Del A 15 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica

(1)

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp, 2021-01-12

Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet!

Tentamen består av 30 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag!

Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell.

Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...".

För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen.

Lycka till! Bertil

Låt vektorerna 2, 1, 3 , 3, 0, 4 och 3, 1, 1 . Del A

15 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.

1.En regelbunden sexhörning har hörnpunkterna markerade enligt figur. Punkten P ligger mitt på sidan CD. Sök vektorn

PE uttryckt i vektorerna AB och BC. 1p ^A

B C

D

E F

A P

Lösningsförslag: Det gamla vanliga. Istället för att gå direkt till mormor, PE, går vi omvägen för att köpa glass i kiosken vid D.

Häng med PE PD DE ¹₂CD  AB ¹₂ AB BC  AB ¹₂BC ³₂AB.

Rätt svarsalternativ: c a ¹₃BC ³₂AB b ²₃BC ⁵₃AB c ¹₂BC ³₂AB d ¹₂BC ⁵₃AB e Inget av a till d.

2. Bestäm längden av 2 . (1p)

Lösningsförslag: Först lite multiplikation och addition till , sedan längden . 2

. 7, 2, 2

57

Rätt svarsalternativ: a

a 57 b Abs 2 c 3 13 d 2 2 e Inget av a till d.

3. Låt punkterna A och B ha ortsvektorerna respektive . Sök ortsvektorn för punkten som ligger på sträckan AB, dubbelt så långt från A som från B. (1p)

Lösningsförslag: Stega på till ²₃ . 2

3

8 3, 1

3, 5 3^

Rätt svarsalternativ: d a ¹₂ 5, 1, 1 b ¹₃ 7, 2, 2 c ¹₂ 9, 3, 5 d ¹₃ 8, 1, 5 e Inget av a till d.

4. Bestäm skalären s så att vektorn s blir vinkelrät mot . (1p)

Lösningsförslag: Vi vet att s s 0, så

Solve s . 0

s 7 3^

Rätt svarsalternativ: a

a ⁷₃ b ⁷₃ c Solve s 0 d ₂₅⁶ e Inget av a till d.

(2)

5. Beräkna vinkeln mellan och negativa y-axeln. (1p) Lösningsförslag: Vinkeln direkt ur definition på skalärprodukt.

ArcCos 0, 1, 0 . .



Π

2 Rätt svarsalternativ: c

a arccos^ ¹₅^ b ^Π₃ c ^Π₂ d ArcCos ^{0, 1,0}

.

 e Inget av a till d.

6. Bestäm z-komponenten av projektionen av på . (1p)

Lösningsförslag: Eftersom vi har gott minne, behöver vi inte härleda formeln .

. 3 5

11 Rätt svarsalternativ: d

a b ₁₁⁵ 3, 1, 1 c ₁₁⁵ 0, 0, 1 d ₁₁⁵ e Inget av a till d.

7. En kraft har storleken 10 N och verkar i samma riktning som . Bestäm arbetet då flyttar en låda från den punkt som har m som ortsvektor till den som har m som ortsvektor. (1p)

Lösningsförslag: Som vanligt gör vi uppdelningen av och finner arbetet F F .

10 .

. Nm

2 Nm

Rätt svarsalternativ: d a 10 Nm b 2 Nm c 10 Nm d 2 Nm e Inget av a till d.

8. Kraften N angriper i en punkt som har m som ortsvektor. Bestäm momentet kring origo. (1p) Lösningsförslag: Räkna på,

4, 17, 3

Rätt svarsalternativ: e a 24 Nm b 4, 17, 3 Nm c 4, 17, 3 Nm d 4, 17, 3 Nm e Inget av a till d.

9.Studera enhetskvadraten, det vill säga med sidan 1, se figur. Låt i, i 1, , 4, vara ortsvektorerna till dess numrerade hörn. Vilken figur erhålles efter transformationen 1 1

1 0 ⁱ? 1p ₁ ^x

1 y

1 2

3 4

Lösningsförslag: Efter multiplikation av de fyra ortsvektorerna enligt receptet i problemtexten 1 1

1 0 . 0 1 1 0 0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0 inser vi att...

Rätt svarsalternativ: d

a

1 1 x

1 y

1 2

3

4 b ¹ ² ^x

1 y

1 2

3 4

c

1 1 x

1 y

1 2 3 4

d

1 1 x

1 y

1

2 3

4

e Inget av a till d.

(3)

10. Låt 1 1 . Beräkna 2 . (1p) Lösningsförslag: Otillåten subtraktion!

Rätt svarsalternativ: e a 1 1

1 1 b . 21 0

0 1 c . 21 1

1 1 d 1 3

3 1 e Inget av a till d.

11. Sök matrisen 3 3 så att vektorerna och blir varandras spegelbilder i xz-planet. (1p)

Lösningsförslag: Om x, y, z ska tydligen gälla x, y, z . En stunds eftertanke visar att en nätt fix i enhetsmatrisen gör jobbet.

1 0 0 0 1 0 0 0 1

. x y z

x y z True

Rätt svarsalternativ: c

a

1 1 1

1 0 0

b

1 0 0 0 1 0

0 0 1

c

1 0 0

0 1 0

0 0 1 d

0 1 0

12. Beräkna

5 0 2

1 1 3

2 0 4 . (1p)

Lösningsförslag: Räkna på! Utveckla längs andra kolonnen med många nollor och schackbrädet i färskt minne

5 0 2

1 1 3

2 0 4

0 1 5 2

2 4 0 5 4 2 2 24. Eller

Det

5 0 2 1 1 3 2 0 4



24

Rätt svarsalternativ: a a Det

5 0 2 1 1 3 2 0 4

 b 24 c 48 d Determinant

5 0 2 1 1 3 2 0 4

 e Inget av a till d.

13. Låt 2 2

1 3 . Bestäm ¹. (1p)

Lösningsförslag: Vi har a11 a12

a21 a22

1 1 a22 a12

a21 a11

1 2 3 2 1

3 2

1 2

1 4

3 2 1 2 .

Inverse 2 2 1 3 

3 4

1 2 1 4

1

2 Rätt svarsalternativ: b

a ¹₄ 2 1

2 3 b Inverse 2 2

1 3  c ¹₄ 3 2

1 2 d Inv 2 2

1 3  e Inget av a till d.

14. Låt 1 5

3 13 . Bestäm en vektor x, y sådan att 2 . (1p)

Lösningsförslag: Tydligen har vi egenvärdesformulering, där är egenvektor till egenvärdet 2 till . Undrar om 2 verkligen är det... Visst är 2 0, så en tillhörande egenvektor ur första raden 1 2 x 5 y 0 x 5 y, exempelvis e 5, 1 . Samtliga vektorer t 5, 1 , där t skilt från noll duger, som här med t 1.

Eigensystem 1 5 3 13 

(4)

14 2 1, 3 5, 1

Rätt svarsalternativ: b a 4, 5 b 5, 1 c 1, 2 d 4, 5 e Inget av a till d.

15. Bestäm alla egenvärden till 2 1 1 2 . (1p)

Lösningsförslag: Egenvärdena ges av sekularekvationen, Λ 0 2 Λ² 1² 0 2 Λ 1 Λ 2 1 Λ 1, 3 .

SolveDet 2 1

1 2 Λ 1 0

0 1  0

Λ 1 , Λ 3

Rätt svarsalternativ: e

a SolveDet2 1

1 2 Λ 0 b SolveDet2 1

1 2 Λ0 1

1 0 0

c SolveDet2 1

1 2 Λ1 0

0 1 0 d SolveDetΛ2 1

1 2 1 0

0 1 0 e Inget av a till d.

Del B

15 poäng med fokus på modellering och Mathematica.

16̅19.Ett flygplan håller alltid farten 50 m s. Låt x–axeln peka österut och y–axeln norrut. En dag blåser det 5 m s i riktning 1, 1 . Använd vinkelnΘräknad positiv moturs från positiva x–axeln för att bestämma den riktning som flygplanet ska välja för att resan ska gå rakt österut och vad blir den resulterande farten?

16. Teckna flygplanets sökta enhetsriktning . (1p) Lösningsförslag: Det är bara att följa receptet.

Cos Θ , Sin Θ ;

Rätt svarsalternativ: e

a Cos Θ , Sin Θ b Cos Θ , Sin Θ

c Sin Θ , Cos Θ d Θ, 1 e Inget av a till d.

17. Teckna flygplanets hastighet . (1p)

Lösningsförslag: Med vanlig nedbrytning av en vektor i sina två atomer har vi flygplanets hastighet u .

50

50 cosΘ, 50 sinΘ

Rätt svarsalternativ: d

a 50 b 50 Cos Θ c 50 d 50 e Inget av a till d.

18. Teckna vindhastigheten . (1p)

Lösningsförslag: På samma sätt vindens hastighet v . 5 Cos 45 , Sin 45

 5 2 , 5

2 ^

Rätt svarsalternativ: b

a 5 Cos 225 , Sin 225 b 5 Cos 45 , Sin 45

c 5 1, 1 d 5 Norm 1, 1 e Inget av a till d.

19. Formulera frågeställningen som en vektorekvation där även planets resulterande fart w österut ingår. Lös ut Θ och w. (1p) Lösningsförslag: Rita en figur så inser vi att w 1, 0 .

(5)

x y

Θ

NSolve w 1, 0 , 0 Θ Π 2



Θ 0.0707697, w 53.4104

Rätt svarsalternativ: a

a Solve w 1, 0 , 0 Θ ^Π

2 b Solve w 0, 1 , 0 Θ ^Π

2

c Solve w 1, 0 , 0 Θ ^Π

2 d Solve w 0, 1 , 0 Θ ^Π

2

20. Bestäm en normal till det plan som går genom punkterna 1, 1, 6 och 2, 3, 1 och är parallellt med linjen s . (1p) Lösningsförslag: Vi känner två vektorer i planet så normalvektorn blir

1, 1, 6 2, 3, 1 8, 2, 4

Rätt svarsalternativ: e

a 1, 1, 6 2, 3, 1 b 1, 1, 6 2, 3, 1

c 1, 1, 6 2, 3, 1 d 1, 1, 6 2, 3, 1 e Inget av a till d.

21. Bestäm skärningspunkten mellan planet 2x y z 3 och den linje som går genom origo och har som riktningsvektor. (1p)

Lösningsförslag: Först planets normal och en "punkt" P0 i planet.

2, 1, 1 ;

P0 0, 3, 0 ; Sedan linjen.

;

L0 0, 0, 0 ;

Så linjens ekvation i planets ekvation bestämmer antalet s steg vi behöver ta från L0 längs linjen för att nå planet.

ess Solve L0 s P0 . 0 First

s 3

4^

Slutligen (ortsvektorn för) den sökta skärningspunkten.

L0 s . ess

9 4, 3

4,3 4^ Eller allt i ett

s . Solve s 0, 3, 0 . 2, 1, 1 0 First

9 4, 3

4,3 4^

Rätt svarsalternativ: b

a s . Solve s 2, 1, 1 . 0, 3, 0 0 First b s . Solve s 0, 3, 0 . 2, 1, 1 0 First c s . Solve s 0, 3, 0 . 2, 1, 1 0 First d s . Solve s 2, 1, 1 . 0, 3, 0 0 First e Inget av a till d.

22. Planet ax y bz 3 0, där a och b är konstanter, innehåller den punkt som har som ortsvektor och är parallellt med . Bestäm a och b. (1p)

Lösningsförslag: De två villkoren möblerar ett ekvationssystem för de två sökta konstanterna.

(6)

Solve 3 a 1 b 3 0, Planet innehåller given punkt a, 1, b . 0 Planets normal

a 1, b 1

a Solve 3 a 1 b 3 0,

a, 1, b 0

b Solve 3 a 1 b 3 0,

a, 1, b . 0

c Solve 3 a 1 b 3 0,

a, 1, b 0

d Solve 3 a 1 b 0,

a, 1, b . 0

23. Sök avståndet från den punkt som har som ortsvektor till det plan som går genom origo och har som normalvektor. (1p) Lösningsförslag: Först en vektor från en punkt i planet till “ ”; P0 0, 0, 0 . Sedan är det bara att projicera den på på normalen så har vi direkt avståndsvektorn ^._. och slutligen sökta avståndet .

Norm . .

 6

5 Rätt svarsalternativ: a

a Norm ^._.  b Norm ^.

.  c Norm ^.

.  d Norm ^.

.  e Inget av a till d.

24. Vid analys av svängningar i mekaniska system får man egenvärdesproblemet Λ , där kallas styvhetsmatris som beror på fjädrande element och massmatris, båda symmetriska, samt Λ egenvärden och till Λ hörande egenvektor som vanligt. Skriv om till den standardform du känner igen och bestäm egenvärden och egenvektorer om 5 1

1 2 och 2 0 0 1 . (1p)

Lösningsförslag: Förmultiplicera båda sidor med ¹ så får vi ¹ ¹Λ Λ med ¹ , och vi känner igen vårt vanliga egenvärdesproblem. Då och är stora är metoden inte bra. Man bör "till varje pris" undvika att beräkna ¹, och utnyttna att och är symmetriska. Som synes nedan blir inte ¹ det för oss. Som tröst kan nämnas att det finns effektiva algoritmer som direkt ger sig på ursprungsproblemet, det sk generaliserade egenvärdesproblemet, Λ , med bevarande av symmetrier.

Dessa ligger långt utanför denna kurs, men Mathematica kan dem naturligtvis Inverse 2 0

0 1 . 5 1 1 2

5 2

1 2

Eigensystem

3 ³₂

1, 1  ¹₂, 1

Eigensystem 5 1

1 2 , 2 0

0 1  Direkt på Λ

3 ³₂

1, 1  ¹₂, 1

a EigensystemInverse5 1

1 2.2 0

0 1 b Eigensystem5 1

1 2.Inverse2 0 0 1

c EigensystemInverse2 0

0 1.5 1

1 2 d Eigensystem2 0

0 1.Inverse5 1 1 2

25.Två stearinljus har exakt samma cylindriska form, men på grund av olika stearinblandning i dem brinner de ner på 4 respektive 5 timmar. Antag att de tänds klockan 19:00 på julafton. Låt ljusen vara 1 julmeter höga från början och bestäm väntetiden t i timmar tills det ena ljuset är dubbelt så högt som det andra, för första gången? 1p

(7)

Lösningsförslag: Om de har höjden 1 julmeter från början, så är höjden efter väntetiden t timmar 1 ₄^t respektive 1 ₅^t julmeter.

Nu är det bara att klä frågan i matematisk dräkt och bestämma väntetiden t till önskat ögonblick. Kom bara ihåg att sätta 2:an på rätt sida. Det långsambrinnande är alltid högst.

T Solve1 t 5 2 1

t

4  First

t 10 3 ^

Väntetiden är alltså 3¹₃ timmar, dvs 3 timmar och 20 min, så klockan 22:20 händer det. Klockan 24:00 har båda ljusen brunnit ner så midnatt råder med det meditativa 0 2 0 i evig julefrid. Resan ner kan vi åskådliggöra, tillsammans med lämplig mätsticka, så här

Plot 1 ^t

4 t 4

0 t 4

, 1 ^t

5 t 5

0 t 5

, t, 0, 6 , PlotStyle Orange, Magenta ,

AxesLabel t, None , Epilog Brown, Thick, Line t, 0 , t, 1 t 5

 . T

1 2 3 4 5 6 t

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

a Solve1 ^t

5 2 1 ^t

4 b Solve 1 5 t 2 1 4 t

c Solve1 ^t

5 2 1 ^t

4 d Solve 2 1 5 t 1 4 t e Inget av a till d.

26̅29. Anpassa y ax² b med (MKM) till mätvärdena x 1 2 3 y 2 3 4 .

26. Ange i det överbestämda ekvationssystemet , där a, b är modellens parametrar. (1p)

Lösningsförslag: De tre mätvärdena möblerar och i det överbestämda ekvationssystemet för de sökta parametrarna i , där

, 1 2 3

2 3 4 ;

 ², 1, 1, 1  1 1

4 1 9 1

Rätt svarsalternativ: d

a 1 2 3 2 3 4 b

1 2 2 3 3 4

c

1 1 4 1 9 1

d 1 4 9

1 1 1 e Inget av a till d.

27. Ange normalekvationerna till det överbestämda ekvationssystemet . (1p)

Lösningsförslag: Normalekvationerna får vi genom att förmultiplicera båda sidor i det överbestämda ekvationssystemet med transponatet till , .

Rätt svarsalternativ: c

a b . . .

c . . . d . . . e Inget av a till d.

28. Bestäm a och b med lämplig funktion i Mathematica. (1p)

Lösningsförslag: Fit är snabbaste vägen till målet då vi, som här, har linjär (MKM)! Ordningen på funtionerna i spelar ingen roll, 1, x² eller x², 1 går lika bra.

Fit 1 2 3

2 3 4 , 1, x², x

(8)

0.244898 x² 1.85714

Rätt svarsalternativ: a

a Fit 1 2 3

2 3 4 , 1, x², x b Fit 1 2 3

2 3 4 , a, b , x

c Minimize 1 2 3

2 3 4 , 1, x², x d Fit 1 2 3

2 3 4 , a, b , x e Inget av a till d.

29. Antag att a och b är sparade som regler i aÅb. Rita modellen där även mätpunkterna är markerade. Välj färger, pynta axlarna osv! (1p)

Lösningsförslag: En bild piggar alltid upp.

aÅb NSolve . . a, b . a 0.244898, b 1.85714

Plota x² b . aÅb, x, 1, 3 , PlotRangeClipping False, PlotStyle Pink, AxesLabel x, y ,

Epilog PointSize 0.04 , Purple, Point 1 2 3 2 3 4 

1.5 2.0 2.5 3.0 x

2.5 3.0 3.5 4.0 y

Rätt svarsalternativ: d

a Plota x² b . a, b aÅb, x, 1, 3 , PlotStyle Blue,

AxesLabel x, y , Epilog PointSize 0.025 , Red, Point 1 2 3 2 3 4 

b PlotaÅb.x², 1, x, 1, 3 , PlotStyle Blue,

c PlotaÅb . a x² b, x, 1, 3 , PlotStyle Blue,

d Plota x² b . aÅb, x, 1, 3 , PlotStyle Blue,

30.Tomten har två sorters praliner i sitt lager, 160 kg chokladöverdragna körsbär k och 200 kg chokladöverdragen mint m . Han vill nu sälja dessa i två olika blandningar, deLuxe som innehåller lika delar k och m och säljs för 20 kr kg, och Standard med¹₃k och²₃m som säljs för 15 kr kg. Antag att allt säljs. Formulera nu LP–problemet som bestämmer hur många kilo av varje blandning som tomten ska göra för att maximera inkomsten. 1p Lösningsförslag: Först vår egen LP-lösare

LPSolve20 deLuxe 15 Standard, Inkomst

 1

2 deLuxe 1

3 Standard 160, Körsbär 1

2

deLuxe 2 3

Standard 200, Mint deLuxe 0, Standard 0, 2000 Range 10 ,

(9)



deLuxe, 0, 350 , Standard, 0, 350 

50 100 150 200 250 300 350deLuxe 50

100 150 200 250 300 350 Standard

1

1 2 2

2000 4000

6000

8000 10 000 12 00

2000 4000

6000

8000 10 000 12 00 1

1 2 2

1

2 3

4

nr biv punkt objfkn 1 1, 2 240, 120 6600 2 1, 4 320, 0 6400 3 2, 3 0, 300 4500

4 3, 4 0, 0 0

I figuren ovan ser vi att bivillkoren för båda pralinsorterna är aktiva, så inga i överflöd, lagret blir alltså tomt. Sedan den inbyggda lösaren i Mathematica, som naturligtvis ger samma optimala lösning

Maximize20 deLuxe 15 Standard, Inkomst

1 2

deLuxe 1 3

Standard 160, Körsbär 1

2

deLuxe 2 3

Standard 200, Mint deLuxe 0, Standard 0,

deLuxe, Standard  6600, deLuxe 240, Standard 120

a

max 20 deLuxe 15 Standard

då

1

2deLuxe ²₃Standard 160

1

2deLuxe ¹₃Standard 200 deLuxe 0

Standard 0

b

då

1

2deLuxe ¹₃Standard 160

1

2deLuxe ²₃Standard 200 deLuxe 0

Standard 0

c

då

1

2deLuxe ¹₂Standard 160

1

3deLuxe ²₃Standard 200 deLuxe 0

Standard 0

d

då

1

3deLuxe ¹₂Standard 160

2

3deLuxe ¹₂Standard 200 deLuxe 0

Standard 0