johanIi jacobo hebrén

DE C ONT ACTU SUPERFICIERUM l OBSERVATIONES.

dissertatio,

quam

VENIA AMPL. FACULT. PHILOS. UPSAL.

p. p.

mag. CAROLUS ADOLPHÜS FORSSELL

ad gymnasium gevax. vicarhjs math. lector

et

ANDREAS ALEXANDER BERGER

VERMEL. STIF.LEHEL.

·.. ·

in audit, gustav, die xi febr. mdcccxxxvii.

η. ρ. m. s.

P. II.

υ Ρ S A L I Μ

liicudesant hegge α ca demi/5 t-ypogr λγιιι.

in sa cr am regjam majestatem magna: fidet viro,

UrOECESEOS eincopensis episcopo_?

regii ord1nis dg stella püealll gommendatori,

ord1nis regis caroei xiii equiti, s. s. theo!, ogl·® doctori,

r εverendi ssi mo domino

johanIi ^jacobo hebrén

avuncülo summa mcutis

pictate colciiilo

Sac r tim

Toluit, debuit Α. A. BERG er.

9 et igitur ex sequ.

(5)

A rr: ρ; B etf,

unde heec erit plani tangentis

cequatio absolute data

qty-y*)

(7 a)·

Si in hac successive ponamus

z~o, xzizo, i/rro,

sequentes tres, qua denotant plani intersectiones cum

tri-

bus planis coordinatarum,

habebimus aequationea

y=2 —~x 4-

f-x'

1 Ί

y =^—ζ-}-~* +

y'

1 1

1 '1 > 1 <

xzzz— ζ Α- X 4- — v ζ.

Ρ Ρ .Ρ

Linea, quse concipitur per punctum contactus qualitercun-

que transire, bis

duabus in

exprimitur aequatio-

nibus

x-x z=za(z-z); y-y

=.b{z-z);

si vero,piano tangenti

ad

ducta quaerituf, proje-

ctiones ejus in planis

coordinatarum

et

sint ad

normam intersectionibus plani tangentis necesse est}

unde

bae derivantur ad constantia a et b determinanda sequatio-

nes necessariae

ΙΟ

α b

—-f- ιζζιο, — -f-/ ~ o

V q

ideoque a zu-ρ, bzzz-q.

jEquatianes igitur quaesitae lineae, quae

Normalii dicitur,

hae sunt

x~x'=z-p(z-z);

y-y'=z-q{z-z)

§. 5.

Si sphaeram quaeramus,

inter

superfieiem

utcunque absolute dataro

zz=:F(x,y) nuila omnino, in

punctis, ^quoe ipsi dato sunt proxima, alia quaelibet duci possit sphaera, erit utique

(x-a)z +{y~by +(z- c)2· ⁼ Rz

universalis forma aequationis, quae nullam non exprimit sphaeram$ unde patet, sphaeram arctiorem quam primi or- dinis habere contactum. Si in hac sequatione pro x, y. ζ ponamus x\ y\ coordinatas

puncti

erit

(χ-αγ +

{y-bY + {*'-

(8)

una ex quattuor aequationibus, quae ad constantia a,

b,

r, R determinanda necessarise sunt. Deinde per differen-

tiationem habebimus

/ dz χ -α ^, dz

y'

^ dx

q~~dy

et igitur ex aequationibus (5)

χ -a=z — p(z-c); y-b=z —

q(z -t)

(9)

quae «quationes, cum Normalem

exprimant (sequ.

b)

mutati» scilicet a in x, b m y, c in 2, nos docent cen¬

trum sphaerse osculantis in hae linea situm esse. —

Re-

stat igitur ed aequationem sphaerae quaesitae

absolute de-

terminandam ^unam insuper quaerere aequationem, quee

cuin aequationibus_/ (8) et (9) comparata quantis a, b, R

det valöres definitos. Si secundam adhibeamus differen-

tiationem (6), tres procedunt

aequationes; unde

primi ordinis

clum( habeat, plenum tarnen secundi

ordinis contacéum

habere non posse. Quod etiam, ut jam supra in tertia praemonuimus, ex ipsa sphaerae natura

facile percipitur.

Quum igitur sphaera non nisi

secundum datam interse-

ctionem contingere possit superficiem superioris

ordinis,

circrulum osculantem ejus

quae data inlersectione

describitur. Ex aequationibus (91)

easque immediate sequente

observatione concludere licet,

hane intersectionem per Normalem seu ad ^{norm am}

piano

ducendam

Gum

intersectio-

nibus numero infinitis in eodem puncto datae superficiei

tot dissimiles curvae describi possint, inde sequitur, ut et sphaerae inaequales ^numero infiuitae possint contingere su-

\

13

pérficiem in dato puncto, et earum magnitudo e dire-

ctione intersectionis pendeat. Ut igitur sphsera quaesila

absolute determinata sit, illa directio prius determinetur, quod eo fit, ut proxime ad punctum contactus aliud de¬

terminetur punctum, per quod intersectio ^transeat. In

§«

secunda ponendo rationem inter incrementa h et k plane

indeterminatam omnia puncta proxitne ad punctum con¬

tactus inclusimus; hanc rationem determinavdo unum de-> ^.

terminabitur punctum. Posito igitur h — mk et coeifieien-

tibus primi ordinis positis zzz o series snpra allatae evadunt

Δ(/, £) ⁼ i

^ (r-r')m2· -f z{t-s')m

(t- /')

&c·

Δ(ι} 2) —^

^ (r-?") mz 4- z{s

s")

t") 2 4. See.

Quo igitur illa Semper hac minor sit, a majori potestate

ipsius k ineipiat necesse est, unde sequitiir

(r-r')m2 + +(t-t')z=: ^{0 ....} (I0.) >

qu«e aequatio cum asquationibus (8) et (9) comparata per eliminationem quantis a, b, t, R dat valöres dtflriitos.

Yalores ipsorum r', /, t per differentiationem ita ^{deter-^}

minantur

- '

^P_

... · ~~ — ~dxg~e ■ ~~

y

dp äq x'-a dz y'-b dz'

dy dx [z-f)a dy' (z-c)x dx

ι3

ι dz dz' _pq

ζ-c dx dy ζ- c

da ι y- b dz l

t' ΞΞ —-,— ;— -f~ > r (z ~i~ 1 )·

dy ζ- c (ζ-ή dy z-c

Hos valöres in scquatione (10) ponendo

lit

(''+ΐτ )"*+ 2(' ⁺ vh)'"+('+ 'ΐτ)""0 ^{(l 0}

υ ηde

(/4-P2·)ni* + zpqm ~f 0 +42) ^■

rmz Hh zsm -j- t

quem valorem brevilatis caussa

designemus

Μ, iE·

quationes (8], (q),

(υ)

ipsorum a,b,c} R

valöres

a= χ'-fr-pM; b ^{~ y} ·+· qM; c— Λ?;

i? -

R dicitur Radius Curucitiirtz datae superficiei secundum

earii intersectionem, cujus projectionem in piano xy tan- git ea linea, quae per aequatiönem

h

mk definiturr unde

sequitur, ut m designet

Tangenten! ejus anguli,

hsec

linea cum axi ipsorum y format.

§· 6·

Valoren) ipsius m posuimus arbitrarium. Inde se-

ι4

quitur, irt R indefinitum numerura valorum inter se in- sequalium acciperé possit. Si ex. gr. ponamus

m —o vel m — oc

fit JBf= —

llhX-

Onde R fil Radhit Curvaturw ejus intersectionie, cujus li-

nea tångens parallela est in primo casu axi ipsorum y, in secundo axi ipsorum x. Quamvis igitur valör ipsius

R e valöre ipsius m plane pendeat, inde concludere non

licet, maximum vel minimum ^valorem ipsius m tribuere ipsi R maximum vel minimum valorem. Si hos valöres

ipsius R quaerere velimus, ope Calculi Differentialis habe-

dR dM di Μ

oimus ^—— vel, quod idem est, —o etproinde ^-

«*» dm ämz

vel < vel >o. Cum igitur jam sit

M

(/ +pz)m* zpqm + (/ -f gz)

rmz -f- zm -J- t erit utique

dM 2

K' +Pql

dm rm2 21m -|- i

(vma ~f- zsm -f- /j2.

ι5

Habe bimus igitur

-4-pz)mz 2pqm

-}- (/+<72)^ ^(rm -f· ')

rmz -f· 2sm -J- t

-—)('+ P*\m +

I

quae asquatio, facta reductione, terminis secundma digni-

tåtes ipsius m in ordinem redactis, erit

^pqr-(i-\-pz)r\niz-+· ^qz)r-{i + ρ2)ί\ηί

[ιqz)s~ptq — o . . .

(ia)

et si brevitatis caussa ponamus

pqr-{i pz)s— a,; (i -f-

q*)f- (* Hl·

β»

(frfe- qz)*-ptq-y --

fit

ccmz -4-/3«ι -{-γ m o

aequatio oonditionalis secundi gradus, quae sequentes

duoä

dat ipsi m valöres

—β± K/3a -4*zy

m — 1 >

20C,

fjuorurti alter

respondet maximo ipsius R valori, alter

minimo.

Si coordinatae ita transformentur, ut punctum con-

tactus fiat origo et planum tångens

fiat planum ipsorum

ι6

χ_ι yi fiat liecesse est

x'

quo denique aequatio (12)

fit

sm2,(t-r)m-s—o

. Λ

yel ib2, _-ρ

I—yn~ ^ι

o.

Sint fri7 fri' duse hujus aequationis radiees, e

theoria

quationum hane habebimus aequationenx

m . m —- t

vel tri,m" ι— o (15).

.... /

Cum igitiir m\ fri' denotent Tangentes angulorum, quos efficiunt directiones intersectionum cum axi ipsorum y>

ex aequatione (i5) coucludere licet, bas intersectiones,

qusc scilicet dent altera maximum altera minimum valo¬

rem Radii Curyaturee, sibi invicem ad ^{normam esse} diri-

gendas.