FALCK HENRICO

DE CONTACTÜ LINEARUM

DISQUISITIO.

QUAM

VENIA AMPL. FACULT, PHILOS. UPSAL.

PR/ES1DE

Mag. HENRICO FALCK

Mathcmatum & PhilosopliiaeNaturalis Adjunct»

PRO GRADU PHILOSOPHICO

p. p.

Atr e TOR

CAROLUS ADOLPHUS FORSSELL Geslricio-IIelsingus

TN AUDIT. GUSTAV. DIE XXlX MAJl MDCCCXXXIII H. A. M. S.

UPSALIiE

EXCUPEBANT REGIME ACADEMIiE TYPOGRAPHI

»

DE CONTACTU LINEARUM

DISQUISITIO.

i. §.

jf^ineae

vaturae, Quamvis igitur, quod ex sequentibus patebir, theoria

contactus linearum utriusque classis iisdem nititur principiis,

modo tarnen duplici tractanda est ob diversam linearum na- turam. Primo igitur heic nobis propositum est, ut genera¬

len) evolvamus methodum, secundum _quam lequationes o- mnium linearun) in piano Tangentium et Osculanthim deduci possint ex acquatione linea: propositse cujuslibet ordinis primae

classis. — Ne piagii merito argusmur aut novi cujusdam

auctores immerito putemur, hoc loco nobis declarandum ^vi- detur iis praesertini, qui in hoc genere seientiarum forsan

sint imperiti, hanc methodum haudquaquam novam esse, sed

a plarimi* Geometris inclytis ingeniöse tractatam, inter _quo«

celeberrimos Cramer (Introd. a L'Analyse des Lignes couc- bes algebr.), Lacroix (Traité du Calc. DifF.) ^et Garnitr

2

(Lejons de Calc. DifF.) consuiuimus. In id tantummodo nos operam impendimus, ^ut breviter et, quantum in nobis fue- rir, dilucide et explicate illa methodus heic sit proposita.

2. §.

In contactu, sensu latioii, lineaecujuscunque ordinis esse dici

possunt, quee unum punctum commune habent. — Hase dejfi-

nitio continet etiam lineas secantes, quas tarnen vulgo ad hoc

genus non referuntur. Prasterea harum linearum determinatio

a conditionibus specialibus pro unoquoque casu pendet, quam ob caussam nulla methodus generalis eas inveniendi adsignari

potesr. — Contactum habere vulgo dicuntur lineas Tangenter

et Osculantes, et illas quidem contactum primi ordinis, ha;

secundi, tertii, quarti &c. Caussas et conditiones hujusce di-

visionis necnon natura harum linearum ex sequentibus patebunt.

Si vero a priori definitionem earum peteres, illa fere ^esset:

Tangens dicitur ^recta linea, ^quas cum alia linea cujus¬

cunque superioris ordinis unum punctum commune habet,

ita scilicet ut puneta utriusque lineas huic proxime adjacentia

ex eadem _parte alterius lineas sint relicta, nec u)la alia recta linea inter illam et lineam tactam duci possit. — Lineas cu¬

juscunque ordinis se invicem Tangentes dicuntur, quas in uno puncto communi eandern rectam lineam _tangentem habent.

Unus tarnen heic notandus est casus, quo scilicet recta

linea in puncto quodam Inßexionis aliam lineam tangit; ^tutw

enim illa linea tångens secat etiam lineam tactam, ideoque

definitioni isti tangentis excipitur.

Osculans dicitur linea secundi vel superioris ordinis, qua;

cum alia linea unum punctum commune habet, ita scilicet ut

inter hanc et iliam nulla alia linea ejusdem vel inferioris ge- neris Ii. e. cujus asquatio eundein vel minorem numerum

quantorum constantium continet, duci possit.

3. §•

Sit

y » F (x) (i)

aequatio linea propositas, cujus quaeratur linea fangens vel

osculans hac aequatione

• • • • ♦ . (2)

in genere expressa. E conditione, ^quae lineam tangentem vel

osculantem definit, quod scilicet nulla alia linea ejusdem vel

inferioris generis inter lineas (1) et (2) duci possit, quanta

constantia aequationis (2) determinabuntur. Sit igitur

y =3/ (x) (3)

alia linea ejusdem generis ac linea «quatione (2) expressa.

Ut linea (2) tångens vel osculans sit lineas (1), propius ad

eam quam linea (3) sie ducta, necesse est; quam ob caussam cursum pt positionem rrium linearum (1), (2) et (3) proxime

ad punctum, quod omnibus commune ponitur, accuratiori e-

xamini submittemus. Sint x', _y determinati coordinatarum hujus puneti valöres. Positis igirur y -f- u pro y et x'+ä pio x in asquationibus (1), (2), (9), omnes transformantur ad novam originem, cujus coordinata: in priori systemate

sunt x\ y h. e. ad punctum contacrus linearum, iEquatio«

nes, ita transformatae ^et in Seriebus ascendentibus vel per methodutn Rectanguli Analytici vel per notissimum Taylori

theortma evolutse, hanc formam in genere habebunt:

«= F(x+z)-y'=A + Bz -f-Cz2 4-Dz3 4- Ez4 X &c.

« =<p(*4-»)—y'—A'4- B'z 4-Cz2-fD'z34-E'z*4-See.

uzz:f{x'-+-z)—y czA"-{-B"z-{-:Cz*-{-D'z*+>E"z*-+- See.

Si vero consideramus, novam originem punctum esse quod-

dam trium linearum, fiat omnino necesse est «=o, quoties

z=iO et vice versa, quod fieri nequit, nisi A~ot A'=zo,

A"=:0. Primam igitur habemus sequationum conditionalium,

quae quanta constantia sequalionis (2) determinabunt, scilicet

A z= Ä (1)^»

Quum ^vero etiam A"=zo, Series evadunt

u 222 Bz -4*" Cz* -4- Dz3 4- Ez4 4* See.

a = B'z 4- Cz* D'z3 4- E'z4 + See.

a = B'z -f- Cz* 4 D"z* ^-4- 1Cz* 4- See.

Differential tnter ordinatas linearum (1) et (2) atque (1) ^et (3) hoc modo exptimatur:

&(i,*)^Ü-B')z+{CC)K*+<<D-D')Z'+(E—E')z*+&C.

A( 1,3)=( B- B")z+(C-C>»4-(D'-D")z E')z44-&c.

5

Ne intet lineas (i) et (2) alia Irnea (3) duci possit, fiar 0- mnino necesse est

A (1,2) < A 0,3)

sahen) proxime ad punctum contactus, h. e. abscissa z ad li¬

miten) 0 infinite appropinquante, In hoc vero casu theoria

functionum docet, rationem reciprocam expressionum A (1,2)

et A (1,3) a solis coéfficientibus pendere, ira scilicet ^ut,

cum Series ab eadem potestate ipsius z incipiunt, majorem

ea habeat valorem, _quas majorem habet primam coefficien-

tem; ideoque cum a diversis potesratibu? ipsius z incipiunt,

illa Series, cujus prima potestas inferior est, majorem Sem¬

per habeat valorem. Tunc quidem inasqualitas

A O.rO *<3 A (*»3)

in geneie adesse videretur hac conditione:

B — B' < B ^— B"

seu valöre B' inter valöres B et B" determinato. Sed qui-

cunque valör ipsi B' alius sit adsignatus ^quam B, talem Sem¬

per in nobis est ipsi B" adsignare valorem, ut intet' B et B'

sit inclusus. Ne igitur sit

B — B' > B ^— B'\

nec ideo inter lineas (i) et (2) alia linea (3) duci possit,

fiat omnino necesse est

B — B' zzz o

B zzz B' ... . (2)'

quas igitur secunda erit sequatio conditionalis. Hoc modo fiet:

A (i,a) = (C-C)z*+(D—D')z* +(E—E)z* + &c#

A(i,3)=(S-5>4-(C-C,>a-h(ö-D>5-t-(JE:-£/>^-h&c.

Ex speciali quodam valöre ipsius ß" nunc fieri potest B — B'' ~ o,

quo scilicet Series istae rursus ab eadem _potestate ipsius z in- cipient, earumque ratio ieciproca a primis coefficientibus (C-C') et (C—C") solis pendebit. Ut in priecedenti, tunc

quidem insequalitas

A (i,4) < A (1,3)

6

adesse videretur hac conditione:

C ^— C 4+ C ^— C'

seu valöre C' inter valöres C ^et C determinatoj sed qui.

ctinque valör ipsi C alius sie adsignatus quam C» talem sem-

per in nobis ^est ipsi C adsignare valorem, ut inter C et C'

sit inciuslis. Ne igituf sit c _ C" < c — c

h. e. A (1,3) < A (i ,2)

fiat omnino necesse est

c — C — o

C « C (3)' .

tertia aequatio conditionalis. Hoc in casu Series evadant:

Ai i,2) ⁼ {D—D') s* -h (E-#) 34 -+• &c.

A(i,3)= (C—C')z*+(D^—Z7>'-ME—E"j s4+- &c,

Kursus quidem fieri ^potest

C — C" = o,

quo Series ab eadem potestate ipsius z incipient; hinc vero sequitur quarta aequatio conditionalis

D — D' =: o

D ⁼ D' (4)'.

Ex eadem analogia quinta esset sequatio conditionalis

E ^— E' ^{= o}

E = E' (5)'

et sie porro.

4- 5.

Ex his conditionibus (1)', (2/, (3)', (4)', (5)', &c. quanta constantia jequationis (2) possumus determinare. Numerus i- gitur eonditionum necessariarum a nutnero quantorum con- stantium pendebit. Si ex. gr.

yz=Q{x)

linea esset primi ordinis, cujus quanta constantia in genere

sunt duo, scilicet

Tj s=s OC X /3 ^{• ■ • • • (4)>}

7

ad h»c determinanda _{opus esset} duabus conditionibus, scilicet

06 x /3—y = A ^{. , . . . .} (5),

06 B ^{• •} • • • t • 1 • • (6j •

Hoc modo quaritis oc, /3, determinatis, »quatio (4 exprimet Tangentem line»

y-F(x)A- ^{■ ■}

in puncto dato, cujus coordinat» sunt x, y.

Tangens contactum primi ordinis habere dicitur, quia tan- tummodo coefficiente prim» potestatis ipsius z seu in Serie Taylori prima coefficiente differentiali ad ^eamdeterminandam

opus est, Linea, qu» tria quanta constantia continet, quam

igitur ad determinandam secunda coefficiente differentiali ^0-

pus est- contactum secundi ordinis habere dicitur, et sie por-

* ro, — Line» superioris generis contactum inferioris ordinis

habere possunt; tunc vero non omnia quanta constantia ha-

rum linearum sunt determinata, sed quredam arbicraria.

5. §•

Duo hujusce methodi applicaf» sufficiant exempla, quo-

rum inprimo theorema Taylori, in secundo methodus Reqt- anguli Analytiei adhibeatur. Sit

y -=z F {x) ■ . . . . . (7)

Jinea qusecumque, cujus qureratur circulus osculans in puncto

quodam dato. Sit

(#•—a)2 -f- (y—b)7 s=s h2

i. e. y sas b + V h2— {x—a)z z=z (p (x) ^. . (8)

circulus ille osculans, cujus quanta constantia ci, b, h ita sunt determinanda, ne alius circulus

(ät—(y—B)z = H2

i. e. y = B ± V H2 — (x—J)z =/(*)... (9)

inter illum et lineam propositam duci possit. Line» (7), (g), (9) per theorema Taylori evolut» evadunt

8

?=*T*+o=^*)+«n*iV-i^'(*)+—rix)+_■2 ^&c.

f.J.

y~<P{x+i)~(p(x)±i(p\x)-i--(p,Xx)-{-—(p/'Xx) 4- &c.

2 2.J.

y—f{x+i)=:f(x)+if(x)+-f'(x)+—ff''(x) +₂ ^&c.

2.J,

Ut igitur linea (8) Osculans slc linea? (7), prima conditio

F(»)=^)=i±VÄ3-(x-fl)1 _(I0)

Ex speciait quodam valöre ipsius/(x) fieri potest

F{x) =f(x)=B±\,'H2—(x--A)* ^{. .} ; ^{. .} (10)',

quam ab caussam secundam habebimus conditioncm

F(x)zzXp'(x)=zZ£.— - 00*

V^2-—(*-a)a

Si vero rursus esset

F'(x)~f'(x)=zZp X ^—— (ii)',

\/&2-(x-A)z

tertia conditio daret

F"(x\=zQ"(x\=zZf

hZ

t/(h*-(x-a)*y

Nunc quidem rursus fieri potest m

. . . . . (12)';

9

sed ad quartam conditionem propterea non est fugiendumj

quia hoc casu sequationes (8), (9J, quorum quanta constan- tia _a, b, h, A, B, H iisdem tequationibus (io), (il), (ia)

et (io)', (it)', (12)' determinantur ^et aequalia igitur evadunt,

eundem circulum exprimunt. — Posito r, abscissa puncti da-

ti, pro x, ex »quationibus (10), (il), (12) quanta ß, b, h ita

detenninabuntur:

F(r) i-f-FVr)«

a =r -

.0

F"(O

Quantum h, quod heic significat radium circuli osculantis,

dicitur Radius Curvatnrcs Jinea:

y = FQt)

in puncto dato r, F (O*

6. §.

Sit

x*y ^— b*x — a3 = o (O

linea, cujus quaeratur tångens in puncto quodam dato x\ y, Positis x'-\-z pro x et y'~t-u pro y7 aquatio fit

(x'*y-b2x,~a'i)+(2xy-b2)Z"+'x'2u-+-2x'uZ"+-(y-)ru)z'3=::0. . (1/.

^quatio Tangentis in genere est

y cc x 13 C2),

cujus quanta constantia cc, ß detenninabuntur. iEquatio (2)

ad novam originem transformata fit

u = (ccx+ ß—y) + UZ (2)'

2

JO

• - •

Qaum vero « et s in duabus aequationibus (i)' et (a)' simul

evanescere debent, habebinius

x'2y>—b*x—aiz=:o=ic6X-i-@—y ^{. .} (3), quod supra in genere ita expressum est:

A = A\

Ex asquatione (a)' vidimus esse

B' = «,

ef per methodum Rectanguii Anaiytici fiet

_ b2—2x'ir

^=—T— ^•

X 2

Hane igitur habetimus secundam lequationem conditionalem

b2—2x1/

05 ~~

~~v* ... (4).

Ex asquarionibus (3) et (4) quanta eonstantia a et ß deter- ininamur, et linea {2) fit Tangens iinete («) in ^puncto dato

y.