ICKE-HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA HÖGERLED

ICKE-HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA HÖGERLED

Linjär differentialekvation (DE) med konstanta koefficienter är en ekvation av följande typ )

(

... _{2 1 0}

) 1 ( 1 )

( a y a y a y a y f x

y ⁿ + _n− ⁿ⁻ + + ′′+ ′+ = (1) (kortare L(y)=f(x) )

där koefficienter a_n−1,...,a₂,a₁,a₀ är konstanter.

Om f(x)=0 kallas ekvationen

0

... _{2 1 0}

) 1 ( 1 )

( +a ₋ y ⁻ + +a y′′+a y′+a y =

y ⁿ _n ⁿ (2)

(kortare L(y)=0)

homogen, annars icke-homogen (eller inhomogen).

Den allmänna lösningen till ekvation (1) är

) ( )

( )

( x y x y x

y =

+

där yH(x) är den allmänna lösningen till den homogena DE (2) och y_p( x) är en partikulärlösning till DE (1) .

Den allmänna lösningen till en homogen DE är linjär kombination av n oberoende partikulärlösningar (som vi kallar baslösningar)

n n

H c y c y c y

y = _{1 1}+ _{2 2} +...+ .

Vi söker linjärt oberoende partikulärlösningar på formen erx

y= .

Substitutionen i (2 ) och förkortning med e^rx ger 0

... ₂ ² _{1 0}

1

1 + + + + =

+a ₋r ⁻ a r ar a

rⁿ _n ⁿ . (3)

Ekvationen (3 ) kallas den karakteristiska ekvationen.

När vi bestämmer den homogena lösningen y_H, kvarstår att finna en partikulär lösning y_p till

) (

... _{2 1 0}

) 1 ( 1 )

( a y a y a y a y f x

y ⁿ + _n− ⁿ⁻ + + ′′+ ′+ = . (1) Vi betraktar DE (1) då högerledet f( x) är en av följande funktioner:

polynom P_n( x), e^ax, sinbx, cosbx, P_n(x)e^axsinbx, P_n(x)e^axcosbx eller )

cos ) ( sin

) (

(P x bx Q x bx

e^ax _n + _m .

För att bestämma en partikulär lösning y i sådana ”enkla” fall antar vi att_p y är an _p

funktionen av samma typ som ekvationens högerled (i några fall, så kallade "resonansfall" , multiplicerad med x^v).

Sida 1 av 13

Resonansfall till ekvationen L(y)= e^ax(P_n(x)sinbx+Q_m(x)cosbx) uppstår om a+bi är en lösning (av multipliciteten v) till den karakteristiska ekvationen. I detta fal används en ny ansats y_q = x^vy_p.

Resonansfall för ekvationen L(y) = f(x) uppstår i följande tre fall :

1. Högersidan är ett polynom f(x)= P(x) och (samtidigt) r= 0 är en lösning till den karakteristiska ekvationen.

2. Högersidan f(x)=e^axP(x) och (samtidigt) r= a är en lösning till den karakteristiska ekvationen.

3. Högersidan f(x)=e^axP(x)sinbx+e^axP(x)cosbx och (samtidigt) r= a+bi är en lösning till den karakteristiska ekvationen.

Några exempel på högerledet och motsvarande ansats för en partikulär lösning yp.

Om höger sidan är ett polynom då definieras ansatsen med hjälp av ett polynom med obestämda koefficienter. ( Om vi har ett resonansfall då multiplicerar vi med x^v den tänkta ansatsen)

Högerledet polynom P( x) Vanligt enkelt fall Ansats y_p =Q(x) , där Q(x)är polynom av samma grad som P(x)

Resonansfall uppstår om r=0 är en rot av multipliciteten v till den karrakt. ekv

Ansatsen y_p =x^vQ(x) x

x 2

6 ³+ Ax³+Bx²+Cx+D x^v(Ax³+Bx²+Cx+D) 2

2 ²+

− x Ax²+Bx+C x^v(Ax²+Bx+C)

x

−2 Ax+ B x^v(Ax+B)

3 /

−2 A _Ax^v

Om höger sidan är en produkt av ett polynom och exponentialfunktion då definieras ansatsen med en liknande funktion där polynomet har obestämda koefficienter. (Exponentialfunktionen behåller samma exponent)

Högerledet eax

x P( )⋅

Vanligt "enkelt" fall.

Ansats y_p =Q(x)⋅e^ax

Resonansfall uppstår om r=a är en rot av multipliciteten v till den karrakt. ekv .

Ansatsen innehåller faktor xv

e x

x² 2) ³ 2

(− + ⁻ (Ax² +Bx+C)e^−3x x^v(Ax²+Bx+C)e^−3x e x

x 3) ⁴

( − (Ax+B)e^4x x^v(Ax+B)e^4x

e⁵x

3 Ae^4x Ax^ve^5x

Sida 2 av 13

Om höger sidan är en produkt av ett polynom och en sinus- eller cosinusfunktion då definieras ansatsen med en liknande funktion där polynomet har obestämda koefficienter.

Ansatsen innehåller både sinus och cosinusfunktion även om högerledet innehåller endast en av dem.

Högerledet ) sin(

)

1(x bx

P ⋅ +

) cos(

)

2(x bx

P ⋅

Vanligt "enkelt" fall.

Ansats y_p = ) sin(

)

1(x bx

Q ⋅ +Q₂(x)⋅cos(bx)

Resonansfall uppstår om r=bi är en rot av multipliciteten v till den karrakt. ekv .

Ansatsen innehåller faktor x^v )

2 sin(

) 3

(x− x (Ax+B)sin(2x)+(Cx+D)cos(2x) x^v[(Ax+B)sin(2x) )]

2 cos(

)

(Cx+D x +

) 3 cos(

) 2

(x+ x (Ax+B)sin(3x)+(Cx+D)cos(3x) )

5 sin(

4 x Asin(4x)+Bcos(4x) )

5 cos(

3 x

− Asin(5x)+Bcos(5x) x^v[Asin(4x)+Bcos(4x)]

Om höger sidan är e en produkt av ett polynom , exponentialfunktion och en sinus- eller cosinusfunktion då definieras ansatsen med en liknande funktion där polynomet har obestämda koefficienter. Ansatsen innehåller både sinus och cosinusfunktion även om högerledet innehåller endast en av dem.

(Anmärkning: Det här fallet faktiskt täcker alla föregående fall.) Högerledet

eax [P₁(x)⋅sin(bx)+ )]

cos(

)

2(x bx

P ⋅

Vanligt "enkelt" fall.

Ansats y_p =

eax[Q₁(x)⋅sin(bx)+Q₂(x)⋅cos(bx)]

Resonansfall uppstår om r=a+bi är en rot av multipliciteten v till den karrakt. ekv . Ansatsen innehåller faktor x ^v

) 2 sin(

) 3

4 (

x x

e^{− x} − e^−4x[(Ax+B)sin(2x)+(Cx+D)cos(2x)] x^ve^−4x[(Ax+B)sin(2x) )]

2 cos(

) (Cx+D x +

1. EKVATIONENS HÖGERLED ÄR ETT POLYNOM

Om högerledet i ekvationen (1) är ett polynom dvs f(x)=P_n(x), då antar vi att y också är _p ett polynom med okända koefficienter vars koefficienter bestäms genom insättning i

ekvationen.

Vi har följande två fall:

i) (Enkelt fall ) Om 0 inte är en lösning till den karakteristiska ekvationen då ansätter vi )

( x R

y_p = _n . ( R_n( x) är ett polynom med okända koefficienter, av samma grad som högerledet) ii) (Resonansfall) Om 0 är en lösning till den karakteristiska ekvationen av multiplicitet v då ansätter vi

) ( x R x

y_p = ^v _n .

Sida 3 av 13

Exempel 1.

Lös följande DE med avseende på y( x) 10

2 6 6

5 ′+ = ² + +

′′− y y x x

y .

Lösning:

i) Vi bestämmer först den homogena lösningen y_H,

d vs den allmänna lösningen till ekvationen y′′−5y′+6y=0. Den karakteristiska ekvationen

0 6

2− r5 + = r

har två reella olika rötter r₁ =2 och r₂ =3 .

Därför är

y

= e

y

= e

x H

H

e c e

c y

y c y

c y

3 2 2

1

2 2 1

1

+

=

⇒ +

=

är den allmänna lösningen till homogena ekvationen.

ii) För att bestämma en partikulär lösning ansätter vi (vi har ett "enkelt" eftersom 0 finns inte bland ekvationens rötter) ett polynom av andra graden

C Bx Ax

y_p = ² + + .

För att bestämma koefficienter A, B, och C beräknar vi derivator B

Ax

y′_p =2 + , A

y_p′′ =2

och substituerar i ekvationen 10 2 6 6

5 ′+ = ² + +

′′− y y x x

y ⇒

10 2 6 ) (

6 ) 2

( 5

2A− Ax+B + Ax² +Bx+C = x² + x+ ⇒ 10 2 6 ) 6 5 2 ( ) 10 6 (

6Ax² + B− A x+ A− B+ C = x² + x+ .

Identifiering av koefficienter ger följande system med tre ekvationer:







= +

−

=

−

=

10 6 5 2

2 10 6

6 6

C B A

A B A

Från första ekvationen har vi A=1, andra ger B=2,

och slutligen från tredje får vi C=3.

Detta ger y_p = Ax² +Bx+C=1x² +2x+3. Slutligen

. 3 2 )

(

) ( ) ( ) (

2 3 2 2

1 + + + +

=

⇒ +

=

x x e c e c x y

x y x y x y

x x

p H

Svar: y(x)=c₁e^2x +c₂e^3x +x² +2x+3 Exempel 2.

Lös DE med avseende på y( x)

Sida 4 av 13

21 20 5 ′=− −

′′− y x

y .

Lösning:

i) Homogen lösning.

Först löser vi den homogena ekvationen 0

5 ′=

′′− y y

Den karakteristiska ekvationen 0

2 − r5 = r

har två reella olika rötter r₁ =0 och r₂ =5 .

Därför är

y

= e

y

= e

x H

H

e c c

y

y c y c y

5 2 1

2 2 1 1

1 +

⋅

=

⇒ +

=

är den allmänna lösningen till homogena ekvationen.

ii)Partikulär lösning.

Den här gången 0 är en lösning av multiplicitet 1 till den karakteristiska ekvationen och vi har ett resonansfall.

För att bestämma en partikulär lösning ansätter vi )

1(

B Ax x

y_p = + .

För att bestämma koefficienter A, B, och C beräknar vi derivator Bx

Ax

y_p = ² + , B Ax

y′_p =2 + , A

y_p′′ =2

och substituerar i ekvationen 21

20 5 ′=− −

′′− y x

y ⇒

21 20

) 2

( 5

2A− Ax + B = − x − ⇒

21 20 ) 5 2 (

10 + − =− −

− Ax A B x .

Identifiering av koefficienter ger system med två ekvationer:





−

=

−

−

=

−

21 5

2

20 10

B A

A

Från första ekvationen har vi A=2, och andra ger B=5.

Alltså y_p = Ax² +Bx =2x² +5x Slutligen

. 5 2 )

(

) ( ) ( ) (

2 5

2

1 c e x x

c x y

x y x y x y

x p H

+ + +

=

⇒ +

=

Svar: y(x)=c₁+c₂e^5x +2x² +5x

Uppgift 1. Högerledet är ett polynom ("enkla" fall)

( Tips: Vi har ett "enkelt" fall eftersom 0 är inte en rot till den karakt. ekv. i följande DE) Lös följande DE med avseende på y( x)

a) 2y′+16y=5 b) y′−12y=−24x−10 Sida 5 av 13

c) y′ 4+ y =x d) y′+ y =x² +6x+4 e) y′′+6y′+5y=2 f) y′′+ y′−2y= x

g) y′′−4y= x² h) y′′+5y=5x² +5x+2 i) y′′+4y=4x³+6x j) y′′+y′+ y =x+1

k) Bestäm den lösning till y′′−4y =−4x som satisfierar y(0)=2,y′(0)=1.

Svar:

a) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^−8x Ansats för en partikulär lösning: y_p = A

En partikulär lösning: y_p =5/16

Den allmänna lösningen : y=c₁e^{− x8} +5/16 Svar: y =c₁e^{− x8} +5/16

b) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^12x Ansats för en partikulär lösning: y_p = Ax+B

En partikulär lösning: y_p = x2 +1

Den allmänna lösningen : y=c₁e^12x +2x+1 Svar: y =c₁e^12x +2x+1

c) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^−4x Ansats för en partikulär lösning: y_p = Ax+B

En partikulär lösning:

16 1 4

1 −

= x y_p Svar:

16 1 4

4 1

1 + −

=ce⁻ x

y ^x

d) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^−x Ansats för en partikulär lösning: y_p = Ax² +Bx+C En partikulär lösning: y_p = x² +4x

Svar: y =c₁e^−x +x² +4x

e) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^−x+c₂e^−5x Ansats för en partikulär lösning: y_p = A

En partikulär lösning: y_p =2/5 Svar: y =c₁e^−x +c₂e^−5x +2/5

f) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^−2x +c₂e^x Ansats för en partikulär lösning: y_p = Ax+B

Sida 6 av 13

En partikulär lösning:

4 1 2 −

−

= x

y_p Svar:

4 1

2 2

2

1 + − −

= ⁻ x

e c e c

y ^{x x}

g) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^−2x+c₂e^2x Ansats för en partikulär lösning: y_p = Ax² +Bx+C

En partikulär lösning:

8 1 4

2 −

−

= x

y_p Svar:

8 1 4

2 2 2 2

1 + − −

= ⁻ x

e c e c

y ^{x x}

h) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁sin(x 5)+c₂cos(x 5) Ansats för en partikulär lösning: y_p = Ax² +Bx+C

En partikulär lösning: y_p =x² +x

Svar: y =c₁sin(x 5)+c₂cos(x 5 )+x² +x

i) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁sin(2x)+c₂cos(2x) Ansats för en partikulär lösning: y_p = Ax³ +Bx² +Cx+D

En partikulär lösning: y_p = x³

Svar: y =c₁sin(2x)+c₂cos(2x)+x³

j) Lösning till den homogena ekvationen: )

2 cos( 3 2 )

sin( 3 ₂ ²

2

1e x c e x

c y

x x

H

−

−

+

=

Ansats för en partikulär lösning: y_p =Ax+B En partikulär lösning: y_p = x

Svar: y ce x c e x x

x x

+ +

= ^{− −} )

2 cos( 3 2 )

sin( 3 ₂ ²

2 1

k) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^−2x+c₂e^2x Ansats för en partikulär lösning: y_p = Ax+B

En partikulär lösning: y_p = x

Den allmänna lösningen är y=c₁e^−2x +c₂e^2x +x. Från begynnelsevillkoren får vi c₁ =1 och c₂ =1.

Svar: Den lösning som satisfierar givna begynnelsevillkor är y=e^−2x +e^2x +x

Uppgift 2. Högerledet är ett polynom (resonansfall)

( Tips : 0 är en rot till den karakt. ekv. i följande DE och vi har resonansfall) Lös följande DE med avseende på y( x)

a) y′′+6y′=2 b) y′′+ y′=2x c) y ′′′−4y′=16x d) y ′′′−2y′′=24x

Sida 7 av 13

Svar:

a) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁+c₂e^−6x Ansats för en partikulär lösning: y_p = x¹⋅Advs y_p = Ax En partikulär lösning:

3 y_p = x

Svar:

3

6 2 1

e x c c

y = + ^{− x} +

b) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁+c₂e^−x

Ansats för en partikulär lösning: y_p = x¹⋅(Ax+B)dvs y_p = Ax² +Bx En partikulär lösning: y_p =x² −2x

Svar: y =c₁+c₂e^−x +x² −2x

c) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁+c₂e^−2x +c₃e^2x Ansats för en partikulär lösning: y_p = x¹⋅(Ax+B)dvs y_p = Ax² +Bx En partikulär lösning: y_p =−2x²

Svar: y =c₁+c₂e^−2x +c₃e^2x −2x²

d) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁+c₂x+c₃e^2x

Ansats för en partikulär lösning (anm. 0 är en dubbel rot till den karakt. ekv):

)

2 (

B Ax x

y_p = ⋅ + dvs y_p = Ax³ +Bx² En partikulär lösning: y_p =−2x³ −3x² Svar: y =c₁+c₂x+c₃e^2x −2x³ −3x²

Sida 8 av 13

2. EKVATIONENS HÖGERLED ÄR AV TYP

e

P

( x )

Vi har följande två fall:

i) ("Enkelt fall") Om a inte är en lösning till den karakteristiska ekvationen då ansätter vi )

( x R e

y_p = ^ax _n ( R_n( x) är ett polynom med okända koefficienter, av samma grad som högerledet) ii) (Resonansfall) Om a är en lösning till den karakteristiska ekvationen av multiplicitet v då ansätter vi

) ( x R e x

y_p = ^{v ax} _n .

Uppgift 3. Högerledet är av typ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑒𝑒^{𝑎𝑎𝑎𝑎} ("enkla" fall)

( Tips: a är inte en rot till den karakt. ekv. i följande DE dvs vi har "enkla fall") Lös följande DE med avseende på y( x)

a) y′+2y=10e^3x b) y′−2y=(4x+4)e^4x c) 2y′+ y =(5x² +9x+2)e^2x d) y′′−y=9xe^2x

e) y′′− y′−6y =36e^x f) y′′+4y=25xe^−x Svar:

a) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^−2x Ansats för en partikulär lösning: y_p = Ae^3x

En partikulär lösning: y_p =2e^3x Svar: y =c₁e^−2x +2e^3x

b) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^2x Ansats för en partikulär lösning: y_p =(Ax+B)e^4x En partikulär lösning: y_p =(2x+1)e^4x

Svar: y =c₁e^2x +(2x+1)e^4x

c) Lösning till den homogena ekvationen: ₁ ²

x

H ce

y = ⁻ Ansats för en partikulär lösning: y_p =(Ax² +Bx+C)e^2x En partikulär lösning: y_p =(x² +x)e^2x

Svar: ^x

x

e x x e

c

y = ₁ ⁻² +( ² + ) ²

d) Lösning till den homogena ekvationen: y_H = c₁e^−x +c₂e^x Ansats för en partikulär lösning: y_p =(Ax+B)e^2x

En partikulär lösning: y_p =(3x−4)e^2x Svar: y =c₁e^−x +c₂e^x +(3x−4)e^2x

Sida 9 av 13

e) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^−2x +c₂e^3x Ansats för en partikulär lösning: y_p = Ae^x

En partikulär lösning: y_p =−6e^x Svar: y =c₁e^−2x +c₂e^3x −6e^x

f) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁sin(2x)+c₂cos(2x) Ansats för en partikulär lösning: y_p =(Ax+B)e^−x

En partikulär lösning: y_p =(5x+2)e^−x

Svar: y =c₁sin(2x)+c₂cos(2x)+(5x+2)e^−x

Uppgift 4. Högerledet är av typ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑒𝑒^{𝑎𝑎𝑎𝑎} (resonansfall)

( Tips: a är en rot till den karakt. ekv. i följande DE dvs vi har ett " resonansfall") Lös följande DE med avseende på y( x)

a) y′+2y=5e^−2x b) y′−3y=(2x+2)e^3x c) y′+ y=(2x+1)e^−x d) y′′−y =(4x+4)e^x

e) y′′−2y′+ y=2e^x ( Resonansfall med v=2.) Svar:

a) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^−2x

Ansats för en partikulär lösning: y_p = x¹Ae^−2x dvs y_p = Axe^−2x En partikulär lösning: y_p =5xe^−2x

Svar: y =c₁e^−2x +5xe^−2x

b) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^3x

Ansats för en partikulär lösning: y_p = x¹(Ax+B)e^3x dvs y_p =(Ax² +Bx)e^3x En partikulär lösning: y_p =(x² +2x)e^3x

Svar: y =c₁e^3x +(x² +2x)e^3x

c) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^−x

Ansats för en partikulär lösning: y_p = x¹(Ax+B)e^−x dvs y_p =(Ax² +Bx)e^−x En partikulär lösning: y_p =(x² +x)e^−x

Svar: y =c₁e^−x +(x² +x)e^−x

d) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^−x +c₂e^x

Ansats för en partikulär lösning: y_p = x¹(Ax+B)e^x dvs y_p =(Ax² +Bx)e^x En partikulär lösning: y_p =(x² +x)e^x

Svar: y =c₁e^−x +c₂e^x +(x² +x)e^x

e) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^x+c₂xe^x Sida 10 av 13

Ansats för en partikulär lösning: y_p =x²⋅Ae^x dvs y_p = Ax²e^x En partikulär lösning: y_p = x²e^x

Svar: y=c₁e^x+c₂xe^x+x²e^x

3. EKVATIONENS HÖGERLED ÄR AV TYP e^ax(P_n(x)sinbx+Q_m(x)cosbx) Vi har följande två fall:

i) ("Enkelt fall") Om a± inte är en lösning till den karakteristiska ekvationen då bi ansätter vi

) cos ) ( sin

) (

(R x bx S x bx

e

y_p = ^ax _N + _N

( R_N( x) och S_N( x)och är polynom med okända koefficienter, av grad N=max(m,n)) ii) (Resonansfall) Om a± är en lösning till den karakteristiska ekvationen av bi multiplicitet v då ansätter vi

) cos ) ( sin

) (

(R x bx S x bx

e x

y_p = ^{v ax} _N + _N .

Anmärkning1: Om uttrycket e^axsaknas i högerledet då kan vi anta att a=0(eftersom

0^⋅x =1 e ) .

Anmärkning2: Även om högerledet innehåller endast sinusfunktion (endast cosinusfunktion) vår ansats innehåller både sinus- och cosinusfunktion.

Uppgift 5. Högerledet är av typ 𝑒𝑒^{𝑎𝑎𝑎𝑎} (𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥) ("enkla" fall) ( Tips: a±bi är inte en rot till den karakt. ekv. i följande DE dvs vi har "enkla fall")

Lös följande DE med avseende på y( x)

a) y′+3y=6sinx+2cosx b) y′−3y=13cos2x c) y′+y =2xsinx d) y′′− y′=10sin2x e) y′+ y=6e^2xsin3x

Svar:

a) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^−3x

Eftersom 0± inte är en rot till den karakt. ekv. ansats för en partikulär lösning år av 1i samma typ som högerledet: y_p = Asinx+Bcosx

En partikulär lösning: y_p =2sinx Svar: y =c₁e^−3x +2sinx

b) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^3x

Eftersom 0± inte är en rot till den karakt. ekv. ansats för en partikulär lösning år av 2i samma typ som högerledet: y_p = Asin2x+Bcos2x

En partikulär lösning: y_p =2sin2x−3cos2x

Sida 11 av 13

Svar: y =c₁e^3x +2sin2x−3cos2x

c) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^−x

Ansats för en partikulär lösning:y_p =(Ax+B)sinx+(Cx+D)cosx En partikulär lösning: y_p = xsinx+(−x+1)cosx

Svar: y =c₁e^−x +xsinx+(−x+1)cosx

d) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁+c₂e^x Ansats för en partikulär lösning: y_p = Asin2x+Bcos2x En partikulär lösning: y_p =−2sin2x+cos2x

Svar: y=c₁ +c₂e^x −2sin2x+cos2x

e) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^−x Ansats för en partikulär lösning: y_p =e^2x(Asin3x+Bcos3x) En partikulär lösning: y_p =e^2x(sin3x−cos3x)

Svar: y =c₁e^−x +e^2x(sin3x−cos3x)

Uppgift 6. Högerledet är av typ 𝑒𝑒^{𝑎𝑎𝑎𝑎} (𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥) ("resonans" fall) ( Tips: a±bi är en rot till den karakt. ekv. i följande DE och vi har resonansfall )

Lös följande DE med avseende på y( x) a) y′′+4y =8cos2x b) y′′+ y =sinx c) y′′−4y′+5y =6e^2xsinx

Svar:

a) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁sin2x+c₂cos2x

(Lägg märke till att 0± är en rot till den karakt. ekv. och vi har ett s k resonansfall): 2i Ansats för en partikulär lösning: y_p = x(Asin2x+Bcos2x)

En partikulär lösning: y_p =2xsin(2x) Svar: y =c₁sin2x+c₂cos2x+2xsin(2x)

b) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁sinx+c₂cosx

(Lägg märke till att 0± är en rot till den karakt. ekv. och vi har ett s k resonansfall): 1i Ansats för en partikulär lösning: y_p = x(Asinx+Bcosx)

En partikulär lösning: y_p xcosx 2

−1

=

Svar: y c x c x xcosx

2 cos 1

sin ₂

1 + −

=

c) Lösning till den homogena ekvationen: y_H =c₁e^2xsinx+c₂e^2xcosx (Lägg märke till att 2± är en rot till den karakt. ekv. ): 1i

Ansats för en partikulär lösning: y_p = xe^2x(Asinx+Bcosx)

Sida 12 av 13

En partikulär lösning: y_p =−3xe^2xcosx Svar: y =c₁e^2xsinx+c₂e^2xcosx−3xe^2xcosx

Uppgift 7. Vi betraktar en linjär DE av andra ordningen y′′+ay′+by= f(x), där a och b är konstanter. Ekvationens högerled f(x) finns nedan. Låt r , ₁ r₂vara lösningar till den

karakteristiska ekvationen. Bestäm för vilka värden på r , ₁ r får vi s. k. "resonansfall". ₂ a) f(x)=x²+3x+8

b) f(x)=(x²+x+3)e^3x

c) f(x)=(x²+x+5)e^3xsin(5x) d) f(x)=(x²+x+5)e^4xcos(3x) e) f(x)=(x² +x+3)sin(5x) Svar:

a) Eftersom högerledet är ett polynom uppstår resonansfall om minst en lösning r eller ₁ r till ₂ den karakteristiska ekvationen är 0.

b) Eftersom högerledet är av typ

P ( x ) e

c) Eftersom högerledet är av typ e^ax(P(x)sinbx+Q(x)cosbx) (där a=3 och b=5) uppstår resonansfall om r_1,2 =3±5i

d) Om r_1,2 =4±3i

e) Om r_1,2 =0±3i=±3i

Uppgift 8. Vi betraktar en linjär DE av andra ordningen y′′+ay′+by= f(x), där a och b är konstanter. Lösningar till den karakteristiska ekvationen r , ₁ r₂ och ekvationens högerled

) (x

f är givna nedan. Bestäm om DE kan betraktas som "enkelt fall" eller "resonansfall".

a) r₁=2, r₂ =−4 , f(x)= x²+3x+8 b) r₁ =2, r₂ =0 , f(x)=x²+3x+8 c) r₁=2, r₂ =0 , f(x)=(x²+x+3)e^3x d) r₁ =2, r₂ =3 , f(x)=(x²+4x+3)e^3x e) r₁=2, r₂ =0 , f(x)=(x²+x+5)e^3xsin(5x) f) r₁=2, r₂ =3 , f(x)=(x+3)e^3xcos(5x)

g) r₁ =3+5i, r₂ =3−5i , f(x)=(5x+3)e^3xsin5x)

Svar: a) enkelt fall b) resonansfall c) enkelt fall d) resonansfall e) enkelt fall f) enkelt fall g) resonansfall

Sida 13 av 13