UPPSALA UNIVERSITET Rapport 2010ht4702 Institutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier
Matematiska institutionen
Lärarprogrammet för grundskolan senare år och gymnasieskolan Lärarexamensarbete, 15 hp
HT 2010
Datoranvändning i statistikundervisning
En jämförelse mellan ämnesinnehållet i England och Sverige och de möjligheter till datoranvändning som finns
Författare: Handledare:
Simon Green Jesper Rydén
Betygsättande lärare:
Martin Karlberg
Sammandrag
Undersökningen går ut på att intervjua lärare som har erfarenhet av att använda datorer som verktyg i matematikundervisning och titta på hur de används för att undervisa i statistik som är ett ämne som lämnar sig till datorstödd undervisning. För att se hur mycket kursplanen påverkar ämnet jämförs den svenska gymnasiekursen med en motsvarande kurs i England där statistik har en större plats och där ämnet går mycket djupare.
Resultaten visar att det finns stora skillnader i ämnet i de båda länderna som begränsar möjlig- heterna till datoranvändning på olika sätt. De svenska kursplanerna riktar sig mer in på statistiska undersökningar medan de engelska kursplanerna handlar mer om att förstå teorin. I Sverige hittar jag inget tecken på att kursplanen begränsar möjligheterna till datoranvändning utan anledningen till att det inte är mer utbrett beror på yttre faktorer som brist på resurser, planeringstid, lärome- del och lärares kompetens. I England finns samma yttre faktorer som i Sverige men bedömnings- sättet och antal lektionstimmar gör att datoranvändning är mycket begränsad.
Nyckelord: statistik, datoranvändning, gymnasieskolan, jämförelse mellan länder, undervisnings- metoder.
Index
...
1. Inledning 4
...
2. Problemformulering 5
...
3. Övergripande syfte med frågeställningar 7
...
4. Bakgrund 8
...
4.1 Begrepp 8
...
4.2 Tidigare forskning. 9
...
5. Metod och material 13
...
5.1 Datainsamlingstekniker. 13
...
5.2 Jämföra skolsystem 14
...
5.3 Analysschema. 15
...
5.4 Forskningsetiska reflektioner 16
...
6. Resultat 18
...
6.1 Jämförelse av kursplan 18
...
6.2 Jämförelse av läromedel. 20
...
6.3 Resultat av de engelska intervjuerna 24
...
6.4 Resultat av de svenska intervjuerna 27
...
7 Diskussion 30
...
7.1 Sammanfattning av resultat 30
...
7.2 Metoddiskussion 30
...
7.3 Resultatdiskussion 32
...
7.4 Fortsatt forskning 35
...
Litteraturförteckning 37
...
Läroböcker 40
...
Bilaga - intervjuguide 42
1. Inledning
Datoranvändning har blivit vanlig idag i skolan. Tekniken har blivit lättare och mer tillgänglig idag än någon gång förr. När man läser matematiska tidskrifter så finns det nästan alltid artiklar som handlar om hur man kan använda sig av datorer för olika tillämpningsområden inom matematik.
Forskare som Velleman (2000:91) menar att: "Statistics is widely recognized as a discipline well- suited to technology-based education" (jfr Garfield och Ben Zvi 2008:92, Meletiou-Mavrotheris 2003:265). Det som kan vara intressant att veta som lärare är hur datorer används för att undervi- sa statistik i skolan.
Vissa forskare menar att statistik som vetenskaplig disciplin och även statistikundervisning i skolan har ändrats mycket på grund av datorer. Garfield och Ben Zvi (2008:92) menar att det är svårt att föreställa sig undervisning i statistik idag utan någon form av teknik. Moore, Cobb, Far- field och Meeker (1995) diskuterar i Garfield och Ben Zvi (2008:92) hur den tekniska revolutio- nen har påverkat undervisning i statistik mer än många andra discipliner. De menar att eftersom teknik har påverkat hur statistiker arbetar så leder det även till att vad vi undervisar påverkas.
Varje ämne i skolan kan anses kräva olika kunskaper och metoder och varje delområde i inom varje ämne kanske behöver egna undervisningsmetoder. Istället för att titta på helheten tittar jag på ett litet område inom matematikämnet i skolan, nämligen statistik. Johnson (2009:24) menar att den mest effektiva undervisningsmetoden för varje ämne beror just på vilket ämne det är. Han menar också att matematik kräver mer lärarkontakt än ett ämne som historia som skulle kunna vara helt webbaserad.
Min undersökning handlar om de olika metoder som används för att undervisa statistik på gymnasienivå, både i Sverige och i England, och på vilket sätt datorer används i undervisningen av det ämnet.
2. Problemformulering
I kursplanen för matematik C står det att man ska "känna till hur datorer och grafiska räknare kan utnyttjas som hjälpmedel vid studier av matematiska modeller i olika tillämpade sammanhang"
Skolverket (2000b).
Om man läser vetenskapliga tidskrifter som handlar om hur man undervisar i statistik i skolan och på universitet så är finns det många artiklar och studier om hur de används. T.ex.:
Modern computing equipment is present at schools and universities at all levels of education. In the statistical sciences, computers offer great opportunities to enrich the learning process by the means of e.g. animations, software integration or on-the-fly computations (Härdle, Klinke och Ziegenhagen 2006).
Many of the insights of statistics can be illustrated graphically. Abstract concepts, from least squares to the relationship between density curves and probability to conditional probability and independence can be made concrete with appropriately designed illustrations (Velleman 2000).
Lpo 94 föregicks av en utredning som redovisades i en rapport av Läroplanskommittén (1992). I den rapporten menar de att nya hjälpmedel och tillgänglig teknik ger nya förutsättningar för ut- bildning och undervisning (jfr Läroplanskommittén 1992:96 och 113). Eftersom den utredningen gjordes för 18 år sedan borde vi se att idag har undervisningen i ämnet påverkats mycket av de nya förutsättningar. Däremot talar mina erfarenheter från VFU och olika skolbesök om att dato- ranvändning inte är lika vanlig som det kanske låter när man läser internationella tidskrifter. Ge- nom att göra en empirisk studie och titta på hur statistik undervisas kan man försöka få svar på frågan hur datorer används inom statistikundervisning. Undersökningen vilar mycket på tidigare forskning. Det är inte mitt mål att försöka visa fördelarna av att använda datorer för att undervisa statistik utan snarare att se hur tidigare forskning har tillämpats i dagens skola. Det är en induktiv undersökning som tittar på ett fenomen i verkligheten och försöker beskriva det.
För att kunna göra en undersökning måste man först avgränsa och klargöra vad som ska un- dersökas. I min undersökning vill jag titta på de tre kursmålen i matematik B som handlar om sta- tistik och sannolikhet. Dessa mål finns i kursplanen för matematik B (Skolverket 2000a):
Eleven ska:
kunna beräkna sannolikheter vid enkla slumpförsök och slumpförsök i flera steg samt kunna upp- skatta sannolikheter genom att studera relativa frekvenser
med omdöme använda olika lägesmått för statistiska material och kunna förklara skillnaden mellan dem samt känna till och tolka några spridningsmått
kunna planera, genomföra och rapportera en statistisk undersökning och i detta sammanhang kunna diskutera olika typer av fel samt värdera resultatet
Det som är intressant att undersöka är hur datorer används för att uppfylla dessa mål. Det kan handla om att lärare visar någonting under en lärarledd lektion. Det kan också handlar om hur eleverna själva kan arbeta självständigt med datorer som stöd i sitt inlärning.
En annan aspekt är hur mycket kursplanen påverkar undervisningsmetoder och möjligheter till datoranvändningen. För att undersöka det vill jag göra en jämförelse med England där statistik är en mycket större del av kursen än de få kursmål för statistik vi har i matematik B. Det finns några
begrepp som finns i de nya kursplanerna som inte finns idag, ett sådant område är standardavvikelse och normalfördelning. Däremot finns standardavvikelse och normalfördelning i kursplanen för sta- tistik i England och därför kan det vara intressant att se om möjligheterna till datoranvändning är större där dessa områden finns i kursplanen.
Standardavvikelse är ett begrepp som finns i skolan där många lärare inte är överens om hur viktigt det är. "Some educators feel that all college students should be able to calculate a standard deviation and others do not" O’Brien (2008:82). Andra menar att för lite undervisning i skolan kan leda till problem när elever kommer till universitet eftersom de ofta blandar ihop olika kon- cept. "Although they may be able to calculate a standard deviation and a standard error, they do not understand how these concepts are related (and distinguished) and so make application mis- takes such as using one concept when they should use the other" (Schau and Mattern, 1997 cite- rad av Meletiou-Mavrotheris 2003:91). Även andra koncept som verkar grundläggande kan också leda till problem när elever kommer till universitet. "It might seem that the concept of the mean is so simple, basic, and ubiquitous that any difficulties students have with problems involving means must be due to a lack of attention or motivation" Pollatsek (1981:192).
3. Övergripande syfte med frågeställningar
Syftet med arbetet är att få en bättre bild över hur statistik undervisas i gymnasieskolan och på vilket sätt datorer används i statistikundervisning. Jag vill också få reda på några av de faktorer som begränsar datoranvändning i ämnet samtidigt som jag jämför det med teoretiska beskriv- ningar om hur statistik ska undervisas i skolan. Drijver (2010:214) menar att: "In order to help teachers to benefit from technology in everyday mathematics teaching, therefore, it is important to have more knowledge about the new teaching techniques that emerge in the technology-rich classroom and how these relate to teachers’ views on mathematics education and the role of technology therein." Genom att beskriva de olika tillämpningar och erfarenheter som finns kan vara intressant för andra lärare som undervisar det ämnet.
Som nämndes tidigare i problemformulering vill jag göra en empirisk studie för att se hur da- torer används för att uppfylla de tre kursmål i matematik B som handlar om statistik och sanno- lik. Jag vill undersöka olika aspekter av undervisningen och hur möjligheterna till datoranvänd- ning påverkas av olika faktorer:
1. Hur mycket påverkar kursplanen undervisningsmetoder och möjligheter till datoranvänd- ning.
2. Skulle det finnas fler möjligheter till datoranvändning om ämnet innehöll fler begrepp som standardavvikelse och normalfördelning? Dessa begrepp finns i de nya kursplanerna och i kursplanerna för statistik i England. Som framgick i problemformuleringen har olika lärare oli- ka uppfattningar om hur mycket de behövs.
3. Hur tolkar läroboksförfattarna kursplanerna och hur behandlar de datoranvändning i böck- erna?
4. Vilka erfarenheter har lärare av datorer som hjälpmedel för att undervisa statistik och vilka för- och nackdelar anser de finnas.
4. Bakgrund
4.1 Begrepp
4.1.1 Datoranvändning
För att diskutera och undersöka ämnet är det viktigt att komma fram till vad som menas med da- toranvändning. Handlar det om att registrera frånvaro i ett program eller att skriva en rapport?
Det som ska undersökas i den här studien är den typ av datoranvändning som är direkt kopp- lat till ämnet som inte finns i andra ämnen. Det vill säga, program som underlättar undervisning- en och förståelse av matematik. Datoranvändning i matematikundervisning kan delas in i olika kategorier: kommersiella programpaket, pedagogiska programvaror (som ges ut av förlagen), kal- kylprogram (t.ex. Excel) , applets / fristående program, grafräknare, multimedia material (filmer), och datasamlingar (jfr Garfield och Ben Zvi 2008:94). Det som används mest i grundskolan och gymnasiet är pedagogiska programvaror, det vill säga program som har framtagits specifikt för undervisning. Det kan jämföras med universitet där kommersiella/professionella program an- vänds (t.ex Maple, Matlab och Matematica) (jfr Härdle et al. 2006:352).
4.1.2 Standardavvikelse
Som påpekats i avsnitt 2 fokuserar jag i detta arbete på begreppen standardavvikelse och normal- fördelning. Jag repeterar kort dessa begrepp.
Standardavvikelse beskriver hur olika värden avviker från medelvärdet. Det mätts genom att beräkna: s2 = n1 1
Xn i=1
(xi x)¯ 2
4.1.3 Normalfördelning
En normalfördelning är en sannolikhetsfördelning karaktäriserat av symmetriskt fördelning kring väntevärdet. Den är av central betydelse i statistisk teori och metodik, och beskriver väl många företeelse i naturen. Sannolikheter baserad på normalfördelningen kan erhållas (klassiskt) genom tabellslagning, varvid integrering inte behövs. En typisk normalfördelningskurva ser ut på följan- de sätt:
En stokastisk variabel X kallas för normalfördelad om den har täthetsfunktion:
f (x) = 1
p e (x2 2µ)2
4.2 Tidigare forskning.
Det finns några svenska studier om datorstödd undervisning i matematik. Däremot finns det rela- tivt få som handlar om gymnasiet och ingen som jag känner till som behandlar statistik. Därför utgår jag mest från utländska studier i min bakgrundsforskning. Samtidigt kan Samuelssons (2003), Farkell-Bååthes (2000) och Wikströms (1997) undersökningar nämnas kort. Samuelsson intervjuar lärare i grundskolan om hur datorer har ändrat undervisningens innehåll och metoder.
Hans slutsats är att datorn inte har förändrat undervisningar mycket utan har snarare assimilerats i de gamla metoderna. Farkell-Bååthe jämför undervisning med och utan datorstöd. Slutsatsen är elevgrupperna som har fått datorstödd undervisning får signifikant bättre resultat, även i årskur- serna efter de har slutat få datorstödd undervisning, än de elever som aldrig har haft tillgång det (jfr Farkell-Bååthe 2000:152). Wikströms undersökning från 1997 handlar om hur datorbaserade simuleringsverktyg kan användas i gymnasiekurser för att underlätta begreppsbildning. Slutsatsen är att elevers förståelse av olika begrepp har utvecklats jämfört med elever som inte fick samma undervisning.
De utländska forskare som är mest relevanta för min undersökning är Garfield och Ben Zvi (2008), Meletiou-Mavrotheris (2003) och Härdle et al. (2006). Garfield och Ben-Zvi skriver en litteratursamling för att beskriva olika erfarenheter som författarna har haft av statistikundervis- ning. Det handlar framförallt om hur olika teorier och forskning om statistikundervisning kan tillämpas i praktiken. Meletiou-Mavrotheris (2003) undersökning utgår från tidigare forskning som visar att kommersiella datorprogram inte är effektiva i grundläggande kurser i statistik. Hon testar därför en pedagogisk programvara för att undersöka hur effektiv den är och vilka faktorer är viktiga i datorstödd undervisning. Den tyska statistikern Prof. W K Härdle, aktiv forskare inom såväl teoretisk som tillämpad statistik (ex. finansiell statistik) gjorde en undersökning om e-läran- de, det vill säga datorbaserad lärande, i statistikundervisning. Resultaten av hans undersökning visar att "students of statistics actually do not use electronic media in the desired frequency and actually rely more on print media such as books, copies of slides, etc." (Härdle et. al 2006:417).
Han hävder också att: "The use of electronic media for courses also requires adjustments in the way how students learn, they only accept such a technology if they have real advantages" (Härdle et. al 2006:417).
Fördelarna av datoranvändning i matematikundervisningen som har visats i tidigare forskning kan delas upp i fem olika kategorier:
1. Begreppsbildning, experimentera och komma fram till egen slutsats 2. Tidsbesparande genom att låta datorer göra beräkningar
3. Elever har möjlighet att arbeta i egen takt 4. Visualisering
5. Tillgång till verklig data
Dessa fem områden beskrivs i mer detalj nedan.
4.2.1. Begreppsbildning, experimentera och komma från till egen slutsats.
Digitala komplement som ges ut av förlagen har blivit allt vanligare. Därför är det mycket lättare för elever att arbeta med datorbaserade uppgifter. Erbas, Ledford, Orril och Polly (2005:206) me- nar att ett mål med att använda sig att av datorer i undervisning är att elever ska bli nyfikna och försöka hitta lösningar till sina problem och inte nöja sig med bara ett svar utan försöka hitta flera lösningar eller ställa frågan hur många lösningar som finns. Ett exempel på det är att använda Maple för att hitta en primitiv funktion. Scherger (2009) menar att: "Seeing that a computer can- not find an exact antiderivative is somehow more convincing to students than seeing that a teacher cannot."
Simuleringsverktyg är ett exempel på datorprogram som kan användas. Edwards och Phelps (2008:210) menar att: "Simulation tools provide students with fresh ways of thinking about vari- ous topics and allow them to become active participants in their own learning as they construct simulation, collect and analyze data, and generate and test hypotheses." Andra fördelar med simu- leringsverktyg menar Lane (2000:67) är att "the simulations and demonstrations help make ab- stract concepts concrete and allow students to investigate various aspects of statistical tests and distributions."
Olika aspekter eller olika lösningar till ett problem är någonting som är vanligt i olika områden i matematik. Erbas et al. (2005:206) menar att en fördel av att arbeta i digitala miljöer är att elever kan utmanas hitta olika lösningar till sina problem. Detta diskuteras också av Garfield (i Holton 2001:367) som menar att dynamiska miljöer gör det möjligt för elever att se hur resultaten påver- kas av att ändra olika datavärden. Genom att experimenterar på det sättet, menar Erbas et al.
(2005:206) att elever kan utveckla ett matematiskt tänkande. "Even if students have not yet mas- tered complicated algorithms, they can develop mathematical thinking by using technology.
Technologies do not replace learning mathematical skills; instead, they allow mathematical think- ing to be accessible to all students, regardless of their skill levels" Erbas et al. (2005:206).
4.2.2. Tidsbesparande genom att låta datorer göra beräkningar
Garfield och Ben-Zvi (2008:92) menar att om datorer är tillgängliga i undervisningar så ändras innehållet i kursen och vissa delar av kursen som tidigare var standard behövs inte längre. Om beräkningar utförs på datorer så har vi inte längre en fokus på beräkning som ofta präglar statis- tikkurser (jrf Garfield och Ben-Zvi 2008:108 och Dreyfus i Biehler 1994:205).
Ett exempel på det är den formeln för standardavvikelse som var vanlig i läroböcker förut:
s2 = 1 n 1
2 4
Xn 1
x2i 1 n
Xn 1
x2i
!23 5
Nu, eftersom medelvärdet, x¯an räknas ut av miniräknaren, räcker det med att lära ut följande formeln:
s2 = 1 n 1
Xn i=1
(xi x)¯ 2
Detta gör att mer tid kan läggas på att lära sig koncepten och vad den beräknade värde betyder (jfr Garfield och Ben-Zvi 2008:100). Det diskuteras också av O’Brien (2008) som menar att det är viktigare att förstå den statistiska modellen och de olika koncepten än att veta vilken formel man ska använda. En annan fördel av att låta datorer göra beräkningar är att datorer klarar av att räkna problem som elever inte har kunskaper för att kunna räkna för hand. Till exempel, en gymnasie- elev kan förväntas lösa följande integral:
Z 1 0
(x2+ 3) dx
Men om eleven lär sig lösa integraler med ett program som Mapel kan ett integral lösas som följande vars analytiska lösning först gås igenom på universitetsnivå: (Jfr Erbas et al. 2005:206) Z 1
0
x3 px2+ 1dx
4.2.3. Elever har möjlighet att arbeta i egen takt
Velleman (2000:92) menar att en av de stora anledningar till att använda teknik i statistikundervis- ning är att det gör det möjligt för elever att arbeta snabbare genom ämnen de upplever som lätta och lägga mer tid på ämnen som är svåra eller förvirrande. Ett exempel på det är digitala läro- böcker och övningsuppgifter. Andra exempel är lärplattform där elever kan komma åt uppgifter och föreläsningar (jfr Härdle et. al (2006:426).
4.2.4. Visualisering
Gershon, Eick och Card (1998) menar att människan kan analysera datamängder lättare och summera innehållet när information presenteras grafiskt. Det finns även pedagogiska fördelar till att visa information grafiskt eftersom det är lättare för oss att förstå nya koncept när de presente- ras grafiskt. Det är förstås lämpligt i geometri men det är även särskilt lämpligt i statistikundervis- ning. Garfield (i Holton 2001) diskuterar hur det finns studenter som lär sig på olika sätt och där- för är det lättare för vissa att förstå nya statistiska koncept om de presenteras visuellt. Haciome- roglu, Aspinwall och Presmeg (2009) menar att visualisering är ett praktiskt sätt för elever att koppla visuellt tänkande med analytiskt tänkande.
Ett exempel på hur statistiska data kan visualisera är Gapminders1 mjukvaran Trendalyzer, som sedan 2007 ägs av Google. Det är ett populärt verktyg som har fått mycket spridning under senare tiden. Trendalyzer används av Gapminder för att visualisera statistiska data om olika länder i världen och lämpar sig väl till statistikundervisning.
1 Se www.gapminder.org
4.2.5. Tillgång till verklig data
Tillgång på data är mycket stor, tack vare Internet. Många myndigheter som SCB i Sverige, Office for National Statistics i Storbritannien och US Census Bureau i USA tillhandahåller gratis statis- tiska data.
Velleman (2000:92) diskuterar hur modern statistikundervisning handlar mer om dataanalys och att en rapport skriven av American Statistical Association och Mathematical Association of America rekommenderar specifikt mer dataanalys och mindre teori i statistikkurser. Garfield (i Holton 2001) menar att fördelen med att lösa verkliga problem i statistikkurser är att studenter kan använda sig av de nya statistiska verktygen i olika typer av arbeten och i andra kurser utanför statistikämnet.
5. Metod och material
I 5.1. tar jag upp de olika datainsamlingstekniker som jag använder mig av i min undersökning, det vill säga, samtalsintervjuer och läromedelsanalys. I 5.2. diskuterar jag de olika anledningar till att göra en jämförande studie mellan länder och vad som är viktigt att tänka på. I 5.3 finns det intervjuschema som jag använder mig av för att analysera intervjuerna och i 5.4. tar jag upp några forskningsetiska reflektioner.
5.1 Datainsamlingstekniker.
5.1.1 Samtalsintervju
I problemformulering (se avsnitt 2) och övergripande syfte med frågeställning (se avsnitt 3) beskriver jag hur jag vill undersöka vilka erfarenheter lärare har av datoranvändning i statistikundervisning och vil- ka för- och nackdelar som finns och att jag vill undersöka det genom att göra en empirisk studie.
De tre kursmål för matematik B (se avsnitt 2) som handlar om statistik och sannolikhet är ut- gångspunkten och begränsningen. Eftersom många skolor och lärare följer läroböcker mycket så kan man också titta på hur läroböckerna behandlar dessa mål och begrepp för att få en bättre de- finition av vad som ingår i gymnasiekursen.
Eftersom statistik har en relativt liten plats i gymnasiematematik ska jag jämföra med ett skol- system där statistik har en större plats och se hur mycket kursplanen begränsar möjligheterna till datoranvändning i skolan. Det vill säga, skulle det finnas större möjligheter om det fanns mer sta- tistik i kursen?
Mill (i Esaiasson 2003:126) menade att det första steget för att hitta en förklaring till ett feno- men är att välja ut de fall där fenomenet har inträffat. När man ställer frågan hur lämpligt det är att använda sig av datorer för att undervisa statistik kan man börja med att titta på hur det har använts. Esaiasson (2003:174) menar att "första steget består i att fastställa undersökningens popu- lation." I min undersökning är populationen de lärare som har erfarenheter av att använda datorer för att undervisa statistik i gymnasieskolan.
Att kunna intervjua alla matematiklärare som har någon gång använt sig av datorer i klass- rummet är förstås omöjligt. När man titta på ett specifikt område inom en kurs är det ännu svåra- re att hitta lärare som har erfarenhet av just det. Esaiasson (2003:171) ställer frågan "hur skall jag välja konkreta fall för att kunna uttala mig om andra liknande fall som inte ingår i studien?" Ett svar på den frågan menar Esaiasson (2003:179) är att man väljer så kallade kritiska fall. Han menar att "om de valde fallen hämtas från en kontext som är gynnsam för de teoretiska föreställningarna har man följt följande logik: om de teoretiska föreställningarna inte får stöd här får de sannolikt inte stöd någon annanstans heller." Det betyder att i min undersökning måste jag söka mig till skolor där det finns tekniska resurser för att använda datorer i klassrummet. Man måste också försöka hitta lärare som är vana vid att använda datorer i andra sammanhang. De som är öppnar
för att använda datorer i skolor är för oss "en kontext som är gynnsam". Det är mer sannolikt att de lärare använder datorer för att undervisa statistik.
Jag ska använda mig dels av samtalsintervju och dels av läromedelsanalys för att göra under- sökningen. Esaiasson (2003:256) menar att "de viktigaste skillnaderna mellan frågeundersökning- ar och samtalsintervjuer är den möjlighet till samspel – interaktion – mellan forskare och inter- vjuperson som samtalssituationen innebär." Han menar också att "vid en samtalsintervjuunder- sökning är det inte personerna utan de olika uppfattningar och tankekategorier som personerna gett uttryck för som står i centrum."
Eftersom det är mer intressant att titta djupt ska undersökningen utformas som en kvalitativ undersökning. Det syfte och frågeställning som jag har och den undersökningsmetod som jag an- vänder mig av stämmer överens med det som Esaiasson (2003:115) kallar för en beskrivande analys av en situation. Esaiasson (2003:151) menar att "beskrivande analyser kan sägas handla om att klassificera verkligheten."
5.1.2 Läromedelsanalys
Enligt en rapport som är skriven av Matematikdelegationen (2004:192) är matematik ett av de ämnen vars undervisning styrs mest av lärobokens innehåll och uppläggning. Därför är det möj- ligt att få en bra bild av hur matematikundervisningen ser ut genom att undersöka innehållet i läroböckerna. Samtidigt visar en rapport om läromedlens roll i undervisningen som skrevs av Skolverket (2006:25) att man inte bara kan utgå ifrån läromedlet för att få en bild av hur under- visningen ser ut eftersom alla lärare arbetar på olika sig. De menar att "olika lärare använder sig också av samma lärobok på olika vis; lärobokens karaktär säger inte nödvändigtvis något om un- dervisningens karaktär" (Skolverket 2006:25). Det är därför jag också använder mig av samtalsin- tervjuer som undersökningsmetod.
5.2 Jämföra skolsystem
För att kunna jämföra olika skolsystem är det viktigt att veta vad som jämförs. I min undersök- ning är jag inte intresserad av varför skolsystemen är olika varandra eller varför de har en särskild filosofi utan vad resultaten av detta olikhet är.
Kaiser (1999:3) definierar en jämförelse som "to examine two or more entities by putting them side by side and looking for similarities and differences between or among them." Inom utbild- ningsforskning finns det mycket spekulationer kring vilken effekt olika faktorer som, till exempel, olika kursplaner och undervisningsmetoder har på resultaten (jfr Kaiser 1993:5). Om vi jämför två olika skolsystem med olika kursplan kan vi försöka få svar på den frågan.
Ett annat mål med att göra en jämförelsestudie som Kaiser (1999:5) lyfter fram är att genom att granska andra skolsystem kan vi förbättra vårt egna skolsystem (jfr Becker i Kaiser 1999:137).
Det finns ett behov av att begränsa studien så mycket som möjligt. Det är inte en studie som ska handla om varför utbildning är som det är utan det handlar mer om hur en aspekt av kursen ser ut och vilka möjliga sätt som finns att jobba med det. Genom att titta på en annan miljö, det vill säga ett annat skolsystem, kan vi få idéer om hur det skulle kunna göras annorlunda och vilka möjligheter som finns utan att lägga någon värdering på om de är bra eller dåliga. Matematikun- dervisning i två olika länder kan jämföras utan att ta upp skillnader mellan länderna och utan att göra en jämförande studie. Travers i Kaiser (1999:25) menar att:
The content of the mathematics curriculum at the Population A lever, in a cumulative sense, is surprisingly similar among countries. Students study many of the same topics, although not neces- sarily in the same order or in the same depth.
Det finns skillnader i hur mycket statistik som undervisas och hur djupt och också vilka studenter som läser kurserna. De flesta gymnasieelever i Sverige läser matematik B men få elever i England läser A-level Mathematics där kursen Statistics 1, som jag undersöker, ingår.
Kaiser (1999:140) menar att det är viktigt att jämföra olika skolsystem inom Europa då fler resor mellan länderna och att "in order to cope adequately with this difficult situation, it is neces- sary to develop a mutual understanding of the different educational systems within Europe which surpasses a mere comparison on the different systems and considers the level of teaching and learning within the classroom."
5.3 Analysschema.
5.3.1 Läromedel och kursplaner
Eftersom de två olika kurserna i Sverige och England inte har exakt samma innehåll är det svårt att göra en full jämförelse. Statistik är en mycket större del i gymnasiematematik i England och därför finns det betydligt fler kursmål. För att kunna jämföra så måste motsvarande och jämför- bara kursmål i kursplanerna identifieras. Eftersom det finns två olika kursplan i England på de två olika skolor och en helt annan kursplan i Sverige har jag valt att undersöker de delar som finns gemensamt för alla tre kursplan.
För att undersöka de svenska läroböckerna har jag utgått ifrån de läroböcker som finns till- gängliga på biblioteket. Dessa är inte nödvändigtvis de böcker som används i skolan men genom att undersöka alla läroböcker visas en helhetsbild över vilka resurser som finns. Om det finns flera böcker i serien så tar jag med den som är avsedd för naturvetenskapliga programmet och teknik- programmet.
För att undersöka de engelska böckerna är det lättare eftersom det bara finns en bok för varje kursplan. Därför finns det bara två engelska böcker med i undersökningen eftersom jag bara un- dersöker de kursplan som används på de skolor jag gör intervjuer på.
Det finns många läroböcker för matematik B. Frågan är inte hur vanliga de är och vilka som an- vänds mest utan hur läroboksförfattarna tolkar kursplanen och hur datoranvändning behandlas i läroböckerna. (Se 5.3.1). Följande läroböcker har jag undersökt:
Edexcel AS and A Level Modular Mathematics - Statistics 1 (Pledger, Clegg och Gardner 2008) MerIT Matematik (1997) Studentlitteratur
Matematik 3000 (2000) Natur och Kultur Nova (2000) Gleerups
NT /a+b (2000) Liber Nya Delta (2000) Gleerups
Exponent (2003) Gleerups Röd (NT) Matematik 4000 (2007) Natur och Kultur Origo (2007) Bonniers
Tal&Rum (2007) Liber
Boken Tema: teknik i matematik. Matematik A (Frid, 2002) har jag tagit med för att den har ett rele- vant avsnitt om datoranvändning men eftersom den inte behandlar samma kurs som de andra böckerna kan den inte undersökas på samma sätt som de andra böckerna.
I Sverige finns det många böcker som skolorna kan välja mellan. Läraren kan också skriva eget material. Skillnaden i England är att det endast finns en bok för varje betygsnämnd. Man skulle kunna ha tänkt sig titta på alla böcker för alla betygsnämnder men eftersom de inte använder samma kursplaner är det svårt att jämföra dem. Eftersom jag bara tar med de böcker för de be- tygsnämnder som används på de skolor jag besökte, jämför jag bara två olika böcker.
Edexcel AS and A Level Modular Mathematics - Statistics 1 (Pledger, Clegg och Gardner 2008) Statistics 1. Advancing Maths for AQA (Williamson 2004)
5.3.2 Analysschema för intervjuerna
För att analysera intervjuerna har jag valt att dela in resultaten under olika rubriker och använda samma rubriker för både de svenska och de engelska intervjuerna. Dessa rubriker är översikt, kursplanen, läromedlets funktion, områden där datorer används, resurser, lärarens tidigare erfa- renheter, undervisningsmetoder, åsikter och bedömningssätt/projektarbete.
5.4 Forskningsetiska reflektioner
Eftersom jag använder mig av samtalsintervju som undersökningsmetod så gäller de grundläg- gande individskyddskraven som specificeras av Vetenskapsrådet (2002:6). Detta kan sammanfat- tas i fyra olika krav informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekra- vet (Vetenskapsrådet 2002:6).
Informationskravet innebär att ”forskaren skall informera uppgiftslämnare och undersök- ningsdeltagare om deras uppgift i projektet och vilka villkor som gäller för deras deltagande.” Det innebär att jag ska informera de intervjuade lärare om syftet med undersökningen och sin plats i undersökningen.
Samtyckeskravet innebär att innan en intervju genomförs så måste jag ha samtycke från den som ska intervjuas. Det betyder också att ”de som medverkar i en undersökning skall ha rätt att själv- ständigt bestämma om, hur länge och på vilka villkor de skall delta. De skall kunna avbryta sin medverkan utan att detta medför negativa följder för dem” (Vetenskapsrådet 2002:9).
Konfidentialitetskravet gäller i min undersökning att ”alla uppgifter om identifierbara personer skall antecknas, lagras och rapporteras på ett sådant sätt att enskilda människor ej kan identifieras av utomstående (Vetenskapsrådet 2002:12). När jag analyserar och presenterar resultaten kan de intervjuade kallas för lärare 1, lärare 2, och så vidare, så att de inte är identifierbara.
Nyttjandekravet innebär i min undersökning att de insamlade uppgifter ”får inte användas eller utlånas för kommersiellt bruk eller andra icke-vetenskapliga syften” (Vetenskapsrådet 2002:14).
6. Resultat
I 6.1 visar jag vilka delar av kursplanerna är relevanta för min undersökning. I 6.2 tittar jag på de olika läroböcker som finns skrivna för de olika kursplanerna och hur de behandlar de områden jag har identifierat i 6.1. Resultaten från de engelska och de svenska intervjuerna har jag delat upp under rubrikerna 6.3 respektive 6.4 för att underlätta jämförelse mellan länderna. Mina resultat har kategoriserats enligt analysschemat beskrivet i 5.3.
6.1 Jämförelse av kursplan
I 6.1.1 finns de kursmål för statistik som finns i kursplanen för matematik B. Eftersom nya kurs- plan snart ska finnas så har jag även tagit med de kursmål för statistik som finns i de nya kurspla- nerna. I England finns det en kursplan för varje betygsnämnd2. Jag har valt att bara analysera de kursplan som används på de skolor jag besökte, nämligen AQA och Edexcel. De delar av dessa kursplan som är jämförbara med den svenska kursplanen finns i 6.1.2.
6.1.1 Kursplan för matematik B
Dessa mål finns i kursplanen för matematik B (Skolverket (2000a)
Eleven ska:
kunna beräkna sannolikheter vid enkla slumpförsök och slumpförsök i flera steg samt kunna upp- skatta sannolikheter genom att studera relativa frekvenser
med omdöme använda olika lägesmått för statistiska material och kunna förklara skillnaden mellan dem samt känna till och tolka några spridningsmått
kunna planera, genomföra och rapportera en statistisk undersökning och i detta sammanhang kunna diskutera olika typer av fel samt värdera resultatet
Skolverkets förslag gy2011. Ämnesplan för Matematik3
Dessa mål finns i ämnesplanen för Matematik 2b och 2c. (Skolverket 2010)
Sannolikhet och statistik
· Statistiska metoder för rapportering av observationer och mätdata från undersökningar, inklusive reg- ressionsanalys.
· Orientering och resonemang kring korrelation och kausalitet.
2 Examinations board. Det finns totalt 6 olika betygsnämnder (3 i England) som skriver och rättar motsvarande na- tionella prov. Hela betyget för kursen bedömns av resultat på nationella provet.
· Metoder för beräkning av olika lägesmått och spridningsmått inklusive standardavvikelse.
· Egenskaper hos normalfördelat material.
6.1.2 Kursplan för statistik S1 i England.
Dessa mål finns bland kursplanen för AQA Statistics 1. (AQA 2010)
Eftersom den engelska kursen täcker ett större område än den svenska kursen så identifierar jag de delar av den engelska som kan jämföras med den svenska.
4
10.1 Numerical Measures
Standard deviation and variance calcu- lated on ungrouped and grouped data.
Where raw data are given, candidates will be expected to be able to obtain standard deviation and mean values directly from calculators.
Where summarised data are given, candidates may be required to use the formula from the booklet provided for the examination. It is advis- able for candidates to know whether to divide by n or (n - 1) when cal- culating the variance; either divisor will be accepted unless a question specifically requests an unbiased estimate or a population variance.
10.4 Normal Distribution
Continuous random variables. Only an understanding of the concepts; not examined beyond normal distributions.
Properties of normal distributions. Shape, symmetry and area properties. Knowledge that approximately 2/3 of observations lie within μ ± σ, and equivalent results.
Calculation of probabilities. Transformation to the standardised normal distribution and use of the supplied tables. Interpolation will not be essential; rounding z-values to two decimal places will be accepted.
Mean, variance and standard deviation of a normal distribution.
To include finding unknown mean and/or standard deviation by mak- ing use of the table of percentage points. (Candidates may be required to solve two simultaneous equations.)
Assessment objectives Use contemporary calculator technology, statistical tables and formulae booklets accurately and efficiently; understand the limitations of such technology and give answers to appropriate accuracy.
Key Skills Opportunities in Statis- tics⁴
IT3.1 Plan and use different sources to search for and select information IT3.2 Explore, develop and exchange information and derive new informa-
tion
IT3.3 Present information including text, numbers and images
4 Det finns olika mål för IT som finns i alla statistik kurser, även i SS1B som är en modul utan projektarbete.
Dessa mål finns bland kursplanen för Edexcel Statistics 1. (Edexcel 2010)
Assessment objectives
A05 use contemporary calculator technology and other permitted resources (such as formulae booklets or statistical tables) accurately and efficiently;
understand when not to use such technology, and its limitations. Give answers to appropriate accuracy.
1. Mathematical models in prob- ability and statistics
The basic ideas of mathematical modelling as applied in probability and statistics.
2. Representation and summary of data
Histograms, stem and leaf diagrams, box plots.
Drawing of histograms, stem and leaf diagrams or box plots will not be the direct focus of examination questions.
Measures of dispersion — variance, standard deviation, range and inter- percentile ranges.
Simple interpolation may be required. Interpretation of measures of location and dispersion.
6. The Normal distribution The Normal distribution including the mean, variance and use of tables of the cumulative distribution func- tion.
Knowledge of the shape and the symmetry of the distribution is re- quired. Knowledge of the probability density function is not required.
Derivation of the mean, variance and cumulative distribution function is not required. Interpolation is not necessary. Questions may involve the solution of simultaneous equations.
6.2 Jämförelse av läromedel.
6.2.1 De svenska läroböcker för Matematik B
Till två av böcker finns det digitala komplement:
•MerIT (1997) - Programmet som finns med den är egentligen bara en digitallärobok.
•Tal&Rum (2007) - Till Tal&Rum medföljer ett program som kallas för Matteboxen som be- skrivs på följande sätt: "Matteboxen är ett i Europa väl utprövat programpaket med ett antal mo- duler inom områdena grafer/funktioner, statistik och sannolikhetslära. Här finns bl.a. ett antal träningsmoduler och ett antal simuleringar/experiment" (Eriksson 2007:3). I programpaket ingår ett program som heter Stathuset som används för den delen av kursen som behandlar statistik.
I instruktioner för att söka data till en statistik undersökning i Tal&Rum finns det hänvisningar till Internet "t.ex. Statistiska Centralbyrån som har mycket data på webben: www.scb.se" (Eriksson 2007:362).
•Tema: Teknik i Matematik (2002). Det medföljer inget program till den boken men däremot finns det instruktioner om hur man kan använda Microsoft Excel för att göra diagram:
Excel är ett mycket användbart program i statistiska sammanhang. Detta program ingår normalt i Office-paketet och i det Europeiska datakörkortet (ECDL). Det finns naturligtvis många andra program som kan bearbeta data på samma sätt men eftersom Excel är det mest spridda av pro- grammen, visar vi här hur du löser uppgifter i detta program (Frid 2002:287).
Bilden som visas tillsammans med instruktionerna är från Excel 97. Instruktionerna är därför inte för den senaste versionen av Excel. T.ex. infogamenyn som nämns i instruktionerna finns inte läng- re.
I avsnitten som behandlar sannolikhet och statistik så finns det fyra huvudområden där läro- böckerna nämner att tekniskt hjälpmedel kan användas. Med tekniskt hjälpmedel menas både gra- fräknare och datorprogram.
1) Att bearbeta data från den statistiska undersökningen (Matematik 3000, Matematik 4000, Exponent, Tal&Rum)
För små undersökningar (100-200 formulär) kan bearbetning ske för hand. Vid större undersökning- ar bör man använda ett datorprogram (Björk 1999:316).
Vid bearbetningen av undersökningen kan med fördel något lämpligt datorprogram användas (Gennow 2005:222).
Analysera om det verkar troligt att sambandet kunnat uppstå bara av en slump. Simulera i Stathuset (avsnitt Effekten av slumpen) (Eriksson 2007:362).
2) Att beräkna standardavvikelse (Matematik 3000, Nova, Origo, Tal&Rum, MerIT)
Ett annat spridningsmått, som ofta beräknas med datorprogram, är standardavvikelsen (Björk 1999:343).
Detta [räkna standardavvikelse] kan också räknaren användas till (Gustafsson 2000:197).
Vill du beräkna statistiska mått med hjälp av räknaren trycker du stat och väljer 1 (Szabó 2007:325).
Eftersom dessa [standardavvikelse] beräkningar kan bli ganska omfattande om man har många värden så låter man oftast en räknare eller dator göra beräkningen. På en grafräknare utgår man då från en lista med sina data och beräknar sedan olika statistiska mått på en gång för denna lista.
Med programmet Stathuset kan man också få olika statistiska mått beräknade. Man kan sedan ko- piera in dem direkt i Word (Eriksson 2007:368).
Denna komplicerade och tidsödande uträkning fick alla statistiker syssla med fram till att räknaren blev så avancerad, att en enkel knapptryckning (ofta en knapp märkt med sd eller (n 1)) det vikti- ga resultatet (Andersson 1997:286).
3) Att simulera försök, slumptal (Exponent, Nova, Tal&Rum)
Försök kan också simuleras med en räknare. Om vi vill simulera exempelvis 100 kast med en tär- ning och studera resultatet kan vi låta räknaren slumpa fram dessa kast, placera resultatet av dem i en lista och presentera ett diagram över resultatet. Figurerna på nästa sida visar de steg som krävs för att åstadkomma detta (Gennow 2005:200).
Experiment kan också simuleras med en räknare som innehåller en slumptalsgenerator. Experi- mentet att singla slant kan simuleras genom att låta räknaren slumpa fram ettor och nollor. Låt ettor motsvara klave och nollor krona (Gustafsson 2000:200).
I Programmet Stathuset finns ett antal olika simuleringar som handlar om slumpförsök. En av modulerna demonstrerar hur den relativa frekvensen stabiliserar sig om man gör många kast med ett mynt (Eriksson 2007:333).
4) Rita grafer (Exponent, Nya Delta, Tal&Rum)
Använd grafräknare för att beräkna median och kvartiler, samt rita ett lådagram över elevernas längder i föregående exempel (Gennow 2005:233).
Ännu bekvämare är att använda ett datorprogram som ritar spridningsdiagrammet och regressions- linjen samt ger regressionslinjens ekvation (Björup 2000:332).
Här har vi gjort ett annat diagram i Stathuset med kumulerade frekvenser och då ser man direkt att '68 eller lägre' är ca 10 % (Eriksson 2007:373).
Standardavvikelse och normalfördelning
Fast standardavvikelse och normalfördelning inte finns i kursplanerna så finns begreppen ganska väl representerade i läroböckerna. Standardavvikelse finns i alla de böcker som riktar sig mot NV/T.5
Standardavvikelse Normalfördelning
Finns
Finns ej
*Matematik 30005, *Matematik 4000, Exponent, Nova, Nya delta, Origo, Tal&Rum, MerIT Matematik, NT/a+b
*Matematik 3000, *Matematik 4000, Origo, Tal&Rum, MerIT Matematik, Nt/a+b
Matematik B Exponent, Nova, Nya delta, Matematik B
Utöver begreppen standardavvikelse och normalfördelning finns också begreppet konfindensinter- vall i Nova (2000), Matematik 3000. Matematik 4000.
Felmarginalen är här beräknad så att den ger ett intervall som i 95 fall av 100 (19 fall av 20) inne- håller det sanna värdet. Vi har fått ett 95% säkerhetsintervall (konfidensintervall) (Björk 1999:314).
Man kan då ange ett s.k. konfidensintervall, ett intervall som med viss säkerhet ska innehålla det värde som man skulle fått om man undersökt hela populationen (Gustafsson 2000:192).
Böckerna innehåller däremot ingen beräkning på konfidensintervall och det nämns bara som be- grepp. Därför kan inte begreppet användas för att jämföra med de engelska böckerna som inne- håller beräkning av konfindensintervaller.
6.2.2 De engelska läroböckerna för Statistics S1
Eftersom böckerna har olika kursplan så innehåller de olika avsnitt och tar upp lite olika områ- den. T.ex. binomialfördelningar och konfidensintervall finns i AQA medan Edexcel innehåller mer digram och hur data representeras.
När det gäller IT är hänvisningar till miniräknare de enda referenser jag hittar. Däremot är det endast i AQA som det finns beskrivet ett hjälpmedel.
Practice obtaining the mean and standard deviation directly using your calculator. This will save you a lot of time (Pledger et al. 2008:20).
The formula for the standard deviation may be rearranged to simplify the calculation. This was important in days before statistical calcuators were widely available. Nowadays, standard deviations may be obtained directly using calculators so this rearrangement is largely obsolete. It is included here for completeness (Pledger et al. 2008:20).
However, it is quicker to obtain this [standard deviation] directly form your calcuator (Pledger et al.
(2008:22).
Däremot rekommenderas tabeller för binomialfördelningar.
Tables should always be the first choice for finding any binomial probabilities - they are so much easier. However, not all values of n and p are included so you may need ot calcuates probabilities (Pledger et al. (2008:66).
Det nämns också att det finns vissa frågor som inte går att räkna ut med en miniräknare.
Some calculators will find these probabilities directly. However, no correctly available calculator will answer questions such as worked examples 5.3, 5.4, and 5.5 (Pledger et al. 2008:87).
Dessa exempel 5.3-5.5 kräver att man först tolkar frågan till matematiskt språk och standardiserar den innan man kan räkna ut den. Det är sant att det inte kan räknas ut direkt med en knapptryck- ning utan att förstå vilken information är relevant och vilken man behöver.
I Edexcel nämns miniräknare väldigt lite och det är inte rekommenderat att använda dem på prov.
If you use a statistical calcualtor it may give you the value of the product moment correlation co- efficient directly. to write down the answer in an examination is risky, since no marks wil be give if it is incorrect. It is also possible that you may be asked to find intermediate values in the calcual- tion such as sxx, syy, etc. as well as the value of y (Williamson 2004:121).
Eller så nämns miniräknare som ett alternativ sätt till tabeller.
You can use tables or a calculator to find these probabilities. You will find a copy of the tables on pages 201 and 202 (Williamson 2004:177).
Samtidigt nämns det hur de får används på prov.
These calculators can be used in your S1 examination but you are advided to state clearly the pro- bability you are finding and give your final answer to 3 s.f.
Som visas i citaten ovan nämns miniräknare bara i anslutning i frågor om sannolikhet och som ett alternativ till tabeller. Det finns inga referenser till det för standardavvikelse.
Till AQA medföljer en CD-skiva. Den skivan innehåller en digital version av läroboken. Den har också fullständiga lösningar till frågorna i boken och repetitionsuppgifter.
AQA har projektarbete men inte i den delkursen som används på den skola jag besökte. Man kan välja delkursen med eller utan projektarbete. Information om projektarbete finns inte i läro- boken utan ändras från år till år och finns beskrivet i en separat lärarhandledning.
6.3 Resultat av de engelska intervjuerna 6.3.1 Översikt
Jag intervjuade två lärare på två olika skolor i England som jag kallar för lärare 1 och lärare 2. Lä- rarna arbetar på kommunala skolor och undervisar bara i ämnet matematik. Lärarna delar upp de olika delkurserna mellan sig beroende på vilka erfarenheter och utbildning de har. Ibland måste de undervisa mekanik eller statistik även om de inte har det i sin utbildning. Lärare 1 hade inte utbildning i statistik utan fick läsa till sig det för att kunna undervisa.
Ämnet hade förändrats mycket under de senaste åren. Från att vara en tvåårig kurs innan 2000 till att idag vara olika valfria delkurser. Alla läser Core 1-4 (analys/algebra) sedan väljer eleverna två delkurser ifrån statistik, mekanik eller diskret matematik. Tidigare var eleverna tvungna att läsa två delkurser i varje område men det ändrades år 2002 eftersom betygsresultaten var dåliga och ämnet ansågs vara för svårt. Ungefär hälften av eleverna väljer statistik och hälften mekanik. Lära- re 1 menar att elever med utländsk bakgrund ofta väljer mekanik istället för statistik för att språ- ket i statistik kan vara för svårt för dem. Alla elever väljer diskret matematik som sitt andra valfria delkurs för att den anses vara lättare än mekanik och statistik och ger möjligheter till högre betyg.
Klasserna ligger på mellan 15 och 20 elever. Kursen är 28 veckor lång vilket ger 150 undervis- ningstimmar. Kursen har tidigare varit 30 veckor så undervisningstimmarna har minskats med 10 timmar. Elever får studiebidrag som kallas för EMA (Education Maintenance Allowance). Närvaro är obligatorisk på alla lektionstillfällen. Eleverna förlorar sitt studiebidrag direkt vid olovlig frånvaro.
6.3.2 Kursplanen
Skola 1 använder AQA och skola 2 använder Edexcel som betygsnämnd. De två kursplanerna har ungefär samma innehåll. Ingen av dem använder OCA (den tredje betygsnämnden i England) eftersom kursplanen har annat innehåll som ansågs av lärarna att vara för svårt.
Lärare 1 som undervisar på den skola som använder AQA menade att de fanns några saker som saknades i kursplanen, till exempel, χ²-testet (Chikvadrat) och att skolan alltid måste göra en kompromiss när de väljer kursplan då det gäller att hitta den kursplan som är mest lik det de vill undervisa. Det fanns små skillnader mellan kursplanerna som till exempel att AQA har konfiden- sintervall medan Edexcel inte har det.
Kursplanen för A-level (år 16-18) är mest teori, jämfört med GCSE (år 14-16) som är mer praktiskt och innehåller histogram och statistiska undersökningar.
Statistik anses av båda lärarna att vara någonting som alla behöver läsa om de ska fortsätta att läsa på högskolenivå. Just nu finns det möjlighet för eleverna att välja bort statistik och läsa me- kanik istället. Lärare 2 tyckte samtidigt att det inte är bra att ha för mycket statistik. Ett exempel på det är att det finns möjlighet att läsa bara statistik på GCSE och A-level men de har sett att de elever som gör det har glömt Core (analys/algebra) innan de börjar på nästa kurs.
6.3.3 Läromedlets funktion
Undervisningen utgår till stor del från läroböckerna. Lärarna har frihet att undervisa i vilken ord- ning de vill så länge de undervisar alla områden. Det är inte alltid så att de undervisar i samma ordning som områdena finns i boken.
Eleverna måste köpa egna läroböcker. Därför är det lättare att byta läromedel och betygs- nämnd om skolan vill. En av skolorna hade nyligen bytt från Edexcel till AQA.
På skola 1, förutom läroböckerna, använder de färdiga Powerpoint-presentationer som skolan hade köpt in. Dessa hade skrivits efter kursplanerna så alla områden som fanns i kursplanerna fanns i Powerpoint-presentationerna.
Det fanns ett problem för några år sedan i England att det fanns många obehöriga lärare som undervisade matematik, det vill säga, utbildade lärare som hade annat ämne än matematik. Därför släppte skolmyndigheten lärarhandledningar som heter Maths Standard Unit vilka innehöll, bland annat, lektionsplaneringar för laborativt arbete. Detta material för laborativt arbete hade lärare 1 använt sig av mycket förut, innan kursen ändrades från 30 till 28 veckor.
6.3.4 Områden där datorer används
På båda skolorna fanns det en lärplattform6 där elever kunde logga in hemifrån eller i skolan och komma åt instuderingsfrågor och undervisningsmaterial.
Den användes mer på en av skolorna än på den andra. På den skolan hade de köpt in under- visningsmaterial i form av Powerpoint-presentationer (se 6.3.3). Om en elev hade missat en lek- tion eller behövde repetera ett område kunde de se undervisningsmaterialet. Det finns presenta- tioner för alla områden som ingår i kursen, även om läraren inte hade använt det på lektionen.
6.3.5 Resurser
Klassrummen på båda skolorna har datorer och projektorer som kan användas för undervisning.
På en av skolorna finns det datorsalar som kan bokas. På den andra skolan finns det fem datorer i klassrummet som de använder och några av dem fungerar. Annars finns det datorsalar som elever har tillgång till men de används inte för undervisning i matematik.
6.3.6 Tidigare erfarenheter
Lärarna undervisar bara i matematik. Lärare 1 hade inte statistik från början och fick läsa till det.
IT har kommit in i skolan på olika sätt på den senaste tiden och de har fått lära sig det eftersom, bland annat, mycket administrativt arbete görs på datorn.
6 Eng. Learning Management System eller Virtual Learning Environment som t.ex. Pingpong eller Moodle
6.3.7 Undervisningsmetoder
Läromedlet styr innehållet i kursen (se 6.3.3). Eftersom det inte finns referenser till datoranvänd- ning i läroböckerna så finns inte datoranvändning i kursen. Lärplattformen används mycket för att lägga upp extramaterial och instuderingsfrågor. Lärare 2 brukar gå in på lärplattformen under lektionerna och visa var instuderingsfrågorna finns och dela ut dem som läxa.
Tidigare hade det funnits laborativt arbete utifrån de lektionsplaneringar som ingick i lärar- handledningar eller annat material lärarna har samlat på sig. Det har försvunnit sedan undervis- ningstimmarna har dragits ner.
Powerpoint-presentationer används ibland (se 6.3.3 och 6.3.4). Det är kommersiellt material som skolan har köpt in men som de hade möjlighet att anpassa. I geometri använder de Geo- gebra för att visa grafer. Det finns även länkar till Geogebra på lärplattformen.
6.3.8 Åsikter
Båda lärarna menar att kursplanen är det som påverkar möjligheterna till datoranvändning mest.
Eftersom bedömningen är pappersbaserad finns det ingen mening att använda datorer i kursen.
Laborativt arbete har tidigare funnits i kursen men nu finns det inte tid till det längre. När un- dervisningstimmarna drogs ner var laborativt arbete det första som försvann. En av lärarna me- nar att vissa elever behöver laborativt arbete mer än andra. Det är svårt att anpassa kursen efter alla elever. På den skola som lägger upp undervisningsmaterial på lärplattformen har eleverna all- tid möjlighet att repetera någonting hemma om de behöver göra det.
Lärarna menar att den del av datoranvändning som har förändrat undervisningen mest är möjlighet att visa material de har förberett innan på en projektor genom att använda ett program som Microsoft Powerpoint. Det är bättre att visa en graf som ha ritats upp på datorn än att för- söka rita upp själv på tavlan.
Utöver tid så är resurser också ett problem (se 6.3.5).
6.3.9 Bedömningssätt/projektarbete
Hela kursen bedöms på skriftligt slutprovet. Lärare 1 trodde att regeringen inte ville ha projektar- bete längre för att det är svårt att kontrollera plagiat. "Det är svårt att se om en elev ha kopierat ett svar. Det finns bara så många sätt man kan säga någonting i matematik."
Det finns projektarbete i delkursen Statistics 2 men de undervisar inte den kursen längre sen reglarna ändrades år 2002 (se. 6.3.1). Det finns däremot projektarbete i andra ämnen. Lärarna gil- lar inte det eftersom eleverna inte vet hur mycket tid de ska lägga på det. Vissa lägger alldeles för mycket tid på projektet och då lider resten av kursen. Projektarbetet är bara i liten del av slutbety- get.
6.4 Resultat av de svenska intervjuerna 6.4.1 Översikt
Jag intervjuade två lärare på två olika kommunala skolor i Sverige som jag kallar för lärare 3 och lärare 4. Klasserna har mellan 12 och 20 elever. Lärare 3 hade precis börjat på den skolan och ti- digare bara hade erfarenhet av högstadiet. Lärare 4 hade varit på den skola i cirka 10 år. Båda un- dervisade i matematik och fysik. Lärare 4 hade tidigare undervisat några IT kurser, bland andra programmering.
6.4.2 Kursplanen
Statistik finns både i A och B kursen. På A-kursen finns det större utrymme att visa saker och göra övningar. Det berodde dels på att kursen är större (100 poäng istället för 50 poäng) men också för att statistik i A-kursen handlar mer om grafer och hur man tolkar statistik.
Båda lärarna menar att man har mycket frihet som lärare att lägga upp undervisningen hur man vill. Lärare 3 menar att man gör en planering så att allting får plats och om man missar ett område och en fråga om det området kommer på nationella provet kan man alltid stryka den frå- gan.
Det står inget i kursplanen om standardavvikelse eller normalfördelning. Lärare 4 trodde det hade funnits tidigare och att det hade tagits bort. De menade däremot att det var någonting ele- verna behövde. Lärare 4 menar att man inte kan bli naturvetare utan att veta vad standardavvikel- se är. I kursen finns det inga statistiska tester, fördelningsfunktioner eller korrelation vilka var sa- ker som båda lärarna tyckte behövdes. Lärare 3 trodde att dessa begrepp hade tagits med i de nya kursplanerna för kursplansförfattarna upptäckte det fanns en knapp på miniräknaren för att räkna standardavvikelse.
6.4.3 Läromedlets funktion
Båda lärarna menar att de använder läroboken för att det kräver en aktiv insats för att konstruera egna uppgifter. Det tar lång tid att samla på sig saker och man gör lite varje år. Lärare 3, som var ny på skolan vågade inte bryta sig loss från läromedlet i början innan han hade blivit mer bekant med kursen och skolan.
Lärare 4 menar att läroböckerna är ett urval av uppgifter som ansågs vara lämpliga att lösa när man satt med papper och penna och möjligen räknare. Därför måste man konstruera egna upp- gifter när man ska göra datorövningar. Uppgifterna i läroböckerna ger ofta heltaliga svar vilket inte är verklighetstroget så om man ska göra egna uppgifter kan det vara bättre att göra mer rea- listiska uppgifter som inte innehåller heltaliga koefficienter.
Lärare 4 menar att anledningen till att läromedlet är som det är beror på att den svenska mark- naden är liten och att förlagen är konservativa och rädda för att satsa på saker som de inte kom-
mer kunna sälja. En stor tjock bok med uppgifter med verklighetsanknytning skulle de inte ge ut för att det inte är testat i Sverige.
Båda lärarna menar att om det fanns bättre tillgång till datorer i skolan kunde de lättare kunna komma åt resurser på nätet och använda dem som läromedel.
6.4.4 Områden där datorer används
Det fanns en lärplattform på båda skolorna som elever kunde komma åt hemifrån. Lärare 4 an- vänder det bara för att lägga upp lektionsplaneringar. Lärare 3 höll på att utveckla det så elever kunde ha egna bloggar där de kan presentera uppgifter för varandra.
Datorer används mycket till administrativt arbete i skolan. Det finns några klassrum med pro- jektorer och lärarna har egna datorer som de ibland använder för att visa en film eller tipsa om en intressant hemsidan. Lärare 3 använder Geogebra för att undervisa geometri eller Excel för att visa hur man kan använda den för att räkna ut saker.
Det finns tillfällen där de arbetar med datorer under lektionstiden men det är sällan för att det är tidskrävande att planera lektioner och det finns brist på datorer på skolorna.
6.4.5 Resurser
Det finns datorsalar som man måste boka. Det är svårt ibland att få tid i datorsalen eftersom många andra lärare i olika ämnen vill använda dem och det finns vissa lektioner som är schema- lagda där. På en av skolorna har de datorvagnar att boka men det är också svårt att tillgång till dem. Nästa år kommer båda skolor köpa in bärbara datorer till alla elever och då kommer inte tekniken eller tillgänglighet vara ett problem längre.
6.4.6 Tidigare erfarenheter
Lärare 3:s erfarenhet från grundskolan visar att matematik ofta är ett ämne som många lärare un- dervisar i för att de ändå kan det och menar att även på gymnasiet är det ett problem som 50% av lärarna väljer att lägga sin tid på sitt andra ämne istället. Det leder till att många som undervisar i matematik inte är speciellt intresserad av ämnet och lägger inte tillräckligt mycket tid på att ut- veckla det.
Båda lärarna menar att det är ett problem att tekniken far framåt fort och att eleverna vänjer sig vid tekniken snabbare än lärare. Båda har erfarenhet av datorer sedan tidigare men måste ändå arbeta aktivt för att hålla sig uppdaterade. Lärare 4 menar att det är svårt att få datorer att bli en naturlig, integrerad del av undervisningen och när man försöker så känns det som att det är nå- gonting som bara klistras på utsidan.
Att låta datorn göra beräkningar ansågs inte vara den mest pedagogiska sättet att arbeta. Lärare 3 menar att det är samma sak som att låta eleverna räkna i hel sida med uppgifter med miniräkna-
