UEÅU
VERS
TET 18de e
be2009 öigfö

Lösningsförslag

HYDRAULIK (5MT007) 7.5p

Diverse Hydrauliklösningar

Författare

Kapitel 5

Uppgift 5.1

Löpsträ kanär

s = 12 km = 12000 [m] = 12 · 10

3

_[m]

Det toghonom 46 minuter attlöpa strä kan vilketi sekundermotsvarar

t =

46 · 60 = 2760 [s]

.

Hastigheten ärsträ kangenomtiden

v = s/t

eftersomsträ kanärhastigheten gångertiden,

s = v · t

.

Hanharsåledesenmedelhastighetpå

v =

s

t

.

Hantariliteo hspringer5%snabbarevilketblirhansnyahastighet

v

n

.

v

n

= v + 0.05 · v = (1 + 0.05) · v = 1.05 · v

Dennyasträ kanär

s

n

= 5 [km] = 5000 [m]

.

t

n

=

s

n

v

n

=

s

n

1.05 · v

=

s

n

1.05 ·

s

t

=

s

n

· t

1.05 · s

=

5000 · 2760

1.05 · 12000

≈ 1095 s ≈ 18 min 15 s.

Svar:Detharhonom a18.25minuter.

Uppgift 5.2

Härblir

s = 4000 [m]

o h

t = 6 · 60 = 360 [s]

o h

t

n

= 2 · 60 + 10 = 130 [s]

,där

s

n

= 2000 [m]

.

Totalasträ kanär

s

tot

= s + s

n

= 4000 + 2000 = 6000 [m]

. Totalatiden

t

tot

= 360 + 130 = 490 [s]

.

Medelhastighetenblir:

v

m

=

s

tot

t

tot

=

6000

490

≈ 12.2449 [m/s]

Svar:Medelhastighetenblir

12.2 m/s

.

Uppgift 5.3 Sluthastighet

v

s

= 100 [km/h]

v

s

= 100 ·



1000

60 · 60



= 100 ·

1

3.6

≈ 27.78 [m/s]

A elerationstid

t

a

= 8.9 s

,såledesblira elerationen

a =

v

s

t

a

=

100

3.6 · 8.9

≈ 3.12 [m/s

2

_]

A elerationentill50km/här50%större,

a

50

= 1.5

100

3.6·8.9

[m/s

2

]

. Vilkentidtardethonomattnå

50 [km/h]

.

t

50

=

v

50

a

50

=

50

3.6

3.6 · 8.9

1.5 · 100

≈ 2.9667 ≈ 3 s

3.1 m/s

2

₃

Uppgift 5.4

Totalatröghetsmomentet

J

tot

= 3 [kgm

2

_]

.Dettar

t

s

= 10

sekunderattstanna elmotornnärströmmenslåsifrån.Maximaltvarvtal

n

rpm

= 1450 [rpm]

. Motornströghetsmomentär

J

m

= 0.9 · J

tot

.

Vridmomentet är

τ

tot

= J

tot

· ˙ω

, detta kanses i relation till

f = m · a

vilket motsvararlinjärrörelse.

Viräknarförstutfriktionsförlustenvilketorsakarattmotornstannar.

0 = ω − ˙ω

f iktion

· t

s

Vilöserut

ω

f riktion

o hfårdå

˙ω

f riktion

=

ω

t

s

=

n

rpm

60

·2π

1

t

s

[rad/s]

Friktionsförlustenorsakarretardationen,dvsattmotorngårnerivarv.

Retarda-tionenär

˙ω

f

.Friktionsmomentet,vilketärenförlust,är

τ

f riktion

= J

m

· ˙ω

priktion

.

τ

f riktion

= J ·

n

rpm

· 2π

60 · t

s

Totaltvridmomentviduppstart

τ

tot

= τ

u

+ τ

f riktion

. Vridmomentetviduppstartär

τ

a

:

τ

a

= J

tot

· ˙ω

a

Vivetattrotationshastighetenvidfulltvarvtalär

ω = n

rpm

2π

,o hattdennås eftertresekunder

t

u

= 3 [s]

.

Det gäller som vidlinjärhastighet

v = a · t

atthastigheten är a elerationen gångertiden,

ω = t

u

· ˙ω

u

.

Vilöserut

˙ω

u

o hfårsåledes:

˙ω

u

=

ω

t

u

Viläggerihopvridmomenteno hfår

τ

tot

τ

tot

= J

tot

·

ω

t

u

+ ·J

tot

·

n

rpm

60

· 2π

t

s

[N m]

τ

tot

= J ·



n

_rpm

60

· 2π



·

 1

t

u

+ ·

1

t

s



[N m]

τ

tot

= 3 ·

 1450

60

· 2π



·

 1

₃

+ ·

₁₀

1



N m ≈ 197.4 [Nm]

Svar:Vridmomentetblirtotaltviduppstart

τ

tot

≈ 197 N m

.

Uppgift 5.5

Ena elerationpå

a = 0.001 [m/s

2

_]

underfyrasekunder

t

a

= 4 [s]

. Konstanthastighetunder12sekunder,

t

k

= 12 [s]

.

Retardationunder1.5sekunder,

t

r

= 1.5 [s]

.

v

a

= a · t

a

0 < t < t

a

v

r

t

a

+ t

k

< t

a

+ t

k

+ t

r

Totalsträ kaär

S = s

a

+ s

k

+ s

r

=

Z

t

a

0

v

a

(t)dt +

Z

t

a

+t

k

t

a

v

k

(t)dt +

Z

t

a

+t

k

+t

r

t

a

+t

k

S =

a · t

2

a

2

+ (v

k

· t

k

) +



v

k

−

at

a

t

r

t

2

r

2



S =

a · t

2

a

2

+ (a · t

a

· t

k

) +



a · t

a

· t

r

−

a · t

a

t

r

t

2

r

2



S = 0.01 · 4 ·

 4

2

+ 12 + 1.5 −

1.5

2



= 0.59 [m]

Svar:Cylindernharyttatlasten0.6m.

Uppgift 5.6

Hydraulmotornarbetarpåvarvtalet

n

rpm

= 245 [rpm]

.

Dess belastning halverasunder 13 sekundermed motornsvridmoment är det

konstant,vilketledertillenvarvtalsökningpå

˙n

rpm

= 0.3 [rpm/s]

. Motornsvarvtalkommerattbli:

n(t) = n

rpm

+ ˙n

rpm

· t

n(13) = 245 + 0.3 · 13 = 248.9 [rpm]

Hurmångaextravarvsnurrademotorn

∆n = ˙n

rpm

t

2

2

= 0.3 ·

13

3

2

= 25.35

Svar:Motornnår249rpmo hkommerattsnurra25.3varvextra.

Uppgift 5.7 Fallhöjdenär120m,

s = 120, [m]

. Jordensgravitationär

9.82 m/s

2

,

g = a = 9.81 [m/s

2

_]

.

Falltidenfårvigenomattlösauttiden

t

ur ekvationennedan:

s = a ·

t

2

2

t =

r 2 · s

a

=

r 2 · 120

9.81

≈ 4.94 [s]

Medelhastighetenär:

v

medel

=

s

t

=

s

q

2·s

a

≈ 24.3 [m/s]

Uppgift 5.8

Stenensmassaär

m

.

Tallenshöjdär38.5m,

h = 38.5 [m]

.

Vivetattenerginbevaras,dvsvidmaximalhöjdenharstenenhastighetennoll

ivertikalplanetvilketbetyderattrörelseenerginharblivitpotentiellenergi.Så

dettasambandgäller:

E

p

= E

k

= m · g · h = m

v

2

2

Vilöseruthastigheten

v

:

v =

_{p2 · g · h =}

√

2 · 9.82 · 38.5 ≈ 27.5 [m/s]

Svar: Stenensutgångshastighet var27.5 m/s.Uttry kti kilometeri timmen,

27.5 · 3.6

=99km/h.

Uppgift 5.9

Totalhöjd78m,

h = 78 [m]

.

Tvåvåningarpåhöjden12mresp.54m,

h

1

= 12 [m]

o h

h

2

= 54 [m]

. Jordensgravitationär

9.81 m/s

2

,

g = 9.81 [m/s

2

_]

.

Beräknapassertiderna

t

1

o h

t

2

.

Distanstillvåning2,

h

2

,

s

2

= h − h

2

= 78 − 54 = 24 [m]

. Distanstillvåning1,

h

1

,

s

1

= h − h

1

= 78 − 12 = 66 [m]

.

s

1

= g ·

t

2

1

2

t

2

=

r 2 · s

2

g

≈ 2.2 [s]

t

1

=

r 2 · s

1

g

≈ 3.67 [s]

v

2

=

s

2

t

2

≈ 10.8 [m/s]

v

1

=

s

1

t

1

≈ 18 [m/s].

Medelhastighetenmellanvåningsplanenblir:

v

m

=

h

2

− h

1

t

2

− t

1

≈

54 − 12

3.67 − 2.2

≈ 28.6 [m/s]

Svar:Medelhastigheternamellanvåningarnablir

10.8 m/s

resp.

18 m/s

. Passer-tidernablir

t

2

= 2.2 s

respektive

t

1

= 3.7 s

.Medelhastighetenmellanvåningarna blir

28.6 m/s

.

Kapitel 7

Uppgift 7.1

En hydraul ylindermedkolvarea

90 [cm

2

_]

ståriförbindelsemedenpumpmed

pumpdepla ement

6 cm

3

_/varv

Kolvarean90

cm

2

,

A

c

= 90 · 10

−4

_[m

2

_]

. Pumpdepla ement6

cm

3

_/varv

,

d

p

= 6 · 10

−2

3

= 6 · 10

−6

_[m

3

_/varv]

.

Pumpendrivsmedenmotormedvarvtalet

n

p

= 730 [rpm]

. Vadblir ylindershastighet?

Volymödetfrånpumpen:

q

p

=

n

p

60

· d

p

[m

3

/s]

.

Volymödetini ylinderngesavekvationen:

q

c

= A

c

· v

c

= q

p

. Vilöseruthastigheten

v

c

:

v

c

=

q

p

A

c

Vifårhastigheten:

v

c

=

n

p

60

· d

p

90 · 10

−4

=

6 · 10

−6

_·

730

60

90 · 10

−4

≈ 0.0081 m/s ≈ 0.49 [m/min]

Svar:Cylinderkommerattrörasigmedenhastighetpå a

0.5 m/min

.

Uppgift 7.2

Atmosfärstry ketär1005mbar,

p

a

= 1005 [mbar]

. Pumpenbenner sigpåhöjden55 m,

h = 0.55 [m]

. Oljansdensitetär

900 kg/m

3

,

ρ

o

= 900 [kg/m

3

_]

.

Try ketvidinsugsportenär:

p

i

= p

a

− ρ

o

· g · h = 1.005 · 10

5

− 900 · 9.81 · 0.55 ≈ 0.956 [bar].

Svar:Try ketvidinsugetär irka

0.96 bar

.

Uppgift 7.3

Hydraul ylindern haren diameter på70 mm o hkolvstångenen diameterpå

40mm,

d

c

= 0.07 [m]

,

d

k

= 0.04 [m]

.

Denärmonteradiettkonstanttry kssystempå240bar,

p = 240 [bar]

.

a)

Cylindersdiameter

d

c

= 0.07 [m]

Cylindersstörstatry kkraft

F

t

:

F

t

= p · A = p ·

d

2

c

π

4

= 240 · 10

5

·

0.07

2

_π

4

= 92.4 [kN ]

b)

Kolvstångensdiameterär

d

k

= 0.04 [m]

.Cylindersdragkraft:

F

t

= p · (A

1

− A

k

) = p ·

d

2

c

− d

2

k

π

4

= 240 · 10

5

0.07

2

− 0.04

2

π

4

= 62.2 [kN ]

.

Svar:Cylindernharenmaximaldragkraftpå a

62.2 kN

.

Uppgift 7.4

Flödetär70l/min,

q = 70 [l/min] = 70/60 · 10

−3

_[m

3

_/s]

.

Vadblirhastigheterna?

Cylinderhastighetenförtry kär

v

t

o h

A

t

ärareanpåtry ksidan. Cylinderhastighetenfördragär

v

d

o h

A

d

ärareanpådragsidan. Nedanståendesambandgällerförödena.

q = v

t

· A

t

q = v

d

· A

d

Vilöserut

v

t

o h

v

d

:

v

t

=

q

A

t

=

70 · 10

−3

60

4

0.07

2

_π

≈ 0.3 [m/s]

v

d

=

q

A

d

=

70 · 10

−3

60

4

(0.07

2

_{− 0.04}

2

_{) π}

≈ 0.45 [m/s]

Svar:Hastighetenvidtry kblir

0.3 m/s

o hviddrag

0.45 m/s

.

Uppgift 7.5 Motordepla ement

q

m

= 616 [cm

3

_{/varv] = 616 · 10}

−2

3

[m

3

_{/varv] = 616 ·}

10

−6

_[m

3

_/varv]

.

Delpla ementetperradianär

q

m

2π

eftersomettvarvmotsvarar

2π

radianer. Lintrummansdiameterär450mm,

d

t

= 0.45 [m]

.

Inloppstry ket

p

i

= 185 [bar]

o hutloppstry ketär

p

u

= 11 [bar]

. Vilkenlastkanmotornlyfta?

Viräknarutmotornmoment,

q

m

.

τ

m

= M

m

= ∆p ·

q

2π

= (p

i

− p

u

) ·

q

m

2π

Viveto ksåattlastenskaparettmoment

τ

l

:

τ

l

= F

l

·

d

t

2

= m · g ·

d

t

2

Vihar enjämviktvidstationärt tillstånd.

τ

m

= τ

l

Jordensgravitationsättstill

g = 9.82 [m/s

2

_]

. Vilöserut

m

o hfår:

m =

 (p

i

− p

u

) · q

m

2π



·



2

g · d

t



m =

 (185 − 11) · 10

5

_{· 616 · 10}

−6

₎

2π



·



2

9.82 · 0.45



≈ 772 [kg]

Svar:Motornkanlyftaenlastpå a

772 kg

.

Uppgift 7.6

Önskada elerationhoslasten

a

l

= 2 [m/s

2

_]

.

Try kökningen orsakas50% ava elerationo h50%som förslust imotoro h

linsystem.

Vivetattvidmomentethosmotorno hlinsystemetär

J

m

. Vridmomentetsomupkommeravlastenär

J

l

:

J

l

=

m · d

2

t

4

Vidjämnvikträvridmomentetimotornlikameddetvridmomentsomorsakasav

lasten,

J

m

= J

l

.Vivetattmasströghetenimotornärlikameddenmasströghet somlastenorsakar,

J

m

= J

l

såtotalatröghetsmomentetär

J

tot

= 2 · J

l

. A elerationen

a

l

motsvararenvinkelhastighetpå

˙ω =

a

l

· 2

d

t

Vikännersambandet

τ

a

= J

tot

˙ω

.

τ

p

= ∆p ·

D

2π

= τ

l

= 2 ·

m · d

2

t

4

· ˙ω

Vilöseruttry keto hfår:

∆p =

2π

D

· 2 ·

m · d

2

t

4

·

 a

l

· 2

d

t



∆p = 2π ·

m · d

_D

t

· a

l

∆p = 2π ·

772 · 0.45 · 2

616 · 10

−6

≈ 7.087 [M N/m

2

] ≈ 71 [bar]

Kapitel 8

Uppgift 8.1

Lyfthöjdenär55tumvilketmotsvararhöjden

h = 55 · 0.0254 [m]

. Itumär

0.0254 m

.Jordengravitationär

g = 9.82 [m/s

2

_]

.

Massanpåkroppenär

m = 20 [kg]

.

E = m · g · h = 20 · 9.82 · 55 · 0.0254 = 274 J = 274 [Nm]

Svar:Hanharuträttat

274 J

.

Uppgift 8.2

Personenifrågaväger87kg,

m = 87 [kg]

. Jordensgravitationär9.81

m/s

2

,

g = 9.81 [m/s

2

_]

. Höjdskillnadenär11.6m,

h = 5 · 2.9 = 11.6 [m]

.

Når hangåttuppför trappornahar Hanfått enpotentiellenergi motsvarande

E

p

.

E

p

= m · g · h = 87 · 9.82 · 5 · 2.9 = 12.4 [kJ]

Detharhonom

t = 26 s

attgåupp förtrapporna.

Medeleektenärarbetetgenomdentiddettarattutföraarbetet.

P

p

= E/t

.

P

p

=

E

p

t

= 12.4/26 ≈ 477 [W ] ≈ 480 [W ]

Svar:Hanharenmedeleekt på

480 W

samt uträttatettarbetemotsvarande

12.4 kJ

.

Uppgift 8.3

Vivetattlägesenerginfåsavekvationen

E = m · g · h

. Denkroppsomskallyttasväger1200kg,

m = 1200 [kg]

. Jordgravitationenpådetaktuellaställetär

g = 9.82 [m/s

2

_]

.

Massanskalllyftas12meter,

h = 12 [m]

.

Denenergisomkranenbehöverförattlyftalastenär:

E = m · g · h = 1200 · 9.82 · 12 ≈ 141.4 [kJ]

Svar:Kranenharanvänt

141.4 kJ

förattyttalasten.

Uppgift 8.4

Längdenpåuppförsba kenär160meter,

l = 160 [m]

. Cyklistenväger95kg,

m = 95 [kg]

.

Jordgravitationenär

g = 9.82 [m/s

2

_]

,vilketkannoterasupplevssom en

a el-eration.

Han yklaruppförba kenpå45sekunder,

t = 45 [s]

. VikännerPythagorassats

x

2

_{+ y}

2

_{= l}

2

.

160

2

_{= h}

2

_{+ (8h)}

2

_{= h}

2

₍₁

2

_{+ 8}

2

_{) = h}

2

_{(1 + 64)) = 65 · h}

2

h =

r

160

2

65

≈ 19.8 [m/s

2

_]

E = m · g · h = 95 · 9.82 · 19.8 ≈ 18.5 [kJ]

P =

E

t

=

18500

45

≈ 411 [W ]

Svar:Hanutve klar a

410 W

igenomsnittseekt.

Uppgift 8.5

Vridmomentenär860Nm,

τ = 860 [N m]

,vilketmotsvarar a86kgpåenmeters hävstång.

Eektenär860W,

P = 860 [W ]

. Energingesavekvationen:

E = τ

m

· 2π · n

E = 860 · 10 · 2π

E = F · r · 2π · n

Eektenberäknassomuttagenenergidelatmedtiden:

P = E/t

P =

τ · 2π · n

t

=

860 · 100 · 2π

10

= 54 [kW ]

Uttagenenergivar

E = 540 [kJ]

.

Svar:Motornuträttar540kJiarbeteo hhar enmedeleektpå54kW.

Uppgift 8.6 Höjdenär15m,

h = 15 [m]

. Massanär3000kg,

m = 3000 [kg]

. Jordgravitationenär10

m/s

2

,

g = 10 [m/s

2

_]

.

E = m · g · h = 3000 · 10 · 1.5 = 45000 [J]

P =

E

t

= 45000/5 = 9 [kW ]

Svar:Medeleektenär

9 kW

.

Uppgift 8.7

Denfallandemassanväger3000kg,

m = 3000 kg

. A elerationbete knas

a

o hretardationbete knas

−a

. A elarationo hretartationenärtillmagnitudlikastora.

A elerationstid

t

a

= 1s

,retardationstid

t

d

= 1 s

,samtkonstanthastighet

t

v

=

3s

.

Hastigheten

v = a · t

a

.Retardationshastighet

v

d

= v − a · t

. Retardationssträ ka

s

d

= v · t −

a·t

2

2

. Totalfärdadsträ ka:

s = a ·

t

2

a

2

+



v · t

d

− a

t

2

d

2



+ v · t

v

15 = a ·

1

2

+ a − a ·

1

2

2

+ a · 3 = 4 · a

a = 15/4 [m/s

2

]

Denmaximalaa elerationär

3.75 [m/s

2

_]

.

Maximalalyfteektfårvidhöstahastighet,

˙h

.

E = m · g · h =

dE

dt

= m · g · h

Vikantittapådubbelderivatan

dE

2

(dt)

2

o hidentieranärdenär

0

;vilketdenär underkonstanthastigheteno hdåhissenstårstill.

Hastighetenär

v = a · t

a

= 3.75 [m/s]

.

Eektenär

P = m · g · ˙h = 3000 · 9.82 · 3.75 = 110.475 [kW ]

.

Svar:Hissmotornutve klarsommest

110.5 kW

,dvs

150 hp

.Omen jordgravi-tationpå

10 m/s

2

användskommereektenattbli

112.5 kW

.

Uppgift 8.8

Flödetgenompumpenär

q

p

= 3.5 L/s = 3.5 · 10

−3

_[m

3

_/s]

Try kdierensenöverpumpenär216bar,

∆p = 216 bar = 21.6 · 10

6

_[N/m

2

_]

.

Pumpenseekt,

P

p

,ärproduktenavtry kdierensen,

∆p

p

,o hödet

q

p

.

P

p

= ∆p

p

· q

p

= 3.5 · 10

−3

· 216 · 10

5

= 75.6 [kW ]

Enhästkraftmotsvarar

736 [W ]

,dvs

1 hp = 736 [W ]

. Eektenuttry ktihästkrafterblirsåledes

P

hp

=

P

736

= 102 hp

. Svar:Desseektär102hp.

Kapitel 9

Uppgift 9.1

Areanär

A = 20 [cm

2

_{] = 20 · 10}

−4

_[m

2

_]

.

Massanidettafallär

m = 1500 [kg]

. Jordengravitationär

g = 9.8 [m/s

2

_]

.

Try ketär83barvilketutry keti

[N/m

2

_]

är

p = 83 · 10

5

_[N/m

2

_]

.

p

m

=

m · g

A

=

1500 · 9.80

20 · 10

−4

[N/m

2

_]

η =

p

m

p

in

=

1500 · 9.8

20 · 10

−4

1

83 · 10

5

≈ 0.8855

Svar:Verkningsgradenär a89%. Uppgift 9.4 Tidsintervalletär20sekunder,

t = 28 [s]

. Flödetär50literpersekund,

q

v

= 50 [l/min]

. Try kskillnadenär210bar,

∆p = 210 [bar]

a)

Denvolymetriskaeektivitetenär

n

v

= 0.93

.

Hydromekaniskverkningsgrad

n

h

= 0.98

.MotornsmomentMär:

M = ∆p

 D

2π



· n

h

= 210 · 10

5

·

 1253 · 10

−6

2π



· 0.98 ≈ 4.093 kN m

Svar:Motornavgerettmomentpå4.1kNm.

b) Vilketarbete uträttarmotorn?

Arbetetgörsunder28sekunder,

t

s

= 28 [s]

. Flödetär50literperminut,

q

v

= 50/60 [l/s]

. Motornsnurrarmedenvinkelhastighet,

ω [rad/s]

.

ω =

q · ν

v

D

· 2π =

 50 · 10

−3

60



· 0.93 · 2π

Detarbetesommotornuträttarär:

E = M · ω · t

s

= 4093 ·

 50 · 10

−3

_{· 0.93}

60 · 1253 · 10

−6



· 2π · 28 ≈ 445 kJ

) Hur stor ärden hydrauliskaeekten?

Denhydrauliskaeekten

P

är:

P =

E

t

s

· ν

v

· ν

h

=

446000

28 · 0.93 · 0.98

≈ 17.5 kW

Svar:Denhydrauliskaeektenär17.5kW.

Uppgift 9.5

a)

Varvtaletpåpumpenär2100rpm,

n

p

= 2100 [rpm]

. Vridmomentethospumpenär

τ

p

= 16 [kpm]

. Varvtalethos motornär

n

m

= 2000 [rpm]

. Vridmomentetpåmotornär

τ

m

= 141 [N m]

Bestämdenhydrauliskaverkningsgraden

η

H

samt denvolymetriska verknings-graden

η

V

.

Vivetattföljandesambandgäller

q

p

= D

p

· n

p

,

q

m

= D

m

· n

m

.

Depla ementethospumpenärlikameddepla ementethos motorn,

D

p

= D

m

.

η

v

=

q

verklig

q

tillf ord

=

q

m

q

p

=

n

m

· D

m

n

p

· D

p

=

2000

2100

= 95.24%

Svar:Denvolymetriskaverkningsgradenär95.24%.

b)

Vridmomentethospumpenär

τ

p

= 16 [kpm]

. Pumpensvridmomentär

τ

p

= 16000 [N m]

. Enhetsomvandling

1 [kpm] = 9.82 [N m]

.

η

tot

=

ω

U

· τ

U

ω

T

· τ

T

τ

T

:Tillförtvridmoment/torque.

τ

U

:Utvunnetvridmoment/torque.

η

hm

=

τ

m

τ

p

=

τ

U

τ

T

=

141

16 · 9.82

= 0.8974

Svar:Eektivitetenär a90%. Uppgift 9.6 Depla ementetär22

cm

3

_/varv

,

D = 22 · 10

−6

_[m

3

_/varv]

.

Try kdierens

∆p = 86 bar

med en volymström på

q

v

= 67 [l/min] = 67 ·

10

−5

_{/60 [m}

3

_/s]

Beräkna motorns verkningsgrad så motorns varvtal är

n

m

= 2900 [rpm]

o h vridmomentet

τ

m

= 25.5 [N m]

.

η

m

=

M

U

M

T

=

M

U

∆P ·

D

2π

=

25.5

86 · 10

5

_·



22·10

−3

2π

 = 0.846 = 84.6%

η

tot

= η

V

· η

hm

= 0.9522 · 0.8468 = 0.8064 ≈ 81%

Svar:Dentotalaverkninsgradenär

η

tot

= 81%

, Hydromekaniskaverkningsgraden

η

hm

= 84.7%

, samtdenvolymetriskaverkningsgraden

η

V

= 95.2%

.

Uppgift 9.7

Vridmomentfråmlastenär

τ

L

= 35 [N m]

. Denhydrauliskaeektivitetenhosmotornär:

η

hm

m

=

τ

L

∆p · D

∆p =

τ

L

η

nh

· D

=

35

0.9315 ·



22·10

−

6

2π



≈ 107.3 bar

Kapitel 10 Uppgift 10.1 Volym1ärpå200liter,

V

1

= 200[l] = 200 · 10

−3

_[m

3

_]

. Volym2ärpå50liter,

V

2

= 50L = 50 · 10

−3

_[m

3

_]

.

Temperatur 1 är 72 grader o h temperatur 2 på 12 grader.

T

1

= 72 [

o

_C]

,

T

2

= 12 [

o

C]

.

Temperatur1utrry ktiKelvin,

T

1

= 273.15 + 72 = 345 [K]

. Temperatur2uttry ktiKelvin,

T

2

= 273.15 + 12 = 285 [K]

. Värmekapa itetenföroljanär

C [J/K]

. Densitetenföroljanär

ρ

o

[kg/m

3

_]

. Energiinnehåll

E = m · C · T [J]

.

E

250

= E

200

+ E

50

= V

1

· ρ · T

1

+ V

2

· ρ · T

2

= (200 + 50) · ρ · T [J]

T =

200 · ρ · (273 + 72) + 50 · ρ · (273 + 12)

(200 + 50) · ρ

= 333 [K]

Temperaturen

333 K

uttry ktiCel ius

T = 60

o

_C

.

Temperaturdierens

∆T = 60 − 72 = −12 [

o

_C]

.

Svar:Temperaturensjunker

12

o

_C

Uppgift 10.2

a)

Vi vet attden kallareoljans temperaturvar

12

o

_C

. Det stationära tillståndet

(sluttillståndet)har temperaturen

60

o

_C

.Dettaledertillentemperaturökning

på

48

o

_C

.Temperaturskillnadenär48grader,

∆T = 60 − 12 = 48 [

o

_C]

. Vitittarpå1liter,

V = 1 [l] = 1 · 10

−3

_[m

3

_]

. Längutvidningskoe ientförmaterialetär

α = 250[µ/m K

−1

_{] = 250·10}

−6

_[K

−1

_]

.

Frånsidan77fårviattenvolymförändrasenligtformeln

∆V = 3α · V · ∆T

∆V = 3 · α · ∆T = 3 · 1 · 10

−3

_{· 250 · 10}

−6

_{· 48 = 36 · 10}

−6

_[m

3

_{] = 36 [cm}

3

_]

Svar:Denökar

36 cm

3

ivolym.

Härledning av

∆V = 3α · V · ∆T

::

Viharlängdökninglängstresidorpåkuben,x-axeln,y-axelnz-axeln.

LängdökningiX-led

X

n

= X + ∆X = X + X · α∆T = X(1 + α∆T )

. LängdökningiY-led

Y

n

= Y + ∆Y = Y (1 + α∆T )

.

LängdökningiZ-led

Z

n

= Z + ∆Z = Z(1 + α∆T )

. Volymökning

∆V = V

n

− V = X

n

Y

n

Z

n

= XY Z(1 + α∆T )

3

− XY Z

.

∆V = V (1 + α∆T )

3

− V = V ((1 + α∆T )

3

− 1)

∆V = 3 · V α∆T + 3V · (α∆T )

2

+ V (α∆T )

3

≈ 3α · V · ∆T

Eftersom

αT

ärmy ketmindreänettkommer

(αT )

2

varamy ketlitet.

Detföljeratt

(αT )

2

ärmy ketmindreän

(αT )

. Ävenatt

(αT )

3

ärmy ketmindreän

(αT )

. Visägeratt

(αT )

3

=0samt

(αT )

2

=0,därmedfåsuttry ketovan.

b)

Från sidan 77 i boken får vi att en volymförändring följer ekvationen (även

härlettovan).

∆V

V

= 3 · α · ∆T

(1) Där

∆T

ärskillnadenitemperatur. Längutvidningskoe ientenär

α, [K

−1

_]

. VolymenärV

[m

3

_]

. Temperaturskillnadenförvolym

V

1

är

48K

. Temperaturskillnadenförvolym

V

2

är

−12K

. Totalvolymförändringen

∆V

tot

.

Längutvidningskoe ientförmaterialetär

α = 250[µm/mK] = 250·10

−6

_[m/K]

.

Totalvolymförändring

∆V

tot

, ∆V

tot

= ∆V

1

+ ∆V

2

.

∆V

1

= 3α · V

1

· ∆T

1

∆V

2

= 3α · V

2

· ∆T

2

∆V

tot

= 3α · V

1

· ∆T

1

+ 3α · V

2

· ∆T

2

Uppgift 10.3

Kärletsviktär2kilo,

m

k

= 2 [kg]

. Vattnetsmassaär6kilo,

m

v

= 6 [kg]

.

Värmekapa itetenhoskärletär

C

Al

= 896 [J/kg

o

_C]

.

Värmekapa itetenhosvattnetär

C

H20

= 4180 [J/kg

o

_C]

.

a)

Temperatursänkningunder20sekunder,

∆t = 20 [s]

. Temperaturensjunker

2.15

o

_C

,

∆T = 2.15

o

_C

.

∆E = (m

k

· C

Al

+ m

v

· C

H20

) = (2 · 896 + 6 · 4180) · 2.15 [J]

P =

∆E

∆t

= 2.88 [kW ]

Svar:Eektenär2.88kW b)

Värmekapa itethosaluminium

C

Al

= 896 [J/kg

o

_C]

.

Värmekapa itethosvatten

C

H

₂

0

= 4180 [J/kg

o

_C]

.

Värmekapa itethossten

C

sten

= 800 [J/kg

o

_C]

.

Denvärmeenergisomärlagradistenen

E

sten

= 3.2 · (612 − 62) · 800 · [J]

Dentotalatillfördaenergintillkärletplusvattnet.

E

system

= 6 · (62 − 20) · 4180 + 2 · (62 − 20) · 896 ≈ 1128.6 [kJ]

Denenegimängdssomavkyltsärdenenergisomfannsistenenminusdenenergi

somgåttåttillvärmeökningen..

E

kylning

= E

sten

− E

system

≈ 3.2 · (612 − 62) · 800 − 1128.6 ≈ 279.38 [kJ]

Svar:Viharkyltbort a

279.4 kJ

.

)

Avsvalningunder12minuter,

12 · 60

sekunder. Medeleektenräknasutenligtföljande:

P =

E

∆T

=

279.4

12 · 60

= 388 [W ]

Svar:Denmedeleekt som utve kladesi sambandmedstenensavkylningvar

Uppgift 10.4

a)

Densitetenhosoljanär900kgperkubikmeter,

ρ = 900 [kg/m

3

_]

.

Energitillskottetviapumpenär

E

p

= ∆p · q

p

· t

. Värmekapa itetenhosoljanär

C

o

= 2000 [J/kgK]

.

Flödetförbimotornärlikamedödetfrånpumpen,

q

m

= q

p

. Vitittarpåkontrollvolymenunderensekund

t = 1 s

,

V

m

= q

m

· 1

.

Energiinnehålletioljanmedavseendepåtemperaturär

E

m

,

E

m

= V

m

· ρC

o

∆T

.

∆T =

∆p · q

m

· t

q

p

· t · ρ · C

o

=

∆p

ρ · C

o

=

250 · 10

5

900 · 2000

≈ 13.88 [

o

_C].

Svar:Oljanblir a

13.9 K

varmare,ellerekvivalentuttry ktiCelsius

13.9

o

_C

.

b)

Dentotalavolymenär250liter,

V = 0.25 [m

3

_]

.

Densitetenhosoljanär900kiloperkubikmeter,

ρ = 900 [kg/m

3

_]

.

Volymödetär3.5literpersekund,

q

v

=

150

60

= 2.5 · 10

−3

[m

3

/s].

70%avvärmeenerginstannarioljan,

η

T

= 0.7

. Pumpeno hledningssystemetsverkningsgrad

η

hm

pl

= η

hm

p

· η

hm

l

= 0.75

. Try ketisystemetär

p

system

.

∆p

system

=

∆p

η

hm

pl

=

250

0.75

≈ 333.33 [bar]

∆T

tot

=

∆p

system

· q

m

· t

q

p

· t · ρ · C

o

=

∆p

system

ρ · C

o

=

333.33 · 10

5

900 · 2000

≈ 18.5 [

o

_C].

Oljanökar

18.5

o

_C

itemperaturnärdenpasserarsystemet.

Dentotalavärmeeektenär:

P = q

v

· ρ · C · ∆T

tot

Denenergisomskalltillförastankenär:

E = V · ρ · C · ∆T

30

Deneektsomuppvärmertanken

P

T

.

P

T

= P · η

T

t =

E

P

T

=

V · ρ · C · ∆T

30

(q

v

· ρ · C · ∆T

tot

) · η

T

=

0.250 · 30

2.5 · 10

−3

_{· 18.5 · 0.7}

≈ 231.7 s

Omtidenomvandlastillsekunderfårvi

t =

231.7

60

≈ 3.86 min

. Svar:Oljanharstigit

30

o

_C

Uppgift 10.7 a) Längdenpåröretär

L = 1.5 m

. Ytterdiameternpåröretär

D

y

= 40mm = 40 · 10

−3

_[m]

. Innerdiameternpåröretär

D

i

= 30mm = 30 · 10

−3

_[m]

. E-modulförmaterialetär

E = 2.1 · 10

5

_[N/mm

2

_]

. TemperaturskillnademiKelvinär

∆T = 40 [K]

. Längutvidgningskoe ientförmaterialetär

α = 11.5 · 10

−6

_[M/K]

.

Kraften,

F

,somuppstårärproportionellmottemperaturändringen.

F = −α∆T · A · E

Tvårsnittsareanhosröretär,

A = (D

2

y

− D

2

i

) ·

π

4

[mm

2

]

.

F = 11.5 · 10

−6

_{· 40}

π

4

(40

2

− 30

2

) · 2.1 · 10

5

_{= 53109 [N ] ≈ 53.1 [kN]}

Svar:Kraftenblir53.1kN.

b)

Längdenpåröretär1.5meter,

l = 1.5 [m]

. Ytterdiameternpåröretär40mm,

D

y

= 40 · 10

−3

_[m]

. Innerdiameternpåröretär30mm,

D

i

= 30 · 10

−3

_[m]

. E-modul

E = 2.1 · 10

5

_[N/mm

2

_{] = 2.1 · 10}

5

_{· 10}

6

_[N/m

2

_]

. TemperaturskillnadiKelvin

∆T = 40 [K]

. Längutvidgningskoe ient

α = 11.5 · 10

−6

_[M/K]

∆l

f

= α · l · ∆T

∆l

F

− δ

l

=

F

A · E

F = A · E

 ∆l

F

_l

− δ



= A · E

 α · l · ∆T − δ

_l



F =

 (0.04

2

_{− 0.03}

2

_)π

4



·2.1·10

11

 11.5 · 10

−6

_{· 1.5 · 40 − 0.3 · 10}

−3

1.5



= 30.018 [kN ]

(2)

Svar:Kraftenblir30kN.

Uppgift 10.9

Kraften

F

1

,

F

1

= 12500 [N ]

Kraften

F

2

,

F

2

= 14500 [N ]

Vivetattkraftenfrånenfjädernärproportionellmotihoptry kningen,

∆F =

k · ∆s = F

. Fjädernspännsytterligare3mm,

∆s = 0.003 [m]

Skillandenikrafter:

∆F = F

2

− F

1

k =

∆F

∆S

=

14500 − 12500

0.003

≈ 667 [kN/m]

Svar:Fjäderkonstantenär667kN/m.

Uppgift 10.10

En massa på 10 kg släpps från tre meters höjd. Den träar en fjäder med

fjäderkonstanten20kN/m.

a)

Objektetsmassaär10kg,

m = 10 [kg]

Höjdenärtremeter,

h = 3 [m]

Fjäderkonstantenär20kN/m,

k = 20 [kN/m]

Kraftenfrånfjädernärproportionellmotdessihoptry kning,

F = k · s

. Energinsomlagratsifjädernär

E

f

:

E

f

=

R F · s · ds = k ·

s

2

2

Denpotentiellenergin

E

p

gesavsambandet:

E

p

= m · g · h

Denpotentiellaenerginövergårienergilagradifjädern:

k ·

s

2

2

= m · g · (h + s)

s

2

− 2

m · g · s

_k

− 2

m · g · h

_k

= 0

s

2

+ C

1

· s + C

2

=



s +

a

2



2

+ b −



a

2



2

= 0



s +

C

1

2



2

= −C

2

+

 C

1

2



2



s +

C

1

2



= ±

s

−C

2

+

 C

1

2



2

s = −

C

1

2

±

s

−C

2

+

 C

1

2



2

Identieringavkonstanter

C

1

= −2

m·g

k

samt

C

2

= −2

m·g·h

k

.

s = −

1

₂

 −2 · m · g

·k



±

s

−

 −2 · m · g · h

_k



+

 2 · m · g

k · 2



2

Tvåmöjligarötter

s

1

= −0.1688 [m] s

2

= 0.1766 [m]

. Endastenrimliglösningnnsvilkenär

s

2

.

Svar:Fjäderntry ksihop

0.177 m

.

a) Ejkorrektlösning

Potentiellaenerginharblivitkinetiskenergijustinnannedslag,

E

k

= m · g · h

. Denpotentiella energinärlikamedfjädernslagradeenergividmaximal

ihop-try kning

E

f

= k · s

2

_{/2 [J]}

.

Dettagersambandet:

Svar: Endast en rimlig lösning

s = 17.2 cm

. Obs: detta är inte ett korrekt svareftersomlösningen intehar hänsyntill denökade potentiella energinhos

det fallandeobjektetisambandmedattfjäderntry ksihop.

b)

Förspänning

F

f

= 900 [N ]

.

Fjädernsstyvhetär20kNpermeter,

k = 20 [kN/m]

.

Förspändlängd

x = F/k = 900/20000 = 9/200 [m]

,eftersom

F = k · x

. Fallhöjdenär3meter,

h = 3 [m]

.

E

pot

= (h + s − x) · m · g

E

f jader

=

Z

s

x

k · y dy =

k

2

s

2

_{− x}

2

E

pot

= E

f jader

(h + s − x) · m · g −

k

2

s

2

_{− x}

2

_{= 0}

Vilöserut

s

vilketgertvårötter

s

1

= −0.1712 m

samt

s

2

= 0.1812 [m]

. Baraenmöjliglösningvilketär

s

2

.

Svar:Fjäderntry ksihoptotalt

18.1 [cm]

,detsomorsakasavfalletär

s

2

−9/200

vilketger

13.6 [cm]

.

Om vi istället tittar påen fallhöjd på

(3 + 9/200)

meter kommer fjädernatt maximalttry kasihop

18.24 cm

.

Uppgift 10.15

Skivansradieär0.3meter,r=0.3[m℄.

Rotationshastighetenhosskivanär3500varv/min.

ω = 3500 rpm =

3500

60

· 2π [rad/s]

Denmassasomskalllyftasväger2000kg,

m = 2000 [kg]

Skivansdensitetär7850kgperkubikmeter,

ρ = 7850 [kg/m

3

]

SkivansvolymV:

V = π · r

2

· h = π · 0.3

2

· 0.04 [m

3

]

Skivansmassaär

m

:

m = V · ρ = π · r

2

· h · ρ [kg]

Skivanströghetsmoment:

J

skiva

=

Z

r

0

x

2

·dm = 2π·ρ

Z

r

0

x

3

·dx =

 2π · ρ · h · x

4

4



x=r

x=0

=

π · ρ · h · r

4

2

=

m · r

2

2

dm = h · ρ · 2π · x · dx

Skivanskinetiskaenergi:

E

skiva−kin

=

J

skiva

· ω

2

2

=

m

skiva

· r

2

· ω

2

2

Denpotentiellaenerginär:

E

pot

= m · g · h

1

Denkinetiskaenerginblirpotentiellenergi:

E

pot

= E

skiva−kin

m · g · h

1

=



π·ρ·h·r

4

2



· ω

2

2

h

1

=

π · r

4

_{· h · ρ
· ω}

2

4 · m · g

h

1

=

π · 0.3

4

_{· 0.04 · 7850
·}

3500

60

· 2π

2

4 · 2000 · 9.82

≈ 13.66 [m]

Uppgift 10.16

Dentotalamassanförliftsystemetär

m

tot

,

m

tot

= m

1

+ m

2

. Denpotentiellaenerginförmassa

m

1

är

E

1

= m

1

· g · h

.

Potentiellaenerginförhelasystemetär

E

pot

= m

1

· g · h − m

2

· g · h

Denkinetiskaenerginförhelahisssystemetär:

E

kin

=

m

1

· v

2

2

+

m

2

· v

2

2

= (m

1

+ m

2

)

v

2

2

Vianvänderossavenergiprin ipen,dvsidettafallomvandlaspotentiellenergi

till rörelseenergi.Så denpotentiellaenerginmåste övergåtillkinetisk energi;

rörelseenergi.

E

pot

= E

kin

Löseruthastigheten

v

o hfår:

v =

s

2 · (m

1

− m

2

) · g · h

m

1

+ m

2

v ≈

r

2 · (4500 − 3000) · 9.82 · 3.5

7500

≈ 3.7 [m/s

2

_]

Svar:Nedslagshastighetenblir a3.7

m/s

2

. Uppgift 10.17 Motornseektivitetär

η

m

= 0.8

. Förlustenerginär

E = 6000 [kJ]

. Massanär

m = 300 [kg]

.

Visökerettuttry kfördentotalaenergin

E

tot

:

0.2 · E

tot

= 6000 [J]

E

tot

= 5 · 6000 = 30 [kJ]

Föratträknautlyfthöjdentarviframdenpotentiellaenergin

E

pot

.

E

pot

= m · g · h

o hlöserut

h

h =

E

m · g

=

30000

300 · 9.82

≈ 10.2 [m]

Svar:Massankanlyftastillenhöjdav

10.2 m.

Uppgift 10.18 Densitetenär

ρ = 7850 [kg/m

3

_]

. Värmekapa ivitetenär

c = 460 [J/kgK]

. Diameternpåsvänghjuletär

d = 0.4 [m]

.

Tjo klekenpåsvänghjuletär

6 cm

,

h = 0.06 [m]

. Volymenpåsvänghjuletär:

V =

d

2

4 · π

Energinsomärlagradisvänghjuletär:

E

h

=

J · ω

2

2

Masströghetenisvänghjuletär:

J =

m · R

2

2

=

ρ · π · r

4

_{· h}

2

[m

2

_kg]

E

v

= m · c · ∆T

E

v

= 0.6 · E

h

∆T =

J · ω

2

2 · m · c

=

ρ · π · r

4

_{· h}

4 · m · c

∆T =

7850 · π · 0.2

4

_{· 0.06 ·}

2000

60

· 2π
· 0.6

4 · 5 · 4180 + 490 · 7850 · 0.2

2

_{· pi · 0.06}

≈ 0.74 [K]

Svar:Temperaturenökarmed

0.74 K

dvs

0.74

o

_C

Kapitel 13

Uppgift 13.1

Vätskansdensitet

ρ = 1.8 [lb/cm

3

_]

.

Enligttabellnnerviatt

1 lb ≈ 0.4535 [kg]

.

Vad som kansägas äratt densiteten ärorimligt hög, antagligenmenas det i

uppgiften

1.8 [lb/dm

3

_]

.

Höjdtillvätskenivån

h = 0.55 [m]

.

Utströmningshåletharendiameterpå

d = 1 cm = 0.01 [m]

. UtströmningshastighetenberäknasenligtenformelavBernulli:

v

2

2g

+

p

ρ · g

+ h = Konstant

Viserattomvimultipli erarmed

m · g

fårvi:

m · v

2

2

+

m · p

ρ

+ m · g · h = Konstant

mg

Try ketpå

0.55 [m]

djupblir:

p = ρ · g · h = 0.450 · 1000 · 1.8 · 9.82 · 0.55 = 4378 [N/m

2

_]

Vilöserut

v

o hfår

v =

r 2 · p

ρ

=

s

2 · g · h · ρ

ρ

=

p2 · g · h =

√

2 · 9.82 · 0.55 ≈ 3.28 [m/s]

Svar:Utströmningshastighetenär a

3.3 [m/s]

. Uppgift 13.2 Tvärsnittsareaär

A

1

= 100 [cm

2

_]

.Statiskttry k

p

1

= 1.3 [bar]

. Denutströmandevätskanhardensiteten

ρ = 900 [kg/m

3

_]

.

Hastigehetenpåödetär

15 [m/s]

.

Beräknastatiskatry ketidendelavkanalensomharetttvärsnittpå

55 [cm

2

_]

,

A

2

= 55 · 10

−4

[m

2

]

.

VianvänderBernoullisekvationo htittarpåtvåsnitt.

p

1

+ ρ ·

v

2

1

2

= p

2

+ ρ ·

v

2

2

2

(3) Löserut

p

2

:

p

2

= p

1

+ ρ ·

 v

2

1

2

−

v

2

2

2



= 130000 + 900 ·

 15

2

2

−

27.3

2

2



≈ F el.

(4)

Svar:Problemetgerorimligtsvar,saknarlösningmerBernoullisekvation.

Uppgift 13.6

Hastighetenvidutödet är

20

m/s,

q

2

= 20 [m/s]

. Höjdenvidutödetär,snitt2,är

0]

meter,

h

2

= 0 [m]

.

Hastighetenvidinödet,snitt1,är0meterpersekund,

v

1

= 0 [m/s]

. Try ketvidbådaställenaansesvara

1 [atm]

,

p

1

= p

2

= 1 · 10

5

_[N/m

2

_]

.

Flödetvidsnitt1är150kubikmeterpersekund,

q

1

= 150 [m

3

_/s]

.

a)

Beräknahöjdenvidinödetom50%avdenpotentiellaenerginharövergåtttill

rörelseenergi.Vattenfalletseektivitetär50%,

υ = 0.5

. Jordengravitationär

9.81m/s

2

,

g = 9.81 m/s

2

.

υ ·



ρ · g · h

1

+ p

1

+ ρ ·

v

2

1

2



= ρ · g · h

2

+ p

2

+ ρ ·

v

2

2

2

(5)

Vilöseruthöjden

h

1

o hfår:

h

1

=

v

2

ǫ · 2 · g

=

20

2

0.5 · 2 · 9.82

≈ 40.7 [m]

(6) Svar:Höjdenär a

40.7 m

. b)

Vadärdenteoretiskaeekten?

Densitetenhosvattnetär1tonperkubikmeter,

ρ = 1000 [kg/m

3

_]

.

Eektenärödetsmassagångerhastigheten.

Dendynamiskakraftensomödetharär:

F = ρ · q · v = 1000 · 150 · 20 = 3 · 10

6

[N/m

2

]

(7)

P = F · v = 3 · 10

6

· 150·
· 20 = 60 [MW ].

(8)

Svar:Denteoretiskaeektenärpå60MW.

Uppgift 13.7

Vätskanshastighetär15meterpersekund,

v = 15 [m/s]

. Vätskansdensitetär1100kgperkubikmeter,

ρ = 1100 [kg/m

3

_]

.

Dynamiskatry ketföljeravBernullisekvation.

v

2

2 · g

+

p

ρ · g

+ h = Konstant

Vilöseruttry ket

p

o hfår:

p =

ρ · v

2

2

=

1100 · 15

2

2

= 1.2375 · 10

5

_{≈ 1.24 [bar]}

Densitetenhoskvi ksilverär

ρ

hg

=?

=>behövsej.

Frånbokensappendixnnerviatt

1 mmHg

motsvarar

133.322 [N/m

2

_]

. Vifårsåledesenpelarhöjd

h

:

h =

p

133.332

=

123750

133.332

≈ 928 mmHg

Uppgift 13.8

Innerdiameternär20mm,

d

i

= 0.02 [m]

.

Volymödetavoljaär80literperminut,

80 [l/min]

. Oljanskvalitet/typärISOVg46.

Reynoldstalberorpåvätskansviskositet,ytegenskaper,samthur

genomströmingsplat-senserut,bland annatvilkadimensionersomdetrörsigom.

Re =

v · d

ν

=

q

A

·

d

ν

=

a) Reynoldstalvid

60

o

_C

Viskositetenföroljanvid

60

o

_C

är

ν

60

= 23 cSt = 23 · 10

−6

_[m

2

_/s]

.

Re =

q

A

·

d

i

ν

=

q

60

d

2

i

·π

4

·

d

_ν

i

Re =

4 · q

60 · d

2

i

· π

·

d

i

ν

=

q

15 · d

i

· π · ν

=

80 · 10

−3

15 · 0.02 · π · 23 · 10

−6

≈ 3690

Svar: Reynoldstalet vid

60

o

_C

är a 3700 vilket betyder att det är turbulent

strömning.TurbulentströmninguppstårdåRe>2320.

b) Reynoldstalvid

−5

C

Viskositetenföroljanvid

−5

o

_C

är

ν

−5

= 900 cSt = 900 · 10

−6

[m

2

/s]

.

Re =

q

15 · d

i

· π · ν

=

80 · 10

−3

15 · 0.02 · π · 900 · 10

−6

≈ 94.3

Svar:Reynoldstaletvid

−5

o

_C

är a94.

Uppgift 13.9

Vidvilkenströmingshastighetskeromslagfrånlaminärtillturbulentströmning?

Omslagtillturbulentströmningskervid

Re = 2320

. Vilöserut

ν

urekvationennedan:

Re =

q

15 · d

i

· π · ν

=> ν =

q

15 · d

i

· π · Re

Detgerenviskositetpå:

ν =

q

15 · d

i

· π · Re

=

80 · 10

−3

15 · 0.02 · π · 2320

≈ 36.59 · 10

−6

≈ 36 cSt

Fråndiagrammetpåsidan

34

läserviavatt

Re = 36

motsvararen oljetemper-aturpå

45

o

_C

.

Svar:Omslagtillturbulentströmningskervid a

45

o

_C

Uppgift 13.10

Viskositetenhosvätskanär

12 cSt

,motsvarar

ν = 12 · 10

−6

_[m

2

_/s]

. Densitetenföroljanär

ρ = 900 [kg/m

3

_]

. Reynoldstalispaltenär

Re = 100

. Spalthöjdenär

h = 10

−2

_{mm = 10}

−5

_[m]

.

Vadärströmningshastighetengenomspalten?

SpaltströminggällerdåRe1,problemetsaknarlösning.

Annars:

VivetattReynoldstal(Re)denierassom:

Re =

v · d

ν

=

q

A

·

d

ν

=

v · d

µ

=> v =

Re · ν

d

Flödetgesav

q =

b · h

3

12 · ν

·

∆p

l

= A · v

Vivetattareanär

A = b · h · l

,samtdynamiskaviskositetenär

η = ρ · ν

.

v =

b · h

3

12 · η

·

∆p

l

·



1

b · h · l



=

h

2

12 · ρ · ν

·

∆p

l

2

=

(10 · 10

−5

₎

2

_·

12 · 1000 · 12 · 10

−6

· l

2

Vadärlängden,

l

?

Svar:SaknarlösningmedspaltströmingsansatseftersomReärförstort.

Uppgift 13.13

Längdenpåsugledningenär3meter,

l = 3 [m]

. Oljansviskositetär

ν = 300 cSt = 300 · 10

−6

_[m

2

_/s]

, där

1 cSt = 10

−6

_[m

2

_/s]

.

Densitetenpåoljanantasvara

ρ = 880 [kg/m

3

_]

.

Flödetär100literperminut,

q = 100 [l/min]

. Summanavmotståndeniledningenär

2.2

.

N

X

i=1

ε

i

= 2.2

p

f

= ρ ·

v

2

2

·

 64

RE

·

l

d

+ 2.2



Strömningshastighetenvid

38mm

blir:

v = (0.100/60)/(0.038

2

_{π/4) = 1.47 [m/s]}

.

Try kfalletvid38mmblir:

p

f

= 880 ∗ 1.47

2

∗ 0.5 ∗



2.2 +

_{1.47∗0.038/300E−6}

64

∗ 3/0.038



= 28200.P a

. Förhögttry k,viprovar50mm.

Strömningshastighetenvid

50mm

blir:

v = (0.100/60)/(0.05

2

_{π/4) = 0.85 [m/s]}

.

Try kfalletvid50mmblir:

p

f

= 880 ∗ 0.85

2

∗ 0.5 ∗



2.2 +

_{0.85∗0.05/300E−6}

64

∗ 3/0.05



Uppgift 13.15

Ringspaltenharendiameterpå7mm,

d = 7 · 10

−3

_[m]

.

Detradiellaspeletär

h = 15 [µm], d = 15 · 10

−6

_[m]

. Try falletär180bar,

∆p = 180 · 10

5

_[N/m

2

_]

. Viskositetenär10 Stresp.

50

St. Eektförlustenär

P

f orlust

= p · q

f orlust

. Längdenär8 m,

l = 0.08 [m]

.

q =

 πd · h

3

12 · ν



·

 ∆p

_l



.

a) Eektförlust med 10 St

ν = 10 · 900 ∗ 10

−6

_[m

2

_/s]

Viräknarutödet:

q =



π·7E−3·(15E−6)

_{12·10E−6∗900}

3



·

180E5

0.08

≈ 1.55E − 7 [m

3

/s]

Eektförlustenblir

P = p ∗ q = 180E5 ∗ 1.5463E − 7 ≈ 2.78 [W ]

Svar:Eektförlustenblir2.78W.

b) Eektförlust med 50 St

ν = 900 ∗ 50 · 10

−6

_[m

2

_/s]

Viräknarutödet:

q =



π·7E−3·(15E−6)

3

12·50E−6∗900



·

180E5

0.08

≈ 3.92E − 8 [m

3

/s]

Eektförlustenblir

P = p ∗ q = 180E5 ∗ 1.5463E − 7 ≈ 0.55 [W ]

Svar:Eektförlustenblir0.55W.

Uppgift 13.16

Viskositet10 St,

ν = 10 · 10

−6

_[m

2

_/s]

.Hurstorskalldengöras?

Angrepssätt; vi anpassar ödet genom stypningen så att eektförlusten blir

sammasomiuppgift13.15.

Uppgift 13.17

Vilkenhastighetfårvattnet somtappasur envattentunnadär vattennivånär

enmeterhögreänhapphålet?

Tapphåletharendiameterpå1 mo hskarpakanter,kontraktionskoe ienten

är

ϕ = 0.63

o hhastighetskoe ientenär

ψ = 0.97

. Hasighetengesavekvationen

v

2

=

s

2∆p

Närmantarhänsyntillstrypningenfårvi

v = ϕ · ψ ·

s

2∆p

ρ

= ϕ · ψ ·

s

2 · ρ · g · h

ρ

v = ϕ · ψ ·

p2 · g · h

v = 0.63 · 0.97 ·

√

2 · 9.82 · 1 = 0.63 ∗ 0.97 = 4.43 ≈ 2.71 [m/s]

Svar: Vattenstrålen har en hastighet på a 2.7 m/s, om inte

kontraktion-skoe ienten o h hastighetskoe ienten används får vi hastigheten 4.3 m/s,

v =

√

2 · g · h

.

Uppgift 13.18

VilkenvolymströmlämnartunnansommestiUppgift13.17?

Maxvolymströminträardåtry ketärsomstörst.

Vetattödetärareangångerhastigheten.

Hastighetenvifårfrån13.17.Areanär:

A =

π · r

2

4

=

0.01

2

_{· π}

4

[m

2

_]

Flödetär

q = A·ϕ·ψ·p2 · g · h =

 0.01

₄

2

· π



·0.63·0.97·

√

2 · 9.82 · 1 ≈ 0.2127·10

−3

_[m

3

_/s]

Flödetperminutär

0.2127 · 60 ≈ 12.8 l/min

.

Svar:Sommesthar viettvolymödepå0.21

l/s

,eller12.8l/min.

Uppgift 13.19

Vätskanhardensiteten

ρ = 1010 [kg/m

3

_]

.

Vätskenivånär3meter,

h = 3 [m]

.

Inreöverty kmotsvarande

200 mmHg

.

Kontraktionskoe ienten

ϕ = 0.8

o h hastighetskoe ienten

ψ = 0.96

. Den-sitetenhoskvi ksilverär

ρ

hg

≈ 13600[kg/m

3

_]

.

Detinreövertry ketmotsvarar

p

i

= ρ

hg

g · h = 13600 · 9.82 · 0.2

. EnligtBernoulli:

p

i

+ ρgh = ρ

v

2

2

. Hastighetenblir:

v =

q

2

_ρ

(p

i

+ ρgh) =

q

2

1100

(13600 ∗ 0.2 ∗ 9.82 + 1100 ∗ 3 ∗ 9.82) ≈ 10.82

. Hatighetenanpassadtillkontraktionskoe ienten:

v

ut

= 10.82 ∗ 0.8 ∗ 0.96 = 8.3 [m/s]

.

Uppgift 13.20

Vilketoljeöde passerar genom en skarpkantad strypbri ka med 2.4

mm ihåldiameter omtry ketär 210 bar?

Vilkenhastighet haroljestrålen?

Densitetenföroljanär900

[kg/m

3

_]

,

ρ = 900 [kg/m

3

_]

.

Hastighetsförlusterbeskrivsmed

ψ

,

ψ = 0.98

. Try ketär

p = 210 bar = 210 · 10

5

_[N/m

2

_]

.

Frånsidan169ikursbokenfåsattenskarpkantatbri kahar

ϕ = 0.61

.

q = ϕ · ψ · A

0

s

2∆p

ρ

Vivetävenattsambandetförödeär

q = A

0

· v

,såledesgälleratt:

v = ϕ · ψ ·

s

2∆p

ρ

= 0.61 · 0.98 ·

r

2 · 210 · 10

5

900

= 129 [m/s]

Flödet,

q

,ärhastighetengångerarean.

q = A

o

· v =

0.0024

2

_{· π}

4

· 129 · 60 ≈ 0.035 [m

3

_/min]

Svar:Strålenshastighetblir129meter/sekund.Flödet blir a35liter/minut.

Notering Omett

ϕ = 1.0

väljskommervi inte attta hänsyntill att stryp-bri kanärskarpkantad.Vifåridettafallattstrålenshastighetär211m/s.

v = ϕ · ψ ·

s

2∆p

ρ

= 1.0 · 0.98 ·

r

2 · 210 · 10

5

900

= 211 [m/s]

Flödetbliridettafall

q = A

o

· v =

0.0024

2

_{· π}

4

· 211 · 60 ≈ 0.0573 [m

3

_/min].

Svar:Strålenshastighetblir211m/s.Flöderblir a57.3liter/min.

Uppgift 13.21

Vattenstrålenshastighetär5m/s,

v

1

= 5 [m/s]

. Flödetär10l/min,

q

1

= 10 [l/min] = 10 · (10/60) · 10

−3

_[m

3

_/s]

.

Flödetträarbladenpåenturbin,infallsvinkelär

90

o

.

Densitetenhosvattnetär

ρ = 1000 [kg/m

3

_]

.

a) Vilken kraft gerstrålen?

Dendynamiskakraftengesav:

p

dyn

= ρ ·

v

2

Kraftengesav

F = p

dyn

· A

.

Flödetgesavareangångerhastigheten,

q = v · A

. Vifårsåledesattareanär:

A =

q

v

=

10 · 10

−3

_/60

5

= 2 · 10

−3

_[m

2

_]

Kraftenärtry ketgångerarean:

F = p

dyn

· A =



ρ ·

v

2

2



·



q

v



= 1000 ·

 5

2

2



·

 10 · 10

−3

60 · 5



≈ 0.417 N

Svar:Vattenstrålengerenkraftpåungefär0.4N.

b) Vilken vridmomentuppstår?

Radienpåturbinbladenär25 m,

r = 0.25 [m]

. Turbinenroterarmed15rpm,

n = 15/60 [varv/s]

.

Hastighetpgarotationär

v = r · ω

,där

ω

ärvinkelhastigheten.

v

ω

= r · ω = r · (n · 2π) = 0.25

 15

60



· 2π = 0.25

2

· 2π =

π

₈

[m/s]

Kraftenmotskivanberorpåinfallsvinkelo hrotationshastighet,mankansedet

somattmanräknarborthastighetskomponentensomorsakasavrotationen.

v

ut

= v

in

− v

ω

= 5 −

π · cos (45

o

₎

8

≈ 4.72 [m/s]

Vridmomentet

τ

ärkraftengångersträ kan.

τ = r · cos(45

o

) · f

u

Framdrivningskraftenorsakasavhastighetenpådenutgåendestrålen.

f

u

= ρ ·

 v

2

ut

2



· A

τ = 0.25 · cos



π

4



· 1000 ·

 4.72

2

2



·

 10 · 10

−3

60 · 5



≈ 0.1318 [N m]

Eektenärvridmomentetgångervinkelhastigheten,

P = τ · ω

.

P = τ · n · 2π = 0.131 ·

15

60

· 2π ≈ 0.206 [W ]