Del A 15 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica

(1)

Övningstentamen i MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp Tentamen består av 30 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag!

Hjälpmedel: Penna, radergummi och linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet!

Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell.

Vektorer , dess belopp a, matriser , osv. betecknas enligt konventionen i kompendieserien "Något om...".

För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen.

Lycka till! Bertil

Låt vektorerna 2, 1, 3 , 3, 0, 4 och 3, 1, 1 . Del A

15 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.

1.Bestäm längden av 3 . (1p)

a 2 17 b 3 c 3 13 d 3 . 3 e Inget av a till d.

2.Bestäm en enhetsvektor i riktningen 5 . (1p)

a ¹₃ 2, 1, 2 b 15, 0, 20 c ¹₅ 3, 0, 4 d ¹₃ 2, 1, 2 e Inget av a till d.

3. Låt punkterna A och B ha ortsvektorerna respektive . Sök ortsvektorn för den punkt P som ligger på sträckan AB fem gånger så långt från A som från B. (1p)

a ¹₆ 13, 5, 11 b ¹₆ 11, 7, 25 c ¹₆ 7, 11, 53 d ¹₆ 17, 1, 17 e Inget av a till d.

4.Bestäm skalären s så att vektorn s blir vinkelrät mot . (1p)

a Solve s 0 b 2 c 2 d ⁵₂ e Inget av a till d.

5.Beräkna vinkeln mellan och positiva z-axeln. (1p)

a arccos^ ¹₅^ b ^Π₃ c ^Π₂ d ArcCos ^{0,0,1 .}

.

 e Inget av a till d.

6.Bestäm projektionen av på . (1p)

a b ₁₁⁵ 3, 1, 1 c ₁₁⁷ 3, 1, 1 d ₁₁⁵ 3, 1, 1 e Inget av a till d.

7. En kraft har storleken 10 N och verkar i punkten A som har som ortsvektor mot punkten B som har som ortsvektor.

Bestäm . (1p)

a ¹⁰₅₁ 1, 1, 7 b ¹⁰₇ 0, 2, 3 c ¹⁰

7 1, 1, 7 d ¹⁰

13 0, 2, 3 e Inget av a till d.

8.Bestäm vektorprodukten . (1p)

a 24 b 4, 17, 3 c 4, 17, 3 d 4, 17, 3 e Inget av a till d.

9. Låt 7 3

6 1 . Beräkna 2 . (1p) a 3 4

5 5 b 9 8

1 1 c 9 1

8 1 d 1 1

8 3 e Inget av a till d.

10.Givet matriserna 3 2, 2 4 och 3 4. Vilken matrismultiplikation är möjlig? (1p)

a b ¹ c d e Inget av a till d.

11. Sök en matris så att 2 2

2a11 3a12 a12

2a21 3a22 a22 . (1p) a 2 1

1 3 b 2 0

3 1 c Finns ej d 1 2

0 3 e Inget av a till d.

1

(2)

12. Beräkna

4 3 0

15 7 2

2 5 0

. (1p)

a 28 b 28 c 48 d Determinant

4 3 0

15 7 2

2 5 0

 e Inget av a till d.

13.Låt 2 5

4 10 . Bestäm ¹. (1p) a ¹₄ 2 4

5 10 b ¹₄ 10 4

5 2 c ej inverterbar d Inv e Inget av a till d.

14.Bestäm alla egenvärden till 4 1 2 1 . (1p) a SolveDet4 1

2 1  Λ 0 b 1, 2 c 2, 3 d 2, 3 e Inget av a till d.

15.Bestäm en egenvektor till det minsta egenvärdet till matrisen i föregående uppgift. (1p) a 4, 5 b 4, 5 c 1, 2 d 2, 1 e Inget av a till d.

Del B

15 poäng med fokus på modellering och Mathematica.

16̅20. Sök arbetet som uträttas då en kraft med storleken 5 N i riktning flyttar en låda 30 m i riktning . 16.Bestäm . (1p)

a 5 b ⁵ c ⁵ d ⁵

. e Inget av a till d.

17.Bestäm förflyttningsvektorn . (1p)

a 30 b ³⁰ c ³⁰ d ³⁰

.

e Inget av a till d.

18.Bestäm arbetet. (1p)

a b c . d e Inget av a till d.

19̅24. Sök skärningspunkten mellan planet 2x 3 y z 5 0 och den linje som går genom de två punkter som har respektive som ortsvektorer.

19. Bestäm en normal till planet. (1p)

a 2, 3, 1 b 2, 3, 1 5 c 4, 6, 2 d 1, 3, 2 e Inget av a till d.

20. Bestäm ortsvektorn P0 för en punkt i planet. (1p)

a 2, 3, 1 b 2, 3, 1 c 0, ⁵

3, 0 d 1, 1, 6 e Inget av a till d.

21. Bestäm ortsvektorn L0 för en punkt på linjen. (1p)

a b c

2 d

2 e Inget av a till d.

22. Bestäm en riktningsvektor för linjen. (1p)

a b c

2 d

2 e Inget av a till d.

23. Bestäm det t som bestämmer skärningspunkten och spara den som regel. (1p)

a ͜ Solve _P0 t _L0 . 0 b Solve _P0 t _L0 . 0

c Solve _P0 _L0 t . 0 d Solve _P0 _L0 t . 0

2

(3)

24. Bestäm skärningspunkten. (1p)

a t L0 . b L0 t . t

c L0 t . d L0 t . t e Inget av a till d.

25̅26. En fondplacerare delar upp 25000 kr i tre poster greed, is och beautiful, varav de två första tillsammans är tre gånger så stor som den tredje. Dessa poster placeras sedan i olika värdepapper där den årliga avkastningen är 5%, 4% respektive 10%.

Totala avkastningen vid årets slut är 1400 kr.

25. Formulera ekvationssystemet ekv som bestämmer posternas storlek. (1p)

a ekv

1 1 1 1 1 3 5 4 10

.

greed is beautiful

25 000 0 1400

b ekv

1 1 1

1 1 3

5 100

4 100

10 100

.

25 000 0 1400

c ekv

1 1 1

1 1 3

5 100

4 100

10 100

.

25 000 0 1400

d ekv

1 1 1 1 1 3 5 4 10

.

25 000 0 1400 e Inget av a till d.

26. Lös ekv med lämplig funktion i Mathematica. Spara lösningen på regelform i poster. (1p) a poster Solv ekv b poster Solve ekv

c poster Solve ekv d Solve ekv poster e Inget av a till d.

27̅30. Anpassa y k x m med (MKM) till mätvärdena x 1 0 1

y 1 1 1 .

27. Ange i det överbestämda ekvationssystemet k

m . (1p)

a  1 0 1 1 1 1 b

1 1 0 1 1 1

c

1 1 1 0 1 1

d

1 1 1 0 1 1

28. Ange normalekvationerna till det överbestämda ekvationssystemet k

m . (1p)

a k

m b k

m

c k, m d k, m e Inget av a till d.

29. Bestäm k och m med lämplig funktion i Mathematica. (1p)

a Solve k, m b Fit 1 0 1

1 1 1 , x, 1 , x

c Minimize 1 0 1

1 1 1 , x, 1 , x d Fit 1 0 1

1 1 1 , x , x e Inget av a till d.

3

(4)

30. Antag att k och m är sparade som regler i kÅm. Rita modellen där även mätpunkterna är markerade. Pynta! (1p)

a PlotkÅm, x, 1, 1 , PlotRange 1.1, 1.1 , PlotStyle Blue, AxesLabel "x", "y" ,

Epilog PointSize 0.03 , Red, Point 1 0 1 1 1 1 

b Plotk x m kÅm, x, 1, 1 , PlotRange 1.1, 1.1 , PlotStyle Blue,

AxesLabel "x", "y" , Epilog PointSize 0.03 , Red, Point 1 0 1 1 1 1 

c Plotk x m : kÅm, x, 1, 1 , Range 1.1, 1.1 , PlotStyle Blue,

d Plotk x m . kÅm, 1, 1 , PlotRange 1.1, 1.1 , PlotStyle Blue,

4