UPSALIAE MULTISECTIONE

(1)

DE

MULTISECTIONE

ν

FUNCTIONUM ELLIPTICARUM PRIMI GENERIS DISSERTATIO _ACADEMICA.

QUAM

VENIA AMPLISS. FACULT. PHILOS. UPSAL.

ρ. P.

MAG. JACOBVS NICOLAUS GRANLUND

matheseos docens stip. reg. carol. joh.

ET

\

CAROLUS ALBERTUS HOLMGREN

Stip. "^Vuedean. Ostrogothus.

IN AUDITORIO GUSTAV. DIE XIX MART. MDCCCLI.

π. α. m. s.

XI.

UPSALIAE

EXCUDEBANT REGIAE ACADEMIAE TYPOGRAPHI.

MDCCCLI.

(2)

(3)

81

<A\arc (ιι-f* v), c\ nrA'areu,c),

sivej substitutis valoribus, _quospraebent formulae (12)-(14), aequationes

cosarcu A(arcu,_c),sinarev +sinarcu.cosarcv.A{arcv^c)

1 —c2 sin2arcu.sin2arου

cosarcu.eosarcv-sinarcu. A^arcu^c). sinarev.A(arcv,c)

1 —<?a sm2nmi.äi«2areu '

A(arcu,c).A(arcv,c)-c-sinarcu.cosarcu.sinarcv.cosarcv

1—c2 sin2^arcu.sin2arev

Quoniam membra sinistra ba rum aequatlonum sunt a

quantitate v independentia, erunt etiam membra dextra ab

eadem quantitate v independentia, nec poterit uessequan- titas yariabilis. Ut determinetur igitur v, satis erit inve-

nisse omnes harum aequationum radices, quae valori spe- ciali quantitatis u convenient. Ponamus igitur, quantita-

tem u esse talem, ut fiat aequationibus (59) satis. Quo

facto aequationes (45) praebent

sinarevrro, cosarcv r=1, A(arcv,c)^—1,

quarnm aequationum omnes

radices

communes

continentur

formula

vzzz ± 2ηω ± 2m-srt,

tibi w, ni sunt uutneri quilibet integri et

positivi. Omnes

igitur radices

aequationibus (45)

communes

continentur

formula

vzu: ± 2no» ± 2mW,

ubi _ii, m sunt numeri quilibet integri ^et positivi.

11

sinarcu=

(4G) / cosarcu=

, fA(arcu,c)

(4)

82

Concludi hinc potest, easdem functiones

sinarcu,

cosarcu, A[arcu, c) convenire non tantum

functioni ellipticae primi

generis u, sed etiam

omnibus functionibus formae

u ± 2«ω ± 2mwt,

ubi n, m sunt numeri quilibet integri et

positivi.

§. 21.

Quoniam functiones sinarcu, cosarcu, (Aarcu,c) con-

veniunt ^non tantum functioni ellipticae primi generis ti,

sed

omnibus functionibus formae

u ± 2ρω ± 2q-urt,

ubi p, q sunt numeri quilibet

integri

et

positivi,

aut

nihilo

aequales, divisio functionis ellipticae

in

m partes

aequales,

si, adjuvantibus functionibus sinu, cosinu, A, absolvitur,

conveniat, oportet, non tantum functioni ellipticae

primi

ti

% ,

generis —, sed omnibus functionibus formae

u 2ρω 2qvri

m ~~ m ~ m '

ubi p, q sunt numeri quilibet integri et

positivi,

aut

nihilo

aequales. Quacrantur igitur, necesse est, omnes

functio¬

nes hujusmodi

iu

^sinarc^A\arc{—^L ^Ktn—^f-^u ⁺⁺^2ϋω

2

^—^m

Μω

^m ⁺^—^+——),^—^2fl-cri

2 q-ari

^m^m ^.^J^{^}^{)· cl,}^J ^cosarc^_^{J 7} ^(-^Km~

η

⁺

2ρω

^m ^—

2αττί

^m^—),^J

ubi p, q sunt numeri quilibet integri et positivi, aut

ni¬

hilo aequales.

(5)

I

85

Sed initio observandum putamus, quamvis valöres nu-

merorum p, q in infiuitum abire possint, tarnen numeruni valorum diversoruin, qui functionibus

(47) tribui

possint,

före finitum-, siquidem numerus integer m fuerit finitus.

Ponamus enim, esse

±p—±hm+p', ± q—±km⁺q',

ubi /ι. ρ', k, q' sunt numeri

integri

et

positivi,

aut

nihilo

aequales, atque p' < m, q'<rn. Quo

facto functiones (47)

mutan tur in functiones

U 2ρ'ω 2</'W U 2ρ'ω 2η'ττί

siuarc(—v + + + 2Λω4-2/fort), cosarci— + +

m m m — ~ J m m m

4- 2/ίω + 2Αττΐ), Il 2ρ'ω 2(/'-ra-l

J[arc{-+ +—— ±

2/ιω

±

2Ατπ), c],

ii 2ρ'ω 2q'-vri sive, propter aequationes

(42), substituto

^m ■ Η

pro η, Λ pro η,

Λ

pro m,

in functiones

!tl

^sinarci—^L^arc(—^vm^Km^u ⁺⁺^2p'

2ρ'ω

^m^m^ω ⁺⁺

Sfl'wi

^2<y'W^m^m ^)>^/7^),⁷ ^cosarc^J^, ^(—^vm

u

^-f

2ρ'ω

^m ⁺

2q'-uri

^m ^).,^/l

ubi pS 7' sunt

numeri integri

et

positivi

< m, aut

nibilo

aequales.

Ut inveniantur igitur

omnes

valöres diversi fun-

ctionum (47), satis erit invenisse omnes valöres

diversos

functionum (48),substitutis prop',q'

valoribus

o, i,2,5,...m-l.

Quod si valöres singulos numeri ^p' valoribus

singulis

nu¬

meri q' adjunxeris, unicuique

functionum (48)

m2 expres-

siones diversae, ^nec plures valöres diversi tribuentur.

(6)

84

Ponamus, esse p[\ p'? duos valöres numer! p'; q'l% q'2

duos valöres nuitieri q'. Ponamus etiam, esse

p'2 =p[ ± ρ3, q'2=:ql ± <!i'

ubi p'a, q2 sunt numer! integri positivique < m, et

alter

certe >o. Non poteruot eodem tempore verae esseomnes

aequationes

u 2pyO) 2q'xtarl ^, u 2p'xm 2qx^i 2p3oi

sinarc(— -f + ) —sinarc(— + -f ±

Km m* m ' m m m rn

in ''

u 2»1ω 2q'furi ,U 2ρ[ω 2q't^i 2ρ'3ω

cosarc (— + + ) ^—cosarc(—Η- + ±

ym rn rn ' Knt m m rn

α.

%ΣΪ\

in ''

Μ 2w'w 2r/'-cr/ ^{^} μ 2ϋ'ω 2q^-uri

Αϊ_Lare — + +——), r]zr (-+ +——

vm m m / J L vm m m

2« α) 2q'^ri

+ _rn~~ + _rn )_/¹ c].

Si enim ita se res* haberet, quoniam alter certenume-

rorum —est minor unitate, major nihilo, aequationes

mm

U 2wlw 2rtjTsrt

(45),v y 7 Substitute —tnm+-L-£- +—ίm pro* μ» a»os radices com-

munes iiaberent, _quam quae coptinentur

formula

β - ± 2/ΐω ± 27-cri,

ubi q sunt numeri

integri

et

positivi, aut niliilo aequales.

Hinc sequitur etiam,

divisionem functionis ellipticae

(7)

83

u in m partes aequales, si, adjuvantibus functionibus sinn, cosinu, Λ, absoivitur, m? soluliones diversas admittere.

22.

Ex iis, quae de muUiplicatione functionum elliptica-

rum primi generis sunt dieta, sequitur, esse

D(m,sinarcu, c) C(m,sinarcu,c)

sinarcmu =->> ; r-, cosarcmuzz —τ——: r,

A(m,sinarcu,c) A jn,sinarcu,c) B(m,sinarcu, c)

A(arcmu,c)₇ zz -,7——; r-,

sinarcu,c) sive, substituto μ pro »w,

D(m, sinarcjn, c) C(m, sinarc~^, c)

sinarcuzz— : —cosarcu zz — —

A(rn,sinar c~, c) A(m,sinarc-, c) 2?(m, sinarc,-, c)

A(arcu, c)zz—— —-, sinarc-, c) sive, posito sinarc~ zx,

D(m,x,c) C(m,x,c) ^y Bm,x,c)

smnrcnzz — cosarcu zz

y

A(arcu,c)

=^—χ.

-tx ^y «Λΐl i#i^ ΛΓ5 C' ) ^ji(Tilj Λ5 Cy

Demonstratum etiam est, esse j4[m,x,c), B(m, x, c), C{ni, λ:, c) functiones quantitatum x, £ rationales et inte-

gras, si m sit numerus par; esse

A\m,x,c), D[ni,

xyc)

functiones quantitatum λ:, c rationales et integras,

si

m

sit

numerus impar; esse exponentem quantitatis ^λ*

maximum

m2 in functionibus

Ä(tA,x,c)9

B[m,^x,c), Cxm,x,c), si m sit numerus par* esse exponentem quantitatis λ: maximum

m3 in functione i2(m, ^λ:, c)^, m9-l in functione

A

(in,^χ,c),

si ^m sit numerus impar. Cognitis igitur sinarcu, ^cosarcu, A(arcu, c), m et c, solutio aequationis

algebraicae

(8)

86

C(m,xyc) ^.

(49) cosarcu^-j —r sive A\rn,XfC). cosarcu=

C(m^XyC)

dabit m2 valöres quantitati χ sive

functioni sinar

c£·,

si

m

erit numerus par, solutio

aequationis algebraicae

Dim,x,c) ^. ^>/

(50)^' smarcu——27_{A\niy Xy}_C)v sive λ·, c),

sinarcu=D\.m,XiC\

si m erit numerus impar.

Ut determinentur m2 valöres functionis cosarcsatis

erit observasse, in equalione (50) numeratorem

membri

dextri habere factorem cosarcsi m sitnumerus par;

in

aequatione

(49), si

m

sit

numerus

impar. Substitutis igi-

turvaloribus diversis quantitatisx, signum

functionis

cosarc-, quod solum

incognitum erat, determinabitur.

Non majore cum

difficultate

m2

valöres functionis

A(arc^yc)

determinabuntur.

Ex his omnibus apparet etiam,

formulas recursionum

^,

"(20) nullos

praebere factores functionibus An> JBn, Cn, Dn

non necessarios.

(9)

Errata graviore.

In pag. 8 lin. JO pro simistri legatur sinistri

— — 42 — 11 —f r>s9 s>lj

— — — — 12 — s = 1. — — s ⁼ 1,

/2(2r,2Ä)=/1(2r,25) -[K(-1)n~1]>sir==1·

— — 24 — (I-α2) (*-<£)

— — 45 — ult.— s=s1. ^— ^— s-1» nisi sit eodem tempore r=l. Positis

enim r—1,s—1, in-

venitur

y^n-1, 2r-2,2s-2)

=/(n-l,o,o)=l.

— — 48 8 — <jo5(2m, 2s) <y>5(2r, 2s)

(10)