Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: 8 maj 2019 Skrivtid: 8:15-10:00
Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst och bifogade formelblad (sida 2).
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.
Inga toabesök eller andra raster.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar.
Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. För godkänt krävs 3 av max 5 poäng.
Uppgift 1. (1p)
En Markovkedja har övergångsmatrisen P=
5 . 0 5 . 0
6 . 0 4 .
0 . Bestäm den stationära sannolikhetsvektorn.
Uppgift 2. (1p) En födelsedödsprocess med oändligt många tillstånd definieras av följande diagram
Bestäm p0. Uppgift 3. (3p)
Ett kösystem kan modelleras som M/M/3/1 (3 betjänare, 1 köplats) . Ankomstintensiteten är λ= 5 kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ=2 kunder/minut.
a) Skissera tillståndsgraf med övergångsintensiteter.
b) Bestäm sannolikheterna p0, p1, p2, p3 och p4.
c) Hur många kunder spärras från systemet under 1 timme (=60 minuter)?
Lycka till.
(Formelblad finns på sida 2.)
Sida 1 av 6
M/M/m/K kösystem
/Beteckningar:p k Stationära sannolikheter;
p är sannolikheten för k kunder i systemet k
N Medelantal kunder i systemet, N = Nq +Ns Nq Medelantal kunder i kön
N s Medelantal kunder i betjänarna
x~ Betjäningstid för en kund (stokastisk variabel ) x Medel betjäningstid för en kund, x =E(x~)
w~ Väntetid (=tid i kö) för en kund (stokastisk variabel ) W Medel väntetid för en kund, W =E(w~)
s~ Total tid i systemet för en kund; s~ = x~ + w~
T Medel totaltid i systemet för en kund , x
W T = +
λ Ankomstintensitet
spärr
λ Spärrade kunder per tidsenhet λ eff Effektiv ankomstintensitet
λ =eff λ-λspärr µ Betjäningsintensitet ρ Erbjuden trafik ,
µ ρ = λ
Några formler för ett M/M/m/K kösystem:
∑ ⋅
=
k
p
kk
N
,kmax
spärr
= λ ⋅ p
λ
,λ
eff= λ − λ
spärreff
T N
= λ , µ
= 1
x , T =W +x Littles formler:
N =λeff ⋅T Nq =λeff ⋅W Ns =λeff ⋅x
s
q N
N
N = + µ
ρ = λ , erbjuden trafik (kallas också "betjäningsfaktor")
µ
ρspärr =λspärr , spärrad trafik ,
µ
ρeff = λeff , effektiv trafik
Belastning per betjänare = m Ns
.
~) (s E T =
2 av 6
Uppgift 1. (1p)
En Markovkedja har övergångsmatrisen P=
5 . 0 5 . 0
6 . 0 4 .
0 . Bestäm den stationära sannolikhetsvektorn.
Lösning:
Låt q =(x,y) vara en stationär sannolikhetsvektor.
Då gäller
q =P q och x+ y=1
Vi skriver q =P q på komponentform:
y y x
x y y x
x y
x + =
=
⇒ +
=
5 . 0 6 . 0
5 . 0 4 . ) 0 , 5 ( . 0 5 . 0
6 . 0 4 . ) 0 , (
och lägger till ekvationen
x+ y=1 ( q är en sannolikhetsvektor) Därmed har vi systemet:
= +
=
−
= +
−
⇒
= +
= +
= +
1
0 5 . 0 6 . 0
0 5 . 0 6 . 0 1
5 . 0 6 . 0
5 . 0 4 . 0
y x
y x
y x
y x
y y x
x y x
Andra ekvationen är samma som första.
Från första ekvationen har vi 5
y=6xsom vi substituerar i tredje ekvationen och får
11 1 5
5 1 11 5
6 = ⇒ = ⇒ =
+ x x x
x . Därmed
11 6 11
5 5 6 5
6 = ⋅ =
= x y Svar: q=(5/11, 6/11)
3 av 6
Uppgift 2. (1p) En födelsedödsprocess med oändligt många tillstånd definieras av följande diagram
Bestäm p . 0 Lösning:
Först uttrycker vi p , 1 p , 2 p ,... som funktioner av 3 p : 0
0 0 1 0
1 5
1p p
p = =
µ
λ (*)
0 2 0
0 2 1
1 0
2 5
1 5
5 1
1 p p
p
p
=
⋅
= ⋅
= µ µ λ
λ
0 3
3 5
1 p
p
=
För att bestämmap substituerar vi (*) i villkoret 0
3 1
2 1
0 +p + p + p +=
p och får
5 1 1 5
1 5
1
0 3 0
2 0
0 + =
+
+
+ p p p
p .
Vi bryter ut p 0
5 1 1 5
1 5 1 1
3 2
0 =
+
+
+
+
p
och använder formeln för den oändliga geometriska summan
x x x
x+ + + = −
+ 1
... 1
1 2 3 med
5
=1
x (notera att |x|<1).
4 av 6
Vi får 1 5 1 1
1
0 =
−
p och därmed p =0
5 4 5 1−1= .
Svar: p0 5
=4
Uppgift 3. (3p)
Ett kösystem kan modelleras som M/M/3/1 (3 betjänare, 1 köplats) . Ankomstintensiteten är λ= 5 kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ=2 kunder/minut.
a) Skissera tillståndsgraf med övergångsintensiteter.
b) Bestäm sannolikheterna p0, p1, p2, p3 och p4.
c) Hur många kunder spärras från systemet under 1 timme (=60 minuter)?
Lösning:
a)
dvs
b) Från grafen har vi
0
1 2
5p
p = , 2 0
8 25p
p = , 3 0
48 125p
p = , 4 0
288 625p p = Detta substitueras i
4 1
3 2 1
0 + p + p + p + p =
p och fås
0 =
p 288/3283 = 0.08772464210 och från (*)
1=
p 720/3283=0.2193116052
2 =
p 900/3283=0.2741395065
5 av 6
p =750/3283=0 .2284495888 3 4 =
p 625/3283=0.1903746573
c)
λ
spärr= λ ⋅ p
kmax =0.951873286 kunder per minut.Under 1 timme (=60 minuter) spärras 60 * 0.951873286 ≈57 kunder.
6 av 6
