Niklas Eriksen Tentamen i ALA C 2009-04-16

Niklas Eriksen Tentamen i ALA C 2009-04-16

MATEMATIK

Chalmers tekniska h¨ ogskola och G¨ oteborgs universitet

Tentamen i Analys och linj¨ ar algebra C f¨ or K, Kf och Bt, TMV036C och TMV035C, 16 april 2009, 14.00–18.00.

Telefonjour: Jacob Sznajdman, 0762 - 721860

Inga hj¨alpmedel, f¨orutom penna och linjal, ¨ar till˚ atna. Exempelvis ¨ar r¨aknedosa inte till˚ aten.

OBS: Motivera dina svar v¨al. Det ¨ar i huvudsak ber¨akningarna och motiveringarna som ger po¨ang, inte svaret. Skriv tydligt.

Information om n¨ar tentan ¨ar f¨ardigr¨attad och tid f¨or visning av tentan kommer att l¨amnas p˚ a kurshemsidan.

Lycka till!

Den ordinarie tentan, f¨or de som inte via hemtal eller duggor kvalificerat sig f¨or den lilla tentan, best˚ ar av samtliga nedanst˚ aende tal. Gr¨ansen f¨or godk¨ant ¨ar 22 po¨ang. Prelimin¨ara gr¨anser f¨or h¨ogre betyg ¨ar 28 po¨ang f¨or fyra och 36 po¨ang f¨or femma.

De som klarat hemtal eller dugga p˚ a minst tv˚ a av kursens fyra delar kan v¨alja att g¨ora den lilla tentan, som best˚ ar av uppgifterna 1-8. Maximala antalet po¨ang ¨ar 32 och gr¨ansen f¨or godk¨ant ¨ar 14. Den som saknar godk¨ant hemtal eller godk¨and dugga p˚ a en eller tv˚ a delar av kursen m˚ aste ocks˚ a klara minst 5 po¨ang p˚ a var och en av dessa missade delar. Till de tv˚ a f¨orsta uppgifter h¨arf¨or sig till del 1, uppgifterna 3 och 4 till del 2 och s˚ a vidare. Den som siktar p˚ a h¨ogre betyg ¨an vad hemtal och duggor visat, f˚ ar ¨aven g¨ora den ordinarie tentan. D˚ a r¨aknas det b¨asta betyget.

1. L¨os initialv¨ardesproblemet x

(t) = Ax(t) f¨or A =

µ 0 2

−3 5

¶ ,

givet att x(0) = (1, 4)

. (4p)

2. Ber¨akna l¨angden av kurvan F (t) = (ln t, 2t, t

) f¨or 1 ≤ t ≤ e. Gl¨om inte

kvadreringsregeln. (4p)

3. Ljudniv˚ an stiger under tentan i V˚ agr¨orelsel¨ara och p˚ a din medhavda ljud- m¨atare (p˚ a den tentan ¨ar alla hj¨alpmedel till˚ atna) m¨ater du niv˚ an till 80 dB. Genom att str¨acka ut m¨atare en meter ˚ at ¨oster (h¨oger) minskar ljud- niv˚ an med 2 dB och en meter norrut (fram˚ at) minskar ljudniv˚ an med 1,5 dB. I vilken riktning v¨axer ljudniv˚ an snabbast, hur snabbt v¨axer ljudniv˚ an i den riktningen och hur starkt ¨ar ljudet hos den person som sitter snett framf¨or dig, tv˚ a meter till v¨anster och sex meter fram˚ at? I det senare fallet

f˚ ar du anv¨anda linj¨ar approximation. (4p)

Var god v¨and!

Niklas Eriksen Tentamen i ALA C 2009-04-16

4. Best¨am det st¨orsta och minsta v¨ardet av f(x, y) = 2x

− y

p˚ a omr˚ adet

givet av y ≥ x

och x ≥ y

. (4p)

5. Ber¨akna Z

D

x dA

eller Z

D

(x − y) dA

¨over fyrh¨orningen med h¨orn i (0, 0), (2, 1), (3, 3) och (1, 2). (4p)

6. Ber¨akna Z Z Z

K

e

dV

¨over kroppen K som ges av x

+ y

≤ z ≤ 1. (4p) 7. Ber¨akna kurvintegralen

Z

Γ

y(y − x

) dx + xy(3 + y) dy,

d¨ar Γ ¨ar randen till den nedre halvan av enhetscirkelskivan, det vill s¨aga x

+ y

≤ 1, y ≤ 0, genoml¨opt medurs. (4p) 8. Ber¨akna fl¨odet av F (x, y, z) = (x

, y

, z

) ut genom halvklotet x

+ y

+

z

≤ 4, z ≥ 0. (4p)

9. Antag att A ¨ar en symmetrisk matris som diagonaliseras A = V DV

. Dess egenv¨arden betecknas λ

≤ λ

≤ · · · ≤ λ

.

(a) Visa att om y = V

x s˚ a g¨aller x

Ax = y

Dy.

(b) Visa att y

Dy = P

i

λ

y

(c) Visa att det minsta v¨arde vi kan f˚ a p˚ a uttrycket y

Dy om kyk = 1

¨ar λ

.

(d) Visa att det minsta v¨arde vi kan f˚ a p˚ a uttrycket x

Ax om kxk = 1

¨ar λ

.

(6p) 10. Best¨am och klassificera samtliga lokala extremv¨arden till funktionen

f (x, y) = x

+ y

− 2x

− 4xy − 2y

,

samt det st¨orsta v¨ardet av funktionen l¨angs den slutna kurvan x

+y

= 32.

(6p)

11. Betrakta vektorf¨altet F (x, y, z) = (3yz, xz, 0). Ber¨akna arbetsintegralen Z

Γ

F dr = Z

Γ

3yz dx + xz dy,

d¨ar kurvan Γ ¨ar sk¨arningskurvan mellan ytorna z = x

+1 och z = 2x

+y

.

Betraktad ovanifr˚ an genoml¨ops kurvan moturs. (6p)

Institutionen f¨ or matematiska vetenskaper Chalmers tekniska h¨ ogskola

Niklas Eriksen

Tentamen i tmv036C och tmv035C, Analys och linj¨ ar algebra C f¨ or K, Kf och Bt

L¨ osningar 2009-04-16

1. L¨os initialv¨ardesproblemet x

(t) = Ax(t) f¨or A =

µ 0 2

−3 5

¶ ,

givet att x(0) = (1, 4)

.

L¨osning: Egenv¨ardena ber¨aknas genom 0 = det(A − λI) =

¯ ¯

¯ ¯ −λ 2

−3 5 − λ

¯ ¯

¯ ¯

= −λ(5 − λ) + 6

= λ

− 5λ + 6

= (λ − 2)(λ − 3).

Egenv¨ardena ¨ar s˚ aledes 2 och 3. Ekvationerna (A − λI)v = 0 f¨or dessa v¨arden l¨oses av v

= (1, 1)

och v

= (2, 3)

.

Den generella l¨osningen blir d˚ a x(t) = c

µ 1 1

¶

e

+ c

µ 2

3

¶ e

. F¨or t = 0 f˚ as µ

1 4

¶

= c

µ 1

1

¶ + c

µ 2 3

¶ ,

som l¨oses av c

= −5 och c

= 3. Problemet l¨oses allts˚ a av x(t) = −5

µ 1 1

¶ e

+ 3

µ 2 3

¶

e

.

2. Ber¨akna l¨angden av kurvan F (t) = (ln t, 2t, t

) f¨or 1 ≤ t ≤ e. Gl¨om inte kvadreringsregeln.

L¨osning: B˚ agl¨angden kan ber¨aknas av integralen

S = Z

t

sµ dx dt

¶

+

µ dy dt

¶

+

µ dz dt

¶

dt,

d¨ar (x, y, z) = F (t) = (ln t, 2t, t

). Vi f˚ ar

S = Z

t=1

r 1

t

+ 4 + 4t

dt

= Z

t=1

sµ 1 t + 2t

¶

dt

= Z

t=1

µ 1 t + 2t

¶ dt

= £

ln t + t

¤

t=1

= 1 + e

− 0 − 1 = e

.

3. Ljudniv˚ an stiger under tentan i V˚ agr¨orelsel¨ara och p˚ a din medhavda ljudm¨atare (p˚ a den tentan ¨ar alla hj¨alpmedel till˚ atna) m¨ater du niv˚ an till 80 dB. Genom att str¨acka ut m¨atare en meter ˚ at ¨oster (h¨oger) minskar ljudniv˚ an med 2 dB och en meter norrut (fram˚ at) minskar ljudniv˚ an med 1,5 dB. I vilken riktning v¨axer ljudniv˚ an snabbast, hur snabbt v¨axer ljudniv˚ an i den riktningen och hur starkt ¨ar ljudet hos den person som sitter snett framf¨or dig, tv˚ a meter till v¨anster och sex meter fram˚ at? I det senare fallet f˚ ar du anv¨anda linj¨ar approximation.

L¨osning: Om vi l¨agger x-axeln ˚ at h¨oger och y-axeln fram˚ at f˚ ar vi att ljudniv˚ ans gradient ¨ar ∇f = (−2, −3/2). Ljudniv˚ an v¨axer allt- s˚ a snabbast i just denna riktning, med farten k∇f k = p

4 + 9/4 = 5/2. I en punkt (−2, 6) fr˚ an din position kommer ljudniv˚ an ges av 80 + (−2, −3/2) · (−2, 6) = 80 + 4 − 9 = 75.

4. Best¨am det st¨orsta och minsta v¨ardet av f(x, y) = 2x

−y

p˚ a omr˚ adet givet av y ≥ x

och x ≥ y

.

L¨osning: De tv˚ a kurvorna y = x

och x = y

korsar varandra i l¨os- ningarna till b˚ ada dessa ekvationer. Vi f˚ ar y = x

= y

, vilket ger 0 = y

− y = y(y

− 1), som har de reella l¨osningarna y = 0 och y = 1.

F¨or dessa v¨arden f˚ ar vi x = y

= 0 och x = y

= 1.

2

I det inre av omr˚ adet m˚ aste ett eventuellt extremv¨arde antas i punkter d¨ar ∇f = 0. Vi f˚ ar 0 = ∇f = (4x, −2y), vilket ger x = y = 0. Denna punkt ligger p˚ a randen.

Om vi parametriserar den nedre randkurvan, y = x

, f˚ ar vi g

(t) = f (t, t

) = 2t

− t

. Studium av derivatan ger 0 = g

(t) = 4t − 4t

= 4t(1 − t

), med nollst¨allen i x = t = 0 och x = t = ±1. ˚ Aterigen f˚ as de tv˚ a sk¨arningspunkterna samt en punkt utanf¨or omr˚ adet.

Den ¨ovre randkurvan, x = y

, parametriseras till g

(t) = f (t

, t) = 2t

− t

, vilket ger 0 = g

(t) = 8t

− 2t = 2t(4t

− 1). Nollst¨allena blir denna g˚ ang y = t = 0 och y = t = ±1/2.

De intressanta punkterna ¨ar s˚ aledes (0, 0), (1, 1) och (1/4, 1/2). Funk- tionsv¨ardena ¨ar f(0, 0) = 0, f(1, 1) = 1 samt f(1/4, 1/2) = 2/16 − 1/4 = −1/8. Minimum ¨ar d¨arf¨or −1/8 och maximum 1.

5. Ber¨akna Z

D

x dA

eller Z

D

(x − y) dA

¨over fyrh¨orningen med h¨orn i (0, 0), (2, 1), (3, 3) och (1, 2).

L¨osning: F¨or att kunna integrerar ¨over detta omr˚ ade delar vi upp det i tre delar. Vi f˚ ar

Z

D

f (x, y) dA = Z

x=0

Z

y=x/2

f (x, y) dy dx +

Z

x=1

Z

y=x/2

f (x, y) dy dx +

Z

x=2

Z

y=2x−3

f (x, y) dy dx.

Sedan ber¨aknar vi varje del f¨or sig. Om vi v¨aljer integranden f(x, y) = x f˚ ar vi

Z

x=0

Z

y=x/2

x dy dx = Z

x=0

[xy]

dx

= Z

x=0

3x

2 dx

=

· x

2

¸

0

= 1

2 ,

3

Z

x=1

Z

y=x/2

x dy dx = Z

x=1

[xy]

dx

= Z

x=1

µ 3x 2

¶ dx

=

· 3x

4

¸

1

= 3 − 3 4 = 9

4 och

Z

x=2

Z

y=2x−3

x dy dx = Z

x=2

[xy]

dx

= Z

x=2

µ −3x

2 + 9x

2

¶ dx

=

· −x

2 + 9x

4

¸

2

= −27 2 + 81

4 + 4 − 9 = 27

4 − 5 = 7 4 . Summan blir s˚ aledes 9/2.

Om vi v¨aljer integranden f(x, y) = x − y ser vi att den ¨ar udda kring linjen x = y, och omr˚ adet ¨ar symmetriskt kring denna linje. Integralen blir s˚ aledes noll.

6. Ber¨akna Z Z Z

K

e

dV

¨over kroppen K som ges av x

+ y

≤ z ≤ 1.

L¨osning: Vi integrerar med pol¨ara koordinater och f˚ ar Z Z Z

K

e

dV = Z

θ=0

Z

r=0

Z

z=r²

e

r dz dr dθ

= Z

θ=0

Z

r=0

³ e − e

´ r dr dθ

= 2π Z

0

Ã

er − 2re

2

! dr

= 2π

"

er

2 − e

2

#

0

= π (e − e − 0 + 1) = π.

4

7. Ber¨akna kurvintegralen Z

Γ

y(y − x

) dx + xy(3 + y) dy,

d¨ar Γ ¨ar randen till den nedre halvan av enhetscirkelskivan, det vill s¨aga x

+ y

≤ 1, y ≤ 0, genoml¨opt medurs.

L¨osning: Kurvan ¨ar sluten och vi kan s˚ aledes anv¨anda Greens formel.

Eftersom kurvan genoml¨ops i negativ led s¨atter vi till ett minustecken.

Vi f˚ ar

Z

Γ

y(y − x

) dx + xy(3 + y) dy

= − Z Z

x²+y²≤1,y≤0

µ ∂(3xy + xy

)

∂x − ∂(y

− x

y)

∂y

¶ dA

= − Z Z

x²+y²≤1,y≤0

¡ 3y + y

− 2y + x

¢ dA

= − Z

θ=π

Z

r=0

(r sin θ + r

)r dr dθ

= − Z

π

· r

sin θ 3 + r

4

¸

0

dθ

= −

· − cos θ

3 + θ

4

¸

π

= − µ −2

3 + π 4

¶

= 8 − 3π 12 .

8. Ber¨akna fl¨odet av F (x, y, z) = (x

, y

, z

) ut genom halvklotet x

+ y

+ z

≤ 4, z ≥ 0.

L¨osning: Vi anv¨ander Gauss sats och f˚ ar Z Z

∂K

F · n dS = Z Z Z

K

∇ · F dV

= Z Z Z

K

3(x

+ y

+ z

) dV

= 3 Z

θ=0

Z

ϕ=0

Z

ρ=0

ρ

ρ

sin ϕ dρ dϕ dθ

= 6π

· ρ

5

¸

0

[− cos ϕ]

= 192π 5 .

5

9. Antag att A ¨ar en symmetrisk matris som diagonaliseras A = V DV

. Dess egenv¨arden betecknas λ

≤ λ

≤ · · · ≤ λ

.

(a) Visa att om y = V

x s˚ a g¨aller x

Ax = y

Dy.

(b) Visa att y

Dy = P

i

λ

y

(c) Visa att det minsta v¨arde vi kan f˚ a p˚ a uttrycket y

Dy om kyk = 1 ¨ar λ

.

(d) Visa att det minsta v¨arde vi kan f˚ a p˚ a uttrycket x

Ax om kxk = 1 ¨ar λ

.

L¨osning:

(a) Vi har

y

Dy = (V x)

DV x = x

V

DV x = x

Ax.

(b) Multiplicerar vi y

D f˚ ar vi (λ

y

, λ

y

, · · · , λ

, y

) och skal¨ar- produkten mellan denna vektor och y ger sedan svaret.

(c) Vi har

y

Dy = X

i

λ

y

≥ X

i

λ

y

= λ

X

i

y

= λ

kyk

= λ

.

Vi kan allts˚ a inte f˚ a n˚ agot l¨agre v¨arde. F¨or y = (1, 0, · · · , 0) uppn˚ as v¨ardet λ

.

(d) Eftersom V ¨ar ortogonal g¨aller kyk = kV xk = kxk. D¨armed f¨oljer av ovanst˚ aende att x

Ax ≥ λ

f¨or kxk = 1. Den vektor som svarar mot y = (1, 0, · · · , 0) ¨ar den egenvektor som h¨or till egenv¨ardet λ

. Om vi kallar den v

g¨aller

v

Av

= v

λ

v

= λ

kv

k

= λ

.

10. Best¨am och klassificera samtliga lokala extremv¨arden till funktionen f (x, y) = x

+ y

− 2x

− 4xy − 2y

,

samt det st¨orsta v¨ardet av funktionen l¨angs den slutna kurvan x

+y

= 32.

L¨osning: Eftersom funktionen ¨ar deriverbar ¨overallt s¨oker vi punkter d¨ar gradienten ¨ar noll. Vi f˚ ar

0 = ∇f = (4x

− 4x − 4y, 4y

− 4x − 4y),

6

vilket ger x

= y

med reella l¨osningar x = y. Insatt i de ursprungliga ekvationerna ger detta 0 = 4x

− 8x = 4x(x

− 2), med l¨osningar x = 0 och x = ± √

2. Det finns allts˚ a tre kritiska punkter.

Hessianen ges av H(x, y) =

µ A B

B C

¶

=

µ 12x

− 4 −4

−4 12y

− 4

¶

F¨or (x, y) = (± √ 2, ± √

2) f˚ ar vi AC − B

= 400 − 16 = 384 > 0 och A = 20 > 0, s˚ a d¨ar har vi minpunkter. F¨or (x, y) = (0, 0) har vi AC − B

= 16 − 16 = 0. Denna unders¨okning hj¨alper oss s˚ aledes inte d¨ar.

Vi betraktar nu v¨ardet i punkter n¨ara origo. Antag att h, k ¨ar sm˚ a och betrakta f (0 + h, 0 + k) = h

+ k

− 2h

− 4hk − 2k

. Vi ser d˚ a att f¨or h = k g¨aller f(h, h) = 2h

− 8h

= 2h

(h

− 4) ≤ 0 och f¨or h = −k g¨aller f(h, −h) = 2h

≥ 0. Origo ¨ar s˚ aledes en sadelpunkt.

L¨angs kurvan g(x, y) = x

+ y

− 32 = 0 f˚ ar vi st¨orsta v¨ardet genom att betrakta Lagrangianen

L(x, y, λ) = f (x, y)+λg(x, y) = x

+y

−2x

−4xy−2y

+λ(x

+y

−32) och finna nollst¨allena f¨or dess gradient. Vi f˚ a

4x

− 4x − 4y + 4λx

= 0;

4y

− 4x − 4y + 4λy

= 0;

x

+ y

= 32.

Den f¨orsta ekvationen minus den andra blir 4(1+λ)(x

−y

) = 0, vilket ger x = y eller λ = −1. Om vi har x = y ger den tredje ekvationen 2x

= 32, vilket f¨orenklas till x = y = ±2. Om vi har λ = −1 f¨orenklas den f¨orsta ekvationen till −4(x + y) = 0, vilket ger x = −y. Den tredje ekvationen ger d˚ a x = −y = ±2. De intressanta punkterna

¨ar s˚ aledes ±(2, 2) och ±(2, −2), med funktionsv¨arden f(±2, ±2) = 16 + 16 − 8 − 16 − 8 = 0 och f (±2, ∓2) = 16 + 16 − 8 + 16 − 8 = 32.

Det senare ¨ar det maximala v¨ardet.

11. Betrakta vektorf¨altet F (x, y, z) = (3yz, xz, 0). Ber¨akna arbetsintegra-

len Z

Γ

F dr = Z

Γ

3yz dx + xz dy,

7

d¨ar kurvan Γ ¨ar sk¨arningskurvan mellan ytorna z = x

+ 1 och z = 2x

+ y

. Betraktad ovanifr˚ an genoml¨ops kurvan moturs.

L¨osning: Vi kan anv¨anda Stokes sats, som s¨ager att Z

Γ

F dr = Z Z

D

∇ × F · n dS,

d¨ar ytan D har Γ som rand. Normalen ¨ar uppt˚ ariktad om kurvan genoml¨ops moturs sett uppifr˚ an.

H¨ar har vi ∇ × (3yz, xz, 0) = (−x, 3y, −2z). Sk¨arningskurvan Γ ges av x

+ 1 = z = 2x

+ y

, vilket ger x

+ y

= 1. Ytan S kan v¨aljas p˚ a flera s¨att, men n˚ agon av de givna ytorna verkar enklast. V¨aljer vi z = x

+ 1 f˚ ar vi, med g(x, y, z) = z − x

− 1 att

n dS = µ ∂g

∂x , ∂g

∂y , ∂g

∂z

¶

dx dy = (−2x, 0, 1) dx dy.

D¨armed har vi Z

Γ

3yz dx + xz dy = Z Z

x²+y²≤1

(−x, 3y, −2z) · (−2x, 0, 1) dx dy

= Z Z

x²+y²≤1

2x

− 2z dx dy

= 2 Z Z

x²+y²≤1

x

− (x

+ 1) dx dy

= −2 Z Z

x²+y²≤1

dx dy = −2π.

8