U P P S A L A 1940
F Ö R O R D .
D e n f r a m s t ä l l n i n g a n g å e n d e d e n g r u n d l ä g g a n d e r ä k n e u n d e r v i s -n i -n g e -n , s o m här föreligger, a -n s l u t e r s i g t i l l » R ä k -n a R ä t t , l ä r o b o k i r ä k n i n g e n l i g t å s k å d n i n g s m e t o d o c h m e d l å n g s a m t s t e g r a d svårig-h e t s g r a d » , v i l k e n u t g i v i t s p å H u g o G é b e r s F ö r l a g , S t o c k svårig-h o l m . D e t är e m e l l e r t i d m i n f ö r h o p p n i n g , a t t de a n v i s n i n g a r , s o m l ä m n a s , s k a l l v a r a a v v ä r d e f ö r d e n e l e m e n t ä r a r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n ö v e r h u v u d . S o m r e d a n d e t r i n g a o m f å n g e t h o s f ö r e l i g g a n d e b o k g e r v i d h a n d e n , a v s e r d e n i n t e a t t v a r a n å g o n fullständig m e t o d i s k h a n d b o k . A v s i k t e n är a t t ge e n t ä m l i g e n utförlig r e d o g ö r e l s e f ö r d e n f ö r s t a u n d e r v i s n i n g e n o c h a t t d ä r j ä m t e b e r ö r a e n o c h a n n a n fråga a n g å e n d e r ä k n e -u n d e r v i s n i n g e n i ö v r i g t p å f o l k s k o l e s t a d i e t . D ä r v i d -u p p t a g e s i r e g e l i n t e n å g r a a v de r ä k n e t e k n i s k a d e t a l j e r , s o m b r u k a r b e h a n d l a s i s a m b a n d m e d sifferräkningen. H u v u d s y f t e t är a t t framhålla d e n åskådliga r ä k n i n g e n s o m g r u n d f ö r e n k o m m a n d e t e k n i s k färdighet. S j ä l v a l ä r o b o k e n b o r d e k u n n a a n v ä n d a s ä v e n u t a n f ö r h j ä l p s k o l a n , för v a r s b e h o v d e n k o m m i t t i l l . I d e n e g e n t l i g a f o l k s k o l a n u n d e r v i s a s för n ä r v a r a n d e ungefär 10 0 0 0 b a r n , s o m b e h ö v d e s p e c i e l l u n d e r -v i s n i n g p å g r u n d a -v p s y k i s k e f t e r b l i -v e n h e t . O m d e n o r g a n i s a t o r i s k a l ö s n i n g e n a v d e t t a p r o b l e m k o m m e r a t t d r ö j a , b ö r d o c k u n d e r a l l a f ö r h å l l a n d e n e n l ä r o b o k , s o m a n p a s s a t s e f t e r dessa b a r n s förutsätt-n i förutsätt-n g a r , v a r a a v b e t y d e l s e . L ä r o b o k e n är o c k s å s p e c i e l l t a v s e d d för l å g s t a d i e t , där b e h o v e t a v åskådlighet o c h l å n g s a m s t e g r i n g a v u p p g i f t e r n a s svårighetsgrad är särskilt f r a m t r ä d a n d e . H ä f t e n a 1 — 3 innehåller d e n r ä k n e k u r s , som föreskrives f ö r k l a s s e r n a 1—2 i s k o l o r m e d fullständig lärokurs. T i l l d e m , s o m g r a n s k a t m a n u s k r i p t e n t i l l l ä r o b o k e n o c h a n v i s -n i -n g a r -n a e l l e r p å a -n -n a t s ä t t v i s a t i -n t r e s s e f ö r dessa a r b e t e -n s t i l l k o m s t , f r a m f ö r e s e t t v a r m t t a c k .I . INLEDNING.
D e s s a a n v i s n i n g a r — o c h d e n l ä r o b o k t i l l v i l k e n d e a n s l u t e r s i g — b y g g e r p å f ö l j a n d e p r i n c i p e r : 1. U n d e r v i s n i n g e n b ö r s k r i d a f r a m å t i l å n g s a m t t e m p o . 2. D e n b ö r g å från d e t ( u r b a r n e n s s y n p u n k t ) l ä t t a r e t i l l d e t s v å -r a -r e . 3. E n d a s t en n y h e t b ö r införas v a r j e g å n g u n d e r v i s n i n g e n s k r i d e r f r a m å t . 4. S j ä l v a s a k e n s k a l l först g ö r a s t i l l f ö r e m å l f ö r e n g r u n d l i g b e -h a n d l i n g , i n n a n t e r m e r o c -h t e c k e n införes.E n d a s t i fråga o m d e n s i s t a a v dessa satser t o r d e n å g r a e g e n t l i g a m e n i n g s s k i l j a k t i g h e t e r r å d a . M e n ä v e n o m d e ö v r i g a satsernas r i k -t i g h e -t i n -t e b e s -t r i d e s , k a n deras -t i l l ä m p n i n g k o m m a a -t -t -t e s i g n å g o -t o l i k a p å g r u n d a v s k i f t a n d e u p p f a t t n i n g a r o m , v a d s o m s k a l l b e t r a k -t a s s o m l ä -t -t a r e o c h svårare, h u r l å n g s a m -t u n d e r v i s n i n g e n b ö r s k r i d a f r a m å t o . s. v . N ä r d e t gäller a t t e f t e r s v å r i g h e t s g r a d b e s t ä m m a o r d n i n g s f ö l j d e n m e l l a n d e e n s k i l d a m o m e n t e n i r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n , b ö r h ä n s y n t a g a s å e n a s i d a n t i l l u p p f a t t n i n g e n o c h f r a m s t ä l l n i n g e n a v s j ä l v a t a l e n , å a n d r a s i d a n t i l l förståelsen för r ä k n e o p e r a t i o n e r n a . D e t är s å l u n d a i n t e tillfredsställande a t t o r d n a u n d e r v i s n i n g e n e n d a s t m e d h ä n s y n t i l l o l i k a t a l o m r å d e n (ett—tio, ett—tjugo o. s. v . ) . Ä v e n d e i n o m o l i k a t a l o m r å d e n m ö j l i g a r ä k n e o p e r a t i o n e r n a b ö r v a r a b e s t ä m -m a n d e v i d u p p g ö r a n d e a v k u r s p l a n e n . I n o -m e t t l ä g r e t a l o -m r å d e , t . e x . ett—tjugo, är e n d e l a v d e m ö j l i g a r ä k n e u p p g i f t e r n a svårare ä n v i s s a a v d e m , s o m f a l l e r i n o m e t t h ö g r e t a l o m r å d e , t . e x . tjugoett—
trettio. S å l u n d a är u p p g i f t e n sju + sex m e r a k r ä v a n d e ä n u p p g i f t e n tjugotre - f två, f ö r u t s a t t a t t i b å d a f a l l e n s j ä l v a t a l b e g r e p p e n är
f u l l t k l a r a . D e n s v å r i g h e t , s o m d e t i n n e b ä r a t t u t ö k a t a l o m r å d e t
anses s k i l d a från själva t i n g e n . M e n b e g r e p p e n o m t a l e n b i l d a s p å g r u n d v a l a v å s k å d n i n g e n . D ä r f ö r u p p t r ä d e r t a l e n a l l t i d f ö r b u n d n a m e d t i n g , b i l d e r e l l e r s y m b o l e r . D å v i d a r e a l l v å r r e e l l a k u n s k a p h a r s i n m o t s v a r a n d e s p r å k l i g a s i d a , k o m m e r k u n s k a p e n o m t a l e n a t t v i d u n d e r v i s n i n g e n från första s t u n d f ö r b i n d a s m e d r ä k n e o r d e n . D e första t a l b e g r e p p , s o m b a r n e t f ö r v ä r v a r är de o b e s t ä m d a t a l -b e g r e p p e n : m å n g a — i n t e m å n g a o. s. v . Därefter -b i l d a s d e första b e s t ä m d a t a l b e g r e p p e n . V i d i n t r ä d e t i s k o l a n h a r b a r n e n h u n n i t t i l l o l i k a — k a n s k e t i l l o c h m e d m y c k e t o l i k a — g r a d a v u t v e c k l i n g , n ä r d e t gäller t a l b e g r e p -p e t . I h j ä l -p s k o l a n b ö r u n d e r v i s a r e n e m e l l e r t i d i n t e f ö r u t s ä t t a n å g r a s o m h e l s t k l a r a b e s t ä m d a t a l b e g r e p p v i d b ö r j a n a v b a r n e n s s k o l g å n g . T v ä r t o m är d e t l ä m p l i g t a t t b ö r j a u n d e r v i s n i n g e n p å e n p u n k t u t a n -för s j ä l v a t a l u p p f a t t n i n g e n . E f t e r s o m t a l e n i n n e b ä r e n k v a n t i t a t i v b e d ö m n i n g a v v e r k l i g h e t e n , är d e i n t i m t f ö r b u n d n a m e d s å d a n a b e g r e p p s o m a n g e r a l l m ä n n a s t o r l e k s f ö r h å l l a n d e n o c h l ä g e . D e t är d ä r f ö r i n t e u r v ä g e n a t t , n ä r b a r n e n b ö r j a r s i n s k o l g å n g , u n d e r s ö k a — o c h i m å n a v b e h o v u t v e c k l a — d e r a s f ö r t r o g e n h e t m e d s å d a n a b e g r e p p s o m större — m i n d r e , l ä n g r e — k o r t a r e , b r e d a r e — s m a l a r e , t j o c k a r e — t u n n a r e , t y n g r e — l ä t t a r e o. s. v . ä v e n s o m m e d l ä g e b e g r e p p e n f r a m f ö r — e f t e r , t i l l v ä n s t e r — t i l l h ö g e r , o v a n f ö r — n e -d a n f ö r o . s. v . V i -d -dessa u n -d e r s ö k n i n g a r o c h ö v n i n g a r är -d e t i n t e fråga o m n å g o n t a l b e s t ä m n i n g u t a n — s o m s a g t — e n d a s t o m t i n g e n s a l l m ä n n a ( i n t e m e d t a l p r e c i s e r a d e ) s t o r l e k s - o c h l ä g e f ö r h å l l a n d e n . U n d e r s ö k n i n g a r n a o c h ö v n i n g a r n a i fråga b ö r f ö r e t a g a s s å v ä l m e d t i n g u t e i d e t f r i a s o m m e d f ö r e m å l i s k o l r u m m e t o c h m e d h j ä l p a v b i l d e r . E n b e t y d e l s e f u l l p r i n c i p i e l l fråga t a n g e r a s här, n ä m l i g e n frågan h u r u v i d a b e g r e p p s b i l d n i n g e n b ä s t g y n n a s g e n o m a n v ä n d n i n g e n a v e t t e n d a e l l e r f l e r a o l i k a i a k t t a g e l s e o b j e k t o c h å s k å d n i n g s m e d e l . D e t r i k t i g a får anses v a r a , a t t e t t b e g r e p p b l i r b ä t t r e förankrat, o m o l i k a f ö r e m å l o c h b i l d e r k o m m e r t i l l a n v ä n d n i n g för s a m m a s a k . D ä r i g e n o m h a r m a n d e n säkraste g a r a n t i e n f ö r , a t t själva b e g r e p p e t s k a l l l o s s n a från d e t å s k å d a d e o c h a t t alltså e n v e r k l i g a b s t r a k t i o n s k a l l u p p s t å . S å l u n d a b l i r b e g r e p p e n o m s t o r l e k s - o c h lägeförhål-l a n d e n lägeförhål-l i k s o m t a lägeförhål-l b e g r e p p e t b ä t t r e f ö r a n k r a d e , o m i a k t t a g e lägeförhål-l s e r o c h ö v n i n g a r i n t e f ö r e t a g e s m e d e t t e n d a å s k å d n i n g s o b j e k t u t a n b e d r i v e s m e d h j ä l p a v o l i k a f ö r e m å l o c h b i l d e r .
D e n ä m n d a f ö r b e r e d a n d e ö v n i n g a r n a företages b å d e s o m ö v n i n g a t t u p p f a t t a e t t v i s s t f ö r h å l l a n d e o c h a t t framställa e t t b e g ä r t s t o r -l e k s - o c h -l ä g e f ö r h å -l -l a n d e . B a r n e n får s å -l u n d a de-ls a n g e , v i -l k e n p l a c e r i n g a n g i v n a f ö r e m å l i n t a r , o c h dels p å tillsägelse p l a c e r a f ö r e m å l e l l e r r i t a b i l d e r m e d b e g ä r t s t o r l e k s e l l e r l ä g e f ö r h å l l a n d e . Ö v n i n g a r n a i n s k r ä n k e r s i g i n t e t i l l s y n i a k t t a g e l s e r u t a n b ö r o c k s å u t g e s t a l -t a s s o m m o -t o r i s k a ö v n i n g a r ( a -t -t gå, a -t -t l y f -t a o. s. v . ) . Ä v e n b e d ö m n i n g m e d hörseln b ö r ö v a s ; ( e n k o r t o c h e n m e r e l l e r m i n d r e u t d r a g e n t o n ) . U r u n d e r v i s n i n g s t e k n i s k s y n p u n k t är a t t framhålla, a t t dessa f ö r b e r e d a n d e ö v n i n g a r b ä s t företages i s a m b a n d m e d d e n ö v r i g a u n d e r v i s n i n g e n , särskilt h e m b y g d s u n d e r v i s n i n g e n o c h a r b e t s ö v n i n g -a r n -a .
2. Talen två, tre, fyra, ett.
L ä r o b o k e n 1: 1—4.
P å f l e r a ställen i d e n m e t o d i s k a l i t t e r a t u r e n framhålles, a t t t a l e t
ett i n t e u t g ö r n å g o n u t g å n g s p u n k t för k u n s k a p e n o m t a l e n .1 O r d e n
»en» o c h »ett» får s i n t y d l i g a k a r a k t ä r a v r ä k n e o r d , först s e d a n de första b e s t ä m d a t a l b e g r e p p e n ö v e r ett f ö r v ä r v a t s . O f t a s k e r d e t ge-n o m e t t k ä ge-n s l o b e t o ge-n a t k o ge-n s t a t e r a ge-n d e a v a t t d e t f i ge-n ge-n s »bara ege-n», »bara e n e n d a
kvar».
H ä r s o m på a n d r a p u n k t e r i r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n gäller alltså, a t t d e n s y s t e m a t i s k a o r d n i n g e n i n t e a l l t i d är d e n u r p e d a g o g i s k s y n p u n k t g y n n s a m m a s t e . U n d e r v i s n i n g e n h a r a t t f ö l j a d e n o r d n i n g , s o m b e s t ä m m e s a v de p s y k o l o g i s k a f a k t o r e r n a . N ä r d e t gäller a t t g e n o m u n d e r v i s n i n g e n l å t a b a r n e n f ö r v ä r v a de b e s t ä m d a t a l b e g r e p p e n (ett, två, tre, fyra o. s. v . ) h a r m a n a n l i t a t t v å o l i k a h u v u d v ä g a r . I e n a f a l l e t h a r m a n a n v ä n t n å g o n t y p a v t a l b i l d e r , t . e x . • • • 9 J • o. s. v . I d e t a n d r a f a l l e t h a r m a n låtit b a r n e n r ä k n a u t e f t e r d e n v å g r ä t a t a l r a d e n : • • • • • • • • • • o. s. v . U r s p r u n g l i g e n u p p f a t t a d e s dessa m e t o d e r s o m o f ö r e n l i g a m o t -satser, o c h m e n i n g a r n a o m d e r a s v ä r d e g i c k s t a r k t isär. S o m m a n f i n n e r l i t a r t a l b i l d s m e t o d e n t i l l s y n s i n n e t , u n d e r d e t a t t t a l r a d s m e t o d e n b y g g e r p å d e n ( m e r eller m i n d r e m e d v e t n a ) u p p f a t t n i n g e n a v e n l i n j e u t s t r ä c k n i n g i r u m m e t o c h a v d e n a l l t m e r v ä x a n d e t i d s o m r ä k n a n d e t t a r .A v de a r g u m e n t , s o m anförts t i l l fördel för d e n e n a o c h a n d r a m e -t o d e n , i n -t r e s s e r a r här särskil-t d e -t u -t -t a l a n d e , s o m M e u m a n n g ö r i a n s l u t n i n g t i l l u t f ö r d a e x p e r i m e n t . H a n a n f ö r n ä m l i g e n , a t t s v a g t b e g å v a d e e l e v e r h a r s v å r a r e a t t lära s i g u p p f a t t a t a l , s o m f r a m -ställes g e n o m g r u p p e r a d e f ö r e m å l än a t t k o m m a t i l l k u n s k a p o m t a l e n g e n o m r ä k n a n d e u t e f t e r t a l r a d e n . S e n a r e h a r m a n p å g o d a g r u n d e r b ö r j a t b e t r a k t a e n k o m b i n a t i o n a v de t v å m e t o d e r n a s o m d e t r i k t i g a s t e förfaringssättet. D e t största t a l , s o m b a r n k a n u p p f a t t a g e n o m ö v e r b l i c k , alltså u t a n s u c c e s s i v t r ä k n a n d e , anges v a r a fyra ( m ö j l i g e n fem). T a l e n ett,
två, tre, fyra (fem) s k u l l e s å l u n d a k u n n a f ö r v ä r v a s m e d hjälp a v
t a l b i l d e r . F ö r a t t t a h ä n s y n t i l l b a r n e n s o l i k a f ö r e s t ä l l n i n g s t y p f i n n s a n l e d n i n g a t t a n v ä n d a b å d e t a l b i l d e r o c h r ä k n a n d e u t e f t e r r a -d e n , n ä r -d e t gäller t a l o m r å -d e t ett—fyra (fem). F ö r t a l h ö g r e än
fyra (fem) h a r t a l b i l d e r n a s i t t e g e n t l i g a v ä r d e u r e n a n n a n s y n p u n k t ,
n ä m l i g e n s o m m e d e l a t t i n f ö r a b a r n e n i t a l - s y s t e m e t . M e n d å d e t är e t t s t a d i u m , s o m l i g g e r h ö g r e än b i l d a n d e a v t a l b e g r e p p , u p p s k j u t e s a n v ä n d a n d e t a v t a l b i l d e r f ö r (fem), sex, sju, åtta e t c . t i l l s v i d a r e .
emellertid streck, ringar och p u n k t e r betyda något mera k o n k r e t : träd, bollar, k u l o r o. s. v . och uppgiften formas som en k o r t berät-telse.
På samma sätt behandlas talet tre.
Därefter k a n talen två och tre sättas i förhållande t i l l talet ett. M a n räknar också l j u d : tre knackningar hördes, n u bara en. I g y m -nastiksalen övas tre steg framåt, två steg, ett steg. V i d läsövningarna uppsöker m a n och lägger fram tre bokstäver av samma slag, två bokstäver, »en ensam». V i d sångövningen hör barnen först två l i k a toner, sedan bara en t o n . O. s. v .
När barnen själva med räkncbrickor eller d y l i k t framställer talet tre, göres det i olika kombinationer: • ^ .
T a l e t fyra behandlas på samma sätt som talet tre genom talupp-f a t t n i n g och taltalupp-framställning med verkliga talupp-föremål, bilder, räkne-b r i c k o r samt med ritade enkla figurer (streck, ringar och p u n k t e r ) . De b a r n , som inte genom överblick k a n känna igen t a l e t tre eller fyra, får n a t u r l i g t v i s identifiera talet genom successivt räknande.
E f t e r en behandling av talområdet ett—fyra (fem) efter de r i k t l i n -jer, som här uppdragits, studerar barnen sid. 1—4 i lärobokens första häfte. N a t u r l i g t v i s bör dessa sidor inte bara ge anledning t i l l beaktande av de framställda talen u t a n också t i l l samtal om de av-bildade tingen själva, så a t t bilderna får e t t levande innehåll.
3. Talraden.
Läroboken 1: 5—12.
Även beträffande talet fem skulle m a n k u n n a försöka samma be-handling som ifråga o m talområdet ett—fyra. M a n har därvid a t t tillgå det n a t u r l i g a åskådningsmedel som handen med dess fem fingrar erbjuder.
När det gäller talen över fem bör m a n dock under alla förhållan-den övergå t i l l talraförhållan-den och tills vidare utesluta varje annan f o r m av gruppering än den vågräta raden. Talet sex b l i r alltså det som »kom-mer ef ter fem» etc.
k l ä d h ä n g a r e o. s. v . ) , m e d o l i k a r i t a d e e n k l a b i l d e r , m e d k u l o r , r ä k n e -b r i c k o r e t c . s a m t m e d s t r e c k , r i n g a r o c h p u n k t e r . M a n o r d n a r t i l l e n b ö r j a n f ö r e m å l o c h b i l d e r i v å g r ä t a r a d e r o c h r ä k n a r a l l t i d från v ä n s t e r t i l l h ö g e r . S e n a r e k a n m a n införa l o d r ä t a r a d e r ( r ä k n a d e n e r i f r å n — u p p å t ) o c h ä v e n a n d r a f o r m e r a v r a d e r , t . e x . t r a p p s t e g . R ä k n a n d e a v l j u d ö v a s s o m f ö r u t ( k l o c k a n s s l a g ) , likaså f ö r e m å l i rörelse. M a n r ä k n a r s t e g , a r m s t r ä c k n i n g a r , h u v u d b ö j n i n g a r o. s. v . L i k s o m f ö r u t s k i l j e r m a n p å t a l u p p f a t t n i n g o c h talframställning. H u r l å n g t m a n s k a l l låta t a l r a d e n v ä x a v i d dessa första r ä k n e -ö v n i n g a r k a n få b l i b e r o e n d e a v b a r n e n s f -ö r m å g a . A t t g -ö r a h a l t j u s t v i d t a l e t tio o c h a t t r e d a n n u ge d e t t a t a l en särskild k a r a k t ä r , f i n n s e m e l l e r t i d i n g e n a n l e d n i n g t i l l . D e t gäller n ä m l i g e n i n t e a t t i n f ö r a b a r n e n i t a l s y s t e m e t u t a n e n d a s t a t t g ö r a d e m f ö r t r o g n a m e d d e n s u c c e s s i v t v ä x a n d e t a l r a d e n , d ä r t a l e t tio är e t t t a l precis s o m a l l a ö v r i g a . D å e m e l l e r t i d i n l ä r a n d e t a v n y a r ä k n e o r d u n d a n för u n d a n i n n e b ä r e n v i s s s v å r i g h e t , n ö d g a s m a n a v d e n n a a n l e d n i n g s t a r k t b e g r ä n s a t a l r a d e n t i l l e n b ö r j a n . S k a l l e t t v e r k l i g t b e g r e p p o m t a l e n k u n n a b i l d a s , m å s t e d o c k t a l r a d e n b y g g a s u t å t m i n s t o n e t i l l tolv, g ä r n a t i l l femton e l l e r tjugo, i n n a n r ä k n e o p e r a t i o n e r n a börjar ö v a s .
D e t är a v v i k t , a t t b a r n e n i n t e f ö r v ä x l a r g r u n d t a l o c h o r d n i n g s t a l . F ö r a t t d e t s k a l l stå k l a r t , a t t t . e x . t a l e t sju b e t y d e r h e l a r a d e n från o c h m e d ett t i l l o c h m e d sju, är d e t l ä m p l i g t a t t låta b a r n e n (då så är m ö j l i g t ) g ö r a e n s a m m a n f a t t a n d e rörelse m e d h a n d e n , när de v i d r ä k n a n d e t k o m m i t t i l l r a d e n s s l u t . K ä r g r u n d t a l e n behärskas, lär m a n i n o r d n i n g s t a l e n . O m s j ä l v a o r d e n d ä r v i d l a g b e r e d e r svårig-h e t e r , k a n m a n a n v ä n d a u t t r y c k e n » n u m m e r ett», » n u m m e r två» e t c . i stället för »första», »andra» o. s. v .
A t t låta b a r n e n r ä k n a först m e d v e r k l i g a f ö r e m å l , därefter m e d b i l d e r a v v e r k l i g a f ö r e m å l , m e d o l i k a s l a g a v s p e c i e l l a r ä k n e f ö r e m å l , s o m får b e t y d a m ä n n i s k o r , d j u r e t c , s a m t s l u t l i g e n m e d s t r e c k , r i n g a r o c h p u n k t e r s o m s y m b o l e r , i n n e b ä r a t t l å n g s a m t o c h m e t o -d i s k t ö k a g r a -d e n a v a b s t r a k t i o n s s v å r i g h e t . V i l l m a n y t t e r l i g a r e i n d e l a ö v n i n g a r n a efter a b s t r a k t i o n s s v å r i g h e t , k a n m a n följa K u h n e l s1 1 V ä r d e t a v a t t v i d d e n e l e m e n t ä r a u n d e r v i s n i n g e n i räkning f r a m s t ä l l a t a l e n m e d t i n g e l l e r b i l d e r o r d n a d e i r a d framhålles a v f l e r a räknemetodiker. J o h a n -n e s K u h -n e l s t i t r e d -n i -n g o m s a k e -n (i Neubau dea Beche-nu-nlerrichts) t o r d e v a r a e -n a v d e utförligaste.
a n v i s n i n g o c h l å t a r ä k n a n d e t ske först m e d b e r ö r i n g o c h f ö r f l y t t n i n g a v f ö r e m å l e n , s e d a n m e d b e r ö r i n g u t a n f ö r f l y t t n i n g , därefter u t a n b e r ö r i n g m e n m e d u t p e k a n d e a v v a r j e e n s k i l t f ö r e m å l o c h s l u t l i g e n e n d a s t m e d b l i c k e n ( v a r v i d b a r n g ä r n a v i l l a c k o m p a n j e r a r ä k n a n d e t m e d n i c k n i n g a r ) . H ä r anföres n å g r a e x . p å r ä k n e ö v n i n g a r a v o v a n a n t y t t s l a g . E x . 1 . B a r n e n l e k e r b u s s . R e s a n d e s t i g e r p å o c h a v . A n t a l e t r e -s a n d e a v r ä k n a -s v a r j e g å n g . ( N å g o n ö v n i n g i a d d i t i o n eller -s u b t r a k t i o n avses g i v e t v i s i n t e m e d d e n n a e l l e r f ö l j a n d e ö v n i n g a r i d e t t a k a p i t e l . ) E x . 2 . B ä n k l o c k e t är e n åker. E n m a n går o c h sår. E n f l o c k s p a r v a r slår n e r p å å k e r n . ( U n d e r v i s a r e n lägger u t e t t l i k a a n t a l r ä k n e b r i c k o r hos v a r j e b a r n e l l e r p å b o r d e t framför g r u p p e n . ) B r i c -k o r n a får v a r a s p a r v a r n a . R ä -k n a d e m ! T a g en i t a g e t o c h f l y t t a åt v ä n s t e r ! — Tre s p a r v a r k o m m e r t i l l . R ä k n a n u h e l a r a d e n ( p å s a m m a s ä t t s o m f ö r u t ) ! Fem s p a r v a r f l y g e r b o r t . R ä k n a b o r t från s l u t e t ! R ä k n a d e m s o m är k v a r ! ( S o m f ö r u t . ) E x . 3. D e t är i g å s t i d e n . E n h a n d l a n d e h a r tolv gäss. L ä g g u p p tolv b r i c k o r i r a d ! E n f r u s o m h a r m a t g ä s t e r k ö p e r fyra gäss. R ä k n a b o r t från s l u t e t ! R ä k n a d e m s o m är k v a r m e n u t a n a t t f l y t t a d e m ! H e r r B l a d k ö p e r två gäss. O . s. v . E x . 4. N i s k a l l r i t a p e p p a r k a k o r . R i t a så m å n g a r i n g a r n i h i n n e r , t i l l s j a g säger s t o p p ! R ä k n a h u r m å n g a d e t b l e v ! E x . 5. H a n s o c h G r e t a h a r p l o c k a t f a l l f r u k t . D e h a r p l o c k a t o p p
tio ä p p l e n . R i t a tio r i n g a r i r a d ! M o r s y n a r ä p p l e n a . Tre är o d u g l i g a
4. R y t m i s k räkning.
Läroboken 1: 13—14.
O m m a n v i d räknande utefter talraden betonar t . ex. v a r t a n n a t eller v a r t tredje t a l och gör en paus efter varje t a l , som betonas, inträder en viss r y t m : ett, två; tre, fyra; fem, sex; o. s. v . Eller: ett, två, tre; fyra, fem, sex; sju, åtta, nio; o. s. v . R y t m e n k a n mar-keras genom rörelse, t . ex. marsch med märkessteg på de betonade talen, t a k t s l a g n i n g etc.
V i d räkning med speciella räkneföremål eller enkla ritade figurer ordnas dessa utefter en vågrät linje och grupperas med mellanrum alltefter r y t m e n : e « • • • • o. s. v . • • • • • • o. s. v .
Den r y t m i s k a räkningen är en v a r i a t i o n av radräknandet, och barnen b r u k a r finna den lustig som omväxling och som e t t nyför-värv i räknefärdigheten. A d d i t i o n e n med två och tre får stöd av räk-ningen i två- och fre-rytm. D e n gruppering av talen, som sker genom r y t m i s k räkning, k a n betraktas som en övergångsform mellan den upprepade ökningen med en enhet i taget och den omedelbara ök-ningen med en hel t a l g r u p p på två eller tre enheter.
O m e t t a l l t för stort a n t a l elever — t . ex. i hjälpklass — skulle visa sig ha svårt för den r y t m i s k a räkningen, behöver den i n t e be-t r a k be-t a s som någobe-t absolube-t nödvändigbe-t l e d i undervisningen. M a n kan i så fall spara den och endast låta den utgöra förberedelse t i l l multiplikationsförfarandet (under tredje hjälpskoleåret).
Som förberedelse t i l l m u l t i p l i k a t i o n e n varieras den r y t m i s k a räk-ningen lämpligen på följande sätt:
1) D e t sista räkneordet i varje period betonas. (Se ovan!) 2) De obetonade räkneorden i n o m perioden uttalas med viskande röst, det sista i perioden som förut med k r a f t i g röst.
3) De obetonade räkneorden endast tankes.
4) D e n tredje formen övas, tills serien k a n räknas genom a t t en-dast periodens sista t a l fixeras i medvetandet: två, fyra, sex, åtta o. s. v . ; tre, sex, nio, tolv o. s. v .
5. Ökning och minskning genom räknande framåt resp,
bakåt utefter talraden.
L ä r o b o k e n 1: 1 5 — 2 3 . O r d n i n g s t a l e n .
O m t a l r a d e n l a g t s u t t . e x . t i l l sju o c h y t t e r l i g a r e ett lägges u t , är d e t d e n å t t o n d e , s o m k o m m e r t i l l . F ö r a t t g ö r a e n k l a r s k i l l n a d m e l l a n d e n ( e l l e r d e m ) , s o m k o m m e r t i l l , o c h d e t r e s u l t a t , s o m d å u p p s t å r , s k u l l e d e t alltså v a r a t i l l f ö r d e l , o m b a r n e n k ä n d e s å v ä l o r d n i n g s t a l s o m g r u n d t a l . O m d e t v i s a r sig, a t t i n l ä r a n d e t a v o r d n i n g s -t a l e n b e r e d e r s -t o r a svårighe-ter, k a n m a n — s o m f ö r u -t p å p e k a -t s — h j ä l p a s i g f r a m g e n o m a t t b e n ä m n a de e n s k i l d a t a l e n i t a l r a d e n för » n u m m e r ett», » n u m m e r t v å » o. s. v . M a n s a m t a l a r d å först o m t i d -n i -n g s -n u m m e r , b i l -n u m m e r , t e l e f o -n -n u m m e r , h u s -n u m m e r ( s o m d o c k f o r d r a r s i n särskilda b e h a n d l i n g p å g r u n d a v u p p d e l n i n g e n i u d d a o c h j ä m n a ) , l ö p a r e s n u m m e r ( s t a r t n u m m e r o c h n u m m e r p å p r i s -l i s t a n ) o. s. v . D e t -l i g g e r s t o r v i k t p å , a t t m a n ö v a r g r u n d -l i g t , så a t t s k i l l n a d e n m e l l a n t . e x . fem s t y c k e n o c h a t t v a r a » n u m m e r fem»
f i g u r e r . F ö r l ö s a n d e a v ö k n i n g s u p p g i f t e r i bildframställning g e r l ä r o b o k e n e n d e l m a t e r i a l . S l u t l i g e n k a n m a n v å g a s i g p å f ö r s ö k e t a t t l ö s a u p p g i f t e r n a m e d e n d a s t i n r e å s k å d n i n g . » T ä n k er a t t v i h a r e n stege! O l l e står p å p i n n e n n u m m e r nio. N u k l i v e r h a n o p p två p i n n h å l . V a r t k o m m e r h a n d å ? » O . s. v . L y c k a s i n g e t a v b a r n e n a t t lösa u p p g i f t e n , h a r s a k e n t y d l i g e n k o m m i t f ö r t i d i g t . M a n ö v a r p å a n g i v e t s ä t t r ä k n a n d e f r a m å t u t e f t e r t a l r a d e n o c h k l ä t t r i n g u p p f ö r t a l s t e g e n m e d ett, två o c h tre i t a g e t . M i n s k n i n g .
M a n b ö r j a r m e d a t t lära i n t a l r a d e n b a k å t från tolv t i l l ett. M i n s k -n i -n g s k e r s o m r ä k -n i -n g b a k å t u t e f t e r t a l r a d e -n , m e d ett, två o c h tre i t a g e t . M a n r ä k n a r m e d v e r k l i g a f ö r e m å l , b i l d e r , r ä k n e b r i c k o r , r i t a d e e n k l a f i g u r e r o c h s l u t l i g e n ( o m m ö j l i g t ) i föreställningen. O m b a r n e n g r u n d l i g t ö v a r de u p p g i f t e r , s o m h i t t i l l s b e s k r i v i t s , b ö r de f ö r v ä r v a e n m y c k e t b e t y d e l s e f u l l k u n s k a p . D e får u p p f a t t -n i -n g b å d e o m t a l e -n s o m s å d a -n a o c h o m deras storleksförä-ndri-ngar. D e b ö r få e n i n r e b i l d a v t a l e n s o m e n längre e l l e r k o r t a r e r a d o c h e n b i l d a v h u r d e n n a r a d v ä x e r o c h k r y m p e r . D e n n a föreställning o m t a l r a d e n u t g ö r g r u n d e n f ö r r ä k n e f ö r m å g a n . M a n får d ä r f ö r i n t e anse d e t s o m » b o r t k a s t a d tid» a t t syssla m e d dessa ö v n i n g a r , ä v e n o m de i n t e ger n å g r a p å t a g l i g a r e s u l t a t i f o r m a v i n l ä r d a s v a r , o c h t r o t s a t t de i n t e är f ö r b u n d n a m e d s i f f e r s k r i v n i n g . Ä v e n o m m a n för de a n g i v n a ö v n i n g a r n a s k u l l e anslå l å n g t i d , är d e n n a v ä l a n v ä n d . E x e m p e l p å ö k n i n g . 1. F a r sätter o p p e t t s t a k e t . N i s s e b ä r f r a m spjälor. F a r s p i k a r f a s t d e m . N u h a n h a n s p i k a t f a s t sex s p j ä l o r . N i s s e k o m m e r m e d tre n y a s p j ä l o r . 2. N ä r t å g e t k o m t i l l X s t a t i o n , h a d e d e t tio v a g n a r . I X s a t t e m a n t i l l två v a g n a r . 3. L i s a p l o c k a r s m u l t r o n . H o n t r ä r d e m p å e t t strå. H o n h a r h i t t a t åtta s t y c k e n . N u h i t t a r h o n tre t i l l . 4. A n d e r s k l ä t t r a r p å s t e g e n . H a n står p å p i n n e n n u m m e r sju. N u k l i v e r h a n o p p två p i n n h å l . S l u t l i g e n (på f ö r s ö k o c l i efter m å n g a u p p g i f t e r a v o v a n s t å e n d e t y p ) V i h a r fem; lägg t i l l två o. s. v .
E x e m p e l p å m i n s k n i n g . 1. E r i k slår k ä g l o r . Åtta k ä g l o r står i r a d . I första k a s t e t slår h a n n e r två k ä g l o r . H u r m å n g a står k v a r ? ( A n m . E n l i g t v i s s a u n d e r s ö k n i n g a r s k u l l e b a r n e n senare k o m m a t i l l förståelse för s u b t r a k t i o n e n ä n f ö r a d d i t i o n e n . D e är t i l l e n b ö r -j a n i n t e k l a r t m e d v e t n a o m , a t t r e s t e n s t å r i f ö r h å l l a n d e t i l l d e n u r s p r u n g l i g a m ä n g d e n . D ä r f ö r s k u l l e m a n i n t e u t a n v i d a r e k u n n a f ö r u t s ä t t a , a t t de i n s e r , v a d m a n k a n r ä k n a u t i u p p g i f t e r s o m d e n n y s s a n f ö r d a o c h följande.) 2 — 4 . G e n o m ö m v ä n d n i n g a v ö k n i n g s u p p g i f t e r n a 2 — 4 o v a n er-hålles m i n s k n i n g s u p p g i f t e r ( k o p p l a d e ifrån, åt u p p , k l ä t t r a d e n e r ) . S l u t l i g e n ( p å f ö r s ö k o c h e f t e r m å n g a k o n k r e t a e x e m p e l ) : V i h a r sju; t a g b o r t tre o. s. v . S k u l l e m i n s k n i n g s u p p g i f t e r n a fortsättas, t i l l s i n g e n t i n g f i n n s k v a r a v r a d e n , u t t r y c k e s d e t t a m e d »ingenting k v a r » . »Talet noll» är ä n så l ä n g e e n o b e g r i p l i g h e t . E x e m p e l p å b l a n d a d e u p p g i f t e r . 1. Fem f l i c k o r g i c k u t f ö r a t t p l o c k a b l o m m o r . Så k o m L i s a , S t i n a o c h G r e t a o c h v i l l e f ö l j a m e d . ( H u r m å n g a v a r d e t n u ? ) V e r a o c h L i s a går åt e t t a n n a t håll i h a g e n än de a n d r a . ( R ä k n a ! ) R u t p l o c k a r tre g u l l v i v o r , två l i l j e k o n v a l j e r o c h två v i o l e r . ( R ä k n a ! ) O . s. v . 2. E n s k o l p o j k e s d a g . H a n s t i g e r o p p . K l o c k a n slår s t r a x . R ä k n a slagen! H a n h a r f l e r a s y s k o n , s o m s k a l l i s k o l a n . D e t är E r i k , A n n a , L i s a o c h P e r . H u r m å n g a p o j k a r ? H u r m å n g a f l i c k o r ? H u r m å n g a b a r n ? O . s. v .
i n t e i s i f f r o r , v i l k e t t y d l i g e n g y n n a t t a l b i l d e r n a e n l i g t s y s t e m I . Dessa h a r k u n n a t k o r r e k t återges g e n o m a t t d e r a s o l i k a d e l a r r e p r o -d u c e r a t s , u t a n a t t -därför -d e t h e l a b e h ö v t b e s t ä m m a s o c h alltså i n t e h e l l e r m e d säkerhet v a r i t k l a r t u p p f a t t a t . W a l s e m a n n s p r o t o k o l l ö v e r de a v h o n o m g j o r d a u n d e r s ö k n i n g a r n a u p p t a r o c k s å e t t f a l l , d å e t t s v a g t b e g å v a t b a r n ej f ö l j t i n s t r u k t i o n e n a t t a n g e t a l b i l d e r n a a v t y p I m e d e n e n d a s i f f r a u t a n s k r i v i t e n s i f f r a för v a r o c h e n a v t a l b i l d e n s d e l g r u p p e r o c h följaktligen å t e r g i v i t nio (• • • • •) s o m 4, 4 , 1. T a l b i l d s s y s t e m e t I I är f ö r ö v r i g t a t t föredra r e d a n a v d e n a n l e d -n i -n g e -n , a t t d e t framställer t i o t a l e -n o d e l a d e . T a l b i l d e r -n a s främsta u p p g i f t är j u s t a t t införa i t i o t a l s s y s t e m e t o c h å s k å d l i g g ö r a r ä k n e -o p e r a t i -o n e r m e d s t ö d a v d e t t a s y s t e m . S o m i n l e d n i n g t i l l b e h a n d l i n g e n a v t i o t a l s s y s t e m e t k a n m a n r ä k n a u p p t i o e n h e t e r i t v å - r y t m . B a r n e n lägger f ö r e m å l e l l e r r ä k n e b r i c k o r i t v å - g r u p p e r i n g u t e f t e r e n r a d : • • • • • • • • • • . M a n p å v i s a r s e d a n a t t d e t f i n n s e n a n n a n m ö j l i g h e t : J J J | §• A l l t ifrån b ö r j a n v ä n j e s b a r n e n a t t läsa u t e n s å d a n r a d i f ö l j a n d e o r d n i n g :
ett tre fem sju nio två fyra sex åtta tio
S j ä l v a u p p s t ä l l n i n g e n i p a r k ä n n e r b a r n e n a n t a g l i g e n r e d a n t i l l . E n d e l ö v n i n g a r inskärper d e n n a f o r m för o r d n a n d e a v e n h e t e r n a i e t t t a l : u p p s t ä l l n i n g p å t v å l e d , s i s t a p a r e t u t , t e c k n i n g a v t r ä d r a d e r , fönster o. s. v . Ö v n i n g a r n a företages s o m förut m e d v e r k l i g a f ö r e m å l , b i l d e r , s p e c i e l l r ä k n e m a t e r i e l l o c h r i t a d e e n k l a f i g u r e r .
7. Sönderdelning av talen två—tio. Ökning och
minsk-ning med talbilder.
L ä r o b o k e n 1: 2 6 — 3 3 .
i n t e e n d a s t m e k a n i s k t inlärande a v färdiga s v a r . Så s m å n i n g o m k o m m e r å t m i n s t o n e e n d e l a v e l e v e r n a g e n o m r a d r ä k n a n d e t ö v e r t i l l m e k a n i s k f ä r d i g h e t i ö k n i n g o c h m i n s k n i n g m e d två o c h tre i t a g e t . F ö r r e l l e r senare m å s t e m a n e m e l l e r t i d ö v a ö k n i n g o c h m i n s k n i n g m e d h e l a t a l g r u p p e r . E n g o d f ö r b e r e d e l s e härtill u t g ö r s ö n d e r d e l -n i -n g e -n a v t a l e -n två—tio i t v å ( l i k a e l l e r o l i k a s t o r a ) d e l a r . D e -n -n a s ö n d e r d e l n i n g a v t a l e n i n o m d e t första t i o t a l e t u t g ö r o c k s å e n f ö r beredelse för lösningen a v s å d a n a u p p g i f t e r , v i d v i l k a m a n k o m p l e t -t e r a r ( v i d a d d i -t i o n ) r e s p . går n e r -t i l l ( v i d s u b -t r a k -t i o n ) n ä r m a s -t e h e l a t i o t a l . S å d a n a u p p g i f t e r m e d m a r k e r a d t i o t a l s ö v e r g å n g ö v a s e m e l -l e r t i d först b e t y d -l i g t senare. S o m u t g å n g s p u n k t för ö v n i n g a r n a a t t d e l a s ö n d e r t a l k a n m a n t . e x . ge u p p g i f t e n a t t gissa f ö r d e l n i n g e n a v p o j k a r o c h f l i c k o r i e n f a m i l j , s o m h a r tre b a r n . D e t f ö r u t s a t t e s a t t b å d e p o j k a r o c h f l i c k o r f i n n s , t y u p p d e l n i n g e n tre o c h noll s a k n a r b e t y d e l s e i d e t här s a m m a n -h a n g e t . F ö r -h å l l a n d e t d e m o n s t r e r a s m e d tre e l e v e r . N y a u p p g i f t e r ställes s e d a n , d ä r d e t gäller två b a r n , fyra b a r n o. s. v .
L i k n a n d e u p p g i f t e r är d e t l ä t t a t t k o m p o n e r a . H ä r y t t e r l i g a r e n å g r a e x .
R i t a sju r i n g a r ! D e t är sju b a l l o n g e r , s o m b a l l o n g m a n n e n h a r k v a r . E n d e l b a l l o n g e r är r ö d a , e n d e l är blå. F ä r g a s o m n i t r o r , a t t d e t är! I e t t h u s f i n n s sex f ö n s t e r åt g a t a n . E n k v ä l l l y s t e d e t i e n d e l fönster, i e n d e l v a r d e t m ö r k t . ( R i t a s eller lägges m e d r ä k n e l a p p a r . )
sättas i h o p , så a t t n y a , större t a l erhålles. L ä g g e s t a l b i l d e n f ö r två i n t i l l t a l b i l d e n f ö r fyra, erhålles t a l b i l d e n f ö r sex: D e n s a m -m a n f o g a d e t a l b i l d e n u t b y t e s -m o t e n h e l »sexa». P å s a -m -m a s ä t t ö v a s s a m m a n l ä g g n i n g a v åtta o c h två, sex o c h två, två o c h två; sex o c h tre,
fyra o c h tre o . s. v . ; sex o c h fyra e t c . — O m t a l b i l d e r n a f ö r fem o c h tre
lägges i n t i l l v a r a n d r a , erhålles i n g e n n y t a l b i l d : H a r d e t i n t e r e d a n b l i v i t k l a r t f ö r b a r n e n , får m a n alltså p å p e k a , a t t »trean» k a n v ä n d a s , så a t t d e n passar i n i » f e m m a n » : • • * 8
• • • •
D e n h o p f o -g a d e »åttan» u t b y t e s m o t e n h e l »åtta». P å s a m m a sätt ö v a s sju o c h tre o. s. v . Ö k n i n g o c h m i n s k n i n g m e d ett, två o c h tre m e d h j ä l p a v t a l b i l d e r i n n e b ä r t y d l i g e n i n t e n å g o n s t ö r r e n y h e t , e f t e r s o m dessa u p p g i f t e r f ö r u t ö v a t s g e n o m r ä k n a n d e f r a m å t r e s p . b a k å t u t e f t e r t a l r a d e n . M e d t a l b i l d c r n a åskådliggöras n u , a t t s å d a n a u p p g i f t e r s o m t . e x . två o c h fyra k a n lösas g e n o m o m f l y t t n i n g a v t a l e n , så a t t m a n får d e n r e d a n k ä n d a u p p g i f t e n fyra o c h två. Således ö v a s m e d t a l b i l d e r f ö l j a n d e ö k n i n g s u p p g i f t e r : 1) ö k n i n g m e d ett, två o c h tre (förut ö v a d e g e n o m r ä k n i n g f r a m å t u t e f t e r r a d e n ) , 2) ö m v ä n d n i n g a v s å d a n a u p p g i f t e r s o m ett o c h åtta, två o c h fem e t c , 3) u p p g i f t e r n a fyra o c h fyra, fem o c h fyra, sex o c h fyra s a m t / e m o c h fem.S e d a n dessa ö k n i n g s u p p g i f t e r l a g t s m e d l ö s a t a l b i l d e r , b e h a n d l a s l ä r o b o k e n s u p p g i f t e r ( 1 : 2 7 — 3 0 ) . D e t gäller d ä r v i d f ö r b a r n e n a t t f ö r e s t ä l l a s i g r e s u l t a t e t a v d e m e d b i l d e r t e c k n a d e u p p g i f t e r n a .
1) s j ä l v a t a l e n från o c h m e d ett t i l l o c h m e d tolv (ev. n å g o t längre); 2) ö k n i n g m e d ett, två o c h tre i n o m t a l o m r å d e t ett—tolv ( e l l e r l ä n g r e ) ; 3) m i n s k n i n g m e d ett, två o c h tre i n o m s a m m a t a l o m r å d e ; 4) d e t första t i o t a l e t i t a l b i l d e r ; 5) s a m m a n l ä g g n i n g i n o m t a l o m r å d e t ett—tio ( a l l a m ö j l i g h e t e r ) ; 6) . m i n s k n i n g i n o m t a l o m r å d e t ett—tio ( a l l a m ö j l i g h e t e r ) . V i d a r b e t e t m e d dessa u p p g i f t e r h a r a n v ä n t s v e r k l i g a föremål, b i l d e r a v v e r k l i g a f ö r e m å l , s p e c i e l l a r ä k n e f ö r e m å l o c h e n k l a r i t a d e f i g u r e r ( r i n g a r , s t r e c k o c h p u n k t e r ) . N ä r d e t är p s y k o l o g i s k t m o t i -v e r a t a t t i n f ö r a s i f f r o r n a s o m t a l e n s t e c k e n , k a n s-vårligen m e d be-s t ä m d h e t fabe-stbe-ställabe-s i e n k u r be-s p l a n . M e n i n g a r n a i d e n n a fråga är för ö v r i g t d e l a d e . Å e n a s i d a n f i n n s d e t u n d e r v i s a r e , s o m inför siff-r o siff-r n a så g o t t s o m o m e d e l b a siff-r t , m e n å a n d siff-r a s i d a n m ö t e siff-r m a n o f t a r å d e t a t t u p p s k j u t a a n v ä n d a n d e t a v s i f f e r s k r i f t e n för l å n g t i d — i b l a n d föreslås t i l l s l u t e t a v a n d r a skolåret. O m m a n s o m r i k t i g a b e -t r a k -t a r p r i n c i p e r n a a -t -t gå från d e -t k o n k r e -t a -t i l l d e -t a b s -t r a k -t a o c h a t t i n t e i n f ö r a m e r än ett n y t t m o m e n t för v a r j e g å n g u n d e r v i s n i n g e n s k r i d e r f r a m å t , så m å s t e d ä r a v följa, a t t m a n i n t e lär i n s i f f r o r n a a l l t ifrån b ö r j a n p a r a l l e l l t m e d de o l i k a t a l e n . F ö r s t när b a r n e n r i k t i g t k a n a n g e å s k å d l i g t framställda t a l å t m i n s t o n e i n o m t a l o m r å d e t
ett-tolv (gärna n å g o t längre) o c h o m v ä n t k a n r i k t i g t framställa dessa t a l ,
I b l a n d ger m a n s i f f r o r n a e x t r a n a m n , s o m s k a l l a n t y d a d e r a s u t seende: 1 = p i s k a , 2 = s v a n , 3 = h a l v k r i n g l a , 4 = u p p o c h n e d -v ä n d s t o l o. s. -v .
s e r v e r a o r d e t »tal» för dess e g e n t l i g a b e t y d e l s e i r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n o c h k o n s e k v e n t k a l l a f ö r e k o m m a n d e u p p g i f t e r f ö r r ä k n e u p p g i f t e r , h e m u p p g i f t e r o. s. v .
9. Plustecknet.
L ä r o b o k e n 1: 36 — 37. I n f ö r a n d e a v p l u s t e c k n e t f ö r a d d i t i o n b ö r u t g ö r a e n särskild u n d e r -v i s n i n g s e n h e t m e d särskild ö -v n i n g s p e r i o d , i n f ö r a n d e a -v m i n u s t e c k n e t för s u b t r a k t i o n e n a n n a n o c h i n f ö r a n d e a v l i k h e t s t e c k n e t e n t r e d j e . F ö r s t å e l s e för dessa t e c k e n förutsätter e n h ö g g r a d a v a b s t r a k t i o n s -f ö r m å g a . Särskilt gäller d e t t a l i k h e t s t e c k n e t , s o m d ä r -f ö r s p a r a s t i l l s i s t . A t t b ö r j a m e d b e t y d e r -|- a l l t i d n å g o t k o n k r e t , t . e x . f i c k , h i t t a d e , p l o c k a d e u p p , s t e g i n ( b l a n d de a n d r a ) e t c . M a n u t g å r alltså från n å g o n »räknehistoria», s o m får »spelas» a v b a r n e n . E n b ä n k r a d före-ställer e n buss. D e t s i t t e r 6 p e r s o n e r i bussen. V i d n ä s t a hållplats .stiger 3 n y a i n . — D e u p p t r ä d a n d e t a l e n k a n b a r n e n r e d a n r e p r e s e n -t e r a m e d s i f f r o r . P r o b l e m e -t b l i r all-tså, h u r m a n s k a l l v i s a a -t -t -t a l e n 6 och 3 s k a l l föras t i l l s a m m a n e l l e r s ä t t a s i h o p . J ä m f ö r e l s e k a n g ö r a s m e d h u r m a n b i n d e r i h o p saker, l i m m a r i h o p d e m , s p i k a r i h o p d e m o. s. v . M a n k o n s t a t e r a r s e d a n , a t t när m a n sätter i h o p t a l , v i s a r m a n d e t m e d t e c k n e t + . F l e r a »historier» b e h a n d l a s g r u n d l i g t p å s a m m a s ä t t . U p p g i f t e r i s t i l m e d d e m p å s i d a n 3 6 — 3 7 i l ä r o b o k e n s f ö r s t a h ä f t e s k r i v e s s e d a n e n i t a g e t p å k r i t t a v l a n . M a n går f ö r s t i g e n o m s a m t l i g a u p p g i f t e r e l l e r e n d e l a v d e m o c h låter d ä r v i d h e l a t i d e n t e c k n e t + b e t y d a »fick». F ö r s t ger u n d e r v i s a r e n e t t a n t a l k o n -k r e t a u p p g i f t e r t i l l s i f f e r u p p g i f t e r n a : L i s a h a d e 2 s a g o b ö c -k e r . P å s i n f ö d e l s e d a g f i c k h o n e n n y o. s. v . E f t e r a t t e t t a n t a l s å d a n a u p p g i f t e r g e n o m g å t t s , får b a r n e n f ö r s ö k a a t t s j ä l v a h i t t a p å »räknehistorier» m e d »fick» t i l l s i f f e r u p p g i f t e r , s o m s k r i v i t s u p p p å k r i t t a v l a n . D ä r e f t e r g e n o m g å s s a m m a u p p g i f t e r v a r v i d m a n låter -f- b e t y d a »hittade». F ö r s t b e r ä t t a r u n d e r v i s a r e n »räknehistorier» sedan b a r n e n . P å s a m m a sätt b e h a n d l a r m a n e t t f l e r t a l räknehistorier i följd för v a r o c h e n a v t y p e r n a » p l o c k a d e » ( f a l l f r u k t , b l o m m o r ) , »resande s t i g e r i n i busson» e t c .10. Minustecknet.
L ä r o b o k e n 1: 3 8 — 3 9 .
S e d a n dessa ö v n i n g a r a v s l u t a t s , k o m m e r m a n ö v e r e n s o m , a t t d e t är b e k v ä m a r e a t t s k r i v a e n k o r t a r e v å g a r m , o c h m a n är alltså f r a m m e v i d l i k h e t s t e c k n e t .
12. Skriftlig uppställning av räkneuppgifterna.
L ä r o b o k e n 1: 4 7 . N ä r m a n lärt i n s i f f r o r n a , p l u s t e c k n e t , m i n u s t e c k n e t o c h l i k h e t s t e c k n e t , ö v a s d e n e n a a v de t v å v a n l i g a f o r m e r n a f ö r s k r i f t l i g u p p ställning a v r ä k n e u p p g i f t e r n a , n ä m l i g e n m e d s i f f r o r o c h o p e r a t i o n s -t e c k e n i v å g r ä -t a r a d e r . U p p s -t ä l l n i n g e n m e d -t a l e n u n d e r v a r a n d r a för u t r ä k n i n g e n l i g t d e n speciella f o r m e n för s k r i f t l i g r ä k n i n g m e d s t ö r r e t a l t i l l ä m p a s f ö r s t l ä n g r e f r a m . L ä r o b ö c k e r n a s u p p g i f t e r för s k r i f t l i g r ä k n i n g är i a l l m ä n h e t dels u p p g i f t e r m e d t e x t o c h s i f f r o r , dels u p p g i f t e r m e d e n d a s t s i f f r o r . I första h ä f t e t a v l ä r o b o k e n Räkna Rätt f ö r e k o m m e r r ä k n e u p p g i f t e r m e d t e x t e n d a s t p å s i d . 5 0 , s o m b e h a n d l a r v e c k a n s d a g a r . D e a v s e r e m e l l e r t i d m i n d r e a t t v a r a r ä k n e u p p g i f t e r ä n a t t ge innehåll åt b e -h a n d l i n g e n a v d a g a r n a . U p p g i f t e r n a löses g e n o m -h u v u d r ä k n i n g , o c -h s v a r e n k a n erhållas g e n o m a t t d a g a r n a r ä k n a s e n o c h e n p å d e t s c h e m a , s o m f i n n s i l ä r o b o k e n .
M a n slår t . ex. fem gånger var, och slutresultatet uträknas. Sanno-likheten för a t t någon skall slå »tvåor» varje gång, och a t t m a n alltså skall överskrida 9, är j u inte stor. Skulle det inträffa, får veder-börande i sin s l u t k o l u m n en stjärna eller något annat tecken, som får ange högsta möjliga poäng.
T i o t a l s s i f f r a n s p l a t s v ä r d e .
När det gäller a t t bibringa förståelse för siffersystemet, måste m a n använda något o r d , som anger betydelsen av siffrornas placering. M a n har då svårt a t t k o m m a ifrån ordet »värde». E n för barnen av-passad utredning av d e t t a ords innebörd bör alltså göras. (Ordet »plats» förekommer väl så ofta i skolan, a t t det torde förstås u t a n särskild behandling. Likaså ordet »rum», som också b r u k a r användas i d e t t a sammanhang.)
V i d förklaring av ordet »värde» får m a n vädja t i l l barnens erfaren-het på de p u n k t e r , där sådan k a n vara för handen. Kanske känner de t i l l , a t tb fallfrukt* inte är^ så'mycket »värd» som plockad, a t t den felfria f r u k t e n betalas bättre, a t t den är mera »värd» än den stötta eller på annat sätt skadade. De v e t kanske också, a t t g u l d är d y r -barare än silver o. s. v .
D e n mest d i r e k t a jämförelsen ger kanske m y n t e n . M a n lägger upp t . ex. 9 ettöringar och t i l l vänster om dem 1 tioöring. D e n enda tioöringen är mer »värd» än alla ettöringarna (man får mer för den). Så är det också, när m a n skriver siffror. V i l l m a n med siffror tala om, a t t m a n har 9 ettöringar och 1 tioöring, så skriver m a n en nia och t i l l vänster o m den en etta. Då är e t t a n »värd» mer än nian, t y e t t a n be-t y d e r en be-tioöring.
Sedan m a n på samma sätt b i l d a t talen 18, 17 o. s. v . t i l l och med 11, kommer en uppgift, där m a n ingen ettöring har. Därefter ställes problemet hur det går, om m a n skulle ha 1 tioöring och 10 ettöringar. Då vore ettöringarna l i k a m y c k e t värda som en tioöring. M a n får alltså konstatera, a t t ettöringarna i så f a l l bytes u t m o t 1 tioöring, a t t den får samma förnäma plats som den första tioöringen, och a t t det på v a n l i g t sätt markeras, a t t inga ettöringar finns.
t i l l de språkliga u t t r y c k e n o c h t i l l d e n s p e c i e l l a m a t e m a t i s k a t e k n i k e n o c h t e c k e n s k r i f t e n .
V a d s o m t y c k s h a h i n d r a t N o r d l u n d från e n f u l l t k o n s e k v e n t t i l l -l ä m p n i n g a v å s k å d n i n g s m e t o d e n , är de-ls h a n s a-l-ltför s t r ä n g t t e o r e t i s k a inställning t i l l f ö r h å l l a n d e - b e g r e p p e t , dels u n d e r v i s n i n g e n s språkliga s i d a . N o r d l u n d b e a k t a d e d e n t v å f a l d i g a k a r a k t ä r , s o m de v a n l i g a t a l e n äger, i d e t a t t de i v i s s a f a l l a n g e r e n k v a n t i t e t e l l e r e t t m å t t (5 ä p p l e n , o m ) , i a n d r a f a l l v a d N o r d l u n d k a l l a d e e t t »förhållande», ( i u t t r y c k e t 2 x 5 m = 10 m a n g e r 2 : a n »förhållandet» m e l l a n 5 m o c h 10 m ) . D e t är n a t u r l i g t v i s r i k t i g t , a t t d e n n a o m s t ä n d i g h e t får b e t y d e l s e f ö r u n d e r v i s n i n g e n s u t f o r m n i n g , m e n v i l k e n d e n m e t o d i s k a k o n s e k v e n s e n b l i r , är e n a n n a n fråga. D e t förefaller, s o m o m N o r d l u n d beträffande f ö r h ä l l a n d e b e g r e p p e t , l i k s o m i ö v r i g t , v e l a t b i n d a u n d e r v i s n i n g e n v i d v i s s a s p e c i e l l a u t t r y c k s s ä t t , o c h a t t h a n s m e t o d t r o t s v ä d j a n t i l l å s k å d -n i -n g e -n h a f t e -n alltför a b s t r a k t r e s o -n e r a -n d e k a r a k t ä r . S o m p r o v m å f ö l j a n d e c i t a t g ö r a s u r d e t f ö r u t a n f ö r d a a r b e t e t . B e t y d e l s e n t . e x . a v d e t m y c k e t o m t v i s t a d e o r d e t förhäl-lande, s o m är n a m n e t p å m a t e m a t i k e n s v i k t i g a s t e b e g r e p p — — — klargöres t i l l e n b ö r j a n g e n o m f ö l j a n d e u p p l y s n i n g :
när det hela är delat i lika stora delar, så säges delarnas antal vara förhållandet mellan det hela och en av de lika stora delarna.
( A . a. s i d . 3.) L ä r a r e n lägger f r a m p å k a t e d e r n t . e x . fyra s k r i v b ö c k e r o c h m e d d e l a r b a r n e n , a t t p r i s e t å v a r o c h e n a v d e m är 6 öre, v a r e f t e r b a r n e n u p p m a n a s a t t t ä n k a u t , h u r u de b ö r a g å t i l l v ä g a m e d p e n n i n g a r n a ( s o m f ö r v a r a s i e n l å d a , ställd p å k a t e d e r n ) för a t t erhålla p r i s e t p å de f y r a s k r i v b ö c -k e r n a . B a r n e t , s o m f u n n i t t i l l v ä g a g å n g s s ä t t e t , k a l l a s f r a m t i l l k a t e d e r n . B . lägger 6 ö r e p å v a r j e s k r i v b o k o c h säger: »de u t l a g d a p e n n i n g a r n a u t g ö r a p r i s e t å s k r i v b ö c k e r n a » .
L . Vilket är priset?
B . , s o m i n h ä m t a t d e n b e h ö v l i g a d e l e n a v m å n g f a l d s t a b e l -l e n , s v a r a r : när de-larnas anta-l är fyra o c h varje de-l är 6 ö r e , så är det hela 2 4 ö r e e l l e r / y r a - f a l d e n a v 6 ö r e , s o m är 2 4 öre. ( A . a. s i d . 9.)
h u v u d s a k , o c h a t t d e t i n t e är tillåtet a t t s k r i v a n e r s i n t a n k e g å n g p å a n n a t sätt. D e b ö r därför u p p l y s a s o m r ä k n e t e c k n e n s n a t u r . O m de i n å g o t s p e c i e l l t f a l l i n t e k a n s k r i v a n e r s i n lösning i m a t e -m a t i s k a t e c k e n , b ö r de tillåtas a t t a n v ä n d a e n k l a t e c k n i n g a r eller e n utförlig redogörelse i o r d . M a n b ö r f ö r ö v r i g t f ö l j a N o r d l u n d s a n v i s -n i -n g o c h f ö r e t a g a d i r e k t a ö v -n i -n g a r i ö v e r s ä t t -n i -n g a v d e -n m a t e m a t i s k a t e c k e n s k r i f t e n . S å d a n a ö v e r s ä t t n i n g a r b ö r g ö r a s b å d e m u n t l i g t o c h s k r i f t l i g t .
