DE
FUNOTIONIBUS ALGEBRAICIS DISSERTATIO CRITICA.
CUJUS PARTEM PRIMAM VENIA AMPL FAC. PIIILOS. UPSAL.
P R JE S I D E
Mag. HENRICO FALCK
MathemaUim & Philosophiae Naturalis Adjuncto
PRO GRADU PÖILOSOPHICO
Vi P.
PETRUS SAMUEL HUSS
Stip. Norberg. Norrlandus.
IN AUDIT. GUSTAV. DIE XIII JUNII MDCCCXXXIII.
H. A. M. S.
UPSA LI AE
EXCUDEBANT REGIAE AC ADEMI AE TYPOGRAPHI.
CONTRACTS PROSTEN
KYRKOHERDEN ÖFVER SOLEFTEA , LÅNGSELE,
EDS OCH MÜLTRA FÖRSAMLINGAR HÖGVÖRDIGE OCH VlDTBERÖMDE
HERR. boctor ABRAH. SUNDBERG
SAMT DESS FRU
född WALANGER
Min Hulda Moster!
Tacksamt och Vördnadsfullt
tillegnadt
af
PEHR SAM. HUSS
De Functionibus Algebraicis
Dissertatio Critica.
§. I.
JE)a cujuscunque videtur esse indoles progredient^ discipli-
nae,ut, quo magis ad^novas principiorum applicationes rapia.
turanimus et novis delecteturambitus disciplinae incrementis,
eo minus primas ipsas notiones critico cuidam examini sub- jiciendas curat, sed has tamquam elementaria qusedam axi-
ornata in eådem fere explicationis tenuitate vel demonstra- tionis jejunitate relinquit, quse ab ipso ortu scientiae obti-
nuit. Sic in Mathesi pura omnia jam i(a consummata et ab¬
soluta existimantur, ut haec disciplina prae ceteris exactae
nomine ornetur. Attamen, si ratio mathematicorum per hoc solum scientiae magis magisque nomen raeretur, quod
distinctam sollicite quserit notionum veritatumque inde de-
rivantium constructionem, haec vero constructio minime in perceptione quadam vel diagnosi rerurn praeter omnem con-
a .■
struentis operam propositarum veram vim suam exserit,
multa forsan adhuc in ipsis elementis observatu digna de»
prehendentur. Eundem vero mathesis, quam dicunt, pura in construendis et constructionis ope definiendis notionibus jure sibi vindicat rigorem, quo Semper gloriata, haud Sem¬
per autem gavisa fuit geometria. In animo igitur est fun¬
damentales aliquot functionum algebraicarum notiones In
examen vocare, ut eluceat, quae ad rectam vel completam
earum intelligentians nesessaria aut neglecta habeantur.
§. II.
Primo igitur loco nonnihil animadverti potest in ipsam vulgo receptam quantitatum mathematicarum in continuas
et discretas dislinctionem, ita ut ad geometriam illae, hse ad analysin referantur. Continuitas scilicet sequo nomine
tribuenda abstractis, quas tractat analysis, quantitatibus, at>
que concretis, geometri» adsignatis; neque vero sola geo¬
metria ejusmodi continua et concreta habet quanta; sed quaevis magnitudo, antequam per valorem suum hoc est ope
proportionis suas ad mensuram datam vel receptam abstracte exprimatur, ut quantitas continua consideranda. Deinde
alterum haud minus culpandum analyseos vulgo dividend»
occurrit principium» quo scilicet criterium arithmetices ab
algebra distinctivum in ipsa determinatione ponitur quan-
3 titatum istarum, qu® analysin a geometriå sejungere putan- tur, di&cretarum. Hic vero error eo nonnumquam proces-
8it, ut elementares ipsse arithmetices operatlones a praviå quadam et abstractå signandi methodo vim et lucem haurire perverse exlstimentur. Haud facile erit ex justo et sibi constantl principio limites consignare inter aritmeticam sensu
strictiori seu analysin inferiorem et algebram sensu latiori
seu analysin superiorem, neque errant, qui cum NEWTONO
hane ipsam matheseos partem Arithmetices nomine salutant Universalis.
§. III*
In condendo autem systemate mathematico neque pars arithmetica praetereunda neque ab algebraicå ordiendum.
Ad ipsum rigorem theoreticum pertinet, ut a specialibus
ad universaliora progrediatur tractatio, et simpliciores, quos
excipit arithmetica, casus pedetentim et haud interruptå
serie in generales, qua? ad algebram pertinent, mutentur,
neque tarnen hsec matheseos pars cum illa confundatur.
Cum vero omnis quantitas abstracta, sive per numerum
integrum illa exprimatur, sive per numerum fractum, sive denique per numerum, vel rectius quantitatem continuam, incomtr.ensurabilem , nihil aliud siC nisi quanti cujusdam
ad mensuram suam ratio, videtur quidem adsequata etcom*
4 —==
pleta proportionis expositio tum algebrse tum ipsi arithmeticas prsemittenda, Hoc autem ita taritum valet, ut neque alia
neque plura arithmetices elementa proportionum doctrinam praecedant oporteat, quam quae ad hane ipsam metiendi ar-
tem matheseos fundamentalem rite et complete tradendam
necessarla habeantur subsldia. Ejusmodi subsidiis non modo quattuor, ut loquuntur, species in numeris integris et fra-
ctis adnumeramus, sed modum quoque i-deam'quantitativ
incommensurabilis tum mente absolute concipiendre turn numeris utcumque approximate exprimendae, quarum con- struetionum aptissima radicum extractio prsebet exempla; Ne¬
que hanesenteniiam infirmat, quod homologorum qusestiones, Regula de Tri vulgo nuneupatae, absque omni proportionum
mentione enodari non modo possunt et debent, sed solent
quoque, prassertim natura nondum in artem mutatå» Aliud est
systema struere theoreticum, aliud practicam instituendo
aptam tractationem, quamvis haecseque acilludeundem servare
debeat construendi tenorem. Sed si nurnquam de prsemitten-
do primo numerorum integroium et fractorum calculo dubi-
tatum sit, altera tamen ex ejusdem arithmetices supellectile petenda incomrnensurabilium expositio tantossepius autmanca
fuit autex ipså algebrå, oujus principiis struendis inserviat, petita. Hocvero argumentum tanti est in omni theoriå mathe-
maticå momenli, ut suam sibi jure vindicet disquisitionem»
5
§. IV.
Ut igitur e prima arithmeticåexemplum singulare pe-
tamus, quasratur ex gr. J/ 15 — Primo quidem per ex- perimenta multiplicationis constabit, hane radicem inter 2
Sc 5 esse sitam; deinde autem e principiis pure arithmeti-
eis demonstrandum, nullam esse fractionem, qu® valorem hujus radicis sistat adaequatum, quippe cum omnis fractio,
minimis numeris expressa et ad potestatem quamcunque e- vecta, numquam in numerum integrum abeat. Priusquam
vero de rnethodo quadam valorena fractum appropinquantem computandi minima oriatur quaestio, necesse erit ante omnia disquirere, an alia omnino sit via, qua absque omni ejus-
modi appropinquandi rnethodo, absolute concipiatur radicis qusesit® quantitas. Nam omni, quse rem inveniendam do-
cer, rnethodo prsernittere debes distlnctam rei inveniendas
notionem. Adasquate vero concipi nequit radix quaslibet incommensurabilis, nisi continuitatis fere sirnilis in subsi-
dium vocetur idea, qua3 ipsis geometricis construendis in«
serviat. Si igitur duas fingarnus unitates abstractas, 9imut
ita crescentes, ut, quoties illa ad quamcunque pervenerit
fractionem, hsec simul tertiam ejusdem fractionis potestatem
contingat, necesse omnino erit, ut posterior illa unitas al 1- quando numero dato i5 eo certius aequetur, quod vel rapidius
quam uniformiter crescat, Valör autem, quem eodem tern-
6
poris roomenio prior unitas contingit, est revera ipsa illa
radicis quaesilsc quantitas absoluta) quå quidem sie adsquate
coacepfa, hoc solum restat, ut ad libitum per numeros pro»
xime exprimatur, ad quod theoretice perficiendum nihil
aliud opus est quam eadem illa multiplicandi experimenta^
quibus numerus proxime accedens integer debebatur, unde
ad hoc problema absolvendum ne minimum quidem ex al- gebrae partibus haurire convenit artificium. Quamvis au-
tem hoc modo temporis idearn fundamentalibus matheseos constructionibus necessariam ducamus, tantum nihilominus abest, ut cum K.ANTIO analysin constructionem quandam in tempore, geometriam vero constructionem in spatio po-
stulemus, ut contra utrobique nullarn constructionem nisi successivam contendamus; utrobique autem res jam constru*
ctas absque omni temporis successione simul concipi posse
per se liqueat.
§. V.
Ita explicatå rnethodo, quå absque omni numerorum
usu adsequata oriatur quantitatum incommensurabilium no- tio, proxime sequitur in systematicå quavis mathematum theoria, ut multiplicationis complete definiatur conceptus.
Nam haec ipsa notio essentiam constituit proportionum, qua-
rum doctrina primordiis ipsis algebrse minime deesse potest vel debet. Jure autem eo majore mireris, cur in tot tan-
forum auctorum operibus nusquam reperias responsionem quacstiunculas, quid significet locutio: quantum quoddam, ex.
gr. angulura, A per V 15 multiplicare, quo clarius pa-
tet, ne primam quidem lineam algebras präster hane notio-
nern rite pereeptam posse i mel 1 igi. Quo vero adeuratum produeti j/ I5 . A adquiramus conceptum , fractionibus
plus minusve appropinquantibus minime obnoxium, haud
absimili ingrediendum viå,quåin prtecedenti §. notio ipsius
1 3
\ / 15 construebatur. Necesse sei1 icet erit, ut quantitatem
illam concretam A et unitatem quandam abstractam 1 si- mul, sed in hacquaestione utramque uniforrniter, crescenlem fingamus, ita vero, ut ad eandem Semper primitiv! valorig
fractionem arabse simul perveniant. Tum vero valor, quem obtinet angulus A in puncto eodem temporis, quo unitas
valorem 15 nanciscitur, est ipsum illud, quod qua-
ritur, produetum absolutum. Haud dispari motu simulta-
neo et continuo concipiendus etiam non modo angulusquo«
tiens, si angulum A per 15 dividi oporteat, sed etiam
ratio vel proportio quotiens, si angulus A per alium an¬
gulum B dividendus, neutro autem neque per numeros neque per quantitates abstractas incommensurabiles expresso.
His tarnen multiplicationis &C divisionis significationibus ut.
cunque bene pereeptis non tota absolvitur, qua fundamenta
8 '
matheseos jaciantur, theoria. Ulterius scilicet demonstrari-
d» illse veritates, ad multiplicationem 8c divisionem perti-
nentes, quas aut axiomatum loco ponere aut ex sola ana- logiå multiplicatoris vel di visoris integri tamquam per se
satis evidentes concludere mos est. Qui quidem in demon-
itrando rigor neque adspemandus neque minutissime ex-
tendendus, quo nec in defectu nec in excessu peccetur. In
defectu sane peccant, qui in hac ré arithmeticam numero-
rum theoriam statim per saltum minime defendendum de algebraicis quantitatibus af&rmant; in excessu vero, qui
EUCLIDE duce demonstrare conantur ex. gr.axioma illud,
idern omnino prodire, sive omniasimul sivesingula deinceps
per eundem numerum integrum multiplicentur. Neque vero gravius reprehenderetur, qui ejusmodi veritalibus, etiamsi
de fractionibus arithmeticis agatur, ex ipsa harum fractio-
num theoria satis evidentias et lucis accedere contenderet.
Sed profecto culpandus videtur, qui theoriam integrorum
arthmeticam ad incommensurabilia usque sine debitå expli.
catione extendit. Quamobrem operse pretium ducimus theo¬
riam multipiicationi8 et divisionis incornmensurabilium ri-
gidiori subjicere constructioni.
