Del A 15 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica

(1)

Övningstentamen i MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp Tentamen består av 30 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag!

Hjälpmedel: Penna, radergummi och linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet!

Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell.

Vektorer , dess belopp a, matriser , osv. betecknas enligt konventionen i kompendieserien "Något om...".

För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen.

Lycka till! Bertil

Låt vektorerna 2, 1, 3 , 3, 0, 4 och 3, 1, 1 . Del A

15 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.

1.Bestäm längden av 3 . (1p) Lösningsförslag: Räkna på.

3 7, 1, 15

Längden .

. 5 11

Rätt svarsalternativ: d

a 2 17 b 3 c 3 13 d 3 . 3 e Inget av a till d.

2.Bestäm en enhetsvektor i riktningen 5 . (1p)

Lösningsförslag: Vi söker , där är vektorn enligt receptet i uppgiften. Naturligtvis är 5:an onödig att ta med.

3, 0, 4

. 5

.

 3 5, 0,4

5^

Rätt svarsalternativ: c a ¹₃ 2, 1, 2 b 15, 0, 20 c ¹₅ 3, 0, 4 d ¹₃ 2, 1, 2 e Inget av a till d.

3. Låt punkterna A och B ha ortsvektorerna respektive . Sök ortsvektorn för den punkt P som ligger på sträckan AB fem gånger så långt från A som från B. (1p)

Lösningsförslag: Linjärkombination

5 6

17 6, 1

6, 17 6 ^

Rätt svarsalternativ: d a ¹₆ 13, 5, 11 b ¹₆ 11, 7, 25 c ¹₆ 7, 11, 53 d ¹₆ 17, 1, 17 e Inget av a till d.

4.Bestäm skalären s så att vektorn s blir vinkelrät mot . (1p) Lösningsförslag: Vi vet att s s 0, så

(2)

Solve s . 0

s 2

Rätt svarsalternativ: b

a Solve s 0 b 2 c 2 d ⁵₂ e Inget av a till d.

5.Beräkna vinkeln mellan och positiva z-axeln. (1p)

Lösningsförslag: Vinkeln direkt ur definition på skalärprodukt.

ArcCos 0, 0, 1 . .



cos ¹ 4

5 Rätt svarsalternativ: d

a arccos^ ¹₅^ b ^Π₃ c ^Π₂ d ArcCos ^{0,0,1 .}

.

 e Inget av a till d.

6.Bestäm projektionen av på . (1p)

Lösningsförslag: Eftersom vi har gott minne, behöver vi inte härleda formeln

. .

15 11, 5

11, 5 11^

Rätt svarsalternativ: b a b ₁₁⁵ 3, 1, 1 c ₁₁⁷ 3, 1, 1 d ₁₁⁵ 3, 1, 1 e Inget av a till d.

7. En kraft har storleken 10 N och verkar i punkten A som har som ortsvektor mot punkten B som har som ortsvektor.

Bestäm . (1p)

Lösningsförslag: Först en vektor i riktning A mot B.

AB 1, 1, 7

Sedan kraften F F F AB.

10 AB

AB.AB

 10 51 , 10

51 , 70 51 ^

Rätt svarsalternativ: a a ¹⁰₅₁ 1, 1, 7 b ¹⁰₇ 0, 2, 3 c ¹⁰

7 1, 1, 7 d ¹⁰

13 0, 2, 3 e Inget av a till d.

8.Bestäm vektorprodukten . (1p) Lösningsförslag: Räkna på!

4, 17, 3

Rätt svarsalternativ: d a 24 b 4, 17, 3 c 4, 17, 3 d 4, 17, 3 e Inget av a till d.

9. Låt 7 3

6 1 . Beräkna 2 . (1p) Lösningsförslag: Räkna på!

7 3

6 1 2 1 0

0 1

(3)

9 6 3 1

Rätt svarsalternativ: e a 3 4

5 5 b 9 8

1 1 c 9 1

8 1 d 1 1

8 3 e Inget av a till d.

10.Givet matriserna 3 2, 2 4 och 3 4. Vilken matrismultiplikation är möjlig? (1p) Lösningsförslag: Svaret ges efter en kontroll av typerna. Bara alternativ b) duger!

a b ¹ c d e Inget av a till d.

11. Sök en matris så att 2 2

2a11 3a12 a12

2a21 3a22 a22 . (1p)

Lösningsförslag: Finns inget som kan göra linjärkombinationer av kolonner, däremot av rader.

Rätt svarsalternativ: c a 2 1

1 3 b 2 0

3 1 c Finns ej d 1 2

0 3 e Inget av a till d.

12. Beräkna

4 3 0

15 7 2

2 5 0

. (1p)

Lösningsförslag: Räkna på! Utveckla längs tredje kolonnen med många nollor

0 2 4 3

2 5 0 2 4 5 3 2 2 20 6 28.

Det

4 3 0

15 7 2 2 5 0



28

Rätt svarsalternativ: a

a 28 b 28 c 48 d Determinant

4 3 0

15 7 2

2 5 0

 e Inget av a till d.

13.Låt 2 5

4 10 . Bestäm ¹. (1p)

Lösningsförslag: Vi har a b

c d ¹

1 d b

c a , men ad bc 0 här, så är inte inverterbar.

Det 2 5 4 10  0

Rätt svarsalternativ: c a ¹₄ 2 4

5 10 b ¹₄ 10 4

5 2 c ej inverterbar d Inv e Inget av a till d.

14.Bestäm alla egenvärden till 4 1 2 1 . (1p)

Lösningsförslag: Egenvärdena ges av sekularekvationen.

sekEkv Det 4 1

2 1 Λ 1 0

0 1  0 Λ² 5Λ 6 0

Solve sekEkv Λ 2 , Λ 3

(4)

a SolveDet4 1

2 1  Λ 0 b 1, 2 c 2, 3 d 2, 3 e Inget av a till d.

15.Bestäm en egenvektor till det minsta egenvärdet till matrisen i föregående uppgift. (1p) Lösningsförslag: Egenvektor till Λ 2; 4 1

2 1 x

y 2 x

y

2x y 0

2x y 0. Ok, parallella! Så exempelvis e 1, 2 .

Eigensystem 4 1 2 1 

3 2

1, 1 1, 2

Rätt svarsalternativ: c a 4, 5 b 4, 5 c 1, 2 d 2, 1 e Inget av a till d.

Del B

15 poäng med fokus på modellering och Mathematica.

16̅20. Sök arbetet som uträttas då en kraft med storleken 5 N i riktning flyttar en låda 30 m i riktning . 16.Bestäm . (1p)

Lösningsförslag: Här gäller det att vaska fram kraften på vektorform, som vanligt med de två atomerna.

5 .

 15 11 , 5

11 , 5 11 ^

a 5 b ⁵ c ⁵ d ⁵

. e Inget av a till d.

17.Bestäm förflyttningsvektorn . (1p)

Lösningsförslag: Här gäller det att vaska fram förflyttningen på vektorform.

30 . 18, 0, 24

Rätt svarsalternativ: e

a 30 b ³⁰ c ³⁰ d ³⁰

.

e Inget av a till d.

18.Bestäm arbetet. (1p)

Lösningsförslag: Arbetet med skalärprodukt.

. 150

11

Rätt svarsalternativ: c

a b c . d e Inget av a till d.

19̅24. Sök skärningspunkten mellan planet 2x 3 y z 5 0 och den linje som går genom de två punkter som har respektive som ortsvektorer.

19. Bestäm en normal till planet. (1p)

Lösningsförslag: I normalformen avläser vi direkt en normal till planet 2, 3, 1 eller varför inte gånger en konstant skild från noll.

2 2, 3, 1 4, 6, 2

(5)

a 2, 3, 1 b 2, 3, 1 5 c 4, 6, 2 d 1, 3, 2 e Inget av a till d.

20. Bestäm ortsvektorn P0 för en punkt i planet. (1p)

Lösningsförslag: Ortsvektor P0 för punkt i planet, exempelvis genom att prova 0, yP0, 0 får vi

P0 0, y, 0 . Solve 2 x 3 y z 5 0 . x 0, z 0 First

0, 5 3, 0

a 2, 3, 1 b 2, 3, 1 c 0, ⁵

3, 0 d 1, 1, 6 e Inget av a till d.

21. Bestäm ortsvektorn L0 för en punkt på linjen. (1p)

Lösningsförslag: Ortsvektor L0 för en punkt på linjen. Efersom linjen är definierad av och har vi oändligt med val, exempelvis

L0 ;

L0

1 2

5 2, 1

2, 1 2^

a b c

2 d

2 e Inget av a till d.

22. Bestäm en riktningsvektor för linjen. (1p)

Lösningsförslag: Vi har även oändligt med alternativ för linjens riktningsvektor , exempelvis

;

2 ;

1 2

 1 2, 1

2,7 2^

a b c

2 d

2 e Inget av a till d.

23. Bestäm det t som bestämmer skärningspunkten och spara den som regel. (1p)

Lösningsförslag: Skärningspunkten ligger både på linjen och i planet. Så linjens ekvation L0 t insatt i planets ekvation

P0 0 bestämmer t.

te Solve L0 t P0 . 0 First

t 1 4^

a ͜ Solve _P0 t _L0 . 0 b Solve _P0 t _L0 . 0

c Solve _P0 _L0 t . 0 d Solve _P0 _L0 t . 0

24. Bestäm skärningspunkten. (1p)

Lösningsförslag: Slutligen den sökta skärningspunkten genom att vandra t steg med steget från L0.

L0 t . te

21 8, 3

8, 11 8 ^

a t L0 . b L0 t . t

c L0 t . d L0 t . t e Inget av a till d.

25̅26. En fondplacerare delar upp 25000 kr i tre poster greed, is och beautiful, varav de två första tillsammans är tre gånger

(6)

så stor som den tredje. Dessa poster placeras sedan i olika värdepapper där den årliga avkastningen är 5%, 4% respektive 10%.

Totala avkastningen vid årets slut är 1400 kr.

25. Formulera ekvationssystemet ekv som bestämmer posternas storlek. (1p) Lösningsförslag: En stunds funderande ger följande ekvationssystem.

ekv

1 1 1

1 1 3

5 100

4 100

10 100

.

greed is beautiful

25 000 0 1400

;

a ekv

1 1 1 1 1 3 5 4 10

.

25 000 0 1400

b ekv

1 1 1

1 1 3

5 100

4 100

10 100

.

25 000 0 1400

c ekv

1 1 1

1 1 3

5 100

4 100

10 100

.

25 000 0 1400

d ekv

1 1 1 1 1 3 5 4 10

.

25 000 0 1400 e Inget av a till d.

26. Lös ekv med lämplig funktion i Mathematica. Spara lösningen på regelform i poster. (1p) Lösningsförslag: Lämplig funktion är naturligtvis Solve, lösningen sparas på regelform i poster.

poster Solve ekv

beautiful 6250, greed 2500, is 16 250

a poster Solv ekv b poster Solve ekv

c poster Solve ekv d Solve ekv poster e Inget av a till d.

27̅30. Anpassa y k x m med (MKM) till mätvärdena x 1 0 1

y 1 1 1 .

27. Ange i det överbestämda ekvationssystemet k

m . (1p)

Lösningsförslag: Mätpunkterna möblerar och i det överbestämda ekvationssystemet k

m för de sökta parametrarna k och m, där

, 1 0 1

1 1 1 1 0 1

1 1 1

, 1, 1, 1 1 1

0 1 1 1

a  1 0 1 1 1 1 b

1 1 0 1 1 1

c

1 1 1 0 1 1

d

1 1

1 0 1 1

28. Ange normalekvationerna till det överbestämda ekvationssystemet k

m . (1p)

(7)

Lösningsförslag: Normalekvationerna k

m får vi genom att förmultiplicera båda sidor i det överbestämda ekvationssystemet k

m med transponatet till , det vill säga . . . k, m .

2 k, 3 m 2, 1

a k

m b k

m

c k, m d k, m e Inget av a till d.

29. Bestäm k och m med lämplig funktion i Mathematica. (1p)

Lösningsförslag: Naturligtvis är det Solve som är lämplig (som vanligt). I detta fall blir det en enkel match att lösa eftersom ekvationerna tydligen är okopplade, så slutligen det efterlängtade.

kÅm Solve . . k, m .

k 1, m 1 3^

Men, men...bland alternativen är det Fit som är rätt och snabbaste vägen då vi har linjär (MKM)!

Fit 1 0 1

1 1 1 , x, 1 , x

1. x 0.333333

a Solve k, m b Fit 1 0 1

1 1 1 , x, 1 , x

c Minimize 1 0 1

1 1 1 , x, 1 , x d Fit 1 0 1

1 1 1 , x , x e Inget av a till d.

30. Antag att k och m är sparade som regler i kÅm. Rita modellen där även mätpunkterna är markerade. Pynta! (1p) Lösningsförslag: En bild piggar alltid upp.

Plotk x m . kÅm, x, 1, 1 , PlotRange 1.1, 1.1 , PlotStyle Blue, AxesLabel "x", "y" ,

Epilog PointSize 0.03 , Red, Point 1 0 1 1 1 1 

1.0 0.5 0.5 1.0 x

1.0 0.5 0.5 1.0 y

(8)

a PlotkÅm, x, 1, 1 , PlotRange 1.1, 1.1 , PlotStyle Blue, AxesLabel "x", "y" ,

Epilog PointSize 0.03 , Red, Point 1 0 1 1 1 1 

b Plotk x m kÅm, x, 1, 1 , PlotRange 1.1, 1.1 , PlotStyle Blue,

AxesLabel "x", "y" , Epilog PointSize 0.03 , Red, Point 1 0 1 1 1 1 

c Plotk x m : kÅm, x, 1, 1 , Range 1.1, 1.1 , PlotStyle Blue,

d Plotk x m . kÅm, 1, 1 , PlotRange 1.1, 1.1 , PlotStyle Blue,