Del A 15 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp, 2021-04-08

Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa, formelsamling eller samarbete är tillåtet!

Tentamen består av 30 frågor! Endast Excel-filen ska skickas in! Se bifogad informationsfil!

Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell.

Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...".

För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen.

Lycka till! Bertil, 035 167210

Låt vektorerna 2, 1, 3 , 3, 0, 4 och 3, 1, 1 . Del A

15 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.

1.En triangel har hörnpunkterna A, B och C, med ortsvektorerna OA , OB och OC . Punkten P ligger mitt på sidan AC.

Bestäm BP. OBS Figuren återger situationen i någon vy. 1p

A

B C

P

Lösningsförslag: Vi får direkt

1 2

 7 2, 0, 5

Rätt svarsalternativ: a a ¹₂ 7, 0, 10 b ¹₂ 6, 2, 9 c ¹₂ 7, 1, 12 d 4, 1, 5 e Inget av a till d.

2. Bestäm en enhetsvektor i riktningen 4 . (1p) Lösningsförslag: Vi söker .

.

 3 5, 0,4

5^

Rätt svarsalternativ: c a ¹₃ 3, 0, 4 b ⁴₅ 3, 0, 4 c ¹₅ 3, 0, 4 d e Inget av a till d.

3. Låt punkterna A och B ha ortsvektorn respektive . Sök ortsvektorn för den punkt P på sträckan AB som ligger dubbelt så långt från B som från A. (1p)

Lösningsförslag: Linjärkombination

1 3

7 3, 2

3,2 3^

Rätt svarsalternativ: b a ¹₃ 8, 1, 5 b ¹₃ 7, 2, 2 c ¹₆ 7, 11, 53 d ¹₂ 5, 1, 1 e Inget av a till d.

4. Bestäm skalären s så att vektorn s blir vinkelrät mot 4 . (1p)

Lösningsförslag: Vi vet att s 4 s 0, så

Solve s . 0

s 2

Rätt svarsalternativ: d

a Solve s 0 b 1 c 1 d 2 e Inget av a till d.

5. Bestäm x-komposanten av projektionen av på . (1p)

Lösningsförslag: Eftersom vi har gott minne, behöver vi inte härleda formeln

. .

15 11, 5

11, 5 11^

Rätt svarsalternativ: c a b ₁₁⁵ 3, 1, 1 c ¹⁵₁₁ 1, 0, 0 d ¹⁵₁₁ e Inget av a till d.

6. En kraft har storleken 20 N och verkar i samma riktning som . Bestäm . (1p) Lösningsförslag: Som vanligt gör vi uppdelningen F F .

20 .

N

12 N, 0, 16 N

Rätt svarsalternativ: e a 10 3, 0, 4 N b 5 3, 0, 4 N c 15 3, 0, 4 N d 2 3, 0, 4 N e Inget av a till d.

7. Kraften N angriper i en punkt som har m som ortsvektor. Bestäm momentet kring origo. (1p)

Lösningsförslag: Räkna på, . Nm

4 Nm, 15 Nm, 3 Nm

Rätt svarsalternativ: d a 22 Nm b 4, 15, 3 Nm c 4, 15, 3 Nm d 4, 15, 3 Nm e Inget av a till d.

8. Låt 1 1 . Beräkna 2 . (1p) Lösningsförslag: Räkna på!

1 1 ; . 2 1 0 0 1 3 1

1 3

Rätt svarsalternativ: e a 3 1

1 3 b 20 1

1 0 c 2 d 1 3

3 1 e Inget av a till d.

9. Sök en matris så att 2 2

a11 3a12 a12

a21 3a22 a22 . (1p)

Lösningsförslag: Finns inget som kan göra linjärkombinationer av kolonner, däremot av rader.

Rätt svarsalternativ: c a 1 1

1 3 b 1 0

3 1 c Finns ej d 1 1

0 3 e Inget av a till d.

10.Studera enhetskvadraten, det vill säga med sidan 1, se figur. Låt i, i 1, , 4, vara ortsvektorerna till dess numrerade hörn. Vilken figur erhålles efter transformationen 1 1

1 0 ⁱ? 1p ₁ ^x

1 y

1 2

3 4

Lösningsförslag: Efter multiplikation av de fyra ortsvektorerna enligt receptet i problemtexten 1 1

1 0 . 0 1 1 0 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 1 0 inser vi att...

Rätt svarsalternativ: c

a

1 1 x

1 y

1 2

3

4 b ^{1 2 x}

1 y

1 2

3 4

c

1 1 x

1 y

1 2 3 4

d

1 1 x

1 y

1

2 3

4

e Inget av a till d.

11. Beräkna

5 0 2

1 1 3

2 1 4 . (1p)

Lösningsförslag: Räkna på! Enklast är det nog att utveckla längs andra kolonnen med åtminstone en nolla

0 1 5 2

2 4 1 5 2

1 3 5 4 2 2 5 3 2 1 24 13 37.

Det

5 0 2 1 1 3 2 1 4



37

Rätt svarsalternativ: b

a 11 b 37 c 11 d Determinant

5 0 2 1 1 3 2 1 4

 e Inget av a till d.

12. Sök s så att 2, 3 s 1, 4 blir parallell med 1, 3 . (1p)

Lösningsförslag: Om t 2 s t 1

3 4s 3t 2 . Snabbaste vägen till s är att eliminera t genom 3 1 2 : 3 2 s 3 4s 3 t 3t 3 s 0 s 3. Eller hela sagan.

Solve 2, 3 s 1, 4 t 1, 3 s 3, t 5

Rätt svarsalternativ: d a 3 b 2 c 2 d 3 e Inget av a till d.

13. Låt 2 2

1 3 . Bestäm ¹. (1p)

Lösningsförslag: Vi har ¹ a11 a12

a21 a22

1 1 a22 a12

a21 a11

1 2 3 2 1

3 2

1 2

1 4

3 2 1 2

Inverse 2 2 1 3 

3 4

1 2 1 4

1

2 Rätt svarsalternativ: a

a ¹₄ 3 2

1 2 b  2 2

1 3 

1

c Invers 2 2

1 3  d Inverse 2 2

1 3   e Inget av a till d.

14. Låt 1 5

3 13 . Bestäm egenvärdet Λ till egenvektorn 1, 3 . (1p) Lösningsförslag: Om vi kan lita på problemförfattaren så måste vi ha Λ .

Solve 1 5

3 13 . 1, 3 Λ 1, 3 

Λ 14

Rätt svarsalternativ: d

a 14 b 3 c 1 d 14 e Inget av a till d.

15. Sluggo tar den gamla trimmade mopeden från sin ungdom för att åka och hälsa på Lisa. Han håller en medelfart på 40 km h. När han har kvar hälften av den sträcka han redan kört kommer han ihåg att det finns en växel till och kan då hålla medelfarten 60 km h på sista sträckan. Vad blir Sluggos medelfart för resan till Lisa? (1p)

Lösningsförslag: Äntligen får vi nytta av den gamla mekanikformeln s vt. Låt resvägen till Stina vara s km, t1 restiden för första delsträckan och t2 för den andra. Då fär vi direkt medelhastigheten vm för hela resan.

Solve2 3

s 40 t1, 1 3

s 60 t2, s vm t1 t2 , vm, t1, t2 

vm 45

Rätt svarsalternativ: a a 45 km h b 48 km h c 50 km h d 53 km h e Inget av a till d.

Del B

15 poäng med fokus på modellering och Mathematica.

16. Lös matrisekvationen 2 3 där 1 3

0 2 och 2 1 . (1p)

Lösningsförslag: Vi kör vägen via Solve och ser i högerledet att vi måste ha typ typ 2 1 för att additionen ska gå bra!

x₁₁

x₂₁; . Solve2  1 3

0 2. 3 2

1 First

4 5

1

Rätt svarsalternativ: a

a x₁₁

x₂₁; . Solve 2 . 3 First b 2 3 1 0

0 1

1

.

c x₁₁ x₁₂

x₂₁ x₂₂; . Solve 2 . 3 First d Inverse 2 3 . e Inget av a till d.

17. Bestäm spegelpunkten till punkten som har som ortsvektor i planet som går genom origo och har som normalvektor. (1p) Lösningsförslag: Först projektion av på normalen. Sedan spegelpunkten, 2 .

2 . .

86

25, 1, 27 25^

Rätt svarsalternativ: a a 2 ^.

. b 2 ^.

. c ^.

. d ^.

. e Inget av a till d 18. Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av , och . (1p)

Lösningsförslag: Skalär trippelprodukt.

Abs . 2

Rätt svarsalternativ: b

a Abs . b Abs . c Abs . d Norm e Inget av a till d

19̅24. Sök skärningspunkten mellan planet 2x 3y z 5 0 och den linje L0 t som går genom de två punkter som har respektive som ortsvektor.

19. Bestäm ortsvektorn P0 för en punkt i planet. (1p)

Lösningsförslag: Exempelvis genom att prova, finner vi ett av oändligt många val.

P0 5, 0, 5

5, 0, 5

Rätt svarsalternativ: c

a 2, 3, 1 b 2, 3, 1 c 5, 0, 5 d 1, 1, 6 e Inget av a till d.

20. Bestäm en normal till planet. (1p)

Lösningsförslag: I normalformen avläser vi direkt en normal till planet 2, 3, 1 eller varför inte välja den motsatt riktade.

2, 3, 1 2, 3, 1

Rätt svarsalternativ: c

a 2, 3, 1 b 2, 3, 1 5 c 2, 3, 1 d 1, 3, 2 e Inget av a till d.

21. Bestäm ortsvektorn L0 för en punkt på linjen. (1p)

Lösningsförslag: Ortsvektor L0 för en punkt på linjen. Då linjen är definierad av och har vi oändligt med val, exempelvis

L0

1 2

5 2, 1

2, 1 2^

Rätt svarsalternativ: d

a b c ¹

2 d ¹

2 e Inget av a till d.

22. Bestäm en riktningsvektor för linjen. (1p)

Lösningsförslag: Vi har även här oändligt med alternativ för linjens riktningsvektor , exempelvis

1 2

1 2,1

2, 7 2^

Rätt svarsalternativ: c

a b c ¹

2 d ¹

2 e Inget av a till d.

23. Sök det t som bestämmer skärningspunkten och spara det som regel i . (1p)

Lösningsförslag: Skärningspunkten ligger både på linjen och i planet. Så linjens ekvation L0 t insatt i planets ekvation P0 0 bestämmer t.

Solve L0 t P0 . 0 First

t 1 4^

Rätt svarsalternativ: c

a ͜ Solve _P0 t _L0 . 0 b Solve _P0 t _L0 . 0

c Solve _{P0 L0} t . 0 d Solve _{P0 L0} t . 0 e Inget av a till d.

24. Bestäm skärningspunkten. (1p)

Lösningsförslag: Slutligen den sökta skärningspunkten genom att vandra t steg med steget från L0.

L0 t .

21 8, 3

8, 11 8 ^

Rätt svarsalternativ: b

a . _L0 t b L0 t . c L0 t . t d L0 t . t e Inget av a till d.

25. Planet ax by z 1 0, där a och b är konstanter, innehåller den punkt som har som ortsvektor och är parallellt med . Bestäm a och b. (1p)

Lösningsförslag: De två villkoren möblerar ett ekvationssystem för de två sökta konstanterna.

Solve 3 a b 1 1 0, Planet innehåller given punkt a, b, 1 . 0 Planets normal

a 3, b 9

Rätt svarsalternativ: b

a Solve 3 a b 1 0,

a, b, 1 0

b Solve 3 a b 0,

a, b, 1 . 0

c Solve 3 a b 0,

a, b, 1 0

d Solve 3 a b 0,

a, b, 0 . 0

e Inget av a till d.

26. Sök 0 och för det plan som går genom de tre punkter som har , respektive som ortsvektor. (1p) Lösningsförslag: Vi har att 0 är en av ortsvektorerna och vektorprodukten mellan två vektorer i planet.

Rätt svarsalternativ: a

a 0, , b 0, ,

c 0, Solve , 0 d 0, , e Inget av a till d.

27̅30. Anpassa y ax bx² med (MKM) till mätvärdena x 0 1 2 y 0 6 10 .

27. Ange i det överbestämda ekvationssystemet a

b . (1p)

Lösningsförslag: De tre mätpunkterna möblerar och i det överbestämda ekvationssystemet a

b för de sökta konstanterna a och b, där

, 0 1 2

0 6 10 ;  , ² 0 0

1 1 2 4

Rätt svarsalternativ: e

a 0 1 2

0 6 10 b

0 1 1 1 2 1

c

0 0 1 1 2 4

d

0 0 1 1 2 1

e Inget av a till d.

28. Ange normalekvationerna till det överbestämda ekvationssystemet a

b . (1p) Lösningsförslag: Normalekvationerna a

b får vi genom att förmultiplicera båda sidor i det överbestämda ekvationssystemet a

b med transponatet till , alltså . . . a, b .

5 a 9 b, 9 a 17 b 26, 46

Rätt svarsalternativ: e a a

b b . a

b .

c . a, b . d . a, b . e Inget av a till d.

29. Bestäm a och b med lämplig funktion i Mathematica. (1p)

Lösningsförslag: Naturligtvis är det Solve som är lämplig (som vanligt) när det gäller att lösa ekvationssystem, så slutligen de efterlängtade.

NSolve . . a, b . a 7., b 1.

Men, men...bland alternativen är det Fit som är rätt och snabbaste vägen då vi har linjär (MKM)!

Fit 0 1 2

0 6 10 , x, x², x

7. x 1. x²

Rätt svarsalternativ: d

a Fit 0 1 2

0 6 10

, x, x², a, b  b Fit 0 1 2 0 6 10

, x, x², x

c Minimize 0 1 2

0 6 10 , x, x², x d Fit 0 1 2

0 6 10 , x², x, x e Inget av a till d.

30. Antag att a och b är sparade som regler i . Rita modellen och mätpunkterna. Välj färger, pynta axlarna osv! (1p) Lösningsförslag: En bild piggar alltid upp.

Plota x b x² . , x, 0, 2 , PlotStyle Blue, AxesLabel x, y ,

Epilog PointSize 0.04 , Red, Point 0 1 2 0 6 10 

0.5 1.0 1.5 2.0 x

2 4 6 8 10 y

Rätt svarsalternativ: d

a Plot , x, 0, 2 , PlotRange 0, 10 , PlotStyle Blue, AxesLabel x, y ,

Epilog PointSize 0.025 , Red, Point 0 1 2 0 6 10 

b Plot . a x b x², x, 0, 2 , PlotRange 0, 12 , PlotStyle Blue,

AxesLabel x, y , Epilog PointSize 0.025 , Red, Point 0 1 2 0 6 10



c Plota x b x² . , x, 0, 2 , Range 1, 10 , PlotStyle Blue,

AxesLabel x, y , Epilog PointSize 0.025 , Red, Point 0 1 2 0 6 10



d Plota x b x² . , x, 0, 2 , PlotRange 0, 10 , PlotStyle Blue,

AxesLabel x, y , Epilog PointSize 0.025 , Red, Point 0 1 2 0 6 10 

e Inget av a till d.