Sida 1 av 8
Tentamen i Linjär algebra, HF1904 exempel 2
Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar
Examinator: Armin Halilovic
För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR.
Komplettering sker inom sex veckor efter att resultat meddelats.
Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).
• Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar.
• Skriv endast på en sida av papperet.
• Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget)
• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.
• Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar.
Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Låt u=
(
2 −,2, 1)
, och w=(
2,1,0)
.a) Beräkna vinkeln mellan u och w . (Du kan svara med arccos) b) Bestäm projektionen projwu.
Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) a) Bestäm avståndet från punkten A=(1,1,–3) till planet −2x+2y+z+9=0. b) Bestäm avståndet från punkten O=(0,0,0) till linjen (x,y,z)=(3+t,2t,3t).
Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Bestäm Re(z), Im(z) och | z| om ⋅
+
= + i z i
2 1
3
--- Var god vänd.
Sida 2 av 8 Uppgift 4. (3p)
a) (1p) Beräkna arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna )
2 , 2 , 1 (
a= och b =(2,2,2)
b) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna . )
2 , 1 , 1 (
u= , v=( ,12,2) och w=(2,3,6).
Uppgift 5. (4p) Följande ekvationssystem är givet
= + +
= + +
= + +
1 4
2
1 3 3
1
az y x
z y x
z y x
För vilket värde (vilka värden) på a har systemet
i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning ?
Uppgift 6. (4p)
a) (2p) Lös matrisekvationen XA+XB=C+D (med avseende på X)
där
− −
=
=
=
=
1 1
1 , 1
0 0
3 , 3
1 1
0 , 0
2 0
1
1 B C D
A .
Tips: Faktorisera vänsterledet i ekvationen.
b) (2p) Lös matrisekvationen MY +YN =F (med avseende på Y)
där
=
=
=
5 3
3 , 1
1 1
1 , 0
0 0
0
2 N F
M .
Uppgift 7) (4p)
a) (2p) Bestäm alla lösningar till ekvationen z3 =−i. Ange lösningar på a + form. bi
b) (2p) Ekvationen z4 −2z3+6z2 −2z+5=0, har en lösning z = . Bestäm alla lösningar. i
Uppgift 8. (2p) En kropp K består av två homogena kuber K1 och K2 vars kanter är parallella med axlarna i ett koordinat system.
Den större kuben K1 har ett hörn i origo O=(0, 0, 0) och varje kant har längden a=4 dm. Den mindre kuben K2 är placerat på den större kuben så att ett hörn ligger i punkten (0,0,4) (se figuren) Varje kant i den mindre kuben har längden b=2 dm.
Kuberna är gjorda av ett homogent material med densiteten / 3
2kg dm
ρ= . Bestäm masscentrum till kroppen K.
Tips: Låt T1 och T2vara tyngdpunkterna för delkroppar K1 och K2 med motsvarande massor m1 och m2. Om O betecknar origo och T masscentrum då gäller
) 1 (
2 2 1 1
→
→
→ = m OT +m OT
OT m där m=m1+m2. Lycka till!
a= 4dm b= 2dm
O x
y z
4 4
4 6
Sida 3 av 8 FACIT
Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Låt u=
(
2 −,2, 1)
, och w=(
2,1,0)
.a) Beräkna vinkeln mellan u och w . (Du kan svara med arccos) b) Bestäm projektionen projwu.
Lösning:
a) Låt θ vara vinkeln mellan vektorerna.
Vi har cos( ) 4 2 0 6 2
| | | | 4 4 1 4 1 0 9 5 5 u w
u w
θ = ⋅ = + + = =
⋅ + + + +
.
Härav arccos( 2 ) θ = 5
b) (2,1,0)
5 ) 6 0 , 1 , 2 1 ( 4
0 2
4 =
+ +
= +
⋅
= ⋅ w w w
w u u
projw
Svar: a) )
5 3 arccos( 2
θ = b) projwv = 6(2,1,0) Rättningsmall: a,b: Rätt eller fel. 5
Uppgift 2. (2p)
a) Bestäm avståndet från punkten A=(1,1,–3) till planet −2x+2y+z+9=0. b) Bestäm avståndet från punkten O=(0,0,0) till linjen (x,y,z)=(3+t,2t,3t). Lösning:
a) Enligt formelblad har vi att sökt avstånd, d, är:
𝑑𝑑 = �−2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ (−3) + 9
�(−2)2+ 22+ 12 � = 6
√9= 2
b) En riktningsvektor till linjen är 𝑣𝑣⃗ = (1,2,3)och en punkt på linjen är 𝑃𝑃 = (3,0,0) (vilken fås när t=0). Enligt formelblad har vi att sökt avstånd, d, är:
𝑑𝑑 = �𝑣𝑣⃗ × 𝑃𝑃𝑃𝑃�����⃗�
|𝑣𝑣⃗| = |(1,2,3) × (−3,0,0)|
√12+ 22 + 32 =|(1,2,3) × (−3,0,0)|
√12+ 22+ 32 = |(0, −9,6)|
√14 =3√32+ 22
√14
= 3√13
√14
Rättningsmall: 1p för varje del
Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Bestäm
a) Re(z) b) Im(z) och c) | z| om ⋅ +
= + i z i
2 1
3
Lösning:
a) i i
i i i i i
i i i i
z i = − = −
−
− +
= −
−
⋅ − +
= + +
= + 1
5 5 5 4
1
2 6
3 2 1
2 1 2 1
3 2 1
3
2
2 .
Sida 4 av 8 Härav Re( =z) 1 , Im(z)= – 1 och | =z| 2.
Svar a) Re( =z) 1 b) och c) | =z| 2 Rättningsmall a) 1p för varje del.
Uppgift 4. (3p)
a) (1p) Beräkna arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna )
2 , 2 , 1 (
a= och b =(2,2,2)
b) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna . )
2 , 1 , 1 (
u= , v=( ,12,2) och w=(2,3,6). Lösning:
a) Parallellogramens area ges av A= a ×b
2 2 8 ) 2 ( 2 0
) 2 , 2 , 0 ( ) 2 2 2 1, 2 1 2 2 , 2 2 2 2 ( 2 2 2
2 2 1 2 , 2 , 2 ( ) 2 , 2 ,1 (
2 2
2 + + − = =
=
−
=
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
=
=
×
=
z y
x e e
e A
Svar a: Parallellogramens area är 2 2(ae)
b) Volymen av parallellepipeden ges av determinanten för den matris som utgörs av radvektorerna u,voch w.
| |1 2 6 1 2 2 2 1 3 2 2 2 1 1 6 1 2 3| 2
6 3 2
2 2 1
2 1 1
| = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
V =
Svar b: Parallellepipedens volym är 2 (ve).
Rättningsmall:
a) Rätt eller fel.
b) Korrekt uppställning av determinanten ger 1p. Allt korrekt =2p.
Uppgift 5. (4p) Följande ekvationssystem är givet
= + +
= + +
= + +
1 4
2
1 3 3
1
az y x
z y x
z y x
För vilket värde (vilka värden) på a har systemet
i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning ?
Lösning:
Systemet Ax =b har exakt en lösning om det(A)≠0. Vi beräknar det(A), där
=
a A
4 2
3 3 1
1 1 1
.
Sida 5 av 8
8 2 4 3 1 1 1 2 3 1 4 1 1 2 3 1 3 1 )
det(A = ⋅ ⋅a+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅a− ⋅ ⋅ = a− Vi löser därefter ekvationen
4 8
2 0
8 2 0
)
det(A = ⇒ a− = ⇒ a= ⇒ a= , och drar slutsatsen att systemet har exakt en lösning då a ≠4
Då a=4 löser vi ekvationssystemet med Gausselimination
2 2 3 1
0 1
0 0 0
1 1 0
1 1 1
2 2 1 1 0 1
2 2 0
2 2 0
1 1 1
1 2 3
1 2 1
1 1
4 4 2
3 3 1
1 1 1
1 4
4 2
1 3
3
1
r r
r r r
r r z y x
z y x
z y x
−
−
−
−
−
= + +
= +
+
= +
+
Den nedersta raden tolkas som ekvationen ” 0 −= 1” och därmed saknar lösning Svar: i) Fallet ”oändligt många lösningar” kan inte förekomma i denna uppgift.
ii) Ekvationen har exakt en lösning då a ≠4. iii) Ekvationen saknar lösning då a=4.
Rättningsmall:
Korrekta determinanten D=2 −a 8 ger 1p.
Därefter +1 poäng för varje korrekt del i, ii och iii.
Uppgift 6. (4p)
a) (2p) Lös matrisekvationen XA+XB=C+D (med avseende på X)
där
− −
=
=
=
=
1 1
1 , 1
0 0
3 , 3
1 1
0 , 0
2 0
1
1 B C D
A .
Tips: Faktorisera vänsterledet i ekvationen.
b) (2p) Lös matrisekvationen MY +YN =F (med avseende på Y)
där
=
=
=
5 3
3 , 1
1 1
1 , 0
0 0
0
2 N F
M .
Lösning:
a) Bryter vi ut X åt vänster i VL får vi
X(A + B)= = 𝐶𝐶 + 𝐷𝐷 sätt nu 𝐺𝐺 = 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = �1 11 3�och 𝐻𝐻 = 𝐶𝐶 + 𝐷𝐷 = �2 21 1�. Vi beräknar 𝐺𝐺−1=12⋅ � 3 −1
−1 1 � och vi har XG = 𝐻𝐻 så
Sida 6 av 8 X = 𝐻𝐻𝐺𝐺−1= �2 21 1�12⋅ � 3 −1
−1 1 � = �2 0 Svar a) X= �2 01 0� 1 0�
b) Notera att vi inte kan använda samma metod som i a-delen eftersom vi kan inte faktorisera uttrycket MY +YN, (matrisen Y ligger på olika sidor i termerna MY och YN)
b) Sätt 𝑌𝑌 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑑𝑑�, vi får då att VL kan skrivas som 𝑀𝑀𝑌𝑌 + 𝑌𝑌𝑌𝑌 = �2 00 0� �𝑎𝑎 𝑏𝑏
𝑐𝑐 𝑑𝑑� + �𝑎𝑎 𝑏𝑏
𝑐𝑐 𝑑𝑑� �0 1
1 1� = �(2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) (𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏) 𝑑𝑑 (𝑐𝑐 + 𝑑𝑑) �
för att detta skall stämma med matrisen i HL får vi alltså följande ekvationssystem som vi löser med hjälp av Gausseliminering
�
2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 1 𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏 = 3
𝑑𝑑 = 3 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 = 5
⇔ �
2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 1 𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏 = 3
𝑑𝑑 = 3 𝑐𝑐 = 2
⇔ �
−5𝑏𝑏 = −5 𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏 = 3
𝑑𝑑 = 3 𝑐𝑐 = 2
⇔ � 𝑏𝑏 = 1 𝑎𝑎 = 0 𝑑𝑑 = 3 𝑐𝑐 = 2 Därmed 𝑌𝑌 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑑𝑑� = �0 1
Svar b) 𝑌𝑌 = �0 12 3� 2 3�
Rättningsmall. a) Korrekta inversmatrisen
−
− 1 1
1 3 2
1 ger 1p . Allt korrekt =2p
b) Korrekt till
=
+ + +
5 3
3 1 3 2
d c d
b a b
a ger 1p . Allt korrekt =2p
Uppgift 7) (4p)
a) (2p) Bestäm alla lösningar till ekvationen z3 =−i. Ange lösningar på a + form. bi
b) (2p) Ekvationen z4 −2z3+6z2 −2z+5=0, har en lösning z = . Bestäm alla lösningar. i Lösning:
a)
e
iz i
z
3= − ⇔
3=
32π .Härav
e
z k =
i 2 +32k )(3π π
, k=0,,12 i
e
iz
0=
i2π =cosπ2 + sinπ2 =sin 6 cos6
cirkeln) .
trig (rita 6
sin7 6
cos7
1 3
) 2 2 (3
π π
π
π π
π
i
e
iz =
i + = + = =− − = − 23 i− 21sin6 cos6
6 sin11 6
cos11
2 3
) 2 4 (3
π π
π
π π
π
i
e
iz =
i + = + = − = 23 i− 21Sida 7 av 8 Svar a) z =0 i,
2 1 2
1 3 i
z =− − ,
2 1 2
2 3 i
z = −
Rättningsmall a) Korrekt
z
k= e
i 2+32k )(3π π
, k=0,,12 ger 1p . Allt korrekt =2p
Lösning b) :
Ekvationen z4 −2z3+6z2 −2z+5=0, har reella koefficienter och en lösning z =1 i.Därför är i
z2 =− också en lösning till ekvationen. Polynomet i vänsterledet är därmed delbart med 1
) )(
(z−i z+i =z2+ . Polynomdivision ger
5 2 )
1 /(
) 5 2 6 2
(z4 − z3+ z2 − z+ z2 + =z2− z+ (kontrollera själv) .
Från ekvationen z2−2z+5=0 får vi (med pq-formeln) två nya lösningar:
i
z3 =1+2 och z4 =1−2i
Svar b: z =1 i, z2 =−i, z3 =1+2i, z4 =1−2i
Rättningsmall b) Korrekt till produkten (z−i)(z+i)=z2+1 ger 1p . Allt korrekt =2p
Uppgift 8. (2p) En kropp K består av två homogena kuber K1 och K2 vars kanter är parallella med axlarna i ett koordinat system.
Den större kuben K1 har ett hörn i origo O=(0, 0, 0) och varje kant har längden a=4 dm. Den mindre kuben K2 är placerat på den större kuben så att ett hörn ligger i punkten (0,0,4) (se figuren) Varje kant i den mindre kuben har längden b=2 dm.
Kuberna är gjorda av ett homogent material med densiteten / 3
2kg dm
ρ= . Bestäm masscentrum till kroppen K.
Tips: Låt T1 och T2vara tyngdpunkterna för delkroppar K1 och K2 med motsvarande massor m1 och m2. Om O betecknar origo och T masscentrum då gäller
) 1 (
2 2 1 1
→
→
→ = m OT +m OT
OT m där m=m1+m2.
a= 4dm b= 2dm
O x
y z
4 4
4 6
Sida 8 av 8 Lösning:
Kuberna är homogena. Detta medför att deras tyngdpunkter ligger i mitten av respektive kub: T1 =(2,2,2) och T2 =(1,1,5)
Kubernas massor: (m=ρ⋅V ) m1=2⋅43 =128,m2 =2⋅23 =16,m=128+16=144 (kg) K:s masscentrum:
3) ,7 9 ,17 9 (17 144) ,336 144 ,272 144 (272 )) 5 ,1 ,1 ( 16 ) 2 , 2 , 2 ( 128 144(
1 ⋅ + ⋅ = =
→ = OT
Svar: K:s masscentrum är ) 3 ,7 9 ,17 9 (17
Rättningsmall. Korrekt till (128 (2,2,2) 16 ( ,1 ,15)) 144
1 ⋅ + ⋅ ger 1p .
Allt korrekt =2p
