LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN

Sida 1 av 6

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN

INLEDNING

LINJÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER

En DE är linjär om den är linjär med avseende på den obekanta funktionen och dess derivator. Detta betyder att en linjär ODE kan skrivas på formen

) ( ) ( )

( )

( ...

) ( )

(x y^{( )} a ₁ x y^{( 1)} a₂ x y a₁ x y a₀ x y f x

a_n ⁿ  _n ^n      (ekv 1)

Om höger sidan i (ekv1) är noll har vi en linjär homogen DE, 0 ) ( )

( )

( ...

) ( )

(x y^{( )}a _1 x y^{( 1)} a₂ x ya₁ x ya₀ x y

a_n ⁿ _n ⁿ (ekv 0)

Notera att vi kan beteckna n:te derivatan på olika sätt.

y D dx y

d dx

y

y d _n ⁿ

n n n

n⁾   ( )

( .

Oftast betecknar vi vänsterledet i ekvationen med L( y) och därmed själva ekvationen med )

( ) (y f x

L  (ekv1)

Om )a_n(x inte är identiskt noll då är ekvation då har (ekv1) ordning n. Genom att dela (ekv1) med a_n(x)0skriver vi ekvationen på s.k. standardform (eller normalform ).

Linjär kombination av lösningar till en homogen ekvation är också en lösning till ekvationen.

1. L(y₁(x) y₂(x))L(y₁(x))L(y₂(x)) Bevis.

)) ( ) ( )(

( ) ) ( ) ( )(

( ...

)) ( ) ( )(

(

)) ( ) ( (

2 1

0 2

1 1 )

( 2 1

2 1

x y x y x a x y x y x a x

y x y x a

x y x y L

n

n      





{ Vi använder deriveringsregler (y₁(x)y₂(x))^(k) (y₁(x))^(k)(y₂(x))^(k) och därefter grupperar uttryck som innehåller y₁(x) resp. y₂(x).}

Sida 2 av 6 ))]

( )(

( ) ) ( )(

( ...

)) ( )(

( [

))]

( )(

( ) ) ( )(

( ...

)) ( )(

( [

2 0 2

1 )

( 2

1 0 1

1 )

( 1





















x y x a x y x a x

y x a

x y x a x y x a x

y x a

n n

n n

=L(y₁(x))L(y₂(x)) V.S.B

På liknande sätt visar man att operator L har följande egenskaper:

1. ))L(y₁(x) y₂(x)_ y_k(x))L(y₁(x))L(y₂(x))_L(y_k(x 2. L(Cy₁(x))CL(y₁(x))

och därmed

3. ))L(C₁y₁(x)C₂y₂(x)_C_ky_k(x))C₁L(y₁(x))C₂L(y₂(x))_C₂L(y_k(x Härav följer direkt följande sats

Sats 1. Om y₁(x),y₂(x),....,y_k(x) är lösningar till homogena DE (ekv 0) så är också linjära kombinationen C₁y₁(x)C₂y₂(x)_C_ky_k(x) en lösning till samma DE.

Bevis:

)) ( ( ))

( ( ))

( ( ))

( )

( )

(

(C₁y₁ x C₂y₂ x C y x C₁L y₁ x C₂L y₂ x C₂L y x

L  _ _{k k}   _ _k =

(eftersom )y₁(x), y₂(x),....,y_k(x är lösningar har vi L(y₁(x))=0, …,L(y_k(x))0) 0

0 0

0 _{2 2}

1      

C C  C .

Med andra ord är C₁y₁(x)C₂y₂(x)_C_ky_k(x) en lösning till (ekv0).

Sats 2. Om Y_H( x)är den allmänna lösningen till homogena ekvationen (ekv 0) och y_p( x) en partikulär lösning till icke homogena (ekv 1) så är

) ( ) ( )

(x Y x y x

y  _H  _p

den allmänna lösningen till icke homogena (ekv 1) .

Bevis. i) Anta att y_h( x) är en lösning till (ekv0) och att y_p(x)är en lösning till (ekv1).

Då gäller L(y_h(x))0 och L(y_p(x)) f(x) Låt )z y_h(x)y_p(x . Vi har

) ( ) ( 0 )) ( ( )) ( ( )) ( ) (

(y x y x L y x L y x f x f x

L _h  _p  _h  _p    .

Sida 3 av 6 Alltså är y_h(x) y_p(x)en lösning till ekv1.

ii) Anta nu att y y(x) är en godtycklig lösning till (ekv1). Vi kan skriva )

( )) ( ) ( ( )

(x y x y x y x

y   _p  _p (*)

Eftersom 0L(y(x) y_p(x))L(y(x))L(y_p(x)) f(x) f(x) . Alltså är y(x) y_p(x)en lösning till homogena (ekv 0).

Om vi betecknar y_h(x) y(x) y_p(x) visar (*) att en godtyckligt lösning till (ekv 1) kan skrivas som y(x) y_h(x)y_p(x).

Vi har visat i) att summan y_h(x) y_p(x) är en lösning till (ekv 1) och

ii) att varje lösning till (ekv 1) kan skrivas som summan av en lösning till homogena (ekv 0) och en partikulär lösning till ickehomogena (ekv1) .

Därmed har vi bevisat satsen.

---

Definition. Begynnelsevärdesproblem av ordning n är problemet att hitta en lösning till (ekv1) som uppfyller följande n villkor (begynnelsevillkor) i en punkt x : x₀

0 0) (x y

y  , y(x₀) y₁,…, y^(n1)(x₀) y_n1. (B1)

Funktionen )y f(x är en lösning till ovanstående begynnelsevärdesproblem på intervallet )

,

( ba (som kallas lösningens existensintervall) om y f(x) satisfierar (ekv1) för alla )

, ( ba

x och dessutom f(x₀) y₀, f(x₀) y₁,…, f^(n1)(x₀) y_n1.

Sats 4.1.1 EXISTENS –OCH ENTYDIGHETSSATS FÖR EN LINJÄR DE AV n-te ORDNINGEN

(Th. 4.1.1 Existence of a Unique Solution, Zill, Wright)

Anta att koefficienterna a_k(x) och f(x) i differentialekvationen ) ( ) ( )

( )

( ...

) ( )

(x y^{( )} a ₁ x y^{( 1)} a₂ x y a₁ x y a₀ x y f x

a_n ⁿ  _n ^n      (ekv1)

Sida 4 av 6

är kontinuerliga funktioner i ett öppet intervall )I ( ba, och att a_n(x)0 i detta intervall.

Låt x vara en punkt i intervallet ₀ ( ba, ) och låt y , ₀ y₁,…, y_n1 vara godtyckliga konstanter (begynnelsevärden).

Då existerar på intervallet ( ba, ) en och exakt en lösning till begynnelsevärdesproblem

0 0) (x y

y  , y(x₀) y₁,…, y^(n1)(x₀) y_n1.

Anmärkning: Enligt ovansående satsen är lösningen definierad på hela intervallet ( ba, ) om alla koefficientfunktioner är kontinuerliga där.

Exempel. Visa med ovanstående existens- och entidighetssats att begynnelsevärdesproblem

4 ) 3 ( , 2 ) 3 (

, sin 1 3

) 2 (

 







 

 

y y

x y

x y y x x

har exakt en lösning och ange lösningens existensintervall.

Lösning:

Vi kollar om det finns ett intervall som innehåller punkten x =3 där gäller att ₀ V1: alla koefficienter är kontinuerliga och V2 ledande koefficient är skild från 0.

Villkor 1: Alla koefficienter dvs. a₂(x) x( 2), ) 1

1(  

x x x

a a₀(x)3 och x

x f( )sin

är kontinuerliga om x1.

Villkor 2: Den ledande koefficienten a₂(x) x( 2) är skild från noll om x2. Alltså är villkoren i satsen uppfyllda i ett intervall runt punkten x =3 om intervallet inte ₀ innehåller punkten 2. Den största sådant intervall runt punkten x =3 och som uppfyller de ₀ två villkoren för existens- och entidighetssatsen är I  ,(2 ).

Svar: Det största existensintervallet är I  ,(2 ).

--- Randvärdesproblem för en linjär DE av andra ordningen

Sida 5 av 6

För en linjär DE av andra ordningen har vi oftast villkor givna i två olika punkter x= a och x=b, dvs i ändpunkter (=randpunkter) till ett intervall (a,b). Sådana villkor kallas

randvillkor.

Hår är några exempel på randvillkor i randpunkterna a och b:

i) y(a)5 , y(b)3. ii) y a( )1, y b( )2. iii) y(a)5 , y b( )2.

iv) 2y(a)3y(a)0 , 3y(b)2y(b)3

Problem att lösa en DE tillsammans med randvillkor kallas för randvärdesproblem.

Exempel: Bestäm den lösning till ekvationen x

y

som uppfyller följande två randvillkor 1

) 0 ( 

y och y(1)0.

Lösning: Först bestämmer vi (som vanligt) den allmänna lösningen till yx (som är en väldigt enkel ekvation; andra derivatan är given, bestäm y(x)):

Första integrationen ger ₁

2

2 C

y x  .

Vi integrerar en gång till och får _{1 2}

3

6 Cx C

y x   (den allmänna lösningen).

Villkor 1 dvs y(0)1 ger 100C₂C₂ 1

dvs 1

6 ¹

3  

 x C x y

Villkor 2 ger

6 1 7

6

0 1C₁ C₁ och därmed är

6 1 7 6

3  

 x x

y lösningen till randvärdesvärdesproblemet

Sida 6 av 6

Anmärkning: Till skillnad från begynnelsevärdesproblem kan ett randvärdesproblem ha oändligt många lösningar trotts att alla koefficientfunktioner är kontinuerliga som vi ser i följande exempel.

Exempel. Lös följande randvärdesproblem.

0 9 

 y

y ,

0 ) 0 ( 

y , ) 0

(3 

y .

Lösning: Ekvationen är en homogen linjär DE av andraordningen . Lösningsmetoden för sådana ekvationer har man lärt sig i kursen ”envariabelanalys”.

Vi använder ansatsen ye^rx . Detta ger den karakteristiska ekvationen 0

2 9

r som har två komplexa lösningar r_1,2 03i.

Med hjälp av de komplexa lösningarna definierar vi två baslösningar ( fundamental lösningsmängd)

x x

e

y₁  ^0xsin3 sin3 och y₂ e^0xcos3xcos3x.

Därmed är den allmänna lösningenyC₁y₁C₂y₂ C₁sin3xC₂cos3x.

Nu bestämmer vi vilket/ vilka lösningar bland yC₁sin3xC₂cos3xuppfyller randvillkor.

Villkor 1 y(0)0 ger 0C₁sin0C₂cos00C₂. Därmed yC₁sin3x uppfyller villkor 1.

Nu använder vi villkor 2: ) 0 sin( ) 0 0

3 3 sin(

0 ₁    ₁   

C

C som är uppfylld för alla

C1. Därmed satisfierar alla funktioner yC₁sin3xrandvärdesproblemet.

Alltså har vårt randvärdesproblem oändligt många lösningar, trots att koefficientfunktioner (som är konstanter 1, 0 och 9) är kontinuerliga funktioner.