• No results found

johanIi jacobo hebrén

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "johanIi jacobo hebrén"

Copied!
12
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

DE C ONT ACTU SUPERFICIERUM l OBSERVATIONES.

dissertatio,

quam

VENIA AMPL. FACULT. PHILOS. UPSAL.

p. p.

mag. CAROLUS ADOLPHÜS FORSSELL

ad gymnasium gevax. vicarhjs math. lector

et

ANDREAS ALEXANDER BERGER

VERMEL. STIF.LEHEL.

·.. ·

in audit, gustav, die xi febr. mdcccxxxvii.

η. ρ. m. s.

P. II.

υ Ρ S A L I Μ

liicudesant hegge α ca demi/5 t-ypogr λγιιι.

(2)
(3)

in sa cr am regjam majestatem magna: fidet viro,

UrOECESEOS eincopensis episcopo?

regii ord1nis dg stella püealll gommendatori,

ord1nis regis caroei xiii equiti, s. s. theo!, ogl·® doctori,

r εverendi ssi mo domino

johanIi jacobo hebrén

avuncülo summa mcutis

pictate colciiilo

Sac r tim

Toluit, debuit Α. A. BERG er.

(4)
(5)

9 et igitur ex sequ.

(5)

A rr: ρ; B etf,

unde heec erit plani tangentis

cequatio absolute data

z~z~p(x~x)+

qty-y*)

. . . : :

(7 a)·

Si in hac successive ponamus

z~o, xzizo, i/rro,

sequentes tres, qua denotant plani intersectiones cum

tri-

bus planis coordinatarum,

habebimus aequationea

y=2 ~x 4-

f-x'

ζ

1 Ί

y =ζ-}-~* +

y'

-2 " ·

1 1

1 '1 > 1 <

xzzz ζ Α- X 4- v ζ.

Ρ Ρ

Linea, quse concipitur per punctum contactus qualitercun-

que transire, bis

duabus in

genere

exprimitur aequatio-

nibus

x-x z=za(z-z); y-y

=.b{z-z);

si vero,piano tangenti

ad

normam

ducta quaerituf, proje-

ctiones ejus in planis

coordinatarum

xz

et

yζ

sint ad

normam intersectionibus plani tangentis necesse est}

unde

bae derivantur ad constantia a et b determinanda sequatio-

nes necessariae

(6)

ΙΟ

α b

-f- ιζζιο, -f-/ ~ o

V q

ideoque a zu-ρ, bzzz-q.

jEquatianes igitur quaesitae lineae, quae

Normalii dicitur,

hae sunt

x~x'=z-p(z-z);

y-y'=z-q{z-z)

. . . (7 b).

§. 5.

Si sphaeram quaeramus,

inter

quam et

superfieiem

utcunque absolute dataro

zz=:F(x,y) nuila omnino, in

punctis, quoe ipsi dato sunt proxima, alia quaelibet duci possit sphaera, erit utique

(x-a)z +{y~by +(z- c)2· = Rz

universalis forma aequationis, quae nullam non exprimit sphaeram$ unde patet, sphaeram arctiorem quam primi or- dinis habere contactum. Si in hac sequatione pro x, y. ζ ponamus x\ y\ coordinatas

puncti

contactus,

erit

(χ-αγ +

{y-bY + {*'-

. . . ,

(8)

una ex quattuor aequationibus, quae ad constantia a,

b,

r, R determinanda necessarise sunt. Deinde per differen-

tiationem habebimus

/ dz χ -α , dz

y'

- b

^ dx

q~~dy

ζ c

et igitur ex aequationibus (5)

(7)

χ -a=z p(z-c); y-b=z

q(z -t)

. . ,

(9)

quae «quationes, cum Normalem

exprimant (sequ.

7

b)

mutat scilicet a in x, b m y, c in 2, nos docent cen¬

trum sphaerse osculantis in hae linea situm esse.

Re-

stat igitur ed aequationem sphaerae quaesitae

absolute de-

terminandam unam insuper quaerere aequationem, quee

cuin aequationibus/ (8) et (9) comparata quantis a, b, R

det valöres definitos. Si secundam adhibeamus differen-

tiationem (6), tres procedunt

aequationes; unde

patet, spbaerain, quamvis aretiorem quam

primi ordinis

conta-

clum( habeat, plenum tarnen secundi

ordinis contacéum

habere non posse. Quod etiam, ut jam supra in tertia praemonuimus, ex ipsa sphaerae natura

facile percipitur.

Quum igitur sphaera non nisi

secundum datam interse-

ctionem contingere possit superficiem superioris

ordinis,

problema fit qiiccrere

circrulum osculantem ejus

curvae,

quae data inlersectione

describitur. Ex aequationibus (91)

easque immediate sequente

observatione concludere licet,

hane intersectionem per Normalem seu ad norm am

piano

tangenti necessario

ducendam

esse.

Gum

vero

intersectio-

nibus numero infinitis in eodem puncto datae superficiei

tot dissimiles curvae describi possint, inde sequitur, ut et sphaerae inaequales numero infiuitae possint contingere su-

\

(8)

13

pérficiem in dato puncto, et earum magnitudo e dire-

ctione intersectionis pendeat. Ut igitur sphsera quaesila

absolute determinata sit, illa directio prius determinetur, quod eo fit, ut proxime ad punctum contactus aliud de¬

terminetur punctum, per quod intersectio transeat. In

§«

secunda ponendo rationem inter incrementa h et k plane

indeterminatam omnia puncta proxitne ad punctum con¬

tactus inclusimus; hanc rationem determinavdo unum de-> .

terminabitur punctum. Posito igitur h mk et coeifieien-

tibus primi ordinis positis zzz o series snpra allatae evadunt

Δ(/, £) = i

^ (r-r')m2· -f z{t-s')m

4-

(t- /')

$ 4-

&c·

Δ(ι} 2) ^

^ (r-?") mz 4- z{s

-

s")

m

t") 2 4. See.

Quo igitur illa Semper hac minor sit, a majori potestate

ipsius k ineipiat necesse est, unde sequitiir

(r-r')m2 + +(t-t')z=: 0 .... (I0.) >

qu«e aequatio cum asquationibus (8) et (9) comparata per eliminationem quantis a, b, t, R dat valöres dtflriitos.

Yalores ipsorum r', /, t per differentiationem ita deter-^

minantur

- '

^P_

1 χ- a dz - ι

... · ~~ ~dxg~e ~~

y

dp äq x'-a dz y'-b dz'

dy dx [z-f)a dy' (z-c)x dx

(9)

ι3

ι dz dz' pq

ζ-c dx dy ζ- c

da ι y- b dz l

t' ΞΞ —-, ;— -f~ > r (z ~i~ 1

dy ζ- c (ζ-ή dy z-c

Hos valöres in scquatione (10) ponendo

lit

(''+ΐτ )"*+ 2(' + vh)'"+('+ 'ΐτ)""0 (l 0

υ ηde

(/4-P2·)ni* + zpqm ~f 0 +42)

rmz Hh zsm -j- t

quem valorem brevilatis caussa

designemus

per

Μ, iE·

quationes (8], (q),

(υ)

dant sequentes

ipsorum a,b,c} R

valöres

a= χ'-fr-pM; b ~ y ·+· qM; c Λ?;

i? -

R dicitur Radius Curucitiirtz datae superficiei secundum

earii intersectionem, cujus projectionem in piano xy tan- git ea linea, quae per aequatiönem

h

mk definiturr unde

sequitur, ut m designet

Tangenten! ejus anguli,

quem

hsec

linea cum axi ipsorum y format.

§· 6·

Valoren) ipsius m posuimus arbitrarium. Inde se-

(10)

ι4

quitur, irt R indefinitum numerura valorum inter se in- sequalium acciperé possit. Si ex. gr. ponamus

m o vel m oc

fit JBf= —

llhX-

γ©! Jlf=—

Onde R fil Radhit Curvaturw ejus intersectionie, cujus li-

nea tångens parallela est in primo casu axi ipsorum y, in secundo axi ipsorum x. Quamvis igitur valör ipsius

R e valöre ipsius m plane pendeat, inde concludere non

licet, maximum vel minimum valorem ipsius m tribuere ipsi R maximum vel minimum valorem. Si hos valöres

ipsius R quaerere velimus, ope Calculi Differentialis habe-

dR dM di Μ

oimus —— vel, quod idem est, o etproinde -

«*» dm ämz

vel < vel >o. Cum igitur jam sit

M

(/ +pz)m* zpqm + (/ -f gz)

rmz -f- zm -J- t erit utique

dM 2

K' +Pql

dm rm2 21m -|- i

(vma ~f- zsm -f- /j2.

(11)

ι5

Habe bimus igitur

-4-pz)mz 2pqm

-}- (/+<72)^ (rm -f· ')

rmz -f· 2sm -J- t

-—)('+ P*\m +

Η

I

-°>

quae asquatio, facta reductione, terminis secundma digni-

tåtes ipsius m in ordinem redactis, erit

^pqr-(i-\-pz)r\niz-+· qz)r-{i + ρ2)ί\ηί

[ιqz)s~ptq o . . .

(ia)

et si brevitatis caussa ponamus

pqr-{i pz)s a,; (i -f-

q*)f- (* Hl·

=r

β»

(frfe- qz)*-ptq-y --

fit

ccmz -4-/3«ι -{-γ m o

aequatio oonditionalis secundi gradus, quae sequentes

duoä

dat ipsi m valöres

β± K/3a -4*zy

m 1 >

20C,

fjuorurti alter

respondet maximo ipsius R valori, alter

minimo.

Si coordinatae ita transformentur, ut punctum con-

tactus fiat origo et planum tångens

fiat planum ipsorum

(12)

ι6

χι yi fiat liecesse est

x'

=o, y—o, 2—0, p o, ^ =0;

quo denique aequatio (12)

fit

sm2,(t-r)m-so

. Λ

yel ib2,

I—yn~ ι

o.

Sint fri7 fri' duse hujus aequationis radiees, e

theoria

x-

quationum hane habebimus aequationenx

m . m - t

vel tri,m" ι o (15).

.... /

Cum igitiir m\ fri' denotent Tangentes angulorum, quos efficiunt directiones intersectionum cum axi ipsorum y>

ex aequatione (i5) coucludere licet, bas intersectiones,

qusc scilicet dent altera maximum altera minimum valo¬

rem Radii Curyaturee, sibi invicem ad normam esse diri-

gendas.

References

Related documents

aeqiu ζ~φ(χ, y) contineat tria quanta constantia, hsec superficies contactum primi ordinis cum proposita habere dicitur, quia ad eam determinandam tantummodo ooeffi-..

107 However, in the Commission’s opinion, this would require measures covered by Article 6(2)-(4) of the Habitats Directive. The viewpoint of the European Commission, as

fundamento non dedituitur didin&amp;io hacc inter attributa divina j quod tamen. non in ipfo Deo

nifi tnalis 7toc^cc prceter pudorem — Prsepofitiones, fi^quis miretur, quid fit, quod Genitivo Cafui junftns in iingua Grseca, contra rrorem aliarum , reperiat, obfervare

20. 7ϊνςγον) appellare moris erat fortisfimum quencquc prcvpu-.. Ulum lugent fummi &amp; infimi, il quid pasfus huma-.

Stammt lhr von dem Alcides nicht IJl euch das Leben nicht verhafst W Ein umbefiegt Gefchlecht.. Ihr kennt ja

vel formas infinitas, imo contrarias in eodé numero fup- pofito , etiam fine debita cujuslibet forma; difpoiitione. materiali eile aflerunt; vel deniq; accidens (fi

2b© A lma-lettf ttold Mining property consists of a number of vld and well known, forasrly produotive,mialng claims at Perk City,ne&amp;r J4ma, Colorado.. these