Sida 1 av 7
Tentamen i Linjär algebra, HF1904
Tentamen på distans genom ZOOM Datum: 12 aug 2020
Skrivtid: 8:00-12:00 (Uppladdning 12 -12:15)
Extra skrivtid (Funka) : 8:00-14:00 (Uppladdning 14 -14:15) Lärare: Joakim Dahlfors
Examinator: Armin Halilovic
För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).
• Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad
• Skriv endast på en sida av papperet.
• Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)
• Ange på, första sidan, klasstillhörighet : Klass A, Klass B eller Klass C eller Omregistrerad för enklare sortering.
---
Viktigt: Under hela skrivningen ska du vara synlig i Zoom.
Använd papper och penna för att lösa dina uppgifter.
Tiden 12 -12:15 ( Funka 14-14:15) använder du för att fotografera och ladda upp dina lösningar i
https://kth.instructure.com/courses/24018/assignments
i en av undermappar (ordinarie tid eller extra tid för funka studenter) TEN1_HF1904_12 aug_2020_ordinarie_tid
eller i TEN1_HF1904_12 aug_2020_extra_tid (FUNKA) Format: PDF, JPG, JPEG, HEIC eller PNG filer är OK,
men vi föredrar PDF-format och gärna alla uppgifter i EN pdf-fil.
Efter kl 12:15 är mappen stäng för uppladdning.
(För studenter som har rätt till extra tid (Funka) stängs mappen kl 14:15.
Filernas namn ska innehålla ditt efternamn och namn, tex: EFTERNAMN_NAMN….
Om du är färdig tidigare, meddelar du genom chat i Zoom, till tentavakten, att du fotar dina lösningar. Efter uppladdningen meddelar du till tentavakten att du lämnar Zoom-tenta.
Därefter får du inte komma tillbacka till Zoom-rummet eller göra ändringar i dina lösningar.
Sida 2 av 7
Allmänna instruktioner: Parametrarna p och q i nedanstående uppgifter är de sista två siffrorna i ditt personnummer. (T ex: Om ditt personnummer är 751332 2248 så är p=4 och q=8.)
Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Två vektorer är givna: 𝑎𝑎⃗ = (1, 2, 𝑝𝑝) och 𝑏𝑏�⃗ = (0, 3, 𝑞𝑞).
a) Bestäm en enhetsvektor (vektor med längden 1) i rakt motsatt riktning mot 𝑎𝑎⃗ = (1, 2, 𝑝𝑝).
b) Bestäm en vektor 𝑣𝑣⃗ (≠ 0�⃗) som är vinkelrät mot 𝑐𝑐⃗ = (0, 3𝑝𝑝 + 1, 𝑞𝑞 + 1).
Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Bestäm volmen av den pyramid som spänns upp av vektorerna (1,0,1), (3,1,𝑝𝑝 + 4) och (q,1,0).
Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Bestäm 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑧𝑧, 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑧𝑧 och |𝑧𝑧| om 𝑧𝑧 = 3+𝑝𝑝𝑝𝑝2−𝑝𝑝.
Uppgift 4. (3p)
Givet kraftvektorn 𝐹𝐹⃗ = (3, 𝑝𝑝, 𝑞𝑞) N och planet : 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 6𝑧𝑧 = 7. Vektorn 𝐹𝐹⃗ delas i två komposanter där en av de är vinkelrät mot planet och den andra komposanten är parallell med planet . Bestäm den komposant av kraften som är parallell med planet .
Uppgift 5. (3p)
Skriv, om det är möjligt, vektorn 𝑑𝑑⃗ = (0, 1, 1) som en linjärkombination av vektorerna 𝑎𝑎⃗ = (1, 1, 0), 𝑏𝑏�⃗ = (1, 0, 1) och 𝑐𝑐⃗ = (3, 1, 0), dvs. försök finna några tal 𝑢𝑢1, 𝑢𝑢2 och 𝑢𝑢3 sådana att 𝑑𝑑⃗ = 𝑢𝑢1𝑎𝑎⃗ + 𝑢𝑢2𝑏𝑏�⃗ + 𝑢𝑢3𝑐𝑐⃗. (OBS enbart prövning ger 0p)
Uppgift 6. (3p)
𝑧𝑧1 = 𝑞𝑞𝑞𝑞 är en rot till ekvationen 𝑧𝑧4− 4𝑧𝑧3+ (13 + 𝑞𝑞2)𝑧𝑧2− 4𝑞𝑞2𝑧𝑧 + 13𝑞𝑞2 = 0. Bestäm samtliga rötter till ekvationen.
Uppgift 7. (2p)
Lös följande matrisekvation (𝑋𝑋 är en okänd matris) 𝐴𝐴𝑋𝑋 − 2𝑋𝑋 = 𝐵𝐵 där 𝐴𝐴 = �2 51 3� och 𝐵𝐵 = �1 2 𝑝𝑝4 5 𝑞𝑞�.
Uppgift 8. (4p)
Undersök följande ekvationssystem för alla möjliga värden på de reella konstanterna 𝑎𝑎 och 𝑏𝑏:
�2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = (𝑏𝑏 − 𝑝𝑝) 6𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧 = 1 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 + (𝑎𝑎 − 𝑞𝑞)𝑧𝑧 = 8
Vilka värden på 𝑎𝑎 och 𝑏𝑏 ger en entydig lösning? För vilka värden saknas lösning? Vilka värden ger en parameterlösning? Hur ser eventuella parameterlösningar ut?
Uppgift 9. (2p)
Beräkna exakt �12−√32 𝑞𝑞�3𝑝𝑝+3.
Sida 3 av 7 Facit.
Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Två vektorer är givna: 𝑎𝑎⃗ = (1, 2, 𝑝𝑝) och 𝑏𝑏�⃗ = (0, 3, 𝑞𝑞).
a) Bestäm en enhetsvektor (vektor med längden 1) i rakt motsatt riktning mot 𝑎𝑎⃗ = (1, 2, 𝑝𝑝).
b) Bestäm en vektor 𝑣𝑣⃗ (≠ 0�⃗) som är vinkelrät mot 𝑐𝑐⃗ = (0, 3𝑝𝑝 + 1, 𝑞𝑞 + 1).
Lösning:
a) |𝑎𝑎⃗| = �12+ 22+ 𝑝𝑝2 ⇒ 𝑅𝑅⃗ = −�5+𝑝𝑝(1,2,𝑝𝑝)2
b) 𝑣𝑣⃗ ∙ 𝑐𝑐⃗ = 0 ⇒ �𝑣𝑣𝑥𝑥, 𝑣𝑣𝑦𝑦, 𝑣𝑣𝑧𝑧� ∙ (0, 3𝑝𝑝 + 1, 𝑞𝑞 + 1) = 0 ⇒ (3𝑝𝑝 + 1)𝑣𝑣𝑦𝑦+ (𝑞𝑞 + 1)𝑣𝑣𝑧𝑧 = 0
⇒ 𝑣𝑣𝑧𝑧 = −(3𝑝𝑝+1)𝑣𝑣𝑦𝑦 (𝑞𝑞 + 1)
där då 𝑣𝑣𝑥𝑥 och 𝑣𝑣𝑦𝑦 väljs fritt (så att minst ett av 𝑣𝑣𝑥𝑥 och 𝑣𝑣𝑦𝑦 är skilt från 0 ; t.ex. 𝑣𝑣⃗ = (𝑎𝑎, 0, 0) för något 𝑎𝑎 ≠ 0.
Rättningsmall: Korrekt enhetsvektor med rätt riktning 1p.
En korrekt vinkelrät vektor 1p.
Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Bestäm volmen av den pyramid som spänns upp av vektorerna (1,0,1), (3,1,𝑝𝑝 + 4) och (q,1,0).
Lösning: Volymen 𝑉𝑉 =16∙| �1 0 1 3 1 𝑝𝑝 + 4 𝑞𝑞 1 0 � |=
= 16�1 ∙ �0 − (𝑝𝑝 + 4)� − 0 ∙ (0 − 𝑝𝑝𝑞𝑞) + 1 ∙ (3 − 𝑞𝑞)� =16|−(𝑝𝑝 + 4) + 3 − 𝑞𝑞| =|−(𝑝𝑝+𝑞𝑞+1)|
6
= 𝑝𝑝+𝑞𝑞+16 v.e.
Rättningsmall: Något enstaka räknefel ger -1p men i övrigt krävs allt rätt (med korrekt hantering av belopp) för 2p. Annars 0p.
Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Bestäm 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑧𝑧, 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑧𝑧 och |𝑧𝑧| om 𝑧𝑧 = 3+𝑝𝑝𝑝𝑝2−𝑝𝑝.
Lösning:
𝑧𝑧 =3 + 𝑝𝑝𝑞𝑞 2 − 𝑞𝑞 =
(3 + 𝑝𝑝𝑞𝑞) (2 − 𝑞𝑞)
(2 + 𝑞𝑞) (2 + 𝑞𝑞) =
6 + 3𝑞𝑞 + 2𝑝𝑝𝑞𝑞 + 𝑝𝑝𝑞𝑞2
22− 𝑞𝑞2 =(6 − 𝑝𝑝) + (3 + 2𝑝𝑝)𝑞𝑞 5
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑧𝑧 =6 − 𝑝𝑝
5 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑧𝑧 =
3 + 2𝑝𝑝 5
|𝑧𝑧| =�(6 − 𝑝𝑝)2+ (3 + 2𝑝𝑝)2
5 =�36 − 12𝑝𝑝 + 𝑝𝑝2+ 9 + 12𝑝𝑝 + 4𝑝𝑝2
5 = �5(𝑝𝑝2+ 9)
5
Sida 4 av 7
Rättningsmall: Korrekt realdel 1p.
Korrekt imaginärdel 1p.
Korrekt absolutbelopp 1p.
Uppgift 4. (3p)
Givet kraftvektorn 𝐹𝐹⃗ = (3, 𝑝𝑝, 𝑞𝑞) N och planet : 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 6𝑧𝑧 = 7. Vektorn 𝐹𝐹⃗ delas i två komposanter där en av de är vinkelrät mot planet och den andra komposanten är parallell med planet . Bestäm den komposant av kraften som är parallell med planet .
Lösning: En normalvektor 𝑛𝑛�⃗ till planet ges av 𝑛𝑛�⃗ = (2, −3, 6) och då är enhetsvektorn i normalens riktning 𝑅𝑅⃗𝑛𝑛 =|𝑛𝑛�⃗|𝑛𝑛�⃗ =�22(2,−3,6)+(−3)2+62 =(2,−3,6)√49 = 17(2, −3, 6).
Den komposant av kraften som är ortogonal mot planet, 𝐹𝐹⃗⊥, fås ur projektionen av 𝐹𝐹⃗ på 𝑅𝑅⃗𝑛𝑛
enligt 𝐹𝐹⃗⊥ = �𝐹𝐹⃗ ∙ 𝑅𝑅⃗𝑛𝑛�𝑅𝑅⃗𝑛𝑛 = �(3, 𝑝𝑝, 𝑞𝑞) ∙17(2, −3, 6)�17(2, −3, 6) = 6−3𝑝𝑝+6𝑞𝑞49 (2, −3, 6).
Den komposant av kraften som är parallell med planet, 𝐹𝐹⃗//, fås ur 𝐹𝐹⃗ = 𝐹𝐹⃗⊥+ 𝐹𝐹⃗// som 𝐹𝐹⃗// = 𝐹𝐹⃗ − 𝐹𝐹⃗⊥ = (3, 𝑝𝑝, 𝑞𝑞) −6−3𝑝𝑝+6𝑞𝑞49 (2, −3, 6)
= 491 �(147, 49𝑝𝑝, 49𝑞𝑞) − (6 − 3𝑝𝑝 + 6𝑞𝑞)(2, −3, 6)�
= 491 (135 + 6𝑝𝑝 − 12𝑞𝑞, 18 + 40𝑝𝑝 + 18𝑞𝑞, −36 + 18𝑝𝑝 + 13𝑞𝑞)
Rättningsmall: Beräknat en komposant med projektion 1p.
Förstått att detta är den ortogonala komposanten 1p
Korrekt parallell komposant 1p.
Uppgift 5. (3p)
Skriv, om det är möjligt, vektorn 𝑑𝑑⃗ = (0, 1, 1) som en linjärkombination av vektorerna 𝑎𝑎⃗ = (1, 1, 0), 𝑏𝑏�⃗ = (1, 0, 1) och 𝑐𝑐⃗ = (3, 1, 0), dvs. försök finna några tal 𝑢𝑢1, 𝑢𝑢2 och 𝑢𝑢3 sådana att 𝑑𝑑⃗ = 𝑢𝑢1𝑎𝑎⃗ + 𝑢𝑢2𝑏𝑏�⃗ + 𝑢𝑢3𝑐𝑐⃗. (OBS enbart prövning ger 0p)
Lösning: 𝑑𝑑⃗ = 𝑢𝑢1𝑎𝑎⃗ + 𝑢𝑢2𝑏𝑏�⃗ + 𝑢𝑢3𝑐𝑐⃗ ⇔ 𝑢𝑢1�1
10� + 𝑢𝑢2�1
01� + 𝑢𝑢3�3
10� = �0
11� som ger totalmatris
�1 1 3 1 0 1 0 1 0�0
11� −𝑟𝑟2 + 𝑟𝑟1~ �1 1 3 0 1 2 0 1 0� 0
−11 � 𝑟𝑟2 ↔ 𝑟𝑟3~ �1 1 3 0 1 0 0 1 2� 0
−11 �
𝑟𝑟3 − 𝑟𝑟2~ �1 1 3 0 1 0 0 0 2� 0
−21 �
𝑟𝑟3/2~ �1 1 3 0 1 0 0 0 1� 0
−11 �𝑟𝑟1 − 3𝑟𝑟3
~ �1 1 0 0 1 0 0 0 1� 3
−11 �𝑟𝑟1 − 𝑟𝑟2
~ �1 0 0 0 1 0 0 0 1� 2
−11 � Alltså 𝑢𝑢1 = 2, 𝑢𝑢2 = 1 och 𝑢𝑢3 = −1 löser problemet och 𝑑𝑑⃗ = 2𝑎𝑎⃗ + 𝑏𝑏�⃗ − 𝑐𝑐⃗
Rättningsmall: Korrekt totalmatris/ekvationssystem 1p.
Korrekt lösning av systemet 1p.
Korrekt svar (tolkning av lösningen) 1p.
Sida 5 av 7 Uppgift 6. (3p)
𝑧𝑧1 = 𝑞𝑞𝑞𝑞 är en rot till ekvationen 𝑧𝑧4− 4𝑧𝑧3+ (13 + 𝑞𝑞2)𝑧𝑧2− 4𝑞𝑞2𝑧𝑧 + 13𝑞𝑞2 = 0. Bestäm samtliga rötter till ekvationen.
Lösning: Alla koefficienter i ekvationen är reella så om 𝑧𝑧1 = 𝑞𝑞𝑞𝑞 är en rot är även
komplexkonjugatet 𝑧𝑧2 = −𝑞𝑞𝑞𝑞 en rot. Då är både (𝑧𝑧 − 𝑧𝑧1) = (𝑧𝑧 − 𝑞𝑞𝑞𝑞) och (𝑧𝑧 − 𝑧𝑧2) = (𝑧𝑧 + 𝑞𝑞𝑞𝑞) faktorer i 𝑃𝑃(𝑧𝑧) = 𝑧𝑧4− 4𝑧𝑧3+ (13 + 𝑞𝑞2)𝑧𝑧2− 4𝑞𝑞2𝑧𝑧 + 13𝑞𝑞2. Alltså är 𝑃𝑃(𝑧𝑧) delbart med (𝑧𝑧 − 𝑞𝑞𝑞𝑞)(𝑧𝑧 + 𝑞𝑞𝑞𝑞) = (𝑧𝑧2 + 𝑞𝑞2) och kan skrivas 𝑃𝑃(𝑧𝑧) = 𝑄𝑄(𝑧𝑧)(𝑧𝑧2+ 𝑞𝑞2) där 𝑄𝑄(𝑧𝑧) är ett andragradspolynom vars nollställen är de övriga sökta rötter till ekvationen.
Utför polynomdivision eller ansätt 𝑄𝑄(𝑧𝑧) = 𝑧𝑧2+ 𝑎𝑎𝑧𝑧 + 𝑏𝑏 och identifiera koefficienter (𝑧𝑧2+ 𝑎𝑎𝑧𝑧 + 𝑏𝑏)(𝑧𝑧2+ 𝑞𝑞2) = 𝑧𝑧4+ 𝑎𝑎𝑧𝑧3 + (𝑏𝑏 + 𝑞𝑞)𝑧𝑧2+ 𝑎𝑎𝑞𝑞2𝑧𝑧 + 𝑏𝑏𝑞𝑞2 och
𝑧𝑧4 + 𝑎𝑎𝑧𝑧3+ (𝑏𝑏 + 𝑞𝑞2)𝑧𝑧2+ 𝑎𝑎𝑞𝑞2𝑧𝑧 + 𝑏𝑏𝑞𝑞2 = 𝑧𝑧4 − 4𝑧𝑧3 + (13 + 𝑞𝑞2)𝑧𝑧2− 4𝑞𝑞2𝑧𝑧 + 13𝑞𝑞2 ger 𝑏𝑏 = 13 och 𝑎𝑎 = −4
Alltså 𝑄𝑄(𝑧𝑧) = 𝑧𝑧2− 4𝑧𝑧 + 13 och 𝑧𝑧2− 4𝑧𝑧 + 13 = 0 ⇒ 𝑧𝑧3,4 = 2 ± √22− 13 = 2 ± √−9 Vi har då 𝑧𝑧1 = 𝑞𝑞𝑞𝑞, 𝑧𝑧2 = −𝑞𝑞𝑞𝑞, 𝑧𝑧3 = 2 + 3𝑞𝑞 och 𝑧𝑧4 = 2 − 3𝑞𝑞.
Rättningsmall: Kommer fram till att 𝑃𝑃(𝑧𝑧) = 𝑄𝑄(𝑧𝑧)(𝑧𝑧2 + 𝑞𝑞2) 1p.
Korrekt bestämning av 𝑄𝑄(𝑧𝑧) 1p.
Korrekt svar 1p.
Uppgift 7. (2p)
Lös följande matrisekvation (𝑋𝑋 är en okänd matris) 𝐴𝐴𝑋𝑋 − 2𝑋𝑋 = 𝐵𝐵 där 𝐴𝐴 = �2 51 3� och 𝐵𝐵 = �1 2 𝑝𝑝4 5 𝑞𝑞�.
Lösning: Omskrivning av ekvationen ger
𝐴𝐴𝑋𝑋 − 2𝑋𝑋 = 𝐵𝐵 ⇔ 𝐴𝐴𝑋𝑋 − 2𝐼𝐼𝑋𝑋 = 𝐵𝐵 ⇔ (𝐴𝐴 − 2𝐼𝐼)𝑋𝑋 = 𝐵𝐵
⇔ (𝐴𝐴 − 2𝐼𝐼)−1(𝐴𝐴 − 2𝐼𝐼)𝑋𝑋 = (𝐴𝐴 − 2𝐼𝐼)−1𝐵𝐵 ⇔ 𝑋𝑋 = (𝐴𝐴 − 2𝐼𝐼)−1𝐵𝐵 (𝐴𝐴 − 2𝐼𝐼)−1= ��2 51 3� − 2 �1 0
0 1��
−1= ��2 51 3� − �2 0 0 2��
−1 = �0 51 1�
−1= 1
−5 � 1 −5
−1 0 � 𝑋𝑋 = (𝐴𝐴 − 2𝐼𝐼)−1𝐵𝐵 = −15� 1 −5
−1 0 � �1 2 𝑝𝑝
4 5 𝑞𝑞� = −15�−19 −23 𝑝𝑝 − 5𝑞𝑞−1 −2 −𝑝𝑝 �
= 15�19 23 5𝑞𝑞 − 𝑝𝑝1 2 𝑝𝑝 �
Rättningsmall: Korrekt uttryck för lösningen (𝑋𝑋 = (𝐴𝐴 − 2𝐼𝐼)−1𝐵𝐵) 1p.
Korrekt svar 1p.
Sida 6 av 7 Uppgift 8. (4p)
Undersök följande ekvationssystem för alla möjliga värden på de reella konstanterna 𝑎𝑎 och 𝑏𝑏:
�2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = (𝑏𝑏 − 𝑝𝑝) 6𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧 = 1 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 + (𝑎𝑎 − 𝑞𝑞)𝑧𝑧 = 8
Vilka värden på 𝑎𝑎 och 𝑏𝑏 ger en entydig lösning? För vilka värden saknas lösning? Vilka värden ger en parameterlösning? Hur ser eventuella parameterlösningar ut?
Lösning: Omforma totalmatrisen med elementära radoperationer (systemen kommer då ha samma lösningsmängd) enligt:
�2 −1 3
6 1 −2
2 3 (𝑎𝑎 − 𝑞𝑞)�(𝑏𝑏 − 𝑝𝑝)
18 � ~ �2 −1 3
0 4 −11
0 4 (𝑎𝑎 − 𝑞𝑞) − 3� (𝑏𝑏 − 𝑝𝑝) 1 − 3(𝑏𝑏 − 𝑝𝑝)
8 − (𝑏𝑏 − 𝑝𝑝)�
~ �2 −1 3
0 4 −11
0 0 (𝑎𝑎 − 𝑞𝑞) + 8� (𝑏𝑏 − 𝑝𝑝) 1 − 3(𝑏𝑏 − 𝑝𝑝) 7 + 2(𝑏𝑏 − 𝑝𝑝)�.
En entydig lösning erhålls då determinanten för koefficientmatrisen inte är noll.
�2 −1 3
0 4 −11
0 0 (𝑎𝑎 − 𝑞𝑞) + 8� = 2 ∙ 4 ∙ �(𝑎𝑎 − 𝑞𝑞) + 8� ≠ 0 då (𝑎𝑎 − 𝑞𝑞) + 8 ≠ 0 ⇔ (𝑎𝑎 − 𝑞𝑞) ≠ −8.
Om (𝑎𝑎 − 𝑞𝑞) = −8 erhålls systemet
�2 −1 3
0 4 −11
0 0 0 � (𝑏𝑏 − 𝑝𝑝) 1 − 3(𝑏𝑏 − 𝑝𝑝) 7 + 2(𝑏𝑏 − 𝑝𝑝)�
som saknar lösning om 7 + 2(𝑏𝑏 − 𝑝𝑝) ≠ 0 ⇔ (𝑏𝑏 − 𝑝𝑝) ≠ −72. Om (𝑏𝑏 − 𝑝𝑝) = −72 erhålls systemet
�2 −1 3
0 4 −11
0 0 0 � −7/2
1 + 21/2
0 � ~ �2 −1 3
0 1 −11/4
0 0 0 �−7/2
23/80 � ~
~ �2 0 1/4 0 1 −11/4
0 0 0 �−5/8
23/80 � ~ �1 0 1/8 0 1 −11/4
0 0 0 �−5/16
23/80 � Sätt 𝑧𝑧 = 𝑡𝑡 så erhålls 𝑦𝑦 =238 +114 𝑡𝑡 och 𝑥𝑥 = −165 −18𝑡𝑡.
Alltså: För (𝑎𝑎 − 𝑞𝑞) ≠ −8 fås en entydig lösning oavsett värde på 𝑏𝑏.
För (𝑎𝑎 − 𝑞𝑞) = −8 och (𝑏𝑏 − 𝑝𝑝) = −72 fås parameter lösning: �𝑥𝑥 = −165 −162 𝑡𝑡 𝑦𝑦 =238 +228 𝑡𝑡
𝑧𝑧 = 𝑡𝑡 .
För (𝑎𝑎 − 𝑞𝑞) = −8 och (𝑏𝑏 − 𝑝𝑝) ≠ −72 saknas lösning.
Rättningsmall: Korrekt redogörelse för fallet (𝑎𝑎 − 𝑞𝑞) ≠ −8 1p.
Korrekt redogörelse för fallet (𝑎𝑎 − 𝑞𝑞) = −8 och (𝑏𝑏 − 𝑝𝑝) ≠ −72 1p.
Korrekt redogörelse för fallet (𝑎𝑎 − 𝑞𝑞) = −8 och (𝑏𝑏 − 𝑝𝑝) = −72 2p.
Sida 7 av 7 Uppgift 9. (2p)
Beräkna exakt �12−√32 𝑞𝑞�3𝑝𝑝+3. Lösning:
𝑧𝑧 = 12−√32 𝑞𝑞 = cos𝜋𝜋3− 𝑞𝑞 sin𝜋𝜋3 = cos �−𝜋𝜋3� + 𝑞𝑞 sin �−𝜋𝜋3� = 𝑅𝑅−𝑖𝑖𝑖𝑖3 ⇒
⇒ 𝑧𝑧3𝑝𝑝 = �𝑅𝑅−𝑖𝑖𝑖𝑖3�3𝑝𝑝+3 = �𝑅𝑅−𝑝𝑝𝜋𝜋�𝑝𝑝+1= (−1)𝑝𝑝+1
Rättningsmall: Skriver om parentesen korrekt på polär form 1p.
Korrekt svar 1p.
