HENRICUS FALCK

DE

P R O P O R T 1 O N E DEFINIE'ND A.

DISSERTATIO

CUJUS PARTEM PRIOREM

VENIA AMPL. FAC. PHILOS. UPS.

public: O EXAMINI OFFERüNT

Mag. HENRICUS FALCK

STIP. REG

GKSTR. HELS.

ET '

JONAS SCH ERDIN

STIP. STfEGL. BOTHN1ENSIS,

IN AUDIT. GUST. DIE IX DEC. MDCCCXV

H. A. M. S.

UP SALINE

EXCUCEVANT ZEIPEL ET PAEMBLAÖ

bkuks-patronessan

hogÅdla

född berg.

Genom Eder välgörenhet Öpnades en bana, s-om jag Ön«

skade beträda; _genom EdrA omsorger lättades fortgången på.

den samma. Malte mig derföre tillåtas att pryda dessa blad

med Edert vördade namn t Måtte det tillåtas mig, att åt aftonen af Eder lefuad skänka den tillfredsställelsen, att

frukterna af Edert utsäde skola svara mot EdrA upoffrin.

gar. Detta hopp är den enda belöning jag kan gifva — den

enda J fordrem

jonas scher din.

PROPORTIONE DEFINIENDA.

.{^.erurn, ^qute in mathefi t radan tur, vix ullara reperics ob principia, ^qua; fubminiftrat, magis necesfariam latiusve patentem, quam ipfam proportionis Theoriam. Qaippe cum neque ele-

menta ipfa Analyfeos fine hac rite intelligi, neque Geometria fi proficere velit, ejusdetn ope carere posfit, jure tamquam Pro- pasdeutice Mathefeos fundamentalis perfpicue atque adcurate ex-

pofira diiigentisfime eft perdifcenda. Quatnvis non defuerint

follertes Geometras, qui in asdificio hujus Theoriae flrueiido o- peram acumine ingenii adjutam i ta collocarunt, ut nihil fere relinquere vifi fint; pluriini tarnen, Euclidearum definitionum

veluti metuentes obfcuriratem, alias pro his fubflituerunt, quas perpcram tamquam ab bis diverfae fub nomine principii Arith-

mefici confideratas nonnifi ineompletam rei notionem prsebuere.

Contigit tandem, fatendum eft, notioni huic, quam dicunt,

arithmeticas eani univerfalitatis formam impertiri, qua Euclideam gequiparet; principii autem, quo nifi debet proportionis dodri-

na, firmitate & demonftrationum fimplicitate atque evidentia o-

mnes port fe longe reliquit Euclides. Quare ^ne temeritatis inutili»

accufetur conamen Euclidese mentis ita eruendat, ut difficilia in definirionibus ejus forfan obvia removeantur, & _{quo par} eft pretio methodus Euclidea aeflimetur. Quod quaiitercunque fuccesferit, nos non Euclidis causfam egisfe fed tironibus modo

confultum voluisfe _putemus.

A

Sad ^ne in fequentibus impediamur, ^ex Eucl, L. V. ^prop. I.

cujus corollarium revera eft, brevitatis causfa dedu&um, bocce juvabit praemittere

Lemma L

Dico esfe I;o m(pA) = p(mA) *). Eft enim tn(pA) feu (pA-\~pA •+■ pA &c,)a?que multiplex ipfius mA feu \A*+~A

A •J- &c.) atque eft pA ipfius A (E. V: i( i. ^e. m(pA) ss

p(mA)(p. defin.^**).

A mA A A

Dico esfe a:o m— c

Eft enim n(m-) feu (m —

ti n. n '»

A A A A

4- m —"+- &c) asquemultiplex ipfius n (—) feu C 1- — -4-

n n n n

A A

&e) i. e. A, ^atque eft m— ipfius ~(E. V: i) unde per def.

A A mA

n(m—) _ti = mA & proinde tn — _n = _n . q. e. d.

§. i-

Rationem in genere magnitudinis A ad aliam liomoge-

neam B quaerere, eft illius quantitatem hujus unius ope de-

ter-

*) Ljtterse minufeulse numeros integros; roajufeulae maguitudines

reprae fentant.

**) Dicitur A multiplex esfe ipfius Bf fi A=z(B, certies fumtae)

& quidem totiplex, quoties fumta cogitetnr B. Sed A dicitur pars f.

fobmultiplex esfe ipfiös ß, fi A certies fumta rr B, & quidem tota pars, quoties fumta cogitetur. ^— Fore fperamus re cflfetidat ufus

Yocum mnltiplicis & partis etiamfi A, B femel tantum vel ne femel quidem fumtse cogitentur. Univerfaliori hoc introdutto conceptu, bre»

^iores certe erunt plures in hac Theoria demonftratioues»

) 3 <

terminare. Haec vero determinatio tot vari is fieri potefl mo-

dis, quot funt variae folius A fun&iones, _quaruin fingulse fingu-

las ex variis folius B fundionibus _asquent, adeo ut A f(B)

rationem in genere L e. relationem exprimat ipfius A ad B.

Cum vero fundionum fimplicisfimas easdemque primse ac fun¬

damentales fi.it illa, _qua fumma m.-gnitudinum homogenearum (A, B, C &c.), åc ejusdem cafus fpeciaiis, quo multiplex unius A efficiarur, nec non altera illius inverfa

_qua refiduum &

hujus itidem cafus fpeciaiis, quo pars unius A oriatur, nihil mi-

rutn per ha rum alrerurram fundionum relationem potisfimum

«xprimi, quas quidem fie expresfa relatio ^xotr ratio

nuncupatur. Omnis igitur ratio quam habet A ad B ad duo

omnino genera reduci porefi. Unum fi determinatur quantitas ipf. A ira ut A tanto major vel minor fit ipfa B quanta fit data magnirudo R (h, ^e. fi A ⁼ B •+- R vel A -4- R

B, quod quidem pofierius fic quoque adfignatur: A = B —- R). Haec

ra io nomine Arithmeticce vulgo infignirur. Si vero A fum-

mse magnitudinum, quarum quaslibet = B, A multiplex ipfius

B audit, fed B _pars ipfius A, & quidem tantiplex vel tanta pars, quantus efi numerus magnitudinum quas fummam ifiam

conficiunt (quod idem in not. prsec. brevi(us eft expresfum). Altera

inde quantitatis ipfius A determinatio per multipiices feil. &

partes ipfarum A & B ut ab arithmetica difiinguatur, ratio

Geometrica f. Proportio dici folita. Quod fi jarn^ A mul¬

tiplex vel pars fit ipfius B , ratio ipfius A ad B per

eum determinatur numerum, qui, quoties B vel A fumta

B

fuerit, exprimit, ita quidem ut A ^e, g. aut = 4B ^{aut =}

4 Si autem A nec multiplex nec pars fit ipfius. B, tum aut, Euciide duce, multipiices ordinc fumantur ipfius A & obferve-

tur utri ta rum arqualis fit quacdam ex multiplicibus B, itidem

ordine fumtis, ^aut recentioium modo _partes ordine fumantur ipfius B {dimidia, tertia, &c.) & obfervetur utra harum fit

A a quo-

) 4 C

quoque pars ipfius A vel metiatur ipfam A vel denique (ut di- cuni) utram harum A certies exaffie contineat. N*utra vero fuccedet methodus nifi antem certum fuerit, esfe A & B com«

menfurabiles, i. e. esfe parteni quandain uuius (e. g. B) quas pars quoque fit alterius (A), quod ubi obtinet, efi quoque mul¬

tiplex quasdam ipf. A = iriuit. cuidam ipf. B. Nam cum

B vi B

p. byp. A = m — = —- iLemm. i), eft p. def. nA ss mB.

n n

Quod fi jam confiat esfe A, B incommenfurabiles & _pro- inde rarionem ipfius A ad B numquam exa Sie posfe exprirni, of¬

fert fefe problema, quod vel alias folvere cuperes: Rationem ipfius

A ad B data quavis dijferentia ^verce propiorem exprimere. Cujus

vis problem a tis haec efi: Data quantumvis exigua niagnitudine ipfis Aj B homogenea ^» aut (Euclideis convenienter principiis) inve-

nire quota fit ipfius A multiplex, quas a multiplici quadam i- pfius B five excesfu ^> five defecfiu, minore _quam H difiat, aut>

fecundum recentiores, quota fit pars ipfius B, quam A certies

continet *) ita ut excesfus -<J H.

Facile vero folvunt recentiores pofiulati loco pofito: "par-

tem magnitudinis datas quamlibet posfe cogitari". — Contra ea fl multiplices comparentur, nulio präster hoc opus efi: pofiulato (quod ipfa def. ^{4. Eucl.} V. inefi): ''quamcumque mngnitudinem

toties fumtam posfe cogitari, ut quamlibet aliam homogeneam excedat*', & Lemmate 111 o: "Si ex magnitudine majore dimi-

dium aut majus auferatur, ex refiduo iterutn dimidium, aut ma-

jus

*) A dicitur certies continerc ipfam B, fi A non —- ^ ( B aequetohVt fumta fed ^ (B ^una pluries fumta), fi ^e. g, A ^non

—

<2 7B fed 8 B dicitur A ipfam B fepties continere.

) s (

jus, fic pergendo relinquetur tandem rmgnitudo quavis minore

minor". Tum vero problema no/lrum ita folvatur:

H Sit mA prima multiplex ^quae B

nB mA (11 Hh z)B & nB ultima quas non - £> mA,

D E unde (n -4- z) i?£> mA. Si nB ~

(p-z)D nB pD mA, folütum eft problema j fi vero

D' E/ nB = 1lB ~f- &

{q-i)E! nB qE! rs (n -+■ 1) B - M. Quoniam D D'' E" Hh E zz2 B, alterutra necesfe eft ut

B B

fit non

—. ₂ Sit ^e. _g. D ^{non - —} Sc fumatur pD

2

prima multiplex quas nB, quo fit pD = nB -f- E Sc (p -z) D ^~ D'. Siquidem D ' -4- E' D alterutra

b n

efl non

^ —: _<2 fit e. g. £* ^{non —} ₂ & fumatur qE! pri-

^

ma multiplex, quac £> w5> unde qE! =5 -f-Sc (q -/) Ef

sssiiB

D". Cum vero D'' ₊ JE" z: £' alterutra (e. g. jCT/\

E!

non

£> —. Sic pergendo proveniet tandem excejfus vel de*

fedus K qui H (Lemm. cit.). Efi ^autem pmA ( =: pnB -f-pD) ss (p -f- i)nB -f- JE*

qpmA pzz (qp -4- q 4- t) nB + £" &c. & tandem

/

qpmA = £r ^.. qp -4- x ., £ -J- s . .+ 1) wfl ■+• £,

Si defeSfus quasritur qui i?, fumatur /£ ultima multi¬

plex quas non - nB. _{Sit igitur} tKzznB - K'\crit K'{

Sc ts.; = {ts.. qp \ ts.. q-^-ts. ,<-\-i*)nB ~ K. q. e.

$. ^

) 6 C

§■ ir.

Sequifar jam ut de atqualitate åc ina?qualitate rationum di-

carnus. Ex mente vero Euclidea

I. a), Dicitur A: B ^rs C: D, fi qiicecunique ipTarum A,

C sequemultiplices (x A,xC} taies funt, ut fi = ^ multiplici quadam (nD) ipfius jD, llt quoque x A ^1:1110 Cafu

se

2:do £> & 3:tio <J sequemultiplice (nB} ipfius B.

Sed b) dicitur A: B ^ C:D, fi certce ipfarum Ay C

ajque multiplices (mA. tnC) tales funt, ut mA multiplice quadam (nB) ipfius B fed mC non - seque mult. (11D) ipfius D. Sed A : B C:D fi mA 11 on - ^ nB; fed mC 11D.

Secundum recentiorer autem:

II. a ) Dicitur A: B =: C : D, fi A toties continet quam- mmque ipfius B _partem, quoties C eandem ipfius D pditem

B B

continet, (i. e. fi A ^{non -} <J n — X fed <3 (» -f- /) — X quando C

D D

non

< n — _X fed <J (»-f- ?)—).

x

t

Sed b) dicitur A: B ^ Cl D, fi A certam ipfius B par.

tem pluries continet, quam C eandem continet ipfius D par-

B D

tem. (i. e. fi non - fed C <»—). Et A:B^C:D,

m m

fi A certam ipfius B _partem minore numero continet, _quam

„

B

C eandem _continet ipfius D _partem. (u e. fi A<,— _w fed C

D

noa

< «

m

) ⁷ C

Qua quidem dcßnitio ad Euclideam hoc modo poteß conformari:

III. a) Dicitur A : B C\D fi A

C tales funt, ut,

D D

quacumque fuerint ipfarutn B, D seque partes (—, _OC —), fi C zz

2C

D

C— aliquoties oc fumta) fit quoque A i:mo cafu = ^, 2:do

D

& 3:tio <3 (— _•V «quetoties fumta).

Sed b) dicitur A : B C : D, fl A _parte quadam i-

B

pfius B aliquoties lumta (n —) _m fed C non — eadem ipfius D

D

parte aeque toties fumta (n — \ Et A ^: B ** C : D

m ^

B D

fi -^non

J> » — fed C >• n ~

m m

Euclides vero ad recentiores fic propiut accesßsftti

IV. a) Dicitur A j B := C: D

Ii _qncecimque ipfius A multi¬

plex ipfam B toties continet, quoties sequemultiplex ipfius C ipfam D eontiner. fi. e. fi xA uou ^- ^nB fed ^ (M-f-i)i?

quando xC non - <J nU fed <*(»-]- /) D,

Sed dicitur A: B C : D, fi ccrta ipfius A multi¬

plex pluries _{D continet.} continet ipfim By quam sequemult. ipfius C ipfam

(i. e. fi mA non

nB fed mC <1 11DJ, Et

A: B <J C : D fi ^ccrta ipf. A mult. ipfam B minore nume- ro cont. quam teque mult. ipf. C ipfam D continet. (i. e. fi

mA <1 nB led mC non

<1 nD)%

§. III

) 8 C

$. «I.

Quo autem ea, quae confilio nofito inlerviunt, melius intel- ligantur, <Sc qusenam ex allatis IV definitionibus fit prasferenda

facilius judicefur, mutuo fcilicet ipfarum confenfu peifpetflo,

quse fequuntur paucis exponere liceat, quamvis a Celeberrirao

Geometra magna ex parte modo haud mulrum diverio jamdudum

fint demonftrata. (Nov. Atfh Soc. Scient. Upf. V. VI) Viani igitur patefaciat

LemtiM 2.

Si multiplex quasdam mH £>nK led aeque multipl. mL ss nP (Sc difFerentise (D^ inter mH <Sc nK fumatur multiplex gD J> ipfius K multiplice quadam rK, erit gmH£> (gn r) K

fed gniL <3 {gn ^-+• r) P.

Demonßr. Quoniam mH ^zr: nK -f- D erit gmH( zzz gnK

•+■ gD) > gnK -4- rKC. ( gn + r) K. Sed gmL z= guP,

unde gmL <3 (gn ■+■ r) P- T e* d.

Theorema I.

A) Si ponatur def. I. ^vera efi def. III. <Sc B) reciproce»

C) Si autem ponatur def. IV. ^vera efi def. iL & D) reciproce.

Demonßr. Ponatur e. g. def. IV; demonfir. def. II. Tum

vero efi (p. hyp. IV. a) : xA non - <3 •«&> fed <3 (w-f-z) B

& x C non - <3 nD; fed <3 \n -4- z) und« A non —

<iiB {n1) B nD

< !__ ^{fed <3} L(Sc ^{C non - < — fed < --}

x X XX

B B

h. ^e. (p. Lem. x) A non - <3 ^n— _x fed <3 (n -4- z) — _x <Sc C

D D

non ~ <3 n — fed <j (n 4- i) —, q. e. d.

x x

Similiter omnia reliqua demonfirantur.

Theo-