Termodynamiska potentialer Hösten Assistent: Frans Graeffe

R¨ akne¨ ovning 3

Termodynamiska potentialer H¨ osten 2016

Assistent: Frans Graeffe

(03-1) Concepts in Thermal Physics 21.6

(6 po¨ang) Visa att enpartielpartitionsfunktionen Z1f¨or en gas av v¨ateatomer

¨

ar approximativt

Z1=V e^βR

λ³_tv (1)

d¨ar R = 13.6 eV och exciterade tillst˚and har ignorerats.

FACIT

Z1= ZtransZrotZvib (2)

Ztrans= V

λ³_th (3)

Z_vib= e^−βE(n) (4)

Zrot= 1 (5)

λth= h

√2πmkBT (6)

Pga. att man ignorerar alla exiterade tillst˚and blir Z_rot= 1 och n = 1:

⇒ E(n) = −13, 6eV

n² = −13, 6eV (7)

Nu f˚ar vi:

Z1 = V

λ³_th · 1 · e−β·(−13,6eV ) (8)

= V

λ³_the^βR (9)

λth¨ar den termiska v˚agl¨angden ¨ar ungef¨ar samma som ”de Brogile v˚agl¨angden”

f¨or partiklar i en idealgas. Med den termiska v˚agl¨angden kan man approx- imera det interatom¨ara avst˚andet, mellan atomerna i gasen. De Brogile

(03-2) Concepts in Thermal Physics 28.1

(6 po¨ang) D˚a bly sm¨alts vid vanligt lufttryck ¨ar sm¨altpunkten 327.0^◦C, t¨atheten sjunker fr˚an 1.101 · 10⁴ till 1.065 · 10⁴ kg/m³ och den latenta v¨armen ¨ar 24.5 kJ/kg. Uppskatta sm¨altpunkten f¨or bly vid trycket 100 atm.

FACIT

Clausius-Clapeyrons formel ger relationen mellan temperaturf¨or¨andringen och tryckf¨or¨andringen enligt f¨oljande:

dp dT = L

T ∆V

∆V =

 1

ρliquid

− 1

ρsolid

 1 kg

Temperaturen m˚aste konverteras till Kelvin f¨or att kunna anv¨andas i form- lerna.

327.0^◦C = 600.15 K

Vi l¨oser ut f¨or¨andringen i temperaturen (∆T = dT ) genom att integrera

¨over f¨or¨andringen i tryck. H¨ar konverterar vi ocks˚a tryckena till Pascal f¨or att kunna anv¨anda SI-enheter.

dp dT = L

T ∆V = 24.5 · 10³ _kg^J 600.15 K ·



1 1.065·10^{4 kg}

m3

− ¹

1.101·10^{4 kg}

m3



= 1.32966029 · 10⁷ Pa K

dT = 1

1.32966029 · 10^{7 Pa}_K dp

∆T =

Z 100 atm 1 atm

1

1.32966029 · 10^{7 Pa}_K dp

= 1

1.32966029 · 10⁷

Z 100 atm 1 atm

K Pa dp

= 1

1.32966029 · 10⁷

Z 10132500 Pa 101325 Pa

K

Pa dp = 10132500 − 101325

1.32966029 · 10⁷ K = 0.75 K S˚a temperaturen ¨andras med ca 0.8^◦C till 327.8^◦C.

(03-3) Concepts in Thermal Physics 28.2

(6 po¨ang) Vissa te-experter anser att en kopp te inte kan bryggas med vatten under 97^◦C. Antag att detta st¨ammer. ¨Ar det m¨ojligt f¨or en astro- nom som arbetar p˚a toppen av Mauna Kea i Hawaii (h¨ojd 4207 m, fast¨an det inte beh¨ovs f¨or l¨osningen), d¨ar lufttrycket ¨ar 615 mbar, att brygga en god kopp te utan tryckkokare?

FACIT

Vi anv¨ander ¨aven h¨ar Clausius-Clapeyrons formel dp

dT = L

T ∆V ≈ L

T V_vapour, (10)

d¨ar ∆V = V_vapour− V_liquid ≈ V_vapour. Om vi behandlar ˚angan som en idealgas, kan vi anv¨anda idealgaslagen

pVvapour= nRT, (11)

Latenta ˚angbildningsv¨armen f¨or vatten ¨ar 44010 kJ/kg och gaskonstanten f¨or en mol ¨ar R = 8.3144598 _K^J.

och vi kan h¨arleda f¨oljande ekvation f¨or trycket (se h¨arledning)

p1= p0e^{−nRL (T1−1−T0−1)} (12)

− ln p₁ p0

 nR L = 1

T1

− 1 T0

(13)

T1=



 1 T0

− ln_p

1

p₀

 nR L





−1

(14)

Ins¨attning av v¨arden ger

T₁= 86.6^◦C ≈ 87^◦C

H¨arledning

dp

dT = L

T Vvapour

dp dT = L

T^nRT_p 1

p dp = L nRT² dT Z p1

p₀

1 p dp =

Z T1

T₀

L nRT² dT ln p₁

p0



= − L nR

 1 T1

− 1 T0



p1= p0e^{−nRL(T1−1−T0−1)}

(03-4) Concepts in Thermal Physics 28.5

(3+3 po¨ang) J¨amvikts˚angtrycket f¨or vatten ¨ar givet i tabellen:

T (^◦C) p (Pa)

0 611

10 1228 20 2339 30 4246 40 7384 50 12349

(a) Best¨am latenta v¨armen f¨or avdunstning av vatten. Beskriv klart vilka approximationer du anv¨ander.

(b) Uppskatta trycket d˚a vatten och is ¨ar i j¨amvikt vid -2^◦C, givet att iskuber flyter med 4/5 av volymen neds¨ankt i vatten vid trippelpunkten (0.01^◦C, 612 Pa). Latenta v¨armen f¨or sublimering av is vid trippelpunkten

¨ar 2776 · 10³ J/kg.

FACIT

(a) Vi anv¨ander ¨aven h¨ar Clausius-Clapeyrons formel dp

dT = L

T ∆V ≈ L

T V (15)

D˚a vi antar att ˚angans volym ¨ar mycket st¨orre ¨an v¨atskans volym.

Med idealgaslagen (pv = nRT ) f˚ar vi:

dp

dT ≈ L

T V (16)

= Lp

T²nR (17)

⇔ (18)

dp

p = LdT

T²nR (19)

= LM dT RmT²  

(n = m

M) (20)

⇒ (21)

p2

p1

ln(p) = −LM Rm   

T2

T1

1

T (22)

ln p1

p₂



= −LM Rm

 1 T₁ − 1

T₂



(23)

m = 1kg ⇒: (24)

L =

Rln_p

1

p2



 1 T2 −_T¹

1

 M

(25)

Genom att s¨atta in olika v¨arden fr˚an den givna tabellen och ta ett medelv¨arde p˚a de olika resultaten f˚ar man

Lavdunstning ≈ 2, 45MJ/kg (b) Clausius-Clapeyrons formel ger

dp

dT =Lmelt

T ∆V (26)

Som efter integrering samt omorganisering ger:

p1 = p0+Lmelt

∆V ln T₁ T0



(27)

D¨ar

∆V = 1

ρvatten

− 1 ρis

(28)

≈ −2, 5 · 10⁻⁴m³/kg (29) D˚a vattnets densitet vid −2^◦C ¨ar ρ_vatten = 999, 1kg/m³ och ρ_is =

4

5ρ_vatten (pga hur mycket som ¨ar under vattenytan d˚a isen flyter i vattnet).

Den latenta v¨armen f¨or sm¨altning ¨ar Lmelt= Lsublimering−Lavdunstning

Nu blir trycket:

p₁ = 612Pa +2776 · 10³J/kg − 2, 45 · 10⁶J/kg

−2, 5 · 10⁻⁴m³/kg ln 271K 273K

 (30)

= 9, 588... · 10⁶Pa (31)

≈ 100atm (32)

(03-5) Concepts in Thermal Physics 28.6

(6 po¨ang) Det s¨ags ibland att trycket p˚a isen som en skridsko˚akares bett orsakar ¨ar tillr¨ackligt f¨or att sm¨alta is, s˚a att skridsko˚akaren kan glida runt p˚a en tunn vattenfilm. Under antagande att rinken ¨ar vid -5^◦C g¨or uppskattningar som visar att denna mekanism inte fungerar. (Friktionsba- serad v¨armning av is ¨ar mycket viktigare, se American Journal of Physics, volym 63 (1995) sidan 888 och volym 65 (1997) sidan 488.)

FACIT

T1= −5^◦C = 268K T0= 0^◦C = 273K

L = 3, 35 · 10⁵J/kg p0= 1atm = 101, 325Pa ρvatten= 1000kg/m³

ρ_is= 917kg/m³

Vi anv¨ander Clausius-Clapeyrons formel f¨or att r¨akna ut vilket tryck som kr¨avs f¨or att sm¨alta isen vid den givna temperaturen:

dp

dT = L

T ∆V (33)

p(T ) = p0+ L

∆Vln T T₀



(34)

∆V = 1

ρvatten

− 1 ρis

(35) Ins¨attning av v¨arden ger

p(268K) ≈ 70MPa (36)

Ifall vi har en skridsko med arean A =25cm×3mm kan vi r¨akna ut det trycket som en tex. 80kg tung person ger upphov till med p = F/A:

p = 80kg · 9, 81m/s²

0, 25m · 0, 003m (37)

= 1046400Pa (38)

≈ 1MPa (39)

Personen ˚astadkommer allts˚a inte ens n¨ara p˚a det tryck som kr¨avs f¨or att sm¨ata isen.

(03-6) Concepts in Thermal Physics 22.6

(1 po¨ang per deppgift, totalt 6 po¨ang). Beakta jonisering av v¨ateatomer enligt j¨amviktsreaktionen

H p⁺+ e⁻

d¨ar p⁺ betecknar en proton oc e⁻ en elektron. Notera att en proton ¨ar en positivt joniserad v¨ateatom.

(a) F¨orklara varf¨or

µ_H= µ_p++ µ_e−

Partitionsfunktionen f¨or en v¨ateatom ¨ar Z₁= V e^βR

λ³_tv

d¨ar R=13,6 eV enligtekv. (21.50) i boken. Den kemiska potentialen f¨or en gas av N identiska partiklar ¨ar

µ = −kT lnZ₁ N (b) Utifr˚an dessa ekvationer visa att

−kT lnZ₁^p Np

− kT lnZ₁^e Ne

= −kT lnZ₁^H NH

e^βR

(c) Visa ocks˚a att detta ger den s˚a kallade Saha-ekvationen nenp

nH

=(2πmekT )^3/2 h³ e^−βR

d¨ar n_x= N_x/V . P˚apeka vilka approximationer som du g¨or.

(d) Med n_e= n_p, den totala partikelt¨atheten f¨or v¨ate n = n_H+ n_p, och joniseringsandelen y = np/n, visa att

y²

1 − y =e^−βR nλ³_tv

d¨ar λ_tv ¨ar den termiska v˚agl¨angden f¨or elektroner.

(e) Best¨am joniseringsandelen f¨or ett moln av atomistiskt v¨ate vid 1000

(a) Enligt ekv. (10.5) i f¨orel¨asnigsanteckningarna har vi dG = −SdT + V dp +X

i

µidNi (40)

= X

i

µidNi (41)

= µHdNH+ µpdNp+ µedNe (42) 0 = (−µ_H+ µ_p+ µ_e)dN (43)

⇔ (44)

µ_H = µ_p+ µ_e (45)

Pga vid j¨amvikt g¨aller dG = 0 samt att dT = dp = 0 ifall vi har ett slutet reaktionsk¨arl.

(b) Vi har

Z₁^p = V

λ³_tv,p (46)

Z₁^e = V

λ³_tv,e (47)

Z1 = V

λ³_tv,He^βR (48)

Med µ = −kT ln^Z_N¹ och µH= µp+ µef˚ar vi nu att

−kT lnZ₁^p

N_p − kT lnZ₁^e

N_e = −kT lnZ₁^H

N_He^βR (49)

(c) Fr˚an b)-delen har vi

−kT lnZ₁^p Np

− kT lnZ₁^e Ne

= −kT lnZ₁^H NH

e^βR (50)

ln Z₁^pZ₁^e N_pN_e



= lnZ₁^H

N_He^βR (51)

Z₁^pZ₁^e

Z₁^H = N_pN_e NH

e^βR= n_pn_e nH

e^βR (52)

V λ³_tv,p ·_λ3^V

tv,e

V λ³_tv,H

= npne

n_H e^βR (53)

npne

n_H = λ³_tv,H

λ³_tv,pλ³_tv,ee^−βR (54)

= 1

λ³_tv,ee^−βR (55)

= (2πmekT )^3/2

h³ e^−βR (56)

D¨ar vi anv¨ant oss av mH ≈ mp⇒ λtv,H≈ λtv,pq

(d)

y²

1 − y = (np/n)²

1 − np/n (57)

= n²_p

n²(1 − n_p/n) (58)

= n²_p n²− nnp

(59)

= n²_p

(nH+ np)²− (nH+ np)np

(60)

= n²_p n²_H+ nHnp

, np= ne (61)

= npne

nH(nH+ np) (62)

= npne

n_H · 1

n (63)

= 1

n· e^−βR

λ³_tv (64)

(e)

y²

1 − y = e^−βR

nλ³_tv (65)

⇔ (66)

y²nλ³_tv = e^−βR− e^−βRy (67) y²+ ye^−βR

nλ³_tv −e^−βR

nλ³_tv = 0 (68)

Ifall vi s¨atter in v¨arden f¨or alla konstanter f˚ar vi:

α = e^−βR

nλ³_tv = e^−βR n

√ h

2πm_ek_BT

³ (69)

≈ 2, 3 · 10⁻⁶³ (70)

Nu kan vi enkelt l¨osa f¨oljande andragradsekvation (och l¨amnar bort den negativa l¨osningen):

product of the number densities of the recomobining particles ⇒ if density ↓, the recombination is hit more dramatically ⇒ degree of ionization ↑.