deraf, för bättre öfversigts s k u l l , e n l i g t följande uppställning:
24. L i n i e r n a . (Ytans gränser).
L i n i e r n a s utsträckning: . . . . endast längd.
„ b e s k a f f e n h e t : . . . . räta, k r o k i g a . ,, ställning m e d afseende
på d e n l u g n a v a t t e n -
y t a n : vågräta, lodräta, sneda.
„ ställning m e d afseende
på h v a r a n d r a : . . . . j e m n l ö p a n d e ( p a r a l l e - l a ) , i c k e j e m n l ö p a n d e .
• „ utsträckning: begränsade: genom p u n k t e r , i sig sjelfva (ex. c i r k e l p e r i f e r i e n ) ; obegränsade.
„ mätning: (längdmåttetinläres, o c h b a r n e n få uppmäta nå-
g r a längder i r u m m e t ) - a f b i l d n i n g : genom e t t fint s t r e c k .
25. V i n k l a r n e ( l i n i e v i n k l a r n e ) . (Två liniers skärning med hvarandra).
V i n k l a r n e s gränser: b e n , spets.
,, beskaffenhet ( m e d a f - seende på de skä-
r a n d e l i n i e r n a ) : . . rätliniga, k r o k l i n i g a .
„ s t o r l e k : . . . räta, t r u b b i g a , spetsiga.
„ uppmätning: . . . . g r a d s k i f v a n o c h dess användning.
„ a f b i l d n i n g : v i n k e l b e n e n s u p p r i t n i n g .
26. Y t o r n a . (Kroppens gränser).
Y t o r n a s utsträckning: längd, b r e d d (dessa r i k t . n i n g a r s ställning m o t h v a r a n d r a . )
„ o l i k a beskaffenhet ( m e d afseende på cle l i n i e r som i dem k u n n a d r a -
gas): p l a n a , b u g t i g a .
„ o l i k a ställning: . . . . vågräta, lodräta, sneda.
„ utsträckning: b e g r ä n s a d e : af l i n i e r , i s i g sjelfva ( k l o t e t s ) ;
obegränsade.
1. P l a n a y t o r n a . P l a n a y t o r n a s (figurernas) o l i k a
slag m e d afseende på gränsliniernas beskaf-
f e n h e t : rätliniga, k r o k l i n i g a .
„ a f b i l d a n d e : gränsliriiern. u p p r i t n i n g . Rälliaiga figurerna.
D e rätliniga figurernas o l i k a slag m e d afseende på gräns-
l i n i e r n a s a n t a l : t r e - , f y r - o c h mångsi- d i n g a r (mångsiding: en figur m e d flera än f y r a s i d o r ) ; k a n en y t a o m - slutas a f två räta l i n i e r ? a) Trianglarne.
(Ängel = vinkel).
S i d o r n a s a n t a l .
T r i a n g l a r n e s o l i k a slag m e d af- seende på s i d o r n a s
i n b ö r d e s s t o r l e k : l i k s i d i g a , l i k b e n t a , o l i k - s i d i g a .
T r i a n g l a r n e s o l i k a slag m e d af- seende på v i n k -
l a r n e s s t o r l e k : t r u b b v i n k l i g e , rätvinkli- ge, s p e t s v i n k l i g e .
„ bas, höj cl.
•
b) Fyrsidingarne.
V i n k l a r n e s a n t a l .
De motstående v i n k l a r n e s för-
e n i n g m e d en rät l i n i e : d i a g o n a l . F y r s i d i n g a r n e s o l i k a slag m e d
afseende på de motstå- ende sidornas ställning t i l l h v a r a n d r a :
a) cle m o t s t : d e s i d o r n a p a r a l l e l a : p a r a l l e l o g r a m m e r . b ) „ „ s i d o r n a i c k e p a r a l l e l a : o r e g e l b u n d n a f y r s i d i n -
gar ( t r a p e z i e r ) .
P a r a l l e l o g r a m m e r a a . P a r a l l e l o g r a m m e r n a s o l i k a slag
m e d afseende på s i d o r n a s ömsesi-
d i g a s t o r l e k : . l i k s i d i g a , o l i k s i d i g a .
„ o l i k a slag m e d af- seende på v i n k - l a r n e s i n b ö r d e s
s t o r l e k : . . . . l i k v i n k l i g a , (rätvinklig):
rektangeln (dess bas oeh höjd), olikvinkliga.
Rätvinklige o c h l i k s i d i g e p a -
r a l l e l o g r a m m e n : q v a d r a t e n (dess bas och h ö j d ) . •
c) Mångsidingarne.
Mångsidingarnes o l i k a slag m e d afseende på s i -
d o r n a s a n t a l : f e m - , sex-, s j u s i d i n g o.s.v.
Mångsidingarnes o l i k a slag m e d afseende på v i n k - l a r n e s inbördes
s t o r l e k : . . . l i k v i n k l i g a , o l i k v i n k l i g a . L i k s i d i g a o c h l i k v i n k l i g a mång-
s i d i n g a r : r e g e l b u n d n a mångsidin- gar.
Krokliniga figurerna.
C i r k e l n (se 9 , i ) o c h o v a l e n (se 12. C ) .
2. B n g t i g a y t o r n a .
B u g t i g a y t o r n a s o l i k a s l a g : . . räta ( i c k e b u g t i g a ) i en r i k t n i n g : c y l i n d e r n , k ö n e n .
„ „ „ . . b u g t i g a i alla r i k t n i n g a r : k l o t e t , ägget o. s. v.
C y l i n d e r - och K o n y t a n s u t b r e d a n d e p å e t t p l a n (se 9, 2) B ) o c h (15, 2) B ) .
3. Y t o r s m ä t n i n g -
F ö r a t t g i f v a b a r n e n e t t k l a r t b e g r e p p o m y t o r s u p p - mätning, förfärdigar m a n en q v a d r a t i s k s k i f v a , m e d e n fots sida, a f trä e l l e r p a p p , samt en d y l i k m e d en t u m s sida, m e d h v i l k a s k i f v o r de sedan få uppmäta smärre y t o r i r u m m e t .
27. K a n t v i n k l a r n e . [Två ytors skärning med hvarandra].
Deras gränser: y t o r n a , k a n t l i n i e n .
„ beskaffenhet ( m e d afse-
ende p å k a n t l i n i e n ) : rätliniga, k r o k l i n i g a .
„ s t o r l e k : räta, t r u b b i g a , spetsiga.
„ uppmätning. F ö r a t t n o g g r a u n t bestämma en k a n t v i n k e l s s t o r l e k , d r a g e r m a n från en p u n k t på k a n t l i n i e n två m o t k a n t l i n i e n vinkelräta l i n i e r , e n
i h v a r d e r a y t a n ; d e r e f t e r tager m a n t v e n n e små, genom gångjern i ena ändan hopfästade, l i n e a l e r (skråmått, smyg) o c h förer deras hopfästade ända t i l l k a n t l i n i e n , samt lägger en a f l i n e a l e r n a u t e f t e r h v a r d e r a y t a n , i n t i l l d e n u p p d r a g n a tillien. Tages sedan måttet d e r -
ifrån, u t a n a t t l i n e a l e r n a ändras, så h a r m a n v i n k e l n s s t o r l e k m e l - l a n d e m . På d e t t a sätt b ö r a nå- g r a k a n t v i n k l a r uppmätas.
K a n t v i n k l a r n e s o l i k a slag m e d
afseende på r i k t n i n g e n : . u t - e l l e r ingående.
„ a f b i l d n i n g : de sammanstötande y t o r - nas och k a n t l i n i e n s u p p - r i t n i n g .
28. H ö r n e n .
[Tre eller flera ytors skärning med hvarandra i en punkt, eller den bugtiga ytans utlöpande i en spets].
Hörnens o l i k a slag i anseende
t i l l k a n t e r n a s a n t a l : t r e - , f y r - , f e m k a n t i g a o. s. v., r u n d a .
„ o l i k a slag i anseende t i l l
r i k t n i n g e n : u t - e l l e r ingående.
„ a f b i l d n i n g : . . . de sammanstötande k a n t - l i n i e r n a s u p p r i t n i n g .
29. K r o p p a r n e .
[Det af ytor begränsade ; motsats : verldsrymden].
A. D e r a s utsträckning: l ä n g d , b r e d d , h ö j d , ( t j o c k l e k och d j u p ) ; dessa r i k t n i n g a r s ställ- n i n g mot h v a r a n d r a .
B . De förut anförda s t e r e o m e t r i s k a figurernas n a m n , ( g r u n d - o c h s i d o y t o r u a s f o r m anföres).
C. K r o p p a r n e s uppmätning. F ö r a t t gifva b a r n e n e t t k l a r t b e g r e p p o m k r o p p e n s mät- n i n g , b ö r m a n hafva några k u b e r a f en t u m s sida, o c h d e r m e d låta dem uppmäta r y m d e n a f några små l å d o r e. d . ; äfven s k o l a de b r u k - l i g a målkärlen förevisas, och deras användande förklaras o c h tillämpas.
D . Deras a f b i l d n i n g : gränsytornas u p p r i t n i n g .
§ 1.
Problemer angående ytorna.
1. A t t på en rät l i n i e u p p r i t a en q v a d r a t .
D å d e t t a o c h följande p r o b l e m e r första gången genomgås, användes g r a d s k i f v a n för v i n k l a r n e s u t - sättande, m e n sedan K a p . I I I är genomgånget, t i l l - lämpas 53.
2. A t t beräkna y t a n a f en q v a d r a t .
F ö r a t t åskådliggöra d e n n a beräkning, går m a n tillväga på följande sätt: på t a f l a n u p p r i t a s a f lära- r e n en q v a d r a t , h v a r s s i d a j e m n t k a n uppmätas i t u m ; e t t a f b a r n e n får sedan uppmäta sidans längd och utsätta d e l n i n g s p u n k t e r n a såväl på höjden som på basen. D e r e f t e r dragas g e n o m t . ex. höjdens d e l - n i n g s p u n k t e r l i n i e r , vinkelräta m o t densamma. V a r då s i d a n t . ex. 6 t u m , så b l i f v e r q v a d r a t e n d e l a d i 6 l i k a långa o c h t u m s b r e d a r e m s o r . D e r e f t e r dragas äfven g e n o m basens d e l n i n g s p u n k t e r m o t densamma vinkelräta l i n i e r . H v a r j e r e m s a b l i f v e r då d e l a d i 6 q v a d r a t e r , m e d en t u m s s i d o r , hvarföre a l l a 6 r e m - r o r n a d. v . s. h e l a q v a d r a t e n innehålla 6 ggr 6 = 36 q v - t u m .
M a n s k a l l n u v i s a b a r n e n , hvarföre en q v . f o t i n n e - håller 100 q v . t . , då 1 f o t = 10 t u m .
E x . : Uppmät sidan och uträkna ytan af denne nya qvadrat, som jag uppritat på taflan! Huru stor
är dess omkrets?
Hvarje uträkning tecknas före verkställandet, och det tecknade resultatet sättes = X , hvarvid bety- delsen af X och likhetstecknet förklaras, ifall barnen förut ej äro bekanta dermed. Vore sidan
i denna qvadrat 2 ,4 fot, så finge den tecknade räkningen detta utseende: 2 ,4 x 2 ,4— X . Man bör äfven nu lära dem, a t t 2 ,4 x 2 ,4 läses: " 2 ,4 upphöjdt t i l l qvadrat", och att uttrycket: "upp- höja t i l l qvadrat" således betyder, att talet skall multipliceras med sig sjelft, samt att detta kan korteligen tecknas genom att sätta en liten tvåa t i l l höger om talet vid dess öfrekant; att således denna uträkning tecknas sålunda: 2 ,4 2 — X ; med qvadratroten förstår man det med sig sjelft 2 ggr multiplicerade talet, således här 2 ,4.
M a n låte alltid b a r n e n först o c h främst genom mätningar, som de egenhändigt verk- ställa, tillämpa dessa problemer: b o r d e t s , taflans, goifvets o. s. v . y t o r ; p r i s e t för b o r d e t s , t a k e t s , dörrens o. s. v- målning efter så och så m y c k e t för q v . f o t , b o r d - lådans, r u m m e t s , de s t e r e o m e t r i s k a figu- r e r n a s , vagnens o. s. v. r y m d . B a r n e n k u n n a få t i l l h e m a r b e t e a t t uträkna, h v a d golfvet i deras stuga k o s t a r a t t inlägga, efter så och så m y c k e t för qv-f.; h v a d lådan r y m m e r ; h u r u m y c k e t säd, som går i låren; y t a n a f en åker o. s. v. Sådana e x e m p e l , som finnas i oändlighet, göra l e k t i o n e r n a angenäma och r o a n d e för b a r - nen, på samma gång de fästa det i n h e m - t a d e i m i n n e t och göra u n d e r v i s n i n g e n p r a k t i s k .
Z E & e k t a n g e l i i .
3. A t t a f t v å l i n i e r ( d . v. s. b r e d d o c h h ö j d ) n p p r i t a en r e k t a n g e l .
Samma a n m . som v i d 1.
4. A t t beräkna y t a n a f en g i f v e n r e k t a n g e l .
D e t t a förfaringssätt åskådliggöres på samma sätt, som v i d qvadr:s uppmätning.
Ex. Uppmät ytan af detta bord! Hvad skulle skifvans målning kosta, efter 8 öre qv.f. ? Beräkna golfvets yta! Huru många bräder skulle åtgå t i l l detsam- ma, om hvarje-bräde hade samma bredd och längd som detta? Huru många fot panel i längd skulle åtgå, om sådan sattes rimdtomkring detsamma?
Uppmät och uträkna ytan af någon rektangel- formig åker i din fars täppa!
Obs. A t t uträkningarne tecknas innan de verkställas; skulle några barn hafva svårt att fatta betydelsen af en tecknad räkning, så utför man den först utan och sedan med teckning.
5. A t t , när y t a n och den ena sidan i en r e k t a n g e l äro gifna, genom beräkning finna den andra.
Läroprof. Huru benämner jag kortligen det tal, som erhål- les genom hopmultiplicering af två (eller flera) andra? Huru erhöll jag rektangelns yta, då dess höjd och bredd voro kända? Huru kan jag således anse ytan i förhållande t i l l läng- den och bredden? Huru pröfvar jag om produkten i en mul- tiplikation är riktig? Huru kan jag således, då ytan och höj- den äro gifna, finna längden? Genom dylika frågor kan man få åtminstone några barn att inse, att den obekanta sidan erhålles, om den bekanta devideras i ytan.
Ex. Mät bredden på denna tafla (bord, bänk o. s. v.) och beräkna längden, då du vet, att taflans yta utgör . . . . qv.fot! (Taflans yta måste naturligt- vis läraren på förhand känna; barnen få efter uträkningen sjelfva, genom mätning af längden, pröfva, om de räknat rätt Dylika exempel roa
dem mycket). Ytan af ett salsgolf skall vara C00 qvf., huru långt måste det då anläggas, om dess bredd skall vara 2 0 ,5 fot?
P a r a l l e l o g r a m m e n .
6. A t t , när t v å sidor och m e l l a n l i g g a n d e v i n k e l äro gifna, u p p r i t a en p a r a l l e l o g r a m .
D e t t a verkställes först m e d t i l l h j e l p a f g r a d s k i f v a , men sedan K a p . I I I är genomgånget, e n l . 55.
7. A t t u p p d r a g a höjden i en p a r a l l e l o g r a m .
D e t t a verkställes först m e d g r a d s k i f v a , m e n sedan K a p . I I I är genomgånget, e n l . 54.
8. A t t beräkna y t a n a f en p a r a l l e l o g r a m .
A t t p a r a l l o g r a m m e n s y t a är l i k a m e d y t a n a f en r e k t a n g e l m e d l i k a stor bas och höjd, åskådliggöres d e r i g e n o m , a t t m a n u p p r i t a r på p a r a l l e l o g r a m m e n s bas en r e k t a n g e l m e d samma höjd, som p a r a l l e l o - g r a m m e n ; d e r e f t e r visas, a t t desse båda f i g u r e r bestå a f e t t gemensamt s t y c k e , samt dessutom a f h v a r sin t r i a n g e l , h v i l k a äro l i k a , stora (efter i n h e m t . a f 50 få lärjungarne bevisa, a t t dessa t r i a n g l a r äro s a m m a n f a l l a n d e ) . M a n b ö r äfven a f p a p p utskära en r e k t a n g . o c h en p a r a l l e l o g r a m , som hafva samma bas och h ö j d ; m a n k a n då — o m dessa fig. hafva passande f o r m , — genom a t t från en a f p a r a l l e l o g n s t r u b b i g a v i n k l a r , vinkelrätt m o t basen, afskära ett s t y c k e , visa, a t t båda fig. äro s a m m a n f a l l a n d e .
Ex. Uträkna ytan af denne på golfvet uppritade pa- rallelogr.! Dess omkrets!
9. A t t , då y t a n och basen eller höjden i en p a r a l l e l o g r a m äro gifna, genom beräkning finna den andra a f dessa sednare s t o r h e t e r .
D e t t a tillgår som v i d 5.
E x . En åkerteg i form af en parallelogr. hade 32,5 fots höjd och 505 qv.f. yta; huru stor var dess längd?
I s a m m a n h a n g m e d p a r a l l e l o g r . inläres, h v a d som förstås m e d a l t e r n a t - v i n k l a r , äfvensom a t t dessa v i n k l a r äro l i k a stora, när l i n i e r n a äro p a r a l l e l a , o c h a t t , om dessa v i n k l a r äro l i k a , så äro l i n i e r n a p a r a l l e l a . Härefter läres b a r n e n
10. A t t genom en g i f v e n p u n k t draga en rät l i n i e , p a r a l l e l
med en g i f v e n rät l i n i e . .»
D e n g i f n a p u n k t e n s a m m a n b i n d e s som v a n l i g t m e d l i n i e n , och a l t e r n a t - v i n k l a r n e göras l i k a stora, för- ste gången m e d g r a d s k i f v a n , m e n sedan K a p . I I I är i n h e m t a d t , e n l . 55.
T r i a n g e l n .
11 a). A t t u p p r i t a eu t r i a n g e l , när t v å sidor och mellan- liggande v i n k e l äro gifna.
b ) . A t t u p p r i t a en t r i a n g e l , när t v å v i n k l a r och mel- l a n l i g g a n d e s i d a äro gifna.
c) . A t t u p p r i t a en t r i a n g e l , när a l l a t r e sidorna äro gifna.
Samma a n m . som v i d 6.
B a r n e n göras uppmärksamma på, u n d e r h v a d v i l k o r b o c h c k u n n a verkställas, d . v. s. s t o r l e k e n a f v i n k l a r n e s summa i en t r i a n g e l , äfvensom s t o r l e k e n a f två s i d . j e m f . m e d den t r e d j e .
12. A t t på en l i n i e u p p r i t a en t r i a n g e l , som h a r samma f o r m som en annan t r i a n g e l .
D e t t a sker sålunda, a t t de v i n k l a r i d e n g i f n a t r i a n g . , som stå v i d d e n s i d a n , som svarar m o t d e n g i f n a l i n i e n , f l y t t a s t i l l d e n n a l i n i e , h v a r e f t e r t r i a n g e l n f u l l b o r d a s . D e n n a n y a t r i a n g . k a l l a s likformig m e d d e n förra.
13. A t t u p p d r a g a höjden i en t r i a n g e l . Samma a n m . som v i d 7.
14. A t t beräkna y t a n a f en g i f v e n t r i a n g e l .
Förfaringssättet inläres d e r i g e n o m , a t t m a n visar, a t t t r i a n g . utgör hälften a f den p a r a l l e l o g r . , som h a r samma bas och höjd som t r i a n g . ; d e t t a sednare k a n åskådliggöras sålunda, a t t m a n a f p a p p utskär t v e n n e s a m m a n f a l l a n d e t r i a n g l . och a f d e m sam- mansätter en p a r a l l e l o g r .
R e g e l n för ytans finnande k a n m a n sedan lätte- l i g e n genom frågor få b a r n e n a t t sjelfva framställa.
Ex. Uträkna ytan af denna triang.! Huru stor potatis- skörd kan påräknas af en åker, som har form a^
en rätvinklig triang., då de sidor, som omfatta den räta vinkeln, äro 42,2 och 56,s f. och 2 , i kub.f. er- hålles på hvarje 1 ,2 qv.st.? Beräkna storleken af sidoytorna på denna 5-kant. pyramid!
15. A t t , då y t a n och basen e l l e r höjden i en t r i a n g e l äro gifna, genom beräkning finna den a n d r a a f de båda sednare storheterna.
Härvid går m a n tillväga som i samma f a l l m e d r e k t a n g . och gör lärjungarne uppmärksamma på, a t t a n t i n g e n d i v i d e n d e n e l l e r d e n f u n n a q v o t e n s k o l a m u l t i p l i c e r a s m e d 2-
Ex. Uppmät höjden i denna triangelformiga pappskifva oeh beräkna dess bas, då du vet, att dess yta är . . . . (Ytan bör naturligtvis läraren förut hafva beräknat).
O r e g e l b u n d n a f i g u r e r o c h Månghörningar.
16. A t t på en g i f v e n l i n i e u p p r i t a en rätlinig figur a f samma f o r m som en annan rätlinig figur.
D e t t a sker, då j a g har d e n rätliniga figuren u p p r i - tad på p a p p e r e t e l l e r t a f l a n , sålunda, a t t figuren i n d e l a s i t r i a n g l . , och dessa f l y t t a s t i l l d e n l i n i e , på h v i l k e n d e n n y a fig. s k a l l u p p r i t a s , enl. 12.
V i l l j a g återigen a f b i l d a ett fält, såsom en åker, af o r e g e l b u n d e n f o r m , så u p p d e l a r j a g d e t g i f n a s t y c k e t i t r i a n g l . , nedsätter i t r i a n g l a r n e s spetsar störar o c h mäter afståndet m e l l a n desse, h v i l k a af- stånd utgöra längden på t r i a n g l a r n e s s i d o r . På e t t p a p p e r u p p r i t a r j a g på f r i h a n d , a l l t eftersom mät- n i n g e n f r a m s k r i d e r , ungefärliga f o r m e n a f dessa t r i a n g l . och u p p s k r i f v e r p å s i d o r n a de m o t s v a r a n d e längderna.
Sedan u p p r i t a r m a n på p a p p e r e t en rät l i n i e , som m a n n o g g r a n n t i n d e l a r i l i k a stora d e l a r , så s t o r a nämligen, som m a n v i l l , a t t en f o t e l l e r en stång s k a l l synas på r i t n i n g e n ; d e n n a l i n i e k a l l a s skala. På d e n n a skala t a g e r j a g sedan längden a f de uppmätta t r i a n g e l s i d o r n a och u p p r i t a r n u , e n l . l i c , n o g g r a n n t den förut på f r i h a n d t e c k n a d e månghörningen, som således är en k a r t a öfver f a l -
tet. D e t t a mätningssätt tillämpas först på en på golfvet m e d k r i t a u p p r i t a d figur och d e r e f t e r på gårdsplanen, trädgården, o c h utsträckes d e r e f t e r t i l l d e t närmast r u n d t o m k r i n g s k o l h u s e t l i g g a n d e fältet, h v a r v i d äfven b y g g n a d e r n a m . m . utsättas på den l i l l a k a r t a n .
17. A t t beräkna y t a n a f en g i f v e n månghörning.
D e t t a tillgår sålunda, a t t y t a n a f hvarje särskild t r i a n g . , h v a r a f måughörningen är sammansatt, b e - räknas, och dessa y t o r d e r e f t e r hopläggas. S k a l l y t a n a f e t t o r e g e l b u n d e t fält beräknas, så upprät- tas först, såsom förut är nämndt, en k a r t a deröfver, och höjderna i t r i a n g l a r n e uppmätas m e d s k a l a n , h v a r e f t e r y t a n på förutnämnda sätt uträknas.
Ex. Uppmät och beräkna ytan af denne på taflan upp- ritade månghörning! Beräkna efter den uppritade skalan ytan af det fält, som denna lilla karta föreställer!
B a r n e n göras uppmärksamma på, a t t då två s i d o r i e n o r e g e l b u n d e n f y r s i d i n g äro p a r a l l e l a (en sådan fig. k a l l a s p a r a i l e l t r a p e z i u m ) , hafva de båda t r i a n g l . , i h v i l k a figuren k a n delas, samma höjd, o m de p a - r a l l e l a s i d o r n a tagas t i l l baser. A t t m a n således v i d beräkning a f d e n n a y t a k a n ( i stället för a t t m u l t i p l i c e r a h v a r d e r a basen m e d d e n gemensamma höjden och d i v i d e r a hvarje p r o d u k t m e d två o c h sedan h o p a d d e r a p r o d u k t e r n a ) , h o p a d d e r a de båda p a r a l l e l a s i d o r n a , d i v i d e r a deras s u m m a m e d två och m u l t i p l i c e r a m e d h ö j d e n .
Ex. Beräkna ytinnehållet af sitsen på denna stol! ytan af sidorna och gafiarne i din faders vagn!
-
X ? e o < > U > n u d j i ; 8 M å n g h ö r n i n g a r . 18 a). A t t u p p r i t a en regelbunden (se I K a p . 26 1) c)
månghörning i en g i f v e n c i r k e l så, a t t dess spetsar stå på c i r k e l n s p e r i f e r i ( d e t t a k a l l a s a t t i n s k r i f v a måughörningen i c i r k e l n ) .
O m j a g tänker m i g månghörningen u p p r i t a d , o c h dess v i n k l a r s a m m a n b u n d n a m e d c i r k e l n s m e d e l - d e l p u n k t , så u p p k o m m a der l i k a många l i k a s t o r a v i n k l a r (månghörningens m e d e l p u n k t s - v i n k l a r ) , som månghörn. h a r s i d o r ; v i n k l . äro t i l l s a m m a n s = 360 g r a d e r ; j a g erhåller således s t o r l e k e n på h v a r o c h en, o m j a g d i v i d e r a r månghörms s i d o a n t a l u t i 360.
När n u m e d e l p u n k t s - v i n k e l n är f u n n e n , är det lätt a t t m e d e l s t g r a d s k i f v a n u p p r i t a månghörn- (När d e t t a utfrågas, tages n a t u r l i g t v i s först en viss mång- hörn. t . ex. sexhörningen).
I s a m m a n h a n g härmed visas, h u r u qvadräten i n - s k r i f v e s , och m e d t i l l h j e l p deraf, åttahörn.; sexhörn.
i n s k r i f v e s genom a t t afsätta r a d i e n sex ggr.
Ex. Inskrif i denna cirkel en fenihörn.!
b). A t t på en g i f v e n rät l i n i e u p p r i t a en regelbunden månghörning.
Tänker j a g m i g såsom förut månghörn. u p p r i t a d , och dess v i n k l a r s a m m a n b u n d n e m e d m e d e l p u n k t e n , så erhålles så många t r i a n g l . , som månghörn. h a r s i d o r ; då s u m m a n a f v i n k l a r n e i hvarje t r i a n g l . ( e n l . I I . 6.) är = 2 räta, så erhålles'antalet a f de, i dessa t r i a n g l . b e f i n t l i g a räta v i n k l a r , o m s i d o r n a s a n t a l m u l t i p l i c e r a s m e d 2 ; t a g e r j a g n u b o r t de v i n k l a r , som stå v i d m e d e l p u n k t . , som t i l l s a m m a n s utgöra 4 räta, så återstår s u m m a n a f månghörms v i n k l a r . D e n n a summa m u l t i p l i c e r a s m e d 90, då j a g erhåller d e n u t t r y c k t i grader, och d i v i d e r a s
sedan m e d månghörms v i n k e l - a n t a l , då hörnvinkelns s t o r l e k erhålles u t t r y c k t i g r a d e r , h v a r e f t e r fig. lätt u p p r i t a s m e d e l s t g r a d s k i f v a n .
Ex. E n snickare skall förfärdiga ett bord i form af en regelbunden sexhörning med sida afgifven storlek;
upprita bordskifvan!
* 19. A t t beräkna y t a n a f en g i f v e n regelbunden månghörning.
Månghörms m e d e l p u n k t sökes genom a t t skära två v i d samma s i d a l i g g a n d e v i n k l a r m i d t u t i e n l .
51 och u t d r a g a skärningslinierna, t i l l s de råkas; d e n sålunda f u n n a m e d e l p u n k t e n sammanbindes m e d v i n k e l s p e t s a r n e , då f i g . b l i f v e r d e l a d i l i k a s t o r a t r i a n g l . , t i l l a n t a l e t l i k a m e d fig:s s i d o r . Y t a n p å e n a f dessa t r i a n g l . beräknas o c h m u l t i p l i c m e d s i d o r n a s a n t a l , då månghörms y t a erhålles.
Ex. .Beräkna bottenytan i denne pelare!
C i r k e l n .
20. A t t u p p r i t a eu c i r k e l , då dess diameter är g i f v e n . D i a m e t e r n s m e d e l p u n k t sökes först g e n o m f ö r s ö k med passaren o c h , sedan K a p . I I I är genomgånget,
enl. 52.
H u r u d e t v i d a r e tillgår a t t u p p r i t a en c i r k e l , då dess r a d i e o c h m e d e l p u n k t äro g i f n a , är inlärdt a f de föregående p r o b l e m e r n a .
* 2 1 . A t t finna m e d e l p u n k t e n t i l l en u p p r i t a d c i r k e l e l l e r e t t c i r k e l s e g m e n t .
D r a g i c i r k e l n e l l e r segmentet tvenne k o r d o r , som ej äro p a r a l l e l a ; skär dessa m i d t i t u e n l . 52 och u t d r a g de vinkelräta skärniugslinierna, t i l l dess de råkas, då erhålles m e d e l p u n k t e n .
Ex. Sök medelpunkten t i l l denna båge, (segment)!
22. A t t beräkna c i r k e l n s omkrets, då dess diameter e l l e r radie är g i f v e n .
F ö r a t t åskådliggöra d e t t a , skaffar m a n s i g e n c i r k e l r u n d t r i s s a a f trä m e d 7 t u m s d i a m e t e r o c h e t t mätband, hvarpå t u m m e n äro n o g g r a n n t i n d e - l a d e i l i n i e r ; e t t sådant k a n m a n äfven göra a f p a p p e r .
Läroprof. Uppmät diametern på denna trissa! Uppmät dess omkrets! Huru får jag veta, huru många ggr. omkr. är större än diam.? Efterse då detta!
Huru många ggr. större var således omkr. än diam. ? I alla cirklar är omkr. 3 ,1 4 ggr. större än diam.! Huru erhåller jag således omkr., då diam. är gifven?
Huru man härefter lär dem att söka omkr., då, i st. f. diam., radien är gifven, är lätt att inse.
Ex. Beräkna omkr. af denna vals! Uppmät nu den- samma för att se, om beräkningen slår i n ! Om radien i din faders vagnshjul är l,s fot, huru långt jernstycke åtgår t i l l dess beskoning?
23. A t t , d å c i r k e l n s o m k r e t s är g i f v e n , beräkna dess dia- meter e l l e r radie.
Lärnprof. Huru många ggr. större är omkr. än diam.? Huru många ggr. mindre är således diam. än omkr.? Huru erhål- les således diam., när omkr. är gifven?
Ang. radien samma anmärkning som vid föreg. problem.
Mät omkr. på denna kägla och beräkna derefter hennes diam.!
Bandet, som skulle användas t i l l en tunna, var 11 fot långt;
hur stor var tunnans radie, då 0,7B fot vid hvardera ändan af bandet åtgick för dess ihopflätning?
Ex. T i l l detta och föregående problem kan man ur dagliga lifvet lätteligen erhålla en stor mängd exempel; man bör bland annat låta eleverna ut- räkna eqvatorns-längd, då de känna jordens diam.;
jordbanans omkrets, då afståndet från solen är kändt o. s. v.; vid dessa räkningar, der de ingående ' faktorerna äro stora, använder man i st. f. 3) 1 4 det
noggrannare talet 3, |4 1 G.
24 a. A t t beräkna c i r k e l n s y t a , då dess radie e l l e r diame- t e r är g i f v e n .
Läroprof. Cirkelns omkr. delas i mycket små bågar, och delningspunkterna sammanbindas med medelpunkten.
Hvad form kan jag anse dessa sektorer hafva, om bågarne äro så små, att jag kan anse dem räta? Huru erhåller jag ytan af en triang.? Hvad är höjden i dessa triang.? Huru erhålles således ytan af dessa triang.?
Om jag sammanlägger alla dessa triang., hvilken figur får jag då? Kan jag erhålla summan af alla triang. på nå-
got annat sätt, än genom att beräkna ytan af hvar triang, särskildt och sedan sammanlägga dessa ytor? (jag kan sam- manlägga alla baserna och multiplicera dem med den gemen- samma höjden och sedan dividera produkten med två). Om jag således lägger tillsammans alla baserna, hvilken linie i cirkeln finner jag då? Denna cirkels radie är 4 tum, huru stor är då dess omkrets, eller summan af triang. baser?
(detta tecknas 2. 4. 3 , i4) . Detta är således triang:s bas;
huru stor är deras höjd? Huru fås då. ytan? Detta teeknaa sålunda : X = ~ ~ g'14*' ^ r skolå v* således både mul- tiplicera och dividera med 2; huru kunna vi då göra med tvåan? (vi utstryka den på båda ställen). Det tecknade får då detta utseende, om vi ställa fyrorna bredvid hvarandra X = = 4 X 4 X 3 ,] 4 Hvad är det för en linie i cirkeln, som är 4 tum lång? Hvarmed skall radien således mul- tipliceras? Hvad kallas den produkt, som erhålles, då ett tal multipliceras med sig sjelft? Hvarmed skall radiens qva- drat multipliceras? Huru erhåller jag således i allmänhet ytan af en cirkel?
Om diam. är känd i st. f. radien, se anm. vid föreg. probl, Ex. Huru stor yta har denna trissa? E t t blomster- land har 8 ,3 f. genomskärning; huru stor yta så- ledes? Hur stor yta har storcirkeln på detta klot?
b). A t t beräkna c i r k e l n s y t a , då dess o m k r e t s är g i f v e n . R a d i e n beräknas först e n l . 23 o c h , sedan d e n är f u n n e n , y t a n e n l . föreg. p r o b l . G e n o m a t t först t e c k n a räkningen, k a n förkortning ske, m e n räk- n i n g e n b l i f v e r då, åtminstone v i d första genomgå- e n d e t , för v i d l y f t i g .
Ex. Mät omkretsen af detta ämbar och beräkna dess
bottenyta! v
25. A t t beräkna y t a n a f en c i r k e l r i n g ( d . v. s. d e n r i n g , som i n n e s l u t e s a f t v e n n e c i r k e l p e r i f e r i e r , a f h v i l k a
d e n ena l i g g e r i n o m d e n a n d r a ) .
M a n k a n lätt åskådliggöra, a t t m a n måste b e - räkna d e n större c i r k e l n s y t a oeh derifrån d r a g a d e n m i n d r e s .
Ex. Den yttre diam. af en cirkelrund ridbana var 40 f. och den inre 25 f.; huru stor yta upptog banan?
26 a). A t t beräkna y t a n a f en c i r k e l s e k t o r , då hågen och r a d i e n äro g i f n a .
C i r k e l s e k t o r n b e t r a k t a s som en t r i a n g . m e d bå- g e n t i l l bas o c h r a d i e n t i l l höjd, och dess y t a be- räknas på samma sätt som t r i a n g e l n s .
Ex Beräkna ytan af denna cirkelsektor!
b ) . D å i st. f. bågens längd dess g r a d t a l är g i f v e t , uträknas h e l a c i r k e l n s y t a ; denna d i v i d e r a s m e d 360, då y t a n a f en s e k t o r m e d en grads v i n k e l erhålles; d e t t a t a l m u l t . sedan m e d d e t g i f n a g r a d t a l e t , då s e k t o r n s y t a erhålles.
Ex. Om jag ur denna cirkel utskär en sektor, hvars båge är 16 grader, huru stor yta har han?
27. A t t beräkna y t a n a f e t t c i r k e l s e g m e n t .
D e t k a n lätteligen visas, a t t segmentets y t a er- hålles, o m från d e n m o t s v a r a n d e s e k t o r n s y t a s u b - t r a h e r a s d e n m o t s v a r a n d e t r i a n g : s .
Ex. Beräkna ytan af en hvalfbåge af denna storlek!
Dylika uträkningar förekomma, då man skall be- räkna rymden af rum, hvilkas tak hafva formen af tunnhvalf, såsom kyrkor, källare o. s. v.
O v a l e n (ellipsen).
28. A t t u p p r i t a en sådan oval, som k a l l a s ellips, då dess längd A B och b r e d d CD äro g i f n a .
Skär längden A B m i d t i t u och u t d r a g från skär- n i n g s p u n k t e n d e n viukelräta skärningslinien åt båda s i d o r o c h afsätt på henne, å ömse s i d o r o m O, s t y c k e n O G o c h O H , s o m h v a r d e r a äro — h a l f v a längden a f C D , så a t t hela G H b l i f v e r = C D , T a g sedan halfva längden d . v. s. A O e l l e r O B t i l l r a d i e och u p p r i t a m e d G e l l e r fl t i l l m e d e l p u n k t en cirkelbåge, som skär A B på två ställen E o c h F ; dessa skärningspunkter k a l l a s e l l i p s e n s bränn- punkter. I dessa p u n k t e r fästes e t t snöre l i k a långt
som fig:s längd A B ; d e t t a snöre spännes m e d e t t k r i t s t y c k e , p e n n a e. d . som j a g förer o m k r i n g , p å samma gång j a g d e r m e d spänner snöret; spåret, s o m erhålles, är ovalens e l l e r e l l i p s e n s o m k r e t s . ( I förbigående anmärkes, a t t p l a n e t e r n a röra sig i e l l i p t i s k a banor, i h v a r s ena brännpunkt solen b e - finner s i g ) .
Ex. En snickare skall göra ett förmaksbord 4 fot långt och 2 ,8 fot bredt; upprita bordskifvan på golfvet (eller taflan)!
29. A t t beräkna y t a n a f en e l l i p s .
E l l i p s e n k a n anses såsom en h o p t r y c k t c i r k e l m e d två d i a m e t r a r : längden o c h b r e d d e n och såle- des två r a d i e r , n e m l i g e n halfva längden o c h halfva b r e d d e n . F ö r a t t erhålla y t a n m u l t i p l i c e r a r m a n dessa r a d i e r m e d h v a r a n d r a , d . v. s. halfva längden m e d h a l f v a b r e d d e n och d e r e f t e r p r o d u k t e n m e d 3,14.
Ex. Beräkna ytan af den ellips, som har så stor bredd och så stor längd! Beräkna bottnens yta i denna balja! (Man kan utan märkbart fel anse ovala bord, kärlbottnar och dylika ytor för ellipser).
V a l s e n ( c y l i n d e r n ) . 30. A t t beräkna valsens b n g t i g a y t a .
D e n n a y t a u t b r e d e s på e t t p l a n såsom v i d I K a p . 9, 2) b.; b a r n e n göras uppmärksamma på, h v a d som är bas och höjd i d e n n a r e k t a n g e l ; basen beräknas e n l . 22 o c h m u l t i p l . m e d höjden, då y t a n erhålles.
Ex. Beräkna bugtiga ytan af denne cylinder! Den bugtiga ytan af en såskall utantillgrönmålas. efter 6 öro qy.f.; hvad kostar målningen, då såns diam.
är 5 fot och höjden 4 ,3 f. ?
•
K ä g l a n (könen).
3 1 . A t t beräkna käglans b n g t i g a y t a .
D e n b u g t i g a y t a n u t b r e d e s på ett p l a n , såsom v i d I K a p . 15, 2) b . ; b a r n e n göras uppmärksamma på, h v a d som är bas o c h höjd i d e n n a s e k t o r , h v a r - efter basen beräknas e n l . 22 o c h s e k t o r n s y t a e n l . 26 a).
Ex. Uträkna den bugtiga ytan på denna kägla!
