MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp, 2021-06-03
Hjälpmedel: Penna, radergummi och linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet!
Tentamen består av 30 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag!
Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell.
Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...".
För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen.
Lycka till! Bertil
Låt vektorerna 2, 1, 3 , 3, 0, 4 och 3, 1, 1 . Del A
15 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.
1. Beräkna 2 2 . (1p) Lösningsförslag: Räkna på.
2 4, 1, 1
Längden .
2 .
6 2
Rätt svarsalternativ: b
a 57 b 6 2 c 2 13 d 2 2 e Inget av a till d.
2. Bestäm en enhetsvektor i riktningen 4. (1p) Lösningsförslag: Uttrycket 4 saknar mening.
Rätt svarsalternativ: e
a 111 3, 1, 1 b 12, 4, 4 c 1
11 13, 1, 1 d
.
e Inget av a till d.
3. Låt punkterna A och B ha ortsvektorerna respektive . Sök ortsvektorn för den punkt P på sträckan AB som ligger dubbelt så långt från B som från A. (1p)
Lösningsförslag: Linjärkombination 2
3
7 3, 2
3,2 3
Rätt svarsalternativ: b a 13 8, 1, 5 b 13 7, 2, 2 c 16 7, 11, 53 d 12 5, 1, 1 e Inget av a till d.
4. Bestäm skalären s så att vektorn s blir vinkelrät mot . (1p)
Lösningsförslag: Vi vet att s s 0, så
Solve s . 0
s 7 3
Rätt svarsalternativ: d a 73 b 256 c 256 d 73 e Inget av a till d.
5. Bestäm y-komposanten av projektionen av på . (1p)
Lösningsförslag: Eftersom vi har gott minne, behöver vi inte härleda formeln för projektion.
. .
0, 1, 0
0, 5 11, 0
Rätt svarsalternativ: c
a b 115 3, 1, 1 c .
. 0, 1, 0 d 115 e Inget av a till d.
6. En kraft har storleken 10 N och verkar i samma riktning som . Bestäm . (1p) Lösningsförslag: Som vanligt gör vi uppdelningen F F .
10 . 6, 0, 8
Rätt svarsalternativ: d a 10 3, 0, 4 b 5 3, 0, 4 c 15 3, 0, 4 d 2 3, 0, 4 e Inget av a till d.
7. Kraften N angriper i en punkt som har m som ortsvektor. Bestäm momentet kring origo. (1p) Lösningsförslag: Räkna på, .
4, 17, 3
Rätt svarsalternativ: d a 24 b 314 c 4, 17, 3 d 4, 17, 3 e Inget av a till d.
8. Låt 1 1 . Beräkna 2 . (1p) Lösningsförslag: Går fint!
1 1 1
1
. 2
. 2 IdentityMatrix 1 4
Rätt svarsalternativ: e a 4 2
2 4 b Går ej c . 2IdentityMatrix 2 d 1 3
3 1 e Inget av a till d.
9. Sök en matris så att 2 2 a11 3a12 a12
a21 3a22 a22 . (1p) Lösningsförslag: Visst hittar vi en sådan!
a11 a12
a21 a22
. 1 0 3 1 a11 3 a12 a12
a21 3 a22 a22
Rätt svarsalternativ: b a 1 1
1 3 b 1 0
3 1 c Finns ej d 1 1
0 3 e Inget av a till d.
10. Givet determinanten
5 1 2
1 1 3
2 3 4
. Bestäm komplementet till plats 2, 3 . (1p)
Lösningsförslag: Vi får direkt komplementet Cij 1i j ij till plats i, j , där ij är motsvarande underdeterminant och 1i j hämtas från “schackbrädet”. Så
C23 1 2 3Det 5 1 2 3 17
Rätt svarsalternativ: a a 17 b 25 c 17 d 25 e Inget av a till d.
11.Studera ekvationssystemet
2 4 1
4 6 5 6 8 4
x y z
2 1 1
och fullborda sedan Gauss eliminationssteg genom att fylla i den saknade
koefficienten i det utökade systemet
2 4 1 2
0 7 3
0 0 7 1
. (1p)
Lösningsförslag: Gaussa på,
2 4 1 2
4 6 5 1
6 8 4 6
2 2 2 1
2 4 1 2
0 2 7 3
6 8 4 1
Räcker hit
2 4 1 2
0 2 7 3
0 4 7 5
2 4 1 2
0 2 7 3
0 0 7 1
.
Rätt svarsalternativ: c
a 4 b 3 c 2 d 1 e Inget av a till d.
12. Låt 2 2
1 3 . Bestäm 1. (1p)
Lösningsförslag: Vi har a11 a12
a21 a22
1 1 a22 a12
a21 a11
1 2 3 2 1
3 2
1 2
1 8
3 2 1 2 .
Inverse 2 2 1 3
3 8
1 4 1 8
1 4
Rätt svarsalternativ: a
a 18 3 2
1 2 b Inv2 2
1 3
c Invers2 2
1 3 d Inverse2 2
1 3 e Inget av a till d.
13. Låt 1 4
1 a22 . Bestäm a22 så att får ett egenvärde Λ 2. (1p) Lösningsförslag: Svaret ges av sekularekvationen.
SolveDet 1 4 1 a22
2 1 0
0 1 0
a22 2
Rätt svarsalternativ: d a 2 b 1 c 1 d 2 e Inget av a till d.
14.Bestäm en egenvektor till det minsta egenvärdet till 2 1 1 2 . (1p) Lösningsförslag: Egenvärdena ges av sekularekvationen.
sekEkv Det 2 1
1 2 Λ 1 0 0 1 0 Λ2 4Λ 3 0
Solve sekEkv Λ 1 , Λ 3
Sedan en egenvektor till Λ 1; 2 1 1 2
x
y 1 x
y
x y 0
x y 0. Ok, parallella! Så exempelvis e 1, 1 .
Eigensystem 2 1 1 2
3 1
1, 1 1, 1
Rätt svarsalternativ: c a 1, 2 b 1, 2 c 1, 1 d 1, 1 e Inget av a till d.
15.Anpassa modellen y k x till y x3 i intervallet x 0, 1 med kontinuerlig (MKM). (1p)
Lösningsförslag: Vi har att söka mink01x3 k x2 x. Det vill säga lösa k ur k01x3 k x2 x 0, vilket kommer stegvis här
0 1
x3 k x2 x D , k 0 Solve
k2 3
2 k 5
1 7 2 k
3 2
5 0
k 3 5
En liten bild kan väl inte skada
Plotx3, 3 5
x, x, 0, 1 , AxesLabel x , PlotLabels Automatic
x3 3 x
5
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x 0.2
0.4 0.6 0.8 1.0
Rätt svarsalternativ: b a k 23 b k 35 c k 127 d k 59 e Inget av a till d.
Del B
15 poäng med fokus på modellering och Mathematica.
16̅20.En rektangulär dörr OABC, där OA är 1 m och OC 2 m har gångjärn på OC. Inför ett ortonormerat xyz–system och placera dörrens hörn O i origo och C på z–axeln. Dörren är i läge 1 stängd med A på x–axeln och i läge 2 öppnad genom att den vrides 120 kring z–axeln.
16. Sök ortsvektorn 1 till hörnet A i läge 1. (1p) Lösningsförslag: Vi får direkt.
1 1, 0, 0 1, 0, 0
Rätt svarsalternativ: a
a 1, 0, 0 b 1, 2, 0 c 1, 1, 0 d 1, 2, 0 e Inget av a till d.
17. Låt 1 vara ortsvektorn till hörnet C och bestäm ortsvektorn 1 till hörnet B i läge 1. (1p) Lösningsförslag: Vektoralgebra eller identifiering!
1 0, 0, 2 ; 1 1 1
1, 0, 2
Rätt svarsalternativ: d
a 1 1 b 1 1 c 1, 2, 0 d 1 1 e Inget av a till d.
18. Bestäm ortsvektorn 2 till hörnet A i läge 2. (1p)
Lösningsförslag: Enhetscirkeln 120 23Π radianer positiv vridning kring z–axeln.
2 Cos 120 , Sin 120 , 0
1 2, 3
2 , 0
Rätt svarsalternativ: c a Sin 120 , Cos 120 , 0 b Sin 120 , 0, Cos 120
c Cos2 Π
3 , Sin2 Π
3 , 0 d Cos2 Π
3 , 0, Sin2 Π
3 e Inget av a till d.
19. Bestäm ortsvektorn 2 till hörnet B i läge 2. (1p) Lösningsförslag: Vektoralgebra!
2 1 2
1 2, 3
2 , 2
Rätt svarsalternativ: d
a 1 2 b 2 1 c 0, 2, 0 d 1 2 e Inget av a till d.
20. Bestäm vinkeln mellan 1 och 2. (1p) Lösningsförslag: Vektoralgebra!
ArcCos 1. 2
1. 1 2. 2
cos 1 7
10 Rätt svarsalternativ: a
a ArcCos 1. 2
1. 1 2. 2
b Solve 1. 2 1. 1 2. 2Cos Θ , Θ
c ArcCos 1. 2
1 2
d ArcCos 1 2
1. 1 2. 2
e Inget av a till d.
21.Bestäm kraften Fx, Fy så att den resulterande kraften på båten blir 1000.0 N i positiv x–riktning. 1p
Lösningsförslag: Vi får direkt med vektoralgebra.
NSolve Fx, Fy 250 Cos 38 , Sin 38 1000, 0
Fx 802.997, Fy 153.915
Rätt svarsalternativ: b
a NSolve Fx, Fy 250 Cos 38 , Sin 38 1000, 0
b NSolve Fx, Fy 250 Cos 38 , Sin 38 1000, 0
c NSolve Fx, Fy 250 Sin 38 , Cos 38 1000, 0
d NSolve Fx, Fy 250 Sin 38 , Cos 38 1000, 0
e Inget av a till d.
22̅25. Sök avståndet från den punkt som har som ortsvektor till planet x y z 5 0.
22. Bestäm en normal till planet. (1p)
Lösningsförslag: Vi avläser direkt 1, 1, 1 , eller varför inte gånger en konstant skild från noll.
5 1, 1, 1
5, 5, 5
Rätt svarsalternativ: b
a 1, 1, 1 b 5 1, 1, 1 c 1, 1, 1 d 1, 1, 1 5 e Inget av a till d.
23. Bestäm ortsvektorn P0 för en punkt i planet. (1p)
Lösningsförslag: Ortsvektor P0 för punkt i planet, exempelvis genom att prova xP0, 1, 2 får vi
P0 x, y, z . Solve x y z 5 0, x . y 1, z 2 First 4, 1, 2
Rätt svarsalternativ: c
a x, 0, 0 . Solve x y z 5 0, x First b 5, 1, 1
c x, y, z . Solve x y z 5 0, x . y 1, z 2 First d 4, 1, 2 e Inget av a till d.
24. Bestäm vektorn från P0 för en punkten. (1p) Lösningsförslag: Vi får direkt
P0
2, 2, 1
Rätt svarsalternativ: b
a P0 b P0 c P0 d ˾ P0 e Inget av a till d.
25. Bestäm slutligen det eftersökta avståndet. (1p)
Lösningsförslag: Avståndsvektorn är projektionen av på , slutligen det eftersökta avståndet som . Norm .
.
1
3
Rätt svarsalternativ: c a Norm . b Norm
.
c Norm .
. d .
. e Inget av a till d.
26̅29. Anpassa y a bx2 med (MKM) till mätvärdena x 0 1 2 y 5 6 10 .
26. Ange i det överbestämda ekvationssystemet a
b . (1p)
Lösningsförslag: De tre mätpunkterna möblerar och i det överbestämda ekvationssystemet a
b för de sökta konstanterna a och b, där
, 0 1 2
5 6 10 ; 1, 1, 1 , 2 1 0
1 1 1 4
Rätt svarsalternativ: e
a 0 1 2
5 6 10 b
0 1 1 1 2 1
c
0 5 1 6 2 10
d
0 0 1 1 2 4
e Inget av a till d.
27. Ange normalekvationerna till det överbestämda ekvationssystemet a
b . (1p) Lösningsförslag: Normalekvationerna a
b får vi genom att förmultiplicera båda sidor i det överbestämda ekvationssystemet a
b med transponatet till , alltså .
. . a, b . 3 a 5 b, 5 a 17 b 21, 46
Rätt svarsalternativ: e a a
b b . .a
b .
c . . a, b . d . . a, b . e Inget av a till d.
28. Bestäm a och b med lämplig funktion i Mathematica. (1p)
Lösningsförslag: Naturligtvis är det Solve som är lämplig (som vanligt). I detta fall blir det en enkel match att lösa eftersom ekvationerna tydligen är okopplade, så slutligen det efterlängtade.
aÅb NSolve . . a, b . a 4.88462, b 1.26923
Men, men...bland alternativen är det Fit som är rätt och snabbaste vägen då vi har linjär (MKM)!
Fit 0 1 2
5 6 10 , 1, x2, x
1.26923 x2 4.88462
Rätt svarsalternativ: d
a Fit 0 1 2
5 6 10 , x, x2, x b Fit 0 1 2
5 6 10 , x, 1 , x
c Minimize 0 1 2
5 6 10 , 1, x2, x d Fit 0 1 2
5 6 10 , 1, x2, x e Inget av a till d.
29. Antag att a och b är sparade som regler i aÅb. Rita modellen och mätpunkterna. Välj färger, pynta axlarna osv! (1p) Lösningsförslag: En bild piggar alltid upp.
Plota b x2 . aÅb, x, 0, 2 , PlotStyle Blue, AxesLabel x, y ,
Epilog PointSize 0.03 , Red, Point 0 1 2 5 6 10
0.5 1.0 1.5 2.0 x
6 7 8 9 10 y
Rätt svarsalternativ: d
a PlotaÅb, x, 0, 2 , PlotStyle Blue, AxesLabel x, y ,
Epilog PointSize 0.03 , Red, Point 0 1 2 5 6 10
b Plota b x2 . a, b aÅb, x, 0, 2 , PlotStyle Blue, AxesLabel x, y ,
Epilog PointSize 0.03 , Red, Point 0 1 2 5 6 10
c Plota b x2 . aÅb, x, 0, 2 , PlotStyle Blue, AxesLabel x, y ,
Epilog PointSize 0.03 , Red, Point 0 1 2 5 6 10
d Plota b x2 . aÅb, x, 0, 2 , PlotStyle Blue, AxesLabel x, y ,
Epilog PointSize 0.03 , Red, Point 0 1 2 5 6 10
e Inget av a till d.
30. Vid ett LP-problem var bivillkoren y x
y 2 x 1. Vilket alternativ återger denna situation i grönt! (1p)
Lösningsförslag: Det är bara att rita motsvarande likheter som delar in världen i fyra delar, göra en enkel test i var och en av dem och sedan färglägga. Vi inser att exempelvis punkten 0, 1 uppfyller bivilkoren. Då duger bara svarsalternativ c).
Rätt svarsalternativ: c
a
3 2 1 1 2 3 x
3 2 1 1 2 3 y
b
3 2 1 1 2 3 x
3 2 1 1 2 3 y
c
3 2 1 1 2 3 x
3 2 1 1 2 3 y
d
3 2 1 1 2 3 x
3 2 1 1 2 3 y
e Inget av a till d.
