amen i L Linjär alg gebra, H HF1904 Tenta

(1)

Tenta

Datum:

Skrivtid Lärare Examin För god Betygsg Komple Hjälpm

• Skriv T omslage finns på

• Skriv e

• Inlämn

• Fullstä lösning

• Ange o Omregi

• Denna --- Uppgift Lös följ















 3x y

y x

Uppgift Beräkna Uppgift Låt z Var god

amen i L

: 24 okt 201 d: 14:00-18 : Marina Ar nator: Arm dkänt betyg

gränser: För ettering: 9 p medel: Enda TYDLIGT et, eftersom å omslaget)

endast på en nade uppgif ändiga lösni ger 0 poän omslagsbla istrerad för a tentamens

--- t 1. (2p) (S jande ekvati















3 2

1 1 2

z y

y z

t 2. (2p) (S a arean av e t 3. (3p) (S

 

  ¹⁶³

3 1

2 i

i i

d vänd.

Linjär alg

18 8:00

rakelyan, E min Halilovi krävs 10 av r betyg A, B poäng på ten ast bifogat fo

NAMN oc m tentorma s

)

n sida av pa fter skall ma

ingar skall p ng.)

det klasstill r enklare so lapp får ej b --- Student som ionssystem

Student som en triangel m

Student som



3 Skriv tal

S

gebra, H

lias Said ic

v max 24 po B, C, D, E kr

ntamen ger r formelblad ch PERSON skannas oc apperet.

arkeras med presenteras lhörighet : K ortering.

behållas uta --- m är godkän

(med avsee

m är godkän med hörn i p m är godkän let z på a

Sida 1 av 10

HF1904

oäng.

krävs 22, 19 rätt till kom (miniräknar NNUMMER ch automatis

d kryss på o till alla upp Klass A, K an lämnas in

--- nd på KS1 h ende på x, y

nd på KS2 h punkterna A nd på inläm

 form. bi

0

, 16, 13 resp mplettering (

re är inte ti R på varje b

skt kopplas

omslaget.

pgifter. ( En Klass B eller n tillsamman

--- hoppar över y och z)

hoppar öve (1, 3, 1)

A ,

mningsuppgi

pektive 10 p (betyg Fx) .

llåten).

blad, (spec till namn/pe

ndast svar u

r Klass C el ns med lösn --- r uppgift 1.)

er uppgift 2 , B(2,1, 0

ften hoppa

poäng.

ciellt tydligt ersonnumm

utan tillhöra ller

ningar.

--- )

.)

0) och C ar över upp

på mer som

ande

(3,5, 2) pgift 3.)

(2)

Sida 2 av 10 Uppgift 4. (5p)

a) (1p) Bestäm en ekvation för planet genom punkten A(2,1,3)som är parallell med vektorerna p

=(3,0,1) och q(3,2,2)

. Ange planets ekvation på formen

0



by cz d

ax .

b) (2p) Bestäm den punkt i planet med ekvationen x2y2z4 som har kortast avstånd

till punkten B(4,5,4).

c) (2p) Den räta linjen L1 går genom punkterna P(1,1,2) och Q(2,2,2). Linjen L2 går genom punkterna R(0,0,6) och S (1,1,5).

Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjerna L1 och L2 . Uppgift 5. (4p)

a) (2p) Lös matrisekvationen AXBX C (med avseende på X)

där 



 





 



 







 





 

0 2

1 , 1

3 1

0 , 0

1 0

0

1 B C

A .

b) (2p) Bestäm matrisen Y om 



 







 



 







 3 5

5 3 2

1 2

1 Y .

Uppgift 6. (2p)

En konstant kraft på 12N, som är parallell med vektorn v(1,2, 2)

, förflyttar ett objekt längs en rät linje från punkten A(1, 1, 2) till punkten B(2, 2, 5) och därefter från punkten B till punkten C(4, 4, 11). Beräkna det totala utförda arbetet.

Uppgift 7. (2p)

Bestäm spegelbilden av punkten P(0, 6, 3) i linjen ( , , ) (2 ,1 2 , 2 )x y z  t  t  t . Uppgift 8. (2p)

Det komplexa talet z   är en lösning till ekvationen 1 i

3 2

2z 7z 10z  . Bestäm alla lösningar. 6 0 Uppgift 9. (2p)

Låt ABC vara en triangel. Vi betecknar med A₁, B₁, C₁ mittpunkter på BC, AC och AB. Låt vidare T vara skärningspunkten mellan sträckorna AA1 och BB1. Bevisa att |AT | 2 | AT₁ |

. (Anmärkning: En sammanbindningssträcka mellan triangelns hörn och motstående sidas mittpunkt kallas median. Skärningspunkten mellan medianer kallas triangelns tyngdpunkt.

Du ska faktiskt bevisa att tyngdpunkten delar medianen i förhalandet 2:1. )

Lycka till!

(3)

Sida 3 av 10 FACIT

Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Lös följande ekvationssystem (med avseende på x, y och z)

























3 2 3

1 1 2

z y x

y x

z y x

Lösning:

























3 2 3

1 1 2

z y x

y x

z y x

 





















0 4 4

0 2 2

1 2

z y

z y x

















0 0

0 1 2

z y

z y x

Oändlig många lösningar z , t y t, x 1 t

Svar: Oändlig många lösningar z , t yt, x 1 t, (t varierar fritt).

Rättningsmall: Korrekt till ^















0 0

0 1 2

z y

z y x

ger 1p. Allt korrekt=2p.

Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.)

Beräkna arean av en triangel med hörn i punkterna A(1, 3, 1), B(2,1, 0) och C(3,5, 2) Lösning:

) 1 , 2 , 1 (  



AB , AC(2,2,1)

| 2|

1 AB AC

A 

k j i k j i AC

AB 0 3 6

1 2 2

1 2

1     





2 5 36 3 2 9

1  



A a.e.

Svar: 5

2

 3

A a.e.

Rättningsmall: Korrekt ABAC ger 1p. Allt korrekt=2p.

Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.)

Låt  



  ¹⁶³

3 1

2 i

i

z i Skriv talet z på a form. bi Lösning:

i i i

i i

i¹⁶³  ¹⁶⁰ ³ ( ⁴)⁴⁰ ( )

i i i

i i i i i

i z i

2 3 2 1 10

5 5 )

3 ( 1

) 3 1 )(

2 ( 3

1 2

2

163      



 

 

  .

(4)

Sida 4 av 10 Svar: i

2 3 21 

Rättningsmall: Korrekt i¹⁶³ i ger +1p. Korrekt

10 5 5 3 1

2 i

i i  



 ger +1p. Allt korrekt=3p.

Uppgift 4. (5p)

a) (1p) Bestäm en ekvation för planet genom punkten A(2,1,3)som är parallell med vektorerna p

=(3,0,1) och q(3,2,2)

. Ange planets ekvation på formen

0



by cz d

ax .

Lösning:

(2, 3, 6) n    p q 

2x3y6z d 0, insättning av punkten A ger d   25 Svar: Planets ekvation: 2x3y6z25 0

Rättningsmall: Rätt eller fel

b) (2p) Bestäm den punkt i planet med ekvationen x2y2z4 som har kortast avstånd till punkten B(4,5,4).

Lösning:

Linjen L genom B vinkelrät mot planet skär planet i punkten som ligger närmast B.

Linjen L har ekvationen ) 2 , 2 , 1 ( ) 4 , 5 , 4 ( ) , ,

(x y z  t

som ger tre skalära ekvationer:

t

x 4 , y52t och z42t.

För att bestämma skärningspunkten mellan linjen och planet, substituerar vi linjens skalära ekvationer i planets ekvation

4 2

2  

 y z

x och får

4 ) 2 4 ( 2 ) 2 5 ( 2

4t  t   t  Härav t4t4t18, och t2.

Skärningspunkten har följande koordinater 2

4 

 t

x , y541 och z440. Svar: (2,1,0)

Rättningsmall: Korrekt ekvation för linjen L ger 1p. Allt korrekt =2p.

c) (2p) Den räta linjen L1 går genom punkterna P(1,1,2) och Q(2,2,2). Linjen L₂ går genom punkterna R(0,0,6) och S (1,1,5).

Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjerna L₁ och L₂ . Lösning:

Linjernas ekvationer på parameterform:

(5)

Sida 5 av 10

1 2

1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

1 2 2

(1,1, 0) (1,1, 1)

1

: 1 , :

2 6

r PQ och r RS

x t x t

L y t L y t

z z t

    

  

 

    

 

    

 

   

1 2 1 2

1 2 2 2 1

1 1

2 6 4 3 : (4, 4, 2)

x x t t

y y t t

z z t t som ger t skärningspunkt

   

       

Svar: (4,4,2)

Rättningsmall: Rätta ekvationer för L1 och L2 på parameterform ger 1p. Allt rätt =2p.

Uppgift 5. (4p)

a) (2p) Lös matrisekvationen AXBX C (med avseende på X)

där 



 





 



 







 





 

0 2

1 , 1

3 1

0 , 0

1 0

0

1 B C

A .

Lösning:

1 1

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

AX BX C

A B X C

A B A B X A B C

EX A B C X A B C

 

 

   

    

1 0 1 1 2 0

, ( ) ,

1 2 2 1 1

1 1

2 0 1 1 2 2

1 1

3 1

1 1 2 0 3 1

2 2

A B A B

X

    

      

 

       

              Rättningsmall: Korrekt inversen ¹ 1 2 0

( )

1 1

AB ^  2  ger 1p.

Allt korrekt ger 2p.

b) (2p) Bestäm matrisen Y om 



 







 



 







 3 5

5 3 2

1 2

1 Y .

Lösning:

Notera att matrisen 1 2

1 2

 

  

  saknar invers.

11 21

11 12 12 22

21 22 11 21 11 21

12 22 12 22

2 3 (1)

2 5 (2)

1 2 3 5

2 3 3 2

1 2 3 5

2 5 5 2

y y

y y y y

y y y y y y

y y y y

 

 

    

            

    

      

(6)

Sida 6 av 10 Insättning av y och y i (1) och (2) ger: ₁₁ ₁₂

21 21

21 22

22 22

3 2 2 3

5 2 2 5

y y

som alltid gäller y t och y s

y y

där t och s är godtyckliga reella parametrar

  

  

  

11 12

21 22

3 2 5 2

y y t s

 

   

   

 

Rättningsmall:

Korrekt till systemet

11 21

12 22

11 21

12 22

2 3

2 5

2 3

2 5

y y

 

   

ger 1p .

Allt korrekt =2p.

Uppgift 6. (2p)

Lösning:

Kraften: (1, 2, 2)

12 12 4(1, 2, 2) (4, 8, 8)

3 F v

v

      

 



Arbetet: W F AB   F BC (4, 8, 8) (1, 1, 3) (4, 8, 8) (2, 2, 6)   20 40 60J

   

Rättningsmall: Korrekt (1, 2, 2)

12 3

F  



ger 1p. Allt korrekt=2p.

Uppgift 7. (2p)

Bestäm spegelbilden av punkten P(0, 6, i linjen ( , , ) (2 ,1 2 , 2 )3) x y z  t  t  t . Lösning:

Metod 1. Låt O=(0,0,0). Beteckna med S den sökta spegelbilden av punkten P. Låt Q vara den punkt på linjen L som ligger närmast punkten P. Då är Q mittpunkten av sträckan PS. (se figuren nedan).

(7)

Sida 7 av 10

Först bestämmer vi punkten Q. Planet  som går genom punkten P(0, 6, vinkelrät 3) mot linjen L skär linjen i punkten Q. Linjens riktningsvektor r ( 1, 2, 2)

kan användas som planets normalvektor. Planets ekvation är

(x0)2(y6)2(z3)0 eller x2y2z180. För att få Q löser vi systemet



























0 18 2 2 2

2 1 2

z y x

t z

t y

t x

som ger t=2, x=0, y=5 och z=–4.

Därmed är Q(0,5,4)

Nu kan vi bestämma vektorn PQ^ (011)och därmed QS^ PQ^ (011). Slutligen

) 5 , 4 , 0 ( ) 1 1 0 ( ) 4 , 5 , 0

(      





 ^ ^



QS OQ OS

och därmed S(0,4,5) Svar:

) 5 , 4 , 0

( 

 S

Rättningsmall: Korrekt punkten Q(0,5,4) ger 1p. Allt korrekt=2p.

Metod 2 . (Projektion)

En punkt i linjen P₀ (2, 1, 0). Linjens riktningsvektor är r ( 1, 2, 2)

Q

S

O P

L P⁰

(8)

Sida 8 av 10 Projektionen av vektor u P P₀  ( 2, 5, 3)

på linjen är

₁ ₀ ₂ 2 10 6

( 1, 2, 2) 9

u P Q u rr r

 

     

    

 2( 1, 2, 2)   ( 2, 4, 4) . Eftersom P P  ₀ P Q₀ QP

har vi QP  P P₀ P Q₀ eller,

( 2, 5, 3) ( 2, 4, 4) (0, 1, 1) QP      

Spegelpunkten S uppfyller

2 (0, 6, 3) 2(0, 1, 1) (0, 6, 3) (0, 2, 2) (0, 4, 5)

OS OP PS OP OS

    QP   

    

    



och därmed S(0,4,5)

Rättningsmall: Rätt bestämning av vektorn QP

=(0,1,1)ger 1p. Allt korrekt=2p.

Uppgift 8. (2p)

Det komplexa talet z   är en lösning till ekvationen 1 i

3 2

2z 7z 10z  . Bestäm alla lösningar. 6 0 Lösning:

Anmärkning:

Här finns ett tryckfel i ekvationen ( det skulle stå 2z³7z²10z  ) som vi upptäcker 6 0 under lösningsproceduren.

Om en algebraisk ekvation har reella koefficienter och en komplex lösningz₁  1 i då är i

z₂  1  också en lösning till ekvationen.

Då blir ekvationen delbart med

2 2 1

) 1 ( ) 1 )(

1 ( ) )(

(zz₁ zz₂  z i z i  z ²  z² z Polynomdivision ger

0

) 6 6 3 (

6 6 3

) 4 4 2 (

3 2 ) 2 2 /(

) 6 10 7 2 (

2 2

2 3

2 2

3





















z z

z z z

z z

.

Vi har kvar att lösa 2z30 som ger z₃ 3/2 Svar: z₁ 1 i, z₂  1 i, z₃ 3/2.

Rättningsmall: 1p för korrekt till (zz₁)(zz₂)z² 2z2 . 2p om allt är korrekt.

Uppgift 9. (2p)

(9)

Sida 9 av 10

Låt ABC vara en triangel. Vi betecknar med A1, B1, C1 mittpunkter på BC, AC och AB. Låt vidare T vara skärningspunkten mellan sträckorna AA₁ och BB₁. Bevisa att |AT | 2 | A T₁ |

. (Anmärkning: En sammanbindningssträcka mellan triangelns hörn och motstående sidas mittpunkt kallas median. Skärningspunkten mellan medianer kallas triangelns tyngdpunkt.

Du ska faktiskt bevisa att tyngdpunkten delar medianen i förhalandet 2:1. ) Lösning:

A B

C

A B

C

1

1 1

T

a) Vi söker talet x så att



 xAA₁

AT .

och talet y så att



  yBB₁ BT

Vidare betecknar vi

 AB

a

och

 AC

b

och uttrycker



AT som en linjär kombination av a och b

på två olika sätt:

i) xb

xa a b a x BA AB x AA x

AT     

2 )) 2

2( ( 1 )

( ₁

1      

 ^ ^ ^



(*) Andra sätt att beräkna vektorn



AT : Vi går genom punkten B.

ii) yb

a y b

a y a AB BA y a BB y AB BT AB

AT      

) 2 1 ( 2 ) ( 1 )

( ₁

1          







 ^ ^ ^ ^ ^ ^



(**) Från (* ) och (**) har vi

yb a y xb

xa   

) 2 1 2 (

2    

eller ( om vi skriver a b

, på var sin sida)

x b a y

x y  

2) (2 ) 2 1

(     (***) Eftersom a b

, är icke parallella vektorer är (***) möjlig endast om följande två villkor är uppfyllda

0 2 y1

x och 0

2 2x 

y .

Från 0

2 2y x 

har vi x som vi substituerar i y 1 0 2 y 

x och får

3 1 2

2 0 3

2 1  x   x x x

.

(10)

Sida 10 av 10 Därför

3

 2

 x

y .

Alltså, vi har fått



  ₁  ₁

3 2AA AA

x

AT och



  ₁  ₁

3 2BB BB

y

BT .

Därmed 2/ 3 delar av medianen AA1 ligger mellan hörnet A och T och 1/3 mellan T och sidans mittpunkten A1.

Alltså T delar AA₁ i förhållandet 2:1.

Rättningsmall. 1p för korrekt bevis med dålig förklaring. 2p om beviset är korrekt (med bra förklaring.).