• No results found

FALCK HENRICO

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "FALCK HENRICO"

Copied!
12
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

DE CONTACTÜ LINEARUM

DISQUISITIO.

QUAM

VENIA AMPL. FACULT, PHILOS. UPSAL.

PR/ES1DE

Mag. HENRICO FALCK

Mathcmatum & PhilosopliiaeNaturalis Adjunct»

PRO GRADU PHILOSOPHICO

p. p.

Atr e TOR

CAROLUS ADOLPHUS FORSSELL Geslricio-IIelsingus

TN AUDIT. GUSTAV. DIE XXlX MAJl MDCCCXXXIII H. A. M. S.

UPSALIiE

EXCUPEBANT REGIME ACADEMIiE TYPOGRAPHI

»

(2)
(3)

DE CONTACTU LINEARUM

DISQUISITIO.

i. §.

jf^ineae

ill g«nere dividi poisunt in duas cl&sses, quaiuni prima continet lineas in piano seu rectam lineam et line.as simplicis curvaturie, teeunda lincas in spatio seu duplicis cur«

vaturae, Quamvis igitur, quod ex sequentibus patebir, theoria

contactus linearum utriusque classis iisdem nititur principiis,

modo tarnen duplici tractanda est ob diversam linearum na- turam. Primo igitur heic nobis propositum est, ut genera¬

len) evolvamus methodum, secundum quam lequationes o- mnium linearun) in piano Tangentium et Osculanthim deduci possint ex acquatione linea: propositse cujuslibet ordinis primae

classis. Ne piagii merito argusmur aut novi cujusdam

auctores immerito putemur, hoc loco nobis declarandum vi- detur iis praesertini, qui in hoc genere seientiarum forsan

sint imperiti, hanc methodum haudquaquam novam esse, sed

a plarimi* Geometris inclytis ingeniöse tractatam, inter quo«

celeberrimos Cramer (Introd. a L'Analyse des Lignes couc- bes algebr.), Lacroix (Traité du Calc. DifF.) et Garnitr

(4)

2

(Lejons de Calc. DifF.) consuiuimus. In id tantummodo nos operam impendimus, ut breviter et, quantum in nobis fue- rir, dilucide et explicate illa methodus heic sit proposita.

2. §.

In contactu, sensu latioii, lineaecujuscunque ordinis esse dici

possunt, quee unum punctum commune habent. Hase dejfi-

nitio continet etiam lineas secantes, quas tarnen vulgo ad hoc

genus non referuntur. Prasterea harum linearum determinatio

a conditionibus specialibus pro unoquoque casu pendet, quam ob caussam nulla methodus generalis eas inveniendi adsignari

potesr. Contactum habere vulgo dicuntur lineas Tangenter

et Osculantes, et illas quidem contactum primi ordinis, ha;

secundi, tertii, quarti &c. Caussas et conditiones hujusce di-

visionis necnon natura harum linearum ex sequentibus patebunt.

Si vero a priori definitionem earum peteres, illa fere esset:

Tangens dicitur recta linea, quas cum alia linea cujus¬

cunque superioris ordinis unum punctum commune habet,

ita scilicet ut puneta utriusque lineas huic proxime adjacentia

ex eadem parte alterius lineas sint relicta, nec u)la alia recta linea inter illam et lineam tactam duci possit. Lineas cu¬

juscunque ordinis se invicem Tangentes dicuntur, quas in uno puncto communi eandern rectam lineam tangentem habent.

(5)

Unus tarnen heic notandus est casus, quo scilicet recta

linea in puncto quodam Inßexionis aliam lineam tangit; tutw

enim illa linea tångens secat etiam lineam tactam, ideoque

definitioni isti tangentis excipitur.

Osculans dicitur linea secundi vel superioris ordinis, qua;

cum alia linea unum punctum commune habet, ita scilicet ut

inter hanc et iliam nulla alia linea ejusdem vel inferioris ge- neris Ii. e. cujus asquatio eundein vel minorem numerum

quantorum constantium continet, duci possit.

3. §•

Sit

y » F (x) (i)

aequatio linea propositas, cujus quaeratur linea fangens vel

osculans hac aequatione

. (2)

in genere expressa. E conditione, quae lineam tangentem vel

osculantem definit, quod scilicet nulla alia linea ejusdem vel

inferioris generis inter lineas (1) et (2) duci possit, quanta

constantia aequationis (2) determinabuntur. Sit igitur

y =3/ (x) (3)

alia linea ejusdem generis ac linea «quatione (2) expressa.

Ut linea (2) tångens vel osculans sit lineas (1), propius ad

(6)

eam quam linea (3) sie ducta, necesse est; quam ob caussam cursum pt positionem rrium linearum (1), (2) et (3) proxime

ad punctum, quod omnibus commune ponitur, accuratiori e-

xamini submittemus. Sint x', y determinati coordinatarum hujus puneti valöres. Positis igirur y -f- u pro y et x'+ä pio x in asquationibus (1), (2), (9), omnes transformantur ad novam originem, cujus coordinata: in priori systemate

sunt x\ y h. e. ad punctum contacrus linearum, iEquatio«

nes, ita transformatae et in Seriebus ascendentibus vel per methodutn Rectanguli Analytici vel per notissimum Taylori

theortma evolutse, hanc formam in genere habebunt:

«= F(x+z)-y'=A + Bz -f-Cz2 4-Dz3 4- Ez4 X &c.

« =<p(*4-»)y'—A'4- B'z 4-Cz2-fD'z34-E'z*4-See.

uzz:f{x'-+-z)—y czA"-{-B"z-{-:Cz*-{-D'z*+>E"z*-+- See.

Si vero consideramus, novam originem punctum esse quod-

dam trium linearum, fiat omnino necesse est «=o, quoties

z=iO et vice versa, quod fieri nequit, nisi A~ot A'=zo,

A"=:0. Primam igitur habemus sequationum conditionalium,

quae quanta constantia sequalionis (2) determinabunt, scilicet

A z= Ä (1)»

Quum vero etiam A"=zo, Series evadunt

u 222 Bz -4*" Cz* -4- Dz3 4- Ez4 4* See.

a = B'z 4- Cz* D'z3 4- E'z4 + See.

a = B'z -f- Cz* 4 D"z* -4- 1Cz* 4- See.

Differential tnter ordinatas linearum (1) et (2) atque (1) et (3) hoc modo exptimatur:

&(i,*)^Ü-B')z+{CC)K*+<<D-D')Z'+(E—E')z*+&C.

A( 1,3)=( B- B")z+(C-C>»4-(D'-D")z E')z44-&c.

(7)

5

Ne intet lineas (i) et (2) alia Irnea (3) duci possit, fiar 0- mnino necesse est

A (1,2) < A 0,3)

sahen) proxime ad punctum contactus, h. e. abscissa z ad li¬

miten) 0 infinite appropinquante, In hoc vero casu theoria

functionum docet, rationem reciprocam expressionum A (1,2)

et A (1,3) a solis coéfficientibus pendere, ira scilicet ut,

cum Series ab eadem potestate ipsius z incipiunt, majorem

ea habeat valorem, quas majorem habet primam coefficien-

tem; ideoque cum a diversis potesratibu? ipsius z incipiunt,

illa Series, cujus prima potestas inferior est, majorem Sem¬

per habeat valorem. Tunc quidem inasqualitas

A O.rO *<3 A (*»3)

in geneie adesse videretur hac conditione:

B B' < B B"

seu valöre B' inter valöres B et B" determinato. Sed qui-

cunque valör ipsi B' alius sit adsignatus quam B, talem Sem¬

per in nobis est ipsi B" adsignare valorem, ut intet' B et B'

sit inclusus. Ne igitur sit

B B' > B B'\

nec ideo inter lineas (i) et (2) alia linea (3) duci possit,

fiat omnino necesse est

B B' zzz o

B zzz B' ... . (2)'

quas igitur secunda erit sequatio conditionalis. Hoc modo fiet:

A (i,a) = (C-C)z*+(D—D')z* +(E—E)z* + &c#

A(i,3)=(S-5>4-(C-C,>a-h(ö-D>5-t-(JE:-£/>^-h&c.

Ex speciali quodam valöre ipsius ß" nunc fieri potest B B'' ~ o,

quo scilicet Series istae rursus ab eadem potestate ipsius z in- cipient, earumque ratio ieciproca a primis coefficientibus (C-C') et (C—C") solis pendebit. Ut in priecedenti, tunc

quidem insequalitas

A (i,4) < A (1,3)

(8)

6

adesse videretur hac conditione:

C C 4+ C C'

seu valöre C' inter valöres C et C determinatoj sed qui.

ctinque valör ipsi C alius sie adsignatus quam C» talem sem-

per in nobis est ipsi C adsignare valorem, ut inter C et C'

sit inciuslis. Ne igituf sit c _ C" < c c

h. e. A (1,3) < A (i ,2)

fiat omnino necesse est

c C o

C « C (3)' .

tertia aequatio conditionalis. Hoc in casu Series evadant:

Ai i,2) = {D—D') s* -h (E-#) 34 -+• &c.

A(i,3)= (C—C')z*+(DZ7>'-ME—E"j s4+- &c,

Kursus quidem fieri potest

C C" = o,

quo Series ab eadem potestate ipsius z incipient; hinc vero sequitur quarta aequatio conditionalis

D D' =: o

D = D' (4)'.

Ex eadem analogia quinta esset sequatio conditionalis

E E' = o

E = E' (5)'

et sie porro.

4- 5.

Ex his conditionibus (1)', (2/, (3)', (4)', (5)', &c. quanta constantia jequationis (2) possumus determinare. Numerus i- gitur eonditionum necessariarum a nutnero quantorum con- stantium pendebit. Si ex. gr.

yz=Q{x)

linea esset primi ordinis, cujus quanta constantia in genere

sunt duo, scilicet

Tj s=s OC X /3 (4)>

(9)

7

ad h»c determinanda opus esset duabus conditionibus, scilicet

06 x /3—y = A . , . . . . (5),

06 B t 1 (6j

Hoc modo quaritis oc, /3, determinatis, »quatio (4 exprimet Tangentem line»

y-F(x)A-

in puncto dato, cujus coordinat» sunt x, y.

Tangens contactum primi ordinis habere dicitur, quia tan- tummodo coefficiente prim» potestatis ipsius z seu in Serie Taylori prima coefficiente differentiali ad eamdeterminandam

opus est, Linea, qu» tria quanta constantia continet, quam

igitur ad determinandam secunda coefficiente differentiali 0-

pus est- contactum secundi ordinis habere dicitur, et sie por-

* ro, Line» superioris generis contactum inferioris ordinis

habere possunt; tunc vero non omnia quanta constantia ha-

rum linearum sunt determinata, sed quredam arbicraria.

5. §•

Duo hujusce methodi applicaf» sufficiant exempla, quo-

rum inprimo theorema Taylori, in secundo methodus Reqt- anguli Analytiei adhibeatur. Sit

y -=z F {x) . . . . . (7)

Jinea qusecumque, cujus qureratur circulus osculans in puncto

quodam dato. Sit

(#•—a)2 -f- (y—b)7 s=s h2

i. e. y sas b + V h2— {x—a)z z=z (p (x) . . (8)

circulus ille osculans, cujus quanta constantia ci, b, h ita sunt determinanda, ne alius circulus

(ät—(y—B)z = H2

i. e. y = B ± V H2 (x—J)z =/(*)... (9)

inter illum et lineam propositam duci possit. Line» (7), (g), (9) per theorema Taylori evolut» evadunt

(10)

8

?=*T*+o=^*)+«n*iV-i^'(*)+—rix)+■2 &c.

f.J.

y~<P{x+i)~(p(x)±i(p\x)-i--(p,Xx)-{-—(p/'Xx) 4- &c.

2 2.J.

y—f{x+i)=:f(x)+if(x)+-f'(x)+—ff''(x) +2 &c.

2.J,

Ut igitur linea (8) Osculans slc linea? (7), prima conditio

F(»)=^)=i±VÄ3-(x-fl)1 (I0)

Ex speciait quodam valöre ipsius/(x) fieri potest

F{x) =f(x)=B±\,'H2—(x--A)* . . ; . . (10)',

quam ab caussam secundam habebimus conditioncm

F(x)zzXp'(x)=zZ£.— - 00*

V^2-—(*-a)a

Si vero rursus esset

F'(x)~f'(x)=zZp X —— (ii)',

\/&2-(x-A)z

tertia conditio daret

F"(x\=zQ"(x\=zZf

hZ

(I2;.

t/(h*-(x-a)*y

Nunc quidem rursus fieri potest m

. . . . . (12)';

(11)

9

sed ad quartam conditionem propterea non est fugiendumj

quia hoc casu sequationes (8), (9J, quorum quanta constan- tia a, b, h, A, B, H iisdem tequationibus (io), (il), (ia)

et (io)', (it)', (12)' determinantur et aequalia igitur evadunt,

eundem circulum exprimunt. Posito r, abscissa puncti da-

ti, pro x, ex »quationibus (10), (il), (12) quanta ß, b, h ita

detenninabuntur:

F(r) i-f-FVr)«

a =r -

.0

F"(O

Quantum h, quod heic significat radium circuli osculantis,

dicitur Radius Curvatnrcs Jinea:

y = FQt)

in puncto dato r, F (O*

6. §.

Sit

x*y b*x a3 = o (O

linea, cujus quaeratur tångens in puncto quodam dato x\ y, Positis x'-\-z pro x et y'~t-u pro y7 aquatio fit

(x'*y-b2x,~a'i)+(2xy-b2)Z"+'x'2u-+-2x'uZ"+-(y-)ru)z'3=::0. . (1/.

^quatio Tangentis in genere est

y cc x 13 C2),

cujus quanta constantia cc, ß detenninabuntur. iEquatio (2)

ad novam originem transformata fit

u = (ccx+ ß—y) + UZ (2)'

2

(12)

JO

-

Qaum vero « et s in duabus aequationibus (i)' et (a)' simul

evanescere debent, habebinius

x'2y>—b*x—aiz=:o=ic6X-i-@—y . . (3), quod supra in genere ita expressum est:

A = A\

Ex asquatione (a)' vidimus esse

B' = «,

ef per methodum Rectanguii Anaiytici fiet

_ b2—2x'ir

^=—T—

X 2

Hane igitur habetimus secundam lequationem conditionalem

b2—2x1/

05 ~~

~~v* ... (4).

Ex asquarionibus (3) et (4) quanta eonstantia a et ß deter- ininamur, et linea {2) fit Tangens iinete («) in puncto dato

y.

References

Related documents

vero de rnethodo quadam valorena fractum appropinquantem computandi minima oriatur quaestio, necesse erit ante omnia disquirere, an alia omnino sit via, qua absque omni ejus-.

Eådem lege, ut an- tea semper, ad dextram signi sequalitatis scribi debet D et ad sinistram C, tum vero, ut aequatio sie proveniens C zz D.. + C a falsa ad verami, servatå forma,

per metiendi negotium prodeat fractio, quse forsan hane proportionen! designet, ut cum alio quo dam angulo compa- xentur et A et 5, hic vero angulus intermedius ifa sit constitutus,

Hoe vero inde ne minimum quidem infringitur, quod EUCLIDES in casu aequalitaiis rationum A:Bet C:D ipsam denominationem rationis czqualir sol 1 leite evitavif, cujus Ioco semper

Virtual, ipfius A in dire£lione hujus corporis ad arbitrium fumta; fir aurem

tationibus &amp; fcriptis Dida&amp;icis res fepe occurrunt memorandas, quarum nomina Grasca funt notiora Latinis, quis itaque , nifi perfpicuitatis ofornega-. brt licite illa

En cuanto a la diferencia del signo positivo/negativo de las opiniones entre latinoamericanos y suecos, los latinoamericanos positivos superan a los suecos con un 25%

Ci-dessous nous présenterons les réponses des enseignants sous les thèmes suivants : la mesure dans laquelle ils utilisent la chanson et de quel type de document il s’agit, les