Om exponentialfunktioner och logaritmer

(1)

Om exponentialfunktioner och logaritmer

Analys360 (Grundkurs) Instuderingsuppgifter

Dessa övningar är det tänkt du ska göra i anslutning till att du läser huvudtexten. Den tänkta gången är som följer:

a) Läs igenom huvudtextens kapitel en fösta gång.

b) Starta sedan en andra genomläsning av detta, där du efter varje avsnitt gör de övningar här som hör till det avsnittet.

De flesta av övningarna har, om inte lösningar, så i varje fall anvisningar till hur uppgiften kan lösas. Ha dock inte för bråt- tom att titta på lösningarna – det är inte så man lär sig. Du måste först noga fundera ut vad det du inte förstår.

c) När du på detta sätt läst igenom kapitlet en andra gång, av- sluta med en tredje genomläsning innan du börjar på de blan- dade övningarna.

Glöm inte att hela tiden reflektera kring vad du lär dig. Saker som är svåra att förstå kräver ibland att man tänker under en längre period.

Ibland måste man bara lära sig hur man gör, för att förstå lite senare (när hjärnan fått mer att arbeta med).

Till dessa övningar behövs ofta en miniräknare eller motsvarande för att bestämma det slutliga svaret.

Exponentialfunktionen och dess egenskaper

Övning 1 Skissera i samma figur in följande grafer y=e^x, y=e^x⁺¹, y=2e^x, y=e^x+2.

Övning 2 Rita i samma figur ut de två graferna y=e^|^x^|, y=e^−|^x^|.

Eftersom vi vet vad exponentialfunktionens derivata är, kan vi också derivera uttryck som innehåller den.

Övning 3 Derivera följande funktioner:

a) (x²−x+3)e^x, b) e⁻^x/x c) e^x²⁻^2x. d) x²e

√x−_x/2

Det viktigaste i kapitlet är kanske exponentialfunktionens egenskaper (tillsammans med logaritmfunktionens, men de är samma, fast tvärtom).

Övning 4 Kontrollera att du själv kan härleda exponentialfunktionens två grundläggande egenskaper:

e^x⁺^y=e^x·e^y, (e^x)^y=e^xy

utan att titta i texten. Var tydlig med hur man använder att en differentialekvation har en entydig lösning.

Nu tittar vi närmare på derivatan, som ju är ett gränsvärde.

Övning 5 Beräkna

xlim→0

e^3x−₁

x ?

I följande övningar behöver man veta att ekvationen e^x = y löses av x=ln y och kunna hitta denna funktion på en miniräknare (eller motsvarande). Det är det grundläggande sambandet mellan exponentialfunktionen och den naturliga logaritmen.

Övning 6 I en viss bakteriekultur ändras antalet bakterier med en hastighet som är proportionell mot antalet bakterier. Antag att antalet bakterier vid en viss tidpunkt är 4·₁₀⁶celler, och två timmar senare har kulturen vuxit till 10⁸celler. Bestäm antalet bakterier som en funktion av tiden.

Övning 7 För ett visst radioaktivt ämne är sönderfallshastigheten 20% per sekund. Hur lång tid tar det tills hälften av ämnet återstår?

Följande övning svarar mot Exempel 2 i huvudtexten. Den är viktig att komma ihåg!

Övning 8 Under 75 år släppte Fexfast Rubber Company i Massachu- setts, USA, kontinuerligt ut 5 ton av lösningsmedlet toluen per år. Un- der ett år avdunstade ungefär 10% av den mängd toluen som fanns i marken. Hur stor mängd förorening fanns i marken då utsläppen upphörde?

En i övningar ofta använd variant på detta finns i nästa övning.

Övning 9 Man har experimentellt verifierat att en varm kropp, som befinner sig i ett kallare medium, svalnar med en hastighet som är proportionell mot temperaturskillnaden (Newtons avkylningslag).

a) Ange en differentialekvation för kroppens temperatur som beskriver en sådan avkylningsprocess, om det omgivande mediet har konstant temperatur. Ange därefter en differentialekvation för temperaturskillnaden mellan mediet och krop- pen. Vilken variabel är lättast att analyser: kroppens temperatur eller skillnaden mellan kropp och medium?

b) En kropp kyls i nollgradigt vatten. Om temperaturen på 10 minuter sjunker från 25^◦C till 20^◦C, hur lång tid tar det då till att den sjunkit till 15^◦C?

c) En nygräddad kanelbulle (200^◦C) har efter en minut i rumstemperatur (20^◦C) svalnat till 152^◦C. Efter hur lång tid kan bullen ätas (35^◦C)?

Nedanstående övning är ett exempel på kol-14-metoden. Skriv en ordentlig lösning som börjar med att plocka ut det viktigaste från exempel 3 i texten.

Övning 10 Mätningar från radioaktiviteten av träkol från Lascaux- grottan i Frankrike gav år 1950 0.97 sönderfall/år/g medan levande materia gav 6.68 sönderfall/år/g. För hur länge sedan gjordes grott- målningarna i denna grotta?

Den naturliga logaritmen

Följande övning är oerhört viktig.

Övning 11 Förklara logaritmlagarna utifrån motsvarande lagar för exponentialfunktionen.

För att bekanta sig med logaritmfunktionens graf är följande övning lämplig.

Övning 12 Skissera i samma koordinatsystem följande grafer:

y=ln x, y=ln(x+1), y= −ln x, y=ln(−x), y=ln 1 x+1. Var speciellt noggrann med definitionsområdet för funktionerna.

Här är en övning på räknelagarna.

(2)

Övning 13 Förenkla uttrycken a) ln(1+¹_x) −ln 1+ln x, b) ln(xe^2x) −ln(1/x) −ln(x²), c) e^ln⁽^2x⁾−ln(1/x²) +ln(e^x).

Övning 14 En person vill sätta in en så stor summa pengar i en bank, att han efter 10 år kan lyfta 100 000 kronor. Antag att bankens årsränta hela tiden är 8% (ränta på ränta), hur stort ska det insatta kapitalet vara?

Vi får också ett standardgränsvärde i origo för logaritmen. För att se vad detta syftar på, gör följande övning.

Övning 15 Beräkna i tur och ordning gränsvärdena

a) lim

x→₀

ln(1+x)

x . b) lim

x→₀

ln(1+3x) x

I texten såg vi att för att derivera funktionen x^πskriver man lämpli- gen om den som x^π=e^π^{ln x}och deriverar denna funktion. Vi får då derivatan πx^π⁻¹.

Övning 16 Använd samma idé för att derivera funktionen x^x.

Några tillämpningar av logaritmen

Det viktiga i detta avsnitt är att kunna besvara följande fråga.

Övning 17 Rita följande samband så att de framstår som räta linjer:

a)y=2^x, b)y=x², c)y=5·_1.25^x_, d)y=4/x, e)y=1/2^x f)y=√

x, g)y=0.33^x, h)y=2x⁻^1/2.

Du ska alltså välja axlarna lämpligt. Ange i varje fall ekvationen för linjen.

Övning 18 Beräkna följande gränsvärden

a) lim

x→_∞(1+¹

x)^2x b) lim

x→_∞(1+ ¹ 2x)^x

Vad växer snabbast?

Övning 19 Beräkna följande gränsvärden (även oegentliga)

a) lim

x→_∞

x⁸+4x+2^x

2^x+x⁶+1 , b) lim

x→_∞

e^x+ (2.5)^x+ln x 2e^x+x¹⁰

Övning 20 Skissera grafen till funktionen f(x) =xe⁻^1/xi stora drag.

Svar och anvisningar

Övning 1 Graferna är ritade nedan. För att identifiera dem notera att e^x⁺¹=ee^x>2e^x

och att y=2+e^xär en parallellförskjutning av y=e^xtvå steg uppåt.

Det är alltså den enda kurva som inte går mot noll då x→ −_∞.

−2 −1 0 1 2

0 5 10 15 20

t

y

Övning 2 Båda funktionerna är jämna, dvs f(−x) = f(x). Det betyder att vi kan rita upp hur den ser ut till höger om y-axeln, och sedan spegla den kurvan i just y-axlen. Den blå kurvan (som är≥1 överallt) är y = e^|^x^|, den röda (som är≤ 1 överallt) är y= e^−|^x^|. Notera att ingen av funktionerna är deriverbar i origo!

−2 −1 0 1 2

0 1 2 3 4

t

y

Övning 3 Låt D beteckna derivata.

a) Enligt produktregeln har vi att derivatan är

D(x²−x+3)e^x+ (x²−x+3)D(e^x) =e^x(x²+x+2). b) Enligt formeln för derivation av en kvot har vi att derivatan

är D(e⁻^xx−e⁻^xD(x)

x² = −^e

−x(1+x) x² c) Enligt kedjeregeln har vi att derivatan är

e^x²⁻^2xD(x²−_2x) =2(x−₁)e^x²⁻^2x d) Här kombinerar vi produktregeln och kedjeregeln:

D(x²)e

√x−_x/2

+x²e

√x−_x/2 D(√

x−_x/2)

=e

√x−_x/2

(2x+x²( ¹ 2√

x−¹ 2) =¹

2e

√x−_x/2

(−x²+x^3/2+4x).

Övning 4 Det här måste du gå igenom genom att studera huvudtexten. Dessa formler är nyckeln till att förstå exponentialfunktionen!

(3)

Övning 5 Det du ska se är att gränsvärdet är detsamma som derivatan av f(x) =e^3xi x=0:

f⁰(0) =lim

x→₀

f(x) −f(0) x−₀ =lim

x→₀ e^3x−₁

x , så svaret är 3.

Övning 6 Om y(t)är antalet bakterier vid tiden t och om vi startar klockan då vi har 4·₁₀⁶celler, så gäller att

y⁰(t) =ky(t)_, y(₀) =₄·₁₀⁶_.

Här är k okänt, men kan bestämmas av villkoret i uppgiften om vi löser differentialekvationen. Vi vet att lösningen är

y(t) =4·10⁶e^kt och det återstående villkoret är att

y(2) =10⁸ ⇔ ₄·₁₀⁶e^2k=10⁸ ⇔ e^2k=25 ⇔ e^k=5.

Här kan vi uttrycka k i logaritmer, men behöver inte göra det. Vi har nämligen att den allmänna lösningen är

y(t) =4·₁₀⁶(e^k)^t=4·₁₀⁶·₅^t_.

Övning 7 Ekvationen för y(t)som är antalet atomer som inte sönder- fallit vid tiden t är y⁰(t) = −0.2y(t)vars lösning är y(t) =y(0)e⁻^0.2t. Den tidpunkt t₁vid vilken hälften har sönderfallit ges då av ekvationen

y(0)

2 =y(0)e⁻^0.2t ⇔ e^t/5=2 ⇔ t=5 ln(2). Övning 8 Låt y(t)vara mängden (mätt i ton) förorening i marken vid tiden t, räknat från när fabriken togs i bruk. Då ger massbalans att så länge fabriken är i gång har vi differentialekvationen

y⁰(t) =5−_0.1y(t), y(0) =0.

För att lösa den sätter vi z(t) =5−y(t)/10. Då gäller att z⁰(t) = −y⁰(t)_/10= −z(t)_/10, z(₀) =₅−y(₀)_/10=_5.

Det betyder att

z(t) =5e⁻^t/10 ⇔ ₅−y(t)/10=5e⁻^t/10 ⇔ y(t) =50(1−e⁻^t/10). Vi får därför svaret

y(75) =50(1−e⁻^7.5) ≈49.9

ton.

Övning 9 Låt T(t)vara kroppens temperatur och Tmomgivningens temperatur.

a) Lagen innebär att det finns ett k>0 sådant att T⁰(t) = −k(T(t) −Tm).

Om vi sätter D(t) =T(t) −Tmså gäller att D⁰(t) =T⁰(t), och alltså att

D⁰(t) = −kD(t)_.

Den andra av dessa ekvationer kan vi lösningen på:

D(t) =D(0)e⁻^kt, vilken i sin tur ger oss T(t).

b) I detta exempel är Tm=0, så T(t) =D(t). Differentialekva- tionen är

T⁰(t) = −kT(t) ⇔ T(t) =T(0)e⁻^kt.

Villkoren i uppgiften är att T(0) =25 och T(10) =20, där det senare bestämmer k:

20=T(10) =25e⁻^10k ⇔ e^10k= ⁵

4 ⇔ k= ¹

10ln5 4.

Den allmänna lösningen på ekvationen är T(t) =25e⁻^kt, med detta k. Ti vill då hitta det t då T(t) =15:

15=25e⁻^kt ⇔ e^kt= ⁵

3 ⇔ t= ¹

kln5

3 = ^{10 ln}(5/3) ln(5/4) ^,

vilket är approximativt 23 minuter. Det tar alltså ytterligare 13 minuter.

c) Låt T(t)vara bullens temperatur i Celsius. Då är T(0) =200 och

T⁰(t) = −k(T(t) −20) ⇔ T(t) =20+180e⁻^kt.

Vi bestämmer k av att

20+180e⁻^k=152 ⇔ e⁻^k= ¹³²

180 ⇔ k=ln180 132.

Tiden vi söker är lösningen på 20+180e⁻^kt=35, alltså

t= ¹ kln180

15 = ^ln(_180/15) ln(180/132) ≈₈

minuter.

Övning 10 Ekvationen för radioaktivt kol är

N⁰=p−_λN, _λ=1.245·₁₀⁻⁴_, p=6.68λ

så länge trädet lever. Därefter blir ekvationen N⁰= −λNmed start- värde N(₀) = p/λ = 6.68. Vi ska därför hitta det t som är sådant att

0.97=6.68e⁻^λt ⇔ t= ¹ λln6.68

0.97≈₁₅₅₀₀

år. Det var så länge sedan grottmålningarna gjordes.

Övning 11 Detta är en oerhört viktig sak att kunna förklara på ståen- de fot. I korthet, om vi skriver x=e^αoch yE^βså gäller att

e^α⁺^β=e^α·e^β=xy ⇔ _α+β=ln(xy).

Men α =ln x och β=ln y, varur logaritmlagen ln(xy) =ln x+ln y följer. För mer detaljer, se Arbetsbladet om logaritmlagar.

Övning 12 Definitionsområdena är (från vänster till höger)

(_0,∞), (−1,∞), (_0,∞), (−_{∞, 0}), (−1,∞).

Vidare gäller att första och tredje är spegelbild av varandra i x-axlen, liksom andra och femte (därför att ln_x₊¹₁= −ln(x+1).

(4)

−4 −2 2 4

−2

−1 1 2

t y

Övning 13 Vi kan först notera att i alla fall krävs att x>_{0 eftersom} minst en term kräver detta.

a) ln(1+1/x) −ln 1+ln x=ln(x(1+1/x)) =ln(x+1). b) ln(xe^2x) −ln(1/x) −ln(x²) =ln(xe^2x) +ln_x^x2) =ln(^xe_x^2x) =

ln(e^2x) =2x.

c) e^ln⁽^2x⁾−_ln(_1/x²) +_{ln e}^x=_2x+_{ln x}²+x=_3x+_{2 ln x.}

Övning 14 Detta handlar om derivatan av logaritm-funktionen a) Detta är derivatan i x = 1 av ln x, alltså är gränsvärdet 1.

Alternativt är gränsvärdet derivatan i x = 0 av funktionen ln(1+x). Detta är oftare ett bättre sätt att tänka på uttrycket.

b) Detta är derivatan i x=0 av ln(1+3x). Svaret är alltså 3.

Övning 15 Låt f(x) =x^x. Vi kan då skriva om den som

f(x) = (e^{ln x})^x=e^{x ln x},

där den andra likheten använder potenslagen(x^a)^b = x^ab. Kedjere- geln ger nu

f⁰(x) =e^{x ln x}(x ln x)⁰=x^x(ln x+1).

Kom ihåg det här resultatet! Eller snarare, tricket.

Övning 16 Vi får följande samband i de olika fallen:

a) ln y= (ln 2)x. Rita i ett linlog-diagram (linjär skala på x-axeln, logaritmisk på y-axeln).

b) ln y=2 ln x. Rita i ett loglog-diagram.

c) ln y= (ln 1.25)x+ln 5. Rita i ett loglog-diagram.

d) ln y=ln 4−ln x. Rita i ett loglog-diagram.

e) ln y= −(ln 2)x. Rita i ett linlog-diagram.

f) ln y= ¹₂ln x. Rita i ett loglog-diagram.

g) ln y= (ln 0.33)x. Rita i ett linlog-diagram. Notera att linjen är avtagande, eftersom ln 0.33<0.

h) ln y=ln 2−¹

2ln x. Rita i ett loglog-diagram.

Övning 17 Vi vet att e=limx→_∞(1+¹_x)^x. Detta ger

a) (1+¹_x)^2x=(1+¹_x)^x²→e²då x→∞. Här har vi använt att om f(x) → A då x → ∞ och g är en kontinuerlig funktion, så gäller att g(f(x)) →g(A)då x→∞. Att så är fallet betraktar vi som självklart, även om det kräver ett bevis ifrån en ordentlig definition av gränsvärden.

b) När x→∞ gäller även att y=2x→∞. Vi kan därför “byta variabel” som nedan

xlim→_∞(1+ ¹

2x)^x= lim

y→_∞(1+¹

y)^y/2= (lim

y→_∞(1+¹

y)^y)^1/2=√ e.

Övning 18 Vi använder här diverse intuitivt självklara påståenden om gränsvärden. Självklara om vi först skriver om uttrycken.

a) Från huvudtexten vet vi att av de termer som ingår växer 2^x snabbast mot oändligheten. Vi dividerar därför både täljare och nämnare med 2^x:

x⁸

2^x +^4x₂x +1 1+₂^xx⁶+₂¹x

.

När x är stor kommer här alla termer som beror av x att gå mot noll, så gränsvärdet blir=_1.

b) Här har vi två exponentialfunktioner: e^xoch(2.5)^x. Eftersom e > 2.5 > 2, så är det e^xsom växer snabbast. Vi dividerar därför med den och får

1+ (^2.5_e )^x+^{ln x}_ex +1 2+^x_e¹⁰x

→¹+0+0 2+0 = ¹

2 då x→_∞.

Nästa uppgift är väldigt lik Exempel 5 i huvudtexten (och kan härle- das ur det, utan några räkningar om man vill).

Övning 19 Sätt f(x) = xe⁻^1/x. Det första vi ser är att den inte är definierad i x=0. Vi har att

xlim→0⁺xe⁻^1/x= _lim

y→_∞ e⁻^y

y =₀

och (sätt y= −1/x)

xlim→₀⁻xe⁻^1/x= lim

y→_∞−^e

y

y = −_∞

eftersom e^y växer fortare mot oändligheten än y. Vad gäller sneda asymptoter har vi att

a) i∞ gäller att

k= lim

x→_∞ xe⁻^1/x

x =1,

m= lim

x→_∞(xe⁻^1/x−x) = lim

y→0⁺

e⁻^y−₁

y = (e⁻^y)⁰(0) = −1,

b) i−∞ gäller att

k= lim

x→−_∞ xe⁻^1/x

x =1,

m= lim

x→−_∞(xe⁻^1/x−x) = lim

y→0⁻−^e

y−₁

y = −(e^y)⁰(0) = −1.

Vi ser alltså att vi har asymptoten y=x−1 i båda oändligheterna.

Återstår att finna eventuella stationära punkter. Vi har

f⁰(x) =e⁻^1/x+xe⁻^1/xx⁻²=e⁻^1/x(x+1)/x,

så vi har endast en stationär punkt, nämligen då x= −1. Vi får följan- de teckentabell

x : −₁

f⁰(x): + 0 − f(x): % −e &

Detta ber oss följande figur

(5)

−10 −5 5 10

−10

−5 5

t y