alter sit

(1)

t /

DE

MULTISECTIONE

FUNCTIONUM ELLIPTICARUM PRIMI GENERIS

DISSERTATIO ACADEMICA.

QUAM

YENIA AMPLISS. FACULT. PHILOS. UPSAL.

P. P.

Mag JACOBUS NSCQLAXJS granlund

Matheseos Docens Sup. Reg. Carol. Joh.

ET

PETRUS JOHANNES HELLBOM Suderm. Ner.

IN AUDITOR. GUSTAV. DIE XXVI FEBR. MDCCCLI.

Η. Ρ. M. S.

P. IV.

UPSALIAE

EXCUDEBANT REG. ACAD. TYPOGRAPHI.

MDCCCLI.

(2)

(3)

2S

2. qtium Αη_λ ^, Bu_, sint functiones quantitatum

c rationales et integrae, in factores /\arcn funeiio-

nemque q;u aηtitatum o, i* raiionalcm et integranr, C„_, itt

faetores cysrtrcn fanctioneraque quantitatum a c rationalem

et inirgnnn distribui pqssiJ, (/S.arcuJ*, cosarcu sint functio¬

nes quantitatum a, c rationales et integrae, divisioque per

An_2 sine fesiduo fieri possit, cssc ltD functionem quantita-

tum a, c rationalem et integram;

5. easdem ob caussas esse Cn functionem quantitatum a, c rationalem et integram;

4. easdem ob _caussas, praeterquam quod de [ι\arcu)2,

cos2arcu non sit quaerendum, functionem Dnin duos factores

distribui posse, quorum alter sit cosarcu./\arcu, alter sit

functio quantitatum a, c rationalis et integra.

Deinde ponamus, esse η, η—2 numeros impares, n-i

numerum parem. Quo facto e formulis (20} facile con- cludi potest,

1. quüm An_2, ΑλΛ sint functiones quantitatum «, c ra¬

tionales etintegrae, DnA in factores ^cosarcu./\arcu functio-

nemque quantitatum a, c rationalem et integram distribui possit, cos*arcu.(/\arcu)2 sit functio quantitatum «, c ratio¬

nalis et integra, divisioque per An,2 sine residuo fieri pos¬

sit, esse An functionem quantitatum a, c rationalem et in¬

tegram;

2. quum An_2, ΑηΛ, ΒηΛ> Cn_^t sint functiones quantitatum

a, c rationales et integrae, -ön., in factores cosarcu./\arcu functionemque quantitatum «, c rationalem et integram dis¬

tribui possit, cos*arcu sit functio quantitatum a, c ratio-

4

(4)

nalis et integra, divisioque per An_2 sine

residuo ßcri

^pos-

sit9 Ba in duos factorcs distribui posse, quorum

alter sit

/\arcu, alter sit functio quantitatum «, r

rationalis

et

in¬

tegra;

5. easdem fere ob caussas, quum praeterea (/\arcu)2 sitfun¬

ctio quantitatum a, c rationalis et integra, c. in

duos

factores distribui _posse, _quorum alter sit cosarcur altersit

functio quantitatum n, c rationalis et integra^

4. easdem fere ob caussas, quumpraeterea eos2arcu.{£\arcuf

sit functio quantitatum a, c rationalis et integra, esse

functionem quantitatum a, c rationalem et integram.

theorema ιϊ. Neglectis, tibi adsunt, facloribus cosarcu, /Varcii, in functionibus An, Bn, Ceinest terminusa f/uan-

tilalibus a, c independens et unitati aegualis.

Demonstrant enim prima, scciinda et tertia aequatio-

num (20), lioc ilieorema verum esse, si verum ponatur,

substitutis η—2, η—I pro η. Praeterea verum idem etiam

esse, si n—i, n—2, etc.r aequationes (21) ^— (25) et (25)

ostendunt. Verum igitur erit semper.

Tiieoréma HL Functio Dn habet factorem a ornnibus ter-

minis communcm.

Demonstrat enim quart» aequationum (20), quum in

functione An_2 insit terminus ^a quantitate a independens,

veram hane propositioner» esse, si ver» ponatur,

subsli-

tuto ii—1 pro n. Ceterum veram eamdem esse, sr n=f,

η==2 ete., aequaliones (24), (25) ostendunt, Ver»

igitnr

erit semper.

(5)

27

Theorema IV· Neglectis, ubi adsunt, factoribns cosarcu, /\arcuf cosarcu. /\arcu, functioncs An, Βn, C„, Ζ>Λ _pares

tantiem dignitates moduli c habent.

Sequitur enim ex aequationibus (20), vcram hane esse

propositionem, si veraponatur, substitutis η—2, ^η— 1 pro μ.

At veram eamdeai esse, si n=1, rc=2, etc., ex aequatio¬

nibus (21)—,(25) patet. Vera igitur erit Semper.

Eodem prorsus modo demonstratur

Theorema V. Neglectis, ubi adsunt, factoribns cosarcu,

/^arcu,cosarcu, /\arcu, in funetionibus Αn,ΒCn pares tantum, in ■funetione Dn imjmres tantum dignitates guan- titalis a insunt.

Eodem modo demonstratur etiam

Theorema VI. In nullo termino functiouum An, Bn, Cn, D„ c sine a inest.

Theorema VII* In nullo termino functiouum An, Bn a sine c inest

Sequitur enlm ^e prima et secunda aequationum (20),

veram haue esse propositionem,, si vera ponatur, substi-

tutis η—2, μ—1 _{pro w.} At veram camdem ^esse, si ^η—I,

»=2, etc. ex aequationibus (21), {22), (25) patet. Vera igitur erit Semper.

Theorema VII* Neglectis, ubi adsunt, factoribns cosarcu,

l\arcu, cosarcu. /\arcu, in termino guolibet funetionis Bu

exponens moduli ^c exponentem guantitatis ^a non supd'at, in termino guolibet funetionis DH expon ens guantitatis a

(6)

exponentem moduli c unitate

salt

cm,

in termino quolibet

functionum An, Cn, praeter

terminUm unitati aequalem,

duabus saltem unitatibus snperat.

Sequitur cnim ex aequationibus (20) et théörematé III,

veram hane esse propositionera, si vera pouåjtur, substitu-

tis η—2, η—1 pro u. At veram eamdem esse, si' m=1,

η^— 2, etc., ex aequationibus (21) ^—- (25) patet. Vera igitur erit Semper.

Theorema IX. JScqlectis, ubi adsunt, factoribus cosarcu, f\arcu, cosarcu. i\arcu, sublato faciore a omnibiis 1ermi¬

nis funetionis Dn

communis

et permatatis

inter

se

quanti-

Dn

tatibus α2 ,a2c1, funetiones Alt, — irnmutatae manent, funcliones autem B„, inter se permutantur.

Sequitur enim ex aequationibus (20), veram hanc esse

propositionem, si ^vera ponatur, substitutis η—2, η— i

pro η. At veram eamdem esse, si ⁿ⁼⁼1, w=2, etc., ^ex aequationibus (21) — (25) apparet. Vera igilur erit semper.

Corollarium. Neglectis, ubi adsunt, factoribus cosarcu,

/\arcu, cosarcu. /\arcu, si functio An habet terminum

K. _a2rc2S, eadem functioliabebitetiam terminumI{. a2rc2'-2s'j si functio Bn habet terminum Kva2rc2Si, functio Cn ha-

bebit terminum Bv a2T\c2r\-2s\; si functio Cn habet ^termi¬

num K2. a2r*c2Saj functio Bnhabebit terminum K2.a2r2c2r2~2S2■ si functio Dn habet terminum ΚΆ. a2r3+'c2'», eadem functio

habebit etiam terminum /?3. a2r3+'c^ar2^. Sunt autem

K, ^, /(, Bj quantitates ab ^a, c independentcs, et ^r,

(7)

29

r1,r2,r3'5 «»«ο«2>53 sunt numeri

i«tegri positivique,

sa-

tisfacientes conditionibus r>s, rx — , i*2>s2» ra ^—>V

§.8.

inquiramus in gradus functionum

An, B,l, Cn, Z)H,

i. e. videamus, quäsnam summas Jignitates

quantitatis

a

et moduli c habeant hae functiones, neglectis, ubi adsunt,

factoribus cosarcu, /\arcu9 cosarcu. /\arcu.

Quod

ut

fieri

possit, designemus littera 5 signo

iunetionis praefixa

expo-

nentem maximum quantitatis a, eadem littera

indice

m-

strueta, i. e. notatione δ1(, signo functionis

praefixa,

expo¬

nentens maximum moduli c%

Aequationes igitur (20),

si meminerimus,

esse

dcos2arcu = 2, d(/\arcu)2 ^~ 2, δcos2arcu.(/^arcir)2 = 4, praebent,

i:o si ii est numerus par, aequationes δΛη^δΑη-ι-δΑη-i aut δΑη⁼232^-!+2^-δΑη-2^»

δΒη=δΑη-1+δΒη-ι+2-δΑη_2 aut δΒη=δ Cn-l+δΒη-ι+

5-δΑη.2,

δCn=åAn-i⁺<5c,t-i+Ζ-δΑη-ι aut δΟη=δΒη.ι+δΒη-ι+

5-δΑη-2>

δΒη=δΑη-ι+δΒη-ί-δΑη-ι aut δΒη=δΒ^η-1+δ

C

^η-1+

ί-δΑη-2

;

2:ο si η est numenes impar, aequationes

δΑη=2δΑη ι-δΑη-2 aut δΑη-^. δΒη-ι+6-δΑη-2^>

δΒιι~δΑ.ιι-\·\-δΒιι^ι—δ*Αιι-2, aut δΒη=δCjji_ι-t-νDyi—i-Κο~δAlfi-2⁵ δΟη—δΑη-ι~^δΟη-\—δΑη~2 aut δΟη=δΒη-ι+δΒη^ι +ο-δΑΗ_·2, δΌη=δΑη-ι+δΒη-1+Α-δΑη-2 aut δΒη=δ Βη.ι+δC^η-1+1-δΑη.2;

sive, si ^η est numerus quilibet integeret positivus, aequationes

(8)

2δAn-1~δΑη-ι

SBn=9Jn-t+iSB„-l+!+(-!)» _aut _}B _{_3}Cn i+aö„_,+3-ί^„.„

M)„=S^..-,+'«>1.-i+2-2(-l)» aut

Sed inde ab inilio rejlcicndae sunt aequationes

!δΑη=^δΑη-χ-δΑ

^δΒη^{§ C}^η^-5rAn-i⁼^δΑ,i_i⁺⁺^5Cn-\^<5^Bn-\

^η-2·>

⁺⁺¹Î⁺⁺^(—^(-1Î^jn⁾ⁿ^'^-⁵^δÂÂn-2^n-27

praebent enim

·9ΑΛ⁼*,·*ΒΛ⁼9,δ€Λ =2,

qtri valöres formulis (21)—(25) rcpugnant. Celeris autcm aequationibus

(dAn⁼25Am+4-2(-1)»- δAn-2^,

] tßn^Cn-! +«/)_! + 5-δ Α)i-2

^,

(27) <ac»=3/?,!_!+δ#„_1 +5-δ^„_3,

]

δΖ>Η⁼δ +δ/Λ-χ+2-2(-1)»-·δ<Α,4-2 ve!

^δ

⁼

^δ ^i?w_

^ι⁺

^{δ Ch-i}

⁺

^ϊ ^-δ ^{^}

^η-2

fit satis, positis

Oranino aequationes (26), substitutis nuoierorum -δΑη-2

δCn=dA)i-x+δϋη-ι+1⁺(-1,

- δΑη-2

aut δC)i—δΒ)ΐ~χ-)-δΒη„j -\-ι)—δΑη-2t

(9)

5ί

δΑη-ι, δΒη-1, <5C„_ι, (5^/»-2 valoribus, quos praebent aequaiiones (28), si η est numerus par, minores nu-

merorum δΑη<> δBn, valöres,suppeditant, ^quam primae aequationum (27); si η est numerus impar, primis aequa¬

tionum (27) conveniunt. Ultimae autem aequationum (27),

substitutis iisdem valoribus, inter sc Semper conveniunt.

Ceterum veras esse aequaiiones (28), si w=i, n=2, etc.,

formulae (21)^—(25) demonstrant. Yerae igitur eruntsemper.

Eodem prorsus modo, si meminerimus, esse

SLcos2arcu⁼ o,5,(/\arcu)2 = 2, dLcos2arcu.^/^arcu)2· = 2, aequationes (20) praebent

δ!An⁼2δ^ιAn-1^-δ^χAn^i autίιΑη=25,Z)H_,+5-( -1)m-31^,-2, auIJ,2?„=3,C„.,+ä,ι+2-i.

—Oi 2

ίιCn—fi^ιAn-1+8iCnî—dⁱAh-i 3Utî£ H=()I_Z>u_i+î-Z^n-i"l"2-J^ιAn-25

+ +1-1-1)" autä1JD„=31i?„-1+31G.-,-ä1^,.-3.

ö₁ _ή-2

Hoc quoque loco rejiciendae inde

ab

initio sunt ae¬

quationes

(δ{An^—Qδ\Αη-χ^—δ. Αη-2,

{<5

ⁱ ^— ^<?! ^Αη-χ⁺^δχCn-1 -δχΑη-ι]

praebent enim

dj ~0,

qui valöres fornuilis (21), (2(5) repugnant. Ceteris autcm aequationibns

(10)

i§i

^dx^(5t^r3.

A^Z^Dn-i

^{Bn=δχΑη-1}^Cn^Bn

^{Βη—δ^Αη-ι}

^—⁼^åxBn-\^8xCn-i⁺^+Sl£)n-1⁺⁺^<5]^*,#.-!

+ ^{^1^,ι-ι}

^Dn-\

5-(-1)»-δ1

⁺⁺⁺¹⁺¹²²^-^{-δ^η-2,}⁺^—^<5t^(-1)»^(—

^An.2 1)"~^χΑη-2 vel

^-^,^J

^Λ„-2

^v^el

()_L Dn=.δχΒη~ι + —d

fit satis, posilis

(Ä,A=?-i + i:-*)».

i5n

k^f-i

⁺

iW*

( j

U<?«=?-i

+i(-0·. ^. ^, '

I Λ Γ) "2 5_ 3/■_I"n

(djx;«= ^g "ΓΙΓΝ ·

Omnino aequationes (29),

substitutis

numerorum δχΑη-{, ^ Cn-!, St An-i valoribus, quos

praebent

^aequa¬

tiones (31), si η est numerus par, minores numerorum dt Αη, δ,Οη valöres suppeditant, quam prima et quarta aequationum (30); si ηest numerus

impar,

primae et quartae aequationum (30) conveniunt.

Substitutis

autem numero¬

rum An-i, <5-1 Bn-!, (5j Cji-j, <3j Dti-,, δ^ An-2 valoribus,

quos praebent aequationes (51), secunda et tertia, quinta

et sexta aequationum (30) inter se Semper conveniunt.

Ceterum ^veras ^esse formulas (51), si n=l, n=2, etc.,

aequationes (21)—(2o) demonstrant. Verae igitur erunt semper.

§· 9.

Ex iis, _quae in paragrapbo 7 sunt demonstrata, ^sequitur, functiones

Αη·>

^Bn, Cn, Dn

in bas formas

^semper

redigi posse:

alter sit

t /

residuo ßcri

alter sit

rationalis

in¬

duos

subsli-

igitnr

salt

in termino quolibet

terminUm unitati aequalem,

communis

inter

quanti-

i«tegri positivique,

An, B,l, Cn, Z)H,

quantitatis

Quod

fieri

iunetionis praefixa

indice

praefixa,

si meminerimus,

5-δΑη.2,

5-δΑη-2>

C

ί-δΑη-2

!δΑη=^δΑη-χ-δΑ

η-2·>

] tßn^Cn-! +«/)_! + 5-δ Α)i-2

]

^δ

δ i?w_

δ Ch-i

ϊ -δ ^

ab

{<5

i§i

A^Z^Dn-i

Βη—δ^Αη-ι

+ ^1^,ι-ι

5-(-1)»-δ1

An.2 1)"~^χΑη-2 vel

Λ„-2

(Ä,A=?-i + i:-*)».

k^f-i

iW*

U<?«=?-i

substitutis

praebent

impar,

Substitutis

Αη·>

in bas formas

^η-2·>

^δ ^i?w_

^{δ Ch-i}

^ϊ ^-δ ^{^}

^{Βη—δ^Αη-ι}

+ ^{^1^,ι-ι}

^An.2 1)"~^χΑη-2 vel

^Λ„-2