DE CONTACTÜ LINEARUM
DISQUISITIO.
QUAM
VENIA AMPL. FACULT, PHILOS. UPSAL.
PR/ES1DE
Mag. HENRICO FALCK
Mathcmatum & PhilosopliiaeNaturalis Adjunct»
PRO GRADU PHILOSOPHICO
p. p.
Atr e TOR
CAROLUS ADOLPHUS FORSSELL Geslricio-IIelsingus
TN AUDIT. GUSTAV. DIE XXlX MAJl MDCCCXXXIII H. A. M. S.
UPSALIiE
EXCUPEBANT REGIME ACADEMIiE TYPOGRAPHI
»
DE CONTACTU LINEARUM
DISQUISITIO.
i. §.
jf^ineae
ill g«nere dividi poisunt in duas cl&sses, quaiuni prima continet lineas in piano seu rectam lineam et line.as simplicis curvaturie, teeunda lincas in spatio seu duplicis cur«vaturae, Quamvis igitur, quod ex sequentibus patebir, theoria
contactus linearum utriusque classis iisdem nititur principiis,
modo tarnen duplici tractanda est ob diversam linearum na- turam. Primo igitur heic nobis propositum est, ut genera¬
len) evolvamus methodum, secundum quam lequationes o- mnium linearun) in piano Tangentium et Osculanthim deduci possint ex acquatione linea: propositse cujuslibet ordinis primae
classis. — Ne piagii merito argusmur aut novi cujusdam
auctores immerito putemur, hoc loco nobis declarandum vi- detur iis praesertini, qui in hoc genere seientiarum forsan
sint imperiti, hanc methodum haudquaquam novam esse, sed
a plarimi* Geometris inclytis ingeniöse tractatam, inter quo«
celeberrimos Cramer (Introd. a L'Analyse des Lignes couc- bes algebr.), Lacroix (Traité du Calc. DifF.) et Garnitr
2
(Lejons de Calc. DifF.) consuiuimus. In id tantummodo nos operam impendimus, ut breviter et, quantum in nobis fue- rir, dilucide et explicate illa methodus heic sit proposita.
2. §.
In contactu, sensu latioii, lineaecujuscunque ordinis esse dici
possunt, quee unum punctum commune habent. — Hase dejfi-
nitio continet etiam lineas secantes, quas tarnen vulgo ad hoc
genus non referuntur. Prasterea harum linearum determinatio
a conditionibus specialibus pro unoquoque casu pendet, quam ob caussam nulla methodus generalis eas inveniendi adsignari
potesr. — Contactum habere vulgo dicuntur lineas Tangenter
et Osculantes, et illas quidem contactum primi ordinis, ha;
secundi, tertii, quarti &c. Caussas et conditiones hujusce di-
visionis necnon natura harum linearum ex sequentibus patebunt.
Si vero a priori definitionem earum peteres, illa fere esset:
Tangens dicitur recta linea, quas cum alia linea cujus¬
cunque superioris ordinis unum punctum commune habet,
ita scilicet ut puneta utriusque lineas huic proxime adjacentia
ex eadem parte alterius lineas sint relicta, nec u)la alia recta linea inter illam et lineam tactam duci possit. — Lineas cu¬
juscunque ordinis se invicem Tangentes dicuntur, quas in uno puncto communi eandern rectam lineam tangentem habent.
Unus tarnen heic notandus est casus, quo scilicet recta
linea in puncto quodam Inßexionis aliam lineam tangit; tutw
enim illa linea tångens secat etiam lineam tactam, ideoque
definitioni isti tangentis excipitur.
Osculans dicitur linea secundi vel superioris ordinis, qua;
cum alia linea unum punctum commune habet, ita scilicet ut
inter hanc et iliam nulla alia linea ejusdem vel inferioris ge- neris Ii. e. cujus asquatio eundein vel minorem numerum
quantorum constantium continet, duci possit.
3. §•
Sit
y » F (x) (i)
aequatio linea propositas, cujus quaeratur linea fangens vel
osculans hac aequatione
• • • • ♦ . (2)
in genere expressa. E conditione, quae lineam tangentem vel
osculantem definit, quod scilicet nulla alia linea ejusdem vel
inferioris generis inter lineas (1) et (2) duci possit, quanta
constantia aequationis (2) determinabuntur. Sit igitur
y =3/ (x) (3)
alia linea ejusdem generis ac linea «quatione (2) expressa.
Ut linea (2) tångens vel osculans sit lineas (1), propius ad
eam quam linea (3) sie ducta, necesse est; quam ob caussam cursum pt positionem rrium linearum (1), (2) et (3) proxime
ad punctum, quod omnibus commune ponitur, accuratiori e-
xamini submittemus. Sint x', y determinati coordinatarum hujus puneti valöres. Positis igirur y -f- u pro y et x'+ä pio x in asquationibus (1), (2), (9), omnes transformantur ad novam originem, cujus coordinata: in priori systemate
sunt x\ y h. e. ad punctum contacrus linearum, iEquatio«
nes, ita transformatae et in Seriebus ascendentibus vel per methodutn Rectanguli Analytici vel per notissimum Taylori
theortma evolutse, hanc formam in genere habebunt:
«= F(x+z)-y'=A + Bz -f-Cz2 4-Dz3 4- Ez4 X &c.
« =<p(*4-»)—y'—A'4- B'z 4-Cz2-fD'z34-E'z*4-See.
uzz:f{x'-+-z)—y czA"-{-B"z-{-:Cz*-{-D'z*+>E"z*-+- See.
Si vero consideramus, novam originem punctum esse quod-
dam trium linearum, fiat omnino necesse est «=o, quoties
z=iO et vice versa, quod fieri nequit, nisi A~ot A'=zo,
A"=:0. Primam igitur habemus sequationum conditionalium,
quae quanta constantia sequalionis (2) determinabunt, scilicet
A z= Ä (1)»
Quum vero etiam A"=zo, Series evadunt
u 222 Bz -4*" Cz* -4- Dz3 4- Ez4 4* See.
a = B'z 4- Cz* D'z3 4- E'z4 + See.
a = B'z -f- Cz* 4 D"z* -4- 1Cz* 4- See.
Differential tnter ordinatas linearum (1) et (2) atque (1) et (3) hoc modo exptimatur:
&(i,*)^Ü-B')z+{CC)K*+<<D-D')Z'+(E—E')z*+&C.
A( 1,3)=( B- B")z+(C-C>»4-(D'-D")z E')z44-&c.
5
Ne intet lineas (i) et (2) alia Irnea (3) duci possit, fiar 0- mnino necesse est
A (1,2) < A 0,3)
sahen) proxime ad punctum contactus, h. e. abscissa z ad li¬
miten) 0 infinite appropinquante, In hoc vero casu theoria
functionum docet, rationem reciprocam expressionum A (1,2)
et A (1,3) a solis coéfficientibus pendere, ira scilicet ut,
cum Series ab eadem potestate ipsius z incipiunt, majorem
ea habeat valorem, quas majorem habet primam coefficien-
tem; ideoque cum a diversis potesratibu? ipsius z incipiunt,
illa Series, cujus prima potestas inferior est, majorem Sem¬
per habeat valorem. Tunc quidem inasqualitas
A O.rO *<3 A (*»3)
in geneie adesse videretur hac conditione:
B — B' < B — B"
seu valöre B' inter valöres B et B" determinato. Sed qui-
cunque valör ipsi B' alius sit adsignatus quam B, talem Sem¬
per in nobis est ipsi B" adsignare valorem, ut intet' B et B'
sit inclusus. Ne igitur sit
B — B' > B — B'\
nec ideo inter lineas (i) et (2) alia linea (3) duci possit,
fiat omnino necesse est
B — B' zzz o
B zzz B' ... . (2)'
quas igitur secunda erit sequatio conditionalis. Hoc modo fiet:
A (i,a) = (C-C)z*+(D—D')z* +(E—E)z* + &c#
A(i,3)=(S-5>4-(C-C,>a-h(ö-D>5-t-(JE:-£/>^-h&c.
Ex speciali quodam valöre ipsius ß" nunc fieri potest B — B'' ~ o,
quo scilicet Series istae rursus ab eadem potestate ipsius z in- cipient, earumque ratio ieciproca a primis coefficientibus (C-C') et (C—C") solis pendebit. Ut in priecedenti, tunc
quidem insequalitas
A (i,4) < A (1,3)
6
adesse videretur hac conditione:
C — C 4+ C — C'
seu valöre C' inter valöres C et C determinatoj sed qui.
ctinque valör ipsi C alius sie adsignatus quam C» talem sem-
per in nobis est ipsi C adsignare valorem, ut inter C et C'
sit inciuslis. Ne igituf sit c _ C" < c — c
h. e. A (1,3) < A (i ,2)
fiat omnino necesse est
c — C — o
C « C (3)' .
tertia aequatio conditionalis. Hoc in casu Series evadant:
Ai i,2) = {D—D') s* -h (E-#) 34 -+• &c.
A(i,3)= (C—C')z*+(D—Z7>'-ME—E"j s4+- &c,
Kursus quidem fieri potest
C — C" = o,
quo Series ab eadem potestate ipsius z incipient; hinc vero sequitur quarta aequatio conditionalis
D — D' =: o
D = D' (4)'.
Ex eadem analogia quinta esset sequatio conditionalis
E — E' = o
E = E' (5)'
et sie porro.
4- 5.
Ex his conditionibus (1)', (2/, (3)', (4)', (5)', &c. quanta constantia jequationis (2) possumus determinare. Numerus i- gitur eonditionum necessariarum a nutnero quantorum con- stantium pendebit. Si ex. gr.
yz=Q{x)
linea esset primi ordinis, cujus quanta constantia in genere
sunt duo, scilicet
Tj s=s OC X /3 • ■ • • • (4)>
7
ad h»c determinanda opus esset duabus conditionibus, scilicet
06 x /3—y = A . , . . . . (5),
06 B • • • • • t • 1 • • (6j •
Hoc modo quaritis oc, /3, determinatis, »quatio (4 exprimet Tangentem line»
y-F(x)A- ■ ■
in puncto dato, cujus coordinat» sunt x, y.
Tangens contactum primi ordinis habere dicitur, quia tan- tummodo coefficiente prim» potestatis ipsius z seu in Serie Taylori prima coefficiente differentiali ad eamdeterminandam
opus est, Linea, qu» tria quanta constantia continet, quam
igitur ad determinandam secunda coefficiente differentiali 0-
pus est- contactum secundi ordinis habere dicitur, et sie por-
* ro, — Line» superioris generis contactum inferioris ordinis
habere possunt; tunc vero non omnia quanta constantia ha-
rum linearum sunt determinata, sed quredam arbicraria.
5. §•
Duo hujusce methodi applicaf» sufficiant exempla, quo-
rum inprimo theorema Taylori, in secundo methodus Reqt- anguli Analytiei adhibeatur. Sit
y -=z F {x) ■ . . . . . (7)
Jinea qusecumque, cujus qureratur circulus osculans in puncto
quodam dato. Sit
(#•—a)2 -f- (y—b)7 s=s h2
i. e. y sas b + V h2— {x—a)z z=z (p (x) . . (8)
circulus ille osculans, cujus quanta constantia ci, b, h ita sunt determinanda, ne alius circulus
(ät—(y—B)z = H2
i. e. y = B ± V H2 — (x—J)z =/(*)... (9)
inter illum et lineam propositam duci possit. Line» (7), (g), (9) per theorema Taylori evolut» evadunt
8
?=*T*+o=^*)+«n*iV-i^'(*)+—rix)+■2 &c.
f.J.
y~<P{x+i)~(p(x)±i(p\x)-i--(p,Xx)-{-—(p/'Xx) 4- &c.
2 2.J.
y—f{x+i)=:f(x)+if(x)+-f'(x)+—ff''(x) +2 &c.
2.J,
Ut igitur linea (8) Osculans slc linea? (7), prima conditio
F(»)=^)=i±VÄ3-(x-fl)1 (I0)
Ex speciait quodam valöre ipsius/(x) fieri potest
F{x) =f(x)=B±\,'H2—(x--A)* . . ; . . (10)',
quam ab caussam secundam habebimus conditioncm
F(x)zzXp'(x)=zZ£.— - 00*
V^2-—(*-a)a
Si vero rursus esset
F'(x)~f'(x)=zZp X —— (ii)',
\/&2-(x-A)z
tertia conditio daret
F"(x\=zQ"(x\=zZf
hZ
(I2;.t/(h*-(x-a)*y
Nunc quidem rursus fieri potest m
. . . . . (12)';
9
sed ad quartam conditionem propterea non est fugiendumj
quia hoc casu sequationes (8), (9J, quorum quanta constan- tia a, b, h, A, B, H iisdem tequationibus (io), (il), (ia)
et (io)', (it)', (12)' determinantur et aequalia igitur evadunt,
eundem circulum exprimunt. — Posito r, abscissa puncti da-
ti, pro x, ex »quationibus (10), (il), (12) quanta ß, b, h ita
detenninabuntur:
F(r) i-f-FVr)«
a =r -
.0
F"(O
Quantum h, quod heic significat radium circuli osculantis,
dicitur Radius Curvatnrcs Jinea:
y = FQt)
in puncto dato r, F (O*
6. §.
Sit
x*y — b*x — a3 = o (O
linea, cujus quaeratur tångens in puncto quodam dato x\ y, Positis x'-\-z pro x et y'~t-u pro y7 aquatio fit
(x'*y-b2x,~a'i)+(2xy-b2)Z"+'x'2u-+-2x'uZ"+-(y-)ru)z'3=::0. . (1/.
^quatio Tangentis in genere est
y cc x 13 C2),
cujus quanta constantia cc, ß detenninabuntur. iEquatio (2)
ad novam originem transformata fit
u = (ccx+ ß—y) + UZ (2)'
2
JO
• - •
Qaum vero « et s in duabus aequationibus (i)' et (a)' simul
evanescere debent, habebinius
x'2y>—b*x—aiz=:o=ic6X-i-@—y . . (3), quod supra in genere ita expressum est:
A = A\
Ex asquatione (a)' vidimus esse
B' = «,
ef per methodum Rectanguii Anaiytici fiet
_ b2—2x'ir
^=—T— •
X 2
Hane igitur habetimus secundam lequationem conditionalem
b2—2x1/
05 ~~
~~v* ... (4).
Ex asquarionibus (3) et (4) quanta eonstantia a et ß deter- ininamur, et linea {2) fit Tangens iinete («) in puncto dato
y.