Standardní nejistota typu A

(1)

VÝZNAM STANOVENÍ NEJISTOTY MĚŘENÍ

• Mezinárodní výbor pro váhy a míry v závěru osmdesátých let vydal doporučení pro nahrazení chyb měření nejistotami.

• Dokument WECC 1990

• Přijímány národní i mezinárodní předpisy pro jednotnost vyjadřování nejistot měření.

• Prokazování věrohodnosti výsledků zkoušek nových výrobků,

• Umožnění srovnání výsledků s jinými laboratořemi a jejich uznání i na zahraničních trzích. Zavedení jednotné interpretace výsledků.

• Nejistota měření je parametr přidružený k výsledku měření, který charakterizuje rozptyl hodnot, které by mohly být důvodně přisuzovány k měřené veličině s určitou pravděpodobností.

Chyby měření

V praxi nejsou žádná měření, žádné měřící metody ani žádný měřící přístroj

absolutně přesné.

Dle působení se chyby dělí na:

• systematické

• náhodné

• hrubé

Dle zdroje se chyby dělí na chyby:

• přístroje

• metody

• pozorování

• vyhodnocení

Vyjadřujeme je jako chyby:

• absolutní ∆x dle vztahu ∆x=xm−xs (1)

• relativní δx dle vztahu

s s m s

x

x x

x x x

= −

=∆

δ (2)

Systematické chyby

• za stálých podmínek jsou stálé co se týče znaménka i hodnoty

• pro stanovení se používá vztah (1)

• lze je zmenšit pomocí korekcí a kompenzací, ne však úplně

Náhodné chyby

• nelze je vyloučit, protože působí zcela nahodile – jsou těžko předvídatelné

• mění se jejich velikost i znaménko dle předpokládaného rozdělení

• lze je určit statistickými metodami z opakovaných měření

• výsledkem měření je aritmetický průměr naměřených hodnot ∑

=

= ⁿ

i

xi

x n

1

• chyba je nejčastěji vyjádřena jako směrodatná odchylka měřeného souboru ^{( )} ₁ ⁱ¹⁽ ₁ ⁾

2 i 1

i 2

−

− =

∆

= ∑ ∑

=

n x x x n

s

n n

xi

i nebo jako

směrodatná odchylka aritmetického průměru ^{( ) ( )} ⁱ¹⁽₍ ₁₎⁾

2 i

−

=

= ∑

=

n n

x x n x x s s

n i

Hrubé chyby

• jsou zcela nevyzpytatelné

• znehodnotí celý experiment

• naměřené hodnoty, které výrazně

„vybočují z řady“, se z dalšího zpracování vyřazují

• omezení jejich výskytu:

o dodržování měřících postupů o dodržování podmínek měření o pozornost lidského faktoru

Výsledná chyba měření

Dána součtem systematické a náhodné chyby

ε

+

=

∆_x e ₍₃₎

a její max. hodnotu lze odhadnout jako

(

^x ^xs

)

^s

x_max= − +2

∆ ₍₄₎

(2)

Chyby metody jsou dány nedokonalostí či zjednodušením použité měřící metody (např. zanedbání některých členů měřícího obvodu)

Chyby pozorovací jsou osobními chybami pozorovatele. Jsou dány jeho nepozorností a/nebo nedokonalostí jeho smyslů. Lze stanovit chybu odečtu danou stupnicí měřícího zařízení.

Chyby výpočtové jsou dány aplikací zjednodušených vztahů při zpracování měření a také použitím linearizace,

interpolace, extrapolace, zaokrouhlováním a nedostatečným vyčíslováním konstant.

Začátek zkoušky

Redukce systematických chyb

Analýza nejistot typu B

Výpočet složek nejistoty typu B

Θ

=∆z^j uBj

Výpočet nejistoty typu B = _∑

i

u j

x u_B( ) ²_B

Výpočet standardní kombinované nejistoty u= u²A+uB²

Výpočet rozšířené nejistoty ^{U = k}^u^u, Vyjádření výsledku měření W=(w±uW)

Provedení opakovaného měření

Výpočet nejistot typu A

( ) ( 1)

1 2

A −

−

=

= ∑

=

n n

x x s u

n i

i

Standardní nejistota typu A

Spočítáme aritmetický průměr z opakovaného měření prováděného za stejných podmínek. Požaduje se min.10 měření.

∑=

= ⁿ

i

xi

x n

1

1 (5)

Standardní nejistota typu A je rovna výběrové směrodatné odchylce

aritmetického průměru.

( ) ( ) ( ) ( )

( 1)

1 i

2 i

A −

−

=

= ∑

=

n n

x x n x x s s x u

n

i (6)

kde s^{( )}xi je směrodatná odchylka měřeného souboru daná vztahem

( ) ( )

1

1 i

2 i

−

= ∑

=

n x x x s

n

i (7)

Standardní nejistota typu B

Nejistoty typu B jednotlivých zdrojů Z_j se určí jako výběrová směrodatná odchylka aritmetického průměru zdroje

Θ

=∆^zj

u_Bj (8)

kde ^∆^zj představuje max. dovolenou chybu zdroje a parametr ^Θ má hodnotu podle zvoleného pravděpodobnostního rozdělení

= 3

Θ pro rovnoměrné rozdělení (základní výstupní kontrola výrobce),

= 6

Θ pro trojúhelníkové rozdělení (při vyspělé technologii výrobce),

= 2

Θ pro normální rozdělení (platí pro přesné přístroje),

= 3

Θ pro normální rozdělení,. (platí pro měřidla s velmi vysokou přesností, které lze použít jako etalony).

Normální rozdělení se volí pro funkční systém řízení jakosti výrobce.

(3)

Součtem kvadrátů všech zdrojů nejistot typu B se dostane kvadrát standardní nejistoty typu B veličiny x.

= ∑

i 2

u i

) x (

u_B _B (9)

Sumací kvadrátů standardních nejistot typů A a B se dostane kvadrát kombinované standardní nejistoty u.

2

2 u

u

u= _A+ _B (10)

Průběžný výsledek měření se udává s touto standardní nejistotou u .

Konečný výsledek měření se udává s rozšířenou nejistotou

U

, která je dána vztahem

u k

U = _u ₍₁₁₎

kde kuje koeficient rozšíření.

pro ∆Z_max =^a je k =3 , pro ∆Zmax =^b je k =2.

pro ∆Z_max =^a je ^k ⁼ ⁶ ^≈²^,⁴⁵

pro ∆Zmax =^a je ^k ⁼ ³ ^≈¹^,⁷³

pro ∆Z_max =â a ^b ⁼ â₃ je ^k⁼²^,³² pro ∆Z_max =â a ^b⁼ ₂â je ^k ^≅²^,¹⁹ pro ∆Z_max =â a ^b⁼ ^{2 a}₃ je ^k ^≅²^,⁰⁴

Nejistota měření se zaokrouhlí na jednu, max. na dvě platné cifry vždy směrem nahoru (např. 0,0327 na 0,04)!!

!!Výjimka: pokud nejistota začíná číslicí 1 nebo 2, tehdy zaokrouhlujeme VŽDY na dvě platné cifry.

Mezivýpočty nejistoty A a B_j obvykle zaokrouhlujeme na dvě platné cifry.

Výsledek se zapíše ve tvaru

(

w uW

)

W = ± . jednotka (12) tak, aby nejistota opravovala poslední platnou cifru (2 cifry) výsledku.

(4)

Nejistoty nepřímých měření

Nejistoty naměřených veličin se přenáší přes vztahy na veličiny vypočtené.

Pokud veličinu určujeme ze vztahu

( )

x_i f

y= , (13)

pak nejistota nekorelované veličiny se určí podle vztahu

( ) ∑ ( )

=

= ^m

i

iu x

A y

u

1 2

2 . (14)

Pro koeficienty citlivosti Ai platí ( )

i i

i x

x A f

∂

= ∂ . (15)

Pro korelované veličiny platí

( ) _∑ ( ) _{∑ ∑} ( )

=

−

<

=

+

= ^m

i m

i j

j i j i m

i

iu x AAu x x

A y

u

2 1 1

2

2 2 , (16)

PŘÍKLADY A PRAVIDLA

1. Správný zápis výsledku s nejistotou je d = (17,873 ± 0,003) mm

2. Nesprávné jsou následující zápisy:

f = (11,43 ± 0,728) cm správně f = (11,4 ± 0,8) cm R = (252,7 ± 6)Ω

správně R = (253 ± 6)Ω C = (1,2 ± 0,05)µF

správně C = (1,20 ± 0,05)µF

Zápis v semilogaritmickém tvaru (číslo z intervalu (1 - 10) krát mocnina deseti).

c = (2,99792 ± 0,00015) · 10⁸ m·s^-1

Příklad:Měření pomocí rtuťového teploměru Měříme pomocí rtuťového teploměru se stupnicí po 0,2°C, max. dovolená chyba teploměru podle výrobce je 0,4°C a předpokládáme rovnoměrné rozdělení a koeficient rozšíření 2.

Spočtěte rozšířenou nejistotu tohoto měření.

Řešení:

nejistota odečtu u = 0,1/√3 °C= 0,06°C nejistota měření u = 0,4/√3 °C= 0,23°C Kombinovaná nejistota měření typu B u=√(0,06²+ 0,23²) = 0,237°C zaokrouhleno na 0,24°C Rozšířená nejistota

U=2 x 0,24°C, po zaokrouhlení0,5°C