Tentamen i Linjär algebra, HF1904 exempel 1

Sida 1 av 8

Tentamen i Linjär algebra, HF1904 exempel 1

Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar

Examinator: Armin Halilovic

För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR.

Komplettering sker inom sex veckor efter att resultat meddelats.

Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).

• Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar.

• Skriv endast på en sida av papperet.

• Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget)

• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.

• Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar.

Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Beräkna omkretsen av triangeln ABC där A=(1,0,0) , B=(1,1,1 ), C=(2, 1,3) . Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.)

Låt A vara skärningspunkten mellan linjen (x,y,z)=(2+2t,3+2t,1+t) och planet

=1 + + y z

x . Beräkna avståndet mellan punkten A och punkten B=(1,0,1).

Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.)

Skriv om talet ⋅

+ +

− i

i i

2 1

) 3 )(

3

( i

e

---

Var god vänd.

Uppgift 4) (2p) Låt F =(1,−1,2)

och a

= (2,1,1) Bestäm två vinkelräta (ortogonala) vektorer u ochv

så att F u v

+

= och att u

blir parallell med a

( se figuren nedan) .

Uppgift 5. (4p)

Två rymdskepp med namn Rymdfarare 1 och Rymdfarare 2 åker samtidigt från Jorden, vilken anses har koordinaterna (0,0,0). Efter t månader har Rymdfarare 1 positionen (3t, 4t, 4t ) och Rymdfarare 2 har positionen (5t, t, 4t).

a) (1p) Vilket av rymdskeppen är längst från Jorden efter t månader?

b) (1p) Efter en månad monterar man i Rymdfarare 1 en svag laser som skall peka mot Rymdfarare 2. I vilken riktning skall lasern peka?

c) (2p) Hur stor blir arean av den triangel som har Jorden och rymdskeppen i sina hörn efter t månader?

Uppgift 6. (3p)

a) (1p) Rita ut i det komplexa talplanet de tal z som uppfyller dels att Re(z) >1 samt att 3

|

|

1≤ z ≤ och att π/4<arg(z)<7π/4.

b) (2p) Ekvationen 2z³+3z² +8z+12=0, har en lösning z= . Bestäm alla lösningar. 2i Uppgift 7. (4p)

a) (2p) Lös matrisekvationen AX+BX =C (med avseende på X)

där 



 



 −

 =



 



=



 





= −

0 0 2

1 1 , 1

3 1

0 , 0

1 0

1

1 B C

A .

b) (2p) Bestäm egenvärden och egenvektorer till matrisen . 4 2

2

1 



 



= M

Uppgift 8. (2p) Ekvationen |z−1−i|=|z−2i| beskriver en rät linje i det komplexa talplanet. Sätt z =x+iy och skriv ekvationen på formen y=kx+m.

Uppgift 9. (2p) Låt x, y och z vara heltal. Visa att determinanten

y x

z

x z y

z y

x

2 3

3 2

750 500

250

är delbart med (x+2y+3z).

Lycka till!

Sida 2 av 8

FACIT:

Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Beräkna omkretsen av triangeln ABC där A=(1,0,0) , B=(1,1,1 ), C=(2, 1,3) .

Lösning:

Omkretsen O= AB + BC +CA ⇒

11 5 2 ) 3 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 0 1 1 1 0

3 , 1 , 1 ( ) 2 , 0 , 1 ( ) 1 , 1 , 0 (

) 3 , 1 , 2 ( 0 , 0 , 1 ( ) 1 , 1 , 1 ( ) 3 , 1 , 2 ( ) 0 , 0 , 1 ( ) 1 , 1 , 1 (

2 2

2 2

2 2 2 2

2+ + + + + + − + − + − = + +

=

−

−

− + +

=

− +

− +

−

= O

Svar: Omkretsen är 2+ 5+ 11

Rättningsmall: Korrekt en sidas längd =1p. Allt korrekt=2p.

Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.)

Låt A vara skärningspunkten mellan linjen (x,y,z)=(2+2t,3+2t,1+t) och planet

=1 + +y z

x . Beräkna avståndet mellan punkten A och punkten B=(1,0,1).

Lösning:

Skärningspunkten mellan linjen och planet ges av









= + +

+

= +

= +

=

1 1

2 3

2 2

z y x

t z

t y

t x

Härav 2+2t+3+2t+1+t =1⇒5t=−5⇒t=−1

Skärningspunkten A fås alltså då t =−1 sätts in i linjens ekvation:

) 0 , 1 , 0 ( )) 1 ( 1 ), 1 ( 2 3 ), 1 ( 2 2

( + ⋅ − + ⋅ − + − =

= A

Avståndet mellan A och B fås med hjälp av avståndsformeln:

3 1 ) 1 ( 1 ) 1 , 1 , 1 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 1 , 0 , 1 ( )

,

(A B = AB = − = − = ² + − ² + ² =

d

Svar: Avståndet mellan punkterna A och B är 3 Rättningsmall: Korrekt t =–1 ger 1p. Allt korrekt= 2p.

Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.)

Skriv om talet ⋅

+ +

− i

i i

2 1

) 3 )(

3

( i

e

Lösning:

a) Vi har att 𝑒𝑒^{𝜋𝜋𝜋𝜋} = cos(𝜋𝜋) + 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖(𝜋𝜋) = −1 och (3 − 𝑖𝑖)(3 + 𝑖𝑖)

1 + 2𝑖𝑖 = 3² − 𝑖𝑖² 1 + 2𝑖𝑖 =

10 1 + 2𝑖𝑖 =

10(1 − 2𝑖𝑖) (1 + 2𝑖𝑖)(1 − 2𝑖𝑖) =

10 − 20𝑖𝑖

1²− (2𝑖𝑖)² =10 − 20𝑖𝑖

5 = 2 − 4𝑖𝑖 så vi får att

(3 − 𝑖𝑖)(3 + 𝑖𝑖)

1 + 2𝑖𝑖 ⋅ 𝑒𝑒^{𝜋𝜋𝜋𝜋} = (2 − 4𝑖𝑖)(−1) = −2 + 4𝑖𝑖 Sida 3 av 8

Svar: –2+4i

Rättningsmall: Korrekt e^πi =−1 ger 1p. Korrekt i i

i

i 2 4

2 1

) 3 )(

3

( = −

+ +

− ger +1p. Allt korrekt

=3p

Uppgift 4. (2p) Låt F =(1,−1,2)

och a

= (2,1,1) Bestäm två vinkelräta (ortogonala) vektorer u

ochv

så att F u v +

= och att u

blir parallell med a

( se figuren nedan) .

Lösning:

u

fås som projektionen av F på a

:



 



=

⋅ = +

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

− +

= ⋅



 



= −

 ⇒



 



=

2 ,1 2 ,1 1 ) 1 , 1 , 2 2( ) 1 1 , 1 , 2 1 ( 1 1 1 2 2

1 2 1 ) 1 ( 2 ) 1 1 , 1 , 2 ) ( 1 , 1 , 2 ( ) 1 , 1 , 2 (

) 1 , 1 , 2 ( ) 2 , 1 , 1 (







 





 

u

a a a

a u F

Därefter kan v

beräknas:



 

 −

=



 



−

−

=

⇒

−

=

⇒ +

= 2

,3 2 , 3 2 0

,1 2 ,1 1 ) 2 , 1 , 1 ( v u

F v v

u

F      

Svar: _



 

 −

 =



 



=

2 ,3 2 , 3 0 2 ,

,1 2 ,1

1 v

u 

Rättningsmall: Korrekt u

ger 1p , korrekt v

ger 1p.

Uppgift 5. (4p)

Två rymdskepp med namn Rymdfarare 1 och Rymdfarare 2 åker samtidigt från Jorden, vilken anses har koordinaterna (0,0,0). Efter t månader har Rymdfarare 1 positionen (3t, 4t, 4t ) och Rymdfarare 2 har positionen (5t, t, 4t).

a) (1p) Vilket av rymdskeppen är längst från Jorden efter t månader?

b) (1p) Efter en månad monterar man i Rymdfarare 1 en svag laser som skall peka mot Rymdfarare 2. I vilken riktning skall lasern peka?

c) (2p) Hur stor blir arean av den triangel som har Jorden och rymdskeppen i sina hörn efter t månader?

Lösning:

a) Avståndet 𝑑𝑑1 från Jorden till Rymdfarare 1 är

𝑑𝑑1 = �(3𝑡𝑡 − 0)²+ (4𝑡𝑡 − 0)² + (4𝑡𝑡 − 0)² = √41𝑡𝑡 och avståndet 𝑑𝑑₂från Jorden till Rymdfarare 2 är

𝑑𝑑2 = �(5𝑡𝑡 − 0)²+ (𝑡𝑡 − 0)²+ (4𝑡𝑡 − 0)² = √42𝑡𝑡 Vi kan se att oavsett värde på t så har vi att 𝑑𝑑₁ < 𝑑𝑑₂

Sida 4 av 8

Svar a) Rymdfarare 2 Rättningsmall: Allt rätt: 1p

b) Rymdfarare 1:s position när t=1 är 𝑅𝑅1 = (3,4,4)och Rymdfarare 2:s position är då 𝑅𝑅2 = (5,1,4). Sökt riktning blir nu 𝑅𝑅���������⃗ = (5,1,4) − (3,4,4) = (2, −3,0) 1𝑅𝑅2

Svar b) I riktningen (2,–3,0).

Rättningsmall: Allt rätt: 1p

c) Låt 𝑢𝑢���⃗och 𝑣𝑣𝑡𝑡 ���⃗vara vektorerna från Jorden till Rymdfarare 1 respektive Rymdfarare 2. 𝑡𝑡

Sökt area 𝐴𝐴𝑡𝑡 blir nu 𝐴𝐴_𝑡𝑡 =1

2|𝑢𝑢���⃗ × 𝑣𝑣𝑡𝑡 ���⃗| =_𝑡𝑡 1 2 | �

𝑒𝑒𝑥𝑥

���⃗ 𝑒𝑒����⃗ 𝑒𝑒𝑦𝑦 ���⃗𝑧𝑧

3𝑡𝑡 4𝑡𝑡 4𝑡𝑡 5𝑡𝑡 𝑡𝑡 4𝑡𝑡

� | =1

2|(12𝑡𝑡², 8𝑡𝑡², −17𝑡𝑡²)| =√497𝑡𝑡² 2 Svar c) ^{√497𝑡𝑡2}

Rättningsmall: Rätt vektorer och rätt formel: 1p samt rätt uträkning: +1p 2

Uppgift 6. (3p)

a) (1p) Rita ut i det komplexa talplanet de tal z som uppfyller dels att Re(z) >1 samt att 3

|

|

1≤ z ≤ och att π/4<arg(z)<7π/4.

b) (2p) Ekvationen 2z³+3z² +8z+12=0, har en lösning z= . Bestäm alla lösningar. 2i Lösning:

a) Vi har en kombination av tre områden:

1) 1 ≤ |𝑧𝑧| ≤ 3 ger området på eller mellan cirklarna med radie 1 och 3 centrerade kring origo.

2) π/4 <arg(z)<7π/4 ger området med alla komplexa tal med vinkel större än ^𝜋𝜋₄ men mindre än

7𝜋𝜋 4.

3) Re(z)>1 ger området med alla komplexa tal där realdelen är större än 1, vilket är området till höger om den lodräta streckade linjen i bilden nedan.

Det som söks är den del som ligger i alla tre områdena, vilket är de rödmarkerade områdena i bilden:

b) I och med att z=2i är ett komplext nollställe till ett reellt polynom är även konjugatet z=–2i det. Vi har då att z-2i och z+2i är faktorer till polynomet och vi får att det finns ett polynom

Sida 5 av 8

q(z) sådant att 2𝑧𝑧³+ 3𝑧𝑧²+ 8𝑧𝑧 + 12 = (𝑧𝑧 − 2𝑖𝑖)(𝑧𝑧 + 2𝑖𝑖)𝑞𝑞(𝑧𝑧) = (𝑧𝑧²+ 4)𝑞𝑞(𝑧𝑧) . Vi har alltså att 𝑞𝑞(𝑧𝑧) =^{2𝑧𝑧3+3𝑧𝑧}_𝑧𝑧2²₊₄^{+8𝑧𝑧+12} . Polynomdivision ger

0 ) 12 3 (

) 12 3 (

) 8 2 (

3 2 ) 4 /(

) 12 8 3 2 (

2 2 3

2 2

3

+

− + +

−

+

= + +

+ +

z z

z z

z z

z z z

Alltså är 𝑞𝑞(𝑧𝑧) = 2𝑧𝑧 + 3.

Detta ger att den tredje roten till polynomet är 𝑧𝑧 = −³₂ Svar b) z₁=2i, z₂=–2i och z₃=–3/2.

Rättningsmall: Rätt metod och en av rötterna -2i eller -3/2 ger 1p. Allt korrekt=2p.

Uppgift 7. (4p)

a) (2p) Lös matrisekvationen AX+BX =C (med avseende på X)

där 



 



 −

 =



 



=



 





= −

0 0 2

1 1 , 1

3 1

0 , 0

1 0

1

1 B C

A .

b) (2p) Bestäm egenvärden och egenvektorer till matrisen . 4 2

2

1 



 



= M

Lösning:

Från AX+BX =C⇒(A+B)X =C.

Beteckna 



 



= +

= 1 2

1 B 1

A

D . Eftersom det(D)=1≠0är D inverterbar.



 





−

= −



 





−

= −

−

1 1

1 2 1

1 1 2 1

1 1

D .

Från _



 





−

= −



 



 −



 





−

= −

=

⇒

= ⁻

1 1 1

2 2 0 0 0 2

1 1 1 1 1

1

1 2 C D X C DX

Svar a) 



 





−

= −

1 1 1

2 2 X 0

Rättningsmall a: Korrekt till inversen D = ⁻¹ 



 





−

− 1 1

1

2 ger 1p. Allt korret= 2p

b) Först löser vi ekvationen det(M − Iλ )=0 dvs 0 ) 4 ( 2

2 ) 1

( =

−

−

λ

λ eller

0 5 0

4 ) 4 )(

1

( −λ −λ − = ⇒λ²− λ= som ger två egenvärden λ=0, och λ=5. För varje λ löser vi vektorekvationen (M −λI)v =0 dvs .



 



=



 







 





−

−

0 0 )

4 ( 2

2 ) 1 (

y x λ

λ .

i) λ =0 ger 



 



=



 







 





0 0 4

2 2 1

y

x som vi skriver som system

Sida 6 av 8





=

=

⇒ +





= +

= +

0 0

0 2 0

4 2

0

2 x y

y x

y

x (oändligt många lösningar )

t y=

⇒ , x=−2t ( där t är ett godtyckligt reellt tal ≠ och därmed 0



 



= −

1 t 2

v , t≠0 (notera att nollvektorn ej räknas som en egenvektor).

ii) λ =5 ger 



 



=



 







 





−

−

0 0 1

2 2 4

y

x som vi skriver som system





=

= +

⇒ −





=

−

= +

−

0 0

0 2

0 2

0 2

4 x y

y x

y

x (oändligt många lösningar )

t y=

⇒ , x t

2

= 1 och därmed



 



=  1

2 / t 1 v

, t≠0.

Svar b) : λ₁=0 med motsvarande egenvektorer 



 



= −

1 t 2 v

, t∈ , R t≠0 och λ₂ =5 med motsvarande egenvektorer 



 



=  1

2 / t 1 v

, t∈ , R t ≠0

Rättningsmall b: Korrekta två egenvärden =1p. Korrekt ett egenvärde och tillhörande egenvektorer =1p. Allt korrekt=2p.

Uppgift 8. (2p) Ekvationen |z−1−i|=|z−2i| beskriver en rät linje i det komplexa talplanet. Sätt z =x+iy och skriv ekvationen på formen y=kx+m.

Lösning:

Vi substituerar z= x+iy i ekvationen och får

| 2

|

| 1

|x+iy− −i = x+iy− i ⇒|x−1+(y−1)i|=|x+(y−2)i|

2 2

2

2 ( 1) ( 2)

) 1

(x− + y− = x + y− ⇒ ( efter kvadrering)

2 2

2

2 ( 1) ( 2)

) 1

(x− + y− =x + y− ⇒

4 4 1

2 1

2 ^{2 2 2}

2− x+ + y − y+ = x + y − y+

x ⇒ (förenkla)

2 2

2y= x+ ⇒ +1

= x

y .

Svar c)y= x+1

Rättningsmall: Korrekt till (x−1)² +(y−1)² = x² +(y−2)² ger1p. Allt korrekt=2p.

Uppgift 9. (2p) Låt x, y och z vara heltal. Visa att determinanten

y x

z

x z y

z y

x

2 3

3 2

750 500

250

är delbart med (x+2y+3z).

Lösning:

Vi använder räkneregler för determinanter och får

Sida 7 av 8

y x

z

x z y

z y

x

2 3

3 2

750 500

250

(bryta ut 250 ur första raden)

y x z

x z y

z y x

2 3

3 2

3 2

=250 ( lägg till rad 3 summan av rad 1 och rad 2)

) 3 2 ( ) 3 2 ( ) 3 2 (

3 2

3 2

250

z y x z y x z y x

x z

y

z y

x

+ + +

+ +

+

= (bryta ut (x+2y+3z ur sista raden)

1 1 1

3 2

3 2 ) 3 2 (

250 y z x

z y x z y x+ +

= , som visar påståendet.

Rättningsmall: Bryta ut 250 ur första raden ger 1 p. Allt korrekt=2p.

Sida 8 av 8