Att utveckla deklarativ kunskap i matematik : - En studie genomförd i gymnasieskolan med fokus på elever i behov av särskilt stöd

(1)

Linköpings universitet | Institutionen för beteendevetenskap och lärande Examensarbete, 15 hp | Speciallärarprogrammet 90 hp Vårterminen 2018 | ISRN LIU-IBL/SPLÄR-A-18/11-SE

Att utveckla deklarativ

kunskap i matematik

- En studie genomförd i gymnasieskolan med fokus på elever

i behov av särskilt stöd

____________________________________________________________________________________________________

Developing Declarative Knowledge in Mathematics

- Concerning Children with Special Needs in the Upper

Secondary School

Eva Jansson

Handledare: Rickard Östergren Examinator: Ulf Träff

Linköpings universitet SE-581 83 Linköping, Sweden 013-28 10 00, www.liu.se

(2)

Sammanfattning

I denna studie prövas två olika metoder, träning på tid (ÖVA) och lärande som inbegriper förståelse (GL). Syftet är, att om möjligt, utröna vilken av dem som är den bästa för att eleverna ska lära sig enkel aritmetik i så mening att kunskapen blir deklarativ.

Studien visar att på ganska kort tid förbättrar eleverna sina resultat, både när det handlar om att tillämpa enkel aritmetik men även när det handlar om mer avancerad aritmetik. Strategier eleverna använder för att utföra enkla aritmetiska beräkningar överförs till mer komplicerade, övning ger färdighet på flera plan. Analysen av resultatet i studien leder fram till att deklarativ kunskap i matematik har betydelse för hur eleven kommer att tillgodogöra sig nya kunskaper i matematik samt att tillämpa dem.

I normala fall ägnas inte mycket tid i gymnasieskolan till att träna enkel aritmetik. Elevernas utbildning i matematik, från förskola till gymnasium, är hierarkiskt upplagd och varje kursplan bygger på att eleven har tillgodogjort sig innehållet i tidigare kursplan. Denna studie visar att många elever på gymnasiet, inte behärskar enkel aritmetik i så mening att den är att betrakta som deklarativ.

Matematikångest och dess påverkan på lärandet ska inte ignoreras. Studien visar att elevernas affektiva matematikångest påverkar dem i så mening att de presterar sämre i matematik. Däremot visar studien att efter ett antal träningstillfällen har matematikångesten inte samma inverkan.

(3)

Innehållsförteckning

1 Inledning ... 1

2 Syfte ... 1

3 Bakgrund ... 2

3.1 Aritmetik och räknefärdighet ... 2

3.2 Ångest i samband med matematik ... 3

3.3 Prevention och intervention ... 4

3.4 Deklarativ kunskap i matematik ... 6

3.5 Procedurträning eller förståelse ... 7

4 Frågeställningar ... 10 5 Metod ... 10 5.1 Urval ... 10 5.2 Etiska överväganden ... 11 5.3 Övergripande ... 11 5.4 Instrument ... 11 5.5 Screeningfas ... 13 5.6 Interventionsfas ... 14 5.7 Ny interventionsfas ... 15 5.8 Analys av data ... 16 6 Resultat ... 17

6.1 Vilken metod ger bäst effekt på lärandet av aritmetiska fakta hos elever i behov av särskilt stöd i matematik? ... 18

6.2 Har träning eller Öva någon transfereffekt på andra färdigheter i aritmetik eller procenträkning för elever i behov av särskilt stöd? ... 23

6.3 Vilka relationer mellan deklarativ kunskapsutveckling och matematikångest kan upptäckas hos elever i behov av särskilt stöd? ... 24

7 Resultatdiskussion ... 25 8 Metoddiskussion ... 28 8.1 Reliabilitet ... 29 8.2 Validitet ... 29 9 Fortsatt forskning ... 30 Referenser ... 31

(4)

1

1 Inledning

Aritmetiska färdigheter är viktiga för att kunna fungera som en fullvärdig medborgare i dagens samhälle (Butterworth, 2005). Studier i USA har visat att 14% av den vuxna befolkningen kan betraktas som illiterata medan 22% är innumerata (Geary, 2013). Mindre goda färdigheter i matematik kan leda till, för nationen, mindre god samhällsekonomi och för individen arbetslöshet samt sämre mental hälsa (Kucian & von Aster, 2015). Samma fenomen återfinns i Sverige, Stockholms läns landsting (2015) skriver i en rapport att matematiksvårigheter i vuxen ålder kan leda till både lägre inkomst och högre sjukfrånvaro samt antisocialt beteende , den enskilde individens problem kommer att påverka samhällsekonomin.

Att lyckas i ämnet matematik är ofta en nyckel till att lyckas med en utbildning som helhet. Ett misslyckande i matematik får därför större konsekvenser än att misslyckas i något annat ämne (Engström, 2015). Ämnet matematik är att betrakta som ett tröskelämne i så bemärkelse att ämnet ingår i alla gymnasieutbildningar och minst betyget E är ett krav för att kunna erhålla en yrkesexamen eller gymnasieexamen som i sin tur leder till anställningsbarhet eller möjlighet till fortsatta studier (Skolverket, 2011). Vårterminen 2014 var det 30% av eleverna på yrkesprogrammen som presterade betyget F på det nationella provet i matematik, majoriteten av dessa är elever med migrantbakgrund eller elever från hem med låg social status (Engström, 2015).

Det finns en risk att elever som ligger efter i sin matematikutveckling redan innan de börjar skolan riskerar att halka efter även fortsatt (Geary, 2013). Utbildningssystemet måste uppmärksamma elever som av någon anledning inte fått möjlighet att gå i skola eller under sin uppväxt inte fått tillräcklig stimulans i så mening att de kompenseras för eventuella svårigheter. Sett ur dessa perspektiv blir specialläraren en ovärderlig resurs i det befintliga utbildningssystemet.

2 Syfte

Syftet med denna studie är att pröva två olika metoder för intervention som har till syfte att öka elevernas deklarativa kunskap i enkel aritmetik. Dessutom undersöks vilka effekter elevens kunskaper i enkel aritmetik har för elevers upplevda matematikångest samt för kunskapsutveckling inom andra domäner i ämnet matematik. Studien som genomförs inom ramen för ett pågående forskningsprojekt på LiU har det gemensamt att elever i behov av särskilt stöd i matematik är i fokus samtidigt som liknande interventionsansatser prövas.

(5)

2

3 Bakgrund

I det följande beskrivs den teoretiska bakgrund som är relevant för den aktuella studien. 3.1 Aritmetik och räknefärdighet

Arbetsminnets uppgift är att temporärt lagra information samt manipulera densamma (Baddeley, 2003), och har betydelse för att kunna utföra matematiska operationer. Att snabbt kunna ta fram talfakta ur minnet tillåter eleven att använda sina kognitiva resurser till andra delar av problemet som ska lösas (Vasilyeva, Laski & Shen, 2015). Ett svagt arbetsminne medför ofta inlärningssvårigheter i matematik. Elever med både lässvårigheter och matematiksvårigheter har det sämsta arbetsminnet i jämförelse med andra elever i behov av särskilt stöd, visar en metastudie av Peng och Fuchs (2016). Det finns inga belägg för att arbetsminnesträning ger effekt på aritmetiska kunskaper hos barn eller friska vuxna. Studier visar på nära-transfer-effekter men de överförs inte på andra kognitiva förmågor (Melby-Lervåg & Hulme 2013).

Det är främst mindre barn som studeras när matematikinlärning undersöks och det som är i fokus är enkel aritmetik och taluppfattning. Faktorer som undersöks är arbetsminne, exekutiva funktioner samt språklig och spatial förmåga, men även motivation, matematikångest samt miljöfaktorer studeras (Alcock, Ansari, Batchelor, Bisson, De Smedt, Gilmore, Göbel, Hannula-Sormunen, Hodgen, Inglis, Jones, Mazzocco, McNeil, Schneider, Simms, Weber, 2016). Det finns inte mycket forskning genomförd på området matematikinlärning när det handlar om äldre elever och vuxna (Bartholomew & De Jong, 2017).

Att kunna särskilja mängder av föremål är en basal numerisk färdighet som mycket små barn och för den delen även djur har (Kucian & von Aster, 2015). Detta är en grundläggande förutsättning för att senare kunna utveckla en god taluppfattning. Aritmetik är komplext och kräver begreppsförståelse, procedurell förmåga samt färdighet och dessa förmågor är en förutsättning för att senare kunna lära mer i ämnet matematik (Träff & Samuelsson, 2013). Taluppfattning är abstrakt, Butterworth (2005) menar att ett antal föremål inte definieras av fysiska egenskaper som färg och form. Tal kan dessutom representeras på olika sätt, i form av räkneord, i romerska siffror eller med symboler som ögonen på en tärning. Han menar vidare att det faktum att tal kan vara lika eller olika är en abstraktion av en abstraktion. En tidig strategi som tillämpas vid addition är att räkna båda termerna, därefter lär man sig räkna upp från den andra termen. Det sista stadiet består i att man hämtar summan från sitt minne eller delar upp en av termerna för att nå ett tiotal (Geary, Hoard, & Bailey,2012). Vasilyeva, Laski och Shen (2015) visar i sin studie att elever som använder sig av tekniken att dela upp den ena termen vid

(6)

3

addition för att få en enklare summa att addera samt tar fram talfakta ur minnet kommer i ett senare skede att använda sig av att ta fram talfakta ur minnet i högre grad än de elever som vid addition använder sig av tekniken att räkna ihop termerna genom att ta den ena termen och räkna upp med den andra. Vasilyeva et al. (2015) visar vidare i sin studie att elever som har strategier för att kunna genomföra additionsberäkningar med ental även tillämpar strategierna när termerna blir tvåsiffriga. Utvecklande av aritmetiskt kunnande handlar i grunden om taluppfattning och i förlängningen om att kunna hantera tal i olika former (Butterworth, 2005). 3.2 Ångest i samband med matematik

Svårigheter i matematik kan bero på matematikångest. Matematikångest har två dimensioner i så mening att den ena handlar om oro att misslyckas som kan härledas till kognitiv förmåga och en affektiv som grundar sig i nervositet inför prov (Dowker, Sarkar & Looi, 2016). Matematikångest har ingen korrelation till intelligens men kan vara en faktor vid oförväntat låga prestationer vid examinationer. Man kan betrakta matematikångest som en funktionsnedsättning i så mening att den kognitiva förmågan påverkas vid lärandet (Ascraft & Moore, 2009). Matematikångesten är dysfunktionell i så mening att den påverkar elevens kognitiva resurser (Passolunghi, 2011). Även Geary, Hoard och Bailey, (2012) instämmer i föregående resonemang. Det är troligt att upprepade misslyckanden när eleven räknar eller försöker förstå matematiska koncept kan leda till matematikångest och flykt från ämnet (Passolunghi, 2011). Svaga kunskaper i matematik kan orsaka ångest och matematikångesångesten medför svaga resultat. Eleven riskerar att hamna i en ond cirkel. Pojkar betraktas vara bättre i ämnet matematik än flickor av både lärare och föräldrar, men olika typer av prov visar på det motsatta (Lindberg, Hyde, Petersen & Linn). Flickor skattar sig lägre i ämnet matematik, har lågt självförtroende i ämnet, och upplever mer matematikångest än pojkar. Flickor visar en korrelation mellan matematikångest och prestation (Dowker et al., 2016). De menar vidare att matematikångest ökar med ålder samt att attityder och prestationer korrelerar. Svårare matematik som kräver mer av arbetsminnet kan också vara en förklaring till att matematikångestenångesten ökar med åldern eftersom det finns en hierarki i matematikundervisningen (Dowker et al., 2016). Riskfaktorer för att utveckla matematikångest är svagt arbetsminne, låg motivation samt svag förmåga i ämnet (Ascraft & Moore, 2009). Man ska inte underskatta matematikångestens betydelse för matematiklärande. Men andra menar det motsatta. Den matematikångest eleverna upplever i samband med tester på tid i matematik är inte förknippad med hur bra de lyckas, den drabbar både hög- och lågpresterande elever. Dessutom är matematikångesten heller inte relaterad till hur eleven upplever sin situation i andra ämnen (Kling & Bay-Williams, 2014). För en del elever har matematik en starkt negativ

(7)

4

emotionell laddning och följden av en rad misslyckanden ger en upplevelse av värdelöshet (Lundberg & Sterner, 2009). Ju större matematikångest desto sämre provresultat och risken är att eleven undviker fler matematikkurser vilket ofta leder till en lägre utbildningsnivå (Ascraft & Moore, 2009). Matematikångest gör att eleven undviker matematik, matematikångesten stjäl arbetsminne vilket i sin tur leder till sämre kunskaper i ämnet (Ramirez, Chang, Maloney, Levine, & Beilock, 2015). Elever med mycket matematikångest använder en del av sina minnesresurser för att oroa sig vilket medför att mindre kapacitet finns för att utföra beräkningarna korrekt (Ascraft & Moore, 2009). Anledningen är att de inte kan använda sitt arbetsminne till för dem bekanta problemlösningsstrategier och minnesstrategier. Matematikångesten överbelastar arbetsminnet vilket gör att prestationerna blir sämre, eleverna gör fler fel och arbetar långsammare (Dowker et al., 2016). Huruvida räknande under tidspress är förknippat med matematikångest har diskuterats. Matematikångest påverkar prestationer i ämnet matematik, speciellt om tiden är begränsad (Ascraft & Moore, 2009). Detta medför att man inte alltid bedömer elevernas egentliga kunskaper. Boaler (2015) menar att en så stor del som en tredjedel av eleverna drabbas av matematikångest när tiden för att genomföra ett antal räkneoperationer är begränsad. Men till detta bör tilläggas att matematikångesten har mindre betydelse när eleven ska lösa uppgifter som kan förväntas vara automatiserade, desto större påverkan har den när mer komplexa aritmetiska problem ska utföras (Ascraft & Moore, 2009). Det kan finnas anledning att eleverna lär i så stor utsträckning att deras kunskaper blir att betrakta som deklarativa.

3.3 Prevention och intervention

De flesta tidigare studier som berör fenomenet intervention för elever i behov av särskilt stöd i matematik fokuserar på elever i de lägre åldrarna (Bartholomew & De Jong, 2017). Begreppen prevention och intervention har inte alltid samma betydelse. Orsaken till detta lämnas obesvarad. Fuchs och Fuchs (2001) menar att primär prevention innebär undervisning i ordinarie klassrum. Det är en slags universell design som innebär att alla elever gynnas av undervisningen. Här återfinns varierade arbetssätt, högt engagemang, utmanande uppgifter som utvecklar eleverna, laborativt material samt problemlösning där lösningsstrategier synliggörs, elevaktiviteten är hög, arbete i grupp uppmuntras och den traditionella situationen där eleven agerar mottagare av kunskap lyser med sin frånvaro. Läraren har höga förväntningar på sina elever och ger eleverna konstruktiv feedback.

RTI (Respons to Intervention) är en metod som under ett antal år använts i USA för att upptäcka och hjälpa elever i behov av särskilt stöd i matematik. RTI är en trestegsmetod där man i ett

(8)

5

första läge undervisar eleverna med primär prevention för att sedan screena dem (U.S. Department of Education, 2009). Syftet är att föra samman specialundervisning och vanlig undervisning, öka inkluderingen samt att höja kunskapsnivån hos alla elever. Lärare utbildas i metoden och undervisningsmaterialet som används är forskningsbaserat (Fuchs & Deshler, 2007). Många elever i behov av särskilt stöd exkluderas ofta från den ordinarie undervisningen. Inkludering förhindras helt enkelt av att strategier för densamma saknas. RTI kräver inte att elever diagnosticeras, vilket kan vara stigmatiserande, utan arbetsmetoderna i de två första stegen är av den art att alla elever kan gynnas (Grosche, Volpe, 2013). Syftet med screeningen är bland annat att kunna sätta in interventioner i ett så tidigt skede som möjligt. De elever som inte når måluppfyllelse går vidare till nästa steg (U.S. Department of Education, 2009). Ungefär 15 procent av eleverna gör, trots primär prevention, inte framsteg utan behöver modifierad undervisning, sekundär prevention. Den modifierade undervisningen innebär anpassningar som genomförs i det ordinarie klassrummet utan att för den delen peka ut eleven eller störa klasskamraterna. Datorstöd, repetitiva övningar samt tillgång till laborativt material används vid sekundär prevention (Fuchs & Fuchs, 2001). I detta läge får eleverna forskningsbaserad undervisning i mindre grupperingar samt mer träning. Elevernas framsteg mäts och noteras. I steg tre hamnar till sist de elever som inte når måluppfyllelse trots att de deltagit i steg två. Dessa elever får enskild systematisk och explicit undervisning, ibland av speciallärare. I förekommande fall kopplas även skolans elevhälsoteam in (U.S. Department of Education, 2009). Centralt i detta steg är att intensiv individuell undervisning ges av speciallärare. Explicit undervisning varvas med kontextualisering och uppgifterna anpassas till elevens kunskapsnivå (Fuchs & Fuchs, 2001).

Tilläggas kan att RTI ännu inte implementerats på högre nivåer i det amerikanska skolsystemet (Bartholomew & De Jong, 2017). De menar att rektorer och lärare behöver utbildning för att fullt ut förstå konceptet och strukturen i skolan kan behöva förändras om elever i behov av särskilt stöd i matematik ska kunna få den extra tid, inom ordinarie utbildningsram, som RTI kräver.

Finland har ett RTI-liknande ramverk som ser ut som följer. I ett första läge får eleven klassrumsundervisning, i andra steget får eleven intensifierad undervisning av en speciallärare i det hen inte behärskar och i det tredje steget återfinns elever med individuella utbildningsplaner (Björn, Aro, Koponen, Fuchs, & Fuchs, 2016). I en svensk kontext skulle RTI:s tredje steg vara att jämföra med en intervention.

(9)

6

3.4 Deklarativ kunskap i matematik

Det är flera förmågor som eleven behöver behärska för att vara matematiskt kompetent. Crawford (u.å) menar att elever lär sig enkel matematisk fakta i tre steg. Först räknar de antalen, sedan relaterar de till tidigare kunskap och i det tredje steget blir kunskapen deklarativ och eleven kan ta fram fakta direkt ur minnet. Elever som använder fingerräkning och är långsamma när de löser enkla aritmetiska problem kommer att vara förlorade när läraren förutsätter att de enkelt kan ta fram talfakta för att lära nya matematiska koncept (Gersten, Jordan, Flojo, 2005). Det råder ingen diskussion om att deklarativ kunskap är en förutsättning för att eleven senare ska kunna lära sig mer matematik. Däremot finns inget koncensus kring hur det ska gå till när eleven lär sig motsvarande matematik (Henry & Brown, 2008). Kunskapen kan inte betraktas som automatiserad med mindre än att eleven direkt tar fram svaret ur minnet och när kunskapen är automatiserad kan eleven använda arbetsminnet till att lösa matematiska problem istället för att fokusera talfakta. Studier har genomförts för att utröna huruvida elevens kunskap är att betrakta som deklarativ. Ett svar från en elev ska levereras på en sekund för att kunskapen ska kunna betraktas vara automatiserad (Crawford, u.å). Kling & Bay-Williams (2014) fann att även elever som inte får räkna på tid automatiserar sin kunskap. De lärde sig använda räknestrategier så snabbt att det var omöjligt att kunna urskilja om de använde strategier eller om kunskapen var automatiserad. Elever som räknar på fingrarna kan hinna upp till 20 uppgifter per minut (Crawford, u.å). Det råder ingen enighet i frågan om hur kunskap automatiseras och kritik har framförts mot att träna på begränsad tid. Ett frekvent användande av tester på tid motverkar att eleven får en god taluppfattning samt att kunskapen blir deklarativ (Henry & Brown,2008). De menar att elever som får lära strategier i samband med att syftet är att de ska memorera enkla aritmetiska beräkningar uppnår bättre taluppfattning än de elever som bara har i uppgift att memorera. Vidare menar Kling och Bay-Williams (2014) att meningsfulla interventioner kräver att man måste lyssna på eleven, ställa frågor och ta reda på vad det är eleven ännu inte har förstått. Det är flera förmågor som är inblandade när eleven ska lära matematik.

Hudson och Miller (2006) menar att den deklarativa kunskapen är något som eleven snabbt kan ta fram ur sitt minne, något som är beständigt. Om huruvida man kan avgöra om kunskapen är att betrakta som deklarativ finns delade meningar. Crawford (u.å) menar att ett svar från en elev ska levereras på en sekund för att kunskapen ska kunna betraktas vara automatiserad. Kling & Bay-Williams (2014) fann att elever kunde hantera räknestrategier så snabbt att det var omöjligt att avgöra om kunskapen var deklarativ eller inte. Elever som räknar på fingrarna kan hinna upp till 20 uppgifter per minut (Crawford, u.å).

(10)

7

Hudson och Miller (2006) talar dessutom om olika typer av kunskap som begreppslig, procedurell och deklarativ. Med begreppslig kunskap menar de att om eleven ska bli skicklig i matematik krävs att hen förstår matematiska begrepp och uttrycksformer. Tecken, symboler och abstraktioner måste kunna tydas för att eleven ska förstå uttryck och sammanhang. Med procedurell kunskap menar de strategier för att kunna lösa matematiska problem och den deklarativa kunskapen handlar om att eleven snabbt kan ta fram kunskaperna ur sitt minne, något som är beständigt. I den svenska gymnasieskolas matematikkurser bedömdes från 1994 förmågorna fakta, färdighet, förståelse och förtrogenhet. Sedan 2011 har förmågorna utökats och är för närvarande begrepp, procedur, problemlösning, modellering, kommunikation, resonemang samt relevans (Skolverket, 2011). Ingen av de senaste två kursplanerna i ämnet matematik för gymnasieskolan talar om deklarativ kunskap över huvud taget. Det förutsätts att eleverna har dessa kunskaper med sig från tidigare utbildning.

3.5 Procedurträning eller förståelse

Det finns en pågående debatt om relationen mellan förståelse- och procedurkunskap. Även om en konsensus om att förståelsekunskap främjar den procedurella kunskapen råder finns en kontrovers huruvida procedurell kunskap främjar förståelsekunskap samt i vilken ordning eleverna ska undervisas i de båda förmågorna (Rittle-Johnson, Schneider & Star, 2015). Att utveckla förståelse samt förmåga att hantera procedurer är centralt i ämnet matematik men hur elever lär sig att hantera detta med flyt är ännu inte fullt utforskat (Alcock et al., 2016). Burns, Codding, Boice och Lukito (2010) menar att när man lär sig matematik genomgår man fyra faser: förståelse, färdighet, generalisering samt att kunna tillämpa, men rangordningen mellan dessa är inte definitiv. Vissa individer gynnas av att först behärska förståelse medan andra gynnas av att först träna färdigheter.

Burns et al. (2010) metastudie visade att elever i behov av särskilt stöd i matematik som fick möjlighet att öka sin förståelse lyckades bättre än de som fick mer färdighetsträning med syfte att öka processhastigheten. Codding, Burns och Lukito (2011) kom fram till att om man ska kunna lära sig matematik behöver man grundläggande räknefärdigheter. Deras metastudie visade att elever i behov av särskilt stöd i matematik lär sig grundläggande räknefärdigheter genom att öva och träna genom lärande. Rittle-Johnson et al. (2015) menar att modell-lärande innebär att en lärare visar hur man genomför beräkningar och eleverna tillämpar desamma.

Det verkar som att de båda förmågorna procedur och förståelse inte är oavhängiga varandra. Andra studier visar att elever som får undervisning som fokuserar procedurer erhåller bättre

(11)

8

förståelse samt att elever som får undervisning som fokuserar förståelse erhåller bättre kunskap om procedurer (Rittle-Johnson et al., 2015). Siegler och Stern, (1998) menar att förståelse innebär att eleven förändrar sitt tänkande och i sin studie visar de att genom att träna procedurer kan eleven nå förståelse. Det verkar finnas en ömsesidig relation mellan förståelse och procedurkunskap och det finns inte bara en framgångsrik väg för att erhålla de båda förmågorna. Matematisk kompetens handlar både om att kunna tillämpa procedurer samt att erhålla förståelse och vägen dit kan ha olika riktning (Rittle-Johnson, Schneider & Star, 2015). Daly, Martens, Barnett, Witt och Olson, (2007) menar att lärare måste veta vad eleverna ska lära och förstå samt kunna penetrera varför eleven inte lär och förstår på rätt sätt. Det handlar om explicit lärande av regler och strategier samt att visa på exempel och motexempel, att kontrastera. Dessutom bör irrelevant stimuli undvikas för att undvika missförstånd. Elever i behov av särskilt stöd i matematik gynnas av att öva uppgifter som de klarar av, både för att dämpa matematikångesten men även för att om möjligt öka sin exekveringshastighet (Passolunghi, 2011).

Men även elevers motivation har betydelse för hur eleven lär. För att behålla elevernas motivation bör progressionen vara överlappande i så mening att tidigare kunskaper kan tillämpas samtidigt som nya övas. Kontexten behöver varieras för att eleven ska kunna använda sin kunskap i nya situationer (Daly et al., 2007). Mayer (2004) menar att om elever ska lära sig matematik är guidat lärande att föredra framför den socialkonstruktivistiska tanken att eleven ska upptäcka själv. Guidat lärande innebär att eleven i små steg får lära lösningsstrategier. Att presentera lösningsstrategier och stegvis träna algoritmer har visat sig mer framgångsrikt än att låta eleverna på egen hand upptäcka samband och nå förståelse (Mayer, 2004). Utmaningen för pedagogen är att finna instruerande metoder som stegvis leder elever framåt istället för att använda laborativt material och elevsamarbete. Det handlar inte om att lära genom att göra eller diskutera utan genom att tänka (Mayer, 2004). Alfieri, Brooks, Aldrich och Tenenbaum, (2011) menar å andra sidan att läraren ska låta elever arbeta med fysiskt material som de kan manipulera för att upptäcka samband samt underliggande kausaliteter därför att det är så de får djupare kunskaper i ämnet.

Att lära genom att på egen hand upptäcka kräver flera mentala operationer. Uppmärksamhet och mer arbetsminne krävs jämfört med att lära sig av explicita instruktioner (Alfieri et.al., 2011). Studien som Alfieri et.al (2011) genomför visar att övningar med explicita instruktioner är gynnsammare än övningar där syftet är att upptäcka på egen hand. Men till detta bör tilläggas att vuxna lär sig mer än barn när eget upptäckande står i fokus och att det motsatta gäller när

(12)

9

det handlar om att lära av explicita instruktioner (Alfieri et al., 2011). Boaler, (2010) visar med sin forskning att i många klassrum värdesätts en förmåga framför andra, att hantera procedurer fort och rätt. Det finns en traditionell föreställning om att elever behöver använda mycket tid av matematiklektionerna till att bli drillade i att lära metoder och utantillkunskap (Boaler, 2013). Hon menar vidare att framgångsrika undervisningsmetoder är multidimensionella i så mening att flera förmågor står i fokus. Öppna problem där lösningsstrategin på förhand inte är given gör att flera elever kan känna att de lyckas, att dessutom låta eleverna samarbeta öppnar upp för fler förmågor (Boaler, 2010). Det råder delade meningar om hur undervisning i matematik ska gestaltas för att vara så effektiv som möjligt för elever i behov av särskilt stöd. De blir bättre på räknefärdigheter då de får lära sig räknestrategier samt öva på dem, menar (Fuchs, Powell, Seethaler, Cirino, Fletcher, Fuchs & Hamlett, 2009b). De menar vidare att elever som har problem med enkla aritmetiska beräkningar behöver för det första träna sin räknefärdighet i så bemärkelse att de får flyt i sin räkning. Det andra steget innebär att eleven får lära sig dela upp termer för att beräkningarna ska bli enklare. Det sista steget innebär övning och träning i stor utsträckning så att summor och differenser lagras som representationer i långtidsminnet dvs kunskapen blir deklarativ (Fuchs, Powell, Seethaler, Cirino, Fletcher, Fuchs & Hamlett, 2009a).

Elever med svårigheter i matematik kan ha problem att memorera enkla aritmetiska talfakta som 8 + 6 och 14 – 8 (Baroody, Bajwa, & Eiland, 2009). De menar att roten till problemet antingen är undermålig undervisning eller en defekt hos eleven om lärandet handlar om att snabbt ur minnet kunna ta fram summor och differenser. Men problemet skulle också kunna vara orsakat av bristande taluppfattning eftersom aritmetiska kunskaper bygger på dem. Tournaki, (2003) kommer i sin studie fram till att elever i behov av särskilt stöd i matematik lär sig bäst om de får lära lösningsstrategier, enbart övning räcker inte för att kunskapen ska bli deklarativ. Elever med matematiksvårigheter är en heterogen grupp, funktionsnedsättningen har olika orsaker som neuroanatomi, beteende, socialt samspel samt individuell utveckling (Kaufmann, Mazzocco, Dowker, von Aster, Göbel, Grabner, Nuerk, 2013). Lärare måste ge, elever i behov av särskilt stöd i matematik, mer tid för att elevernas kunskap ska bli deklarativ och det tar olika lång tid för olika elever (Gersten et al., 2005). För att kunskap ska bli befäst och hamna i långtidsminnet krävs mycket övning och upprepad träning (Rohrer, Taylor, Pasher, Cepeda & Wixted, 2005).

(13)

10

4 Frågeställningar

Vilken metod ÖVA(träning på tid) eller GL (Guidat Lärande, lärande som inbegriper förståelse) ger bäst effekt på lärandet av aritmetiska fakta hos elever i behov av särskilt stöd i matematik? Har träning eller Öva någon transfereffekt på andra färdigheter i aritmetik eller procenträkning för elever i behov av särskilt stöd?

Vilka relationer mellan deklarativ kunskapsutveckling i enkel aritmetik och matematikångest kan upptäckas hos elever i behov av särskilt stöd?

5 Metod

Denna studie genomförs inom ramen för ett pågående forskningsprojekt på Linköpings universitet där huvudfrågan är: Vilken metod ger bäst effekt på lärandet av aritmetiska fakta hos elever i behov av särskilt stöd i matematik. Det är två metoder som används och utvärderas. ÖVA: som för denna studies del handlar om att eleverna tränar enkla aritmetiska uppgifter inom addition, subtraktion och multiplikation på tid. GL (Guidat Lärande): som för denna studies del handlar om att eleverna tränar enkla aritmetiska uppgifter inom addition, subtraktion och multiplikation med fokus på förståelse. Förutom metoder som tillämpas i undervisningen finns andra parametrar att beakta när det handlar om lärande i matematik, matematikångest samt huruvida goda kunskaper inom ett matematiskt område har betydelse för hur eleven presterar i andra matematiska domäner. I forskningsprojektet på LiU fokuseras elever i åldrarna 8, 11 och 14 år. Denna studie står gymnasieelever i åldrarna 16-20 år i centrum. I denna kvantitativa studie är ansatsen deduktiv i så mening att två beprövade metoder, ÖVA och GL, används för att nå önskat resultat. Möjligtvis kan anas ett induktivt inslag eftersom ett syfte är att utse den bättre av metoderna (Allwood & Erikson, 2017).

5.1 Urval

Antalet deltagare i studien är 57 och grundar sig på ett bekvämlighetsurval (Bryman, 2011) i så mening att de är elever som finns tillhanda i min profession som gymnasielärare. Eleverna går på två olika skolor i en mellansvensk kommun och har sin hemvist på sex olika nationella gymnasieutbildningar, tre högskoleförberedande program (EK, SH och TE) och tre yrkesprogram (EE, IN och VO). Informanterna består av 34 manliga och 23 kvinnliga elever i åldern 16 till 20 år.

(14)

11

5.2 Etiska överväganden

Enligt vetenskapsrådet (2017) innebär god forskningssed bland annat att informanterna ska ge sitt samtycke samt att informanterna avidentifieras. Alla elever som deltog i studien har informerats om studiens innehåll och vad deras deltagande kommer att innebära. De har också informerats om att de när som helst kan avbryta sitt deltagande samt att deltagandet är frivilligt. Deltagarna i studien har också informerats om att det slutliga resultatet kan komma att användas i redovisningen av ett större forskningsprojekt på LiU. Alla inloggningsuppgifter i de digitala verktyg som användes är kodade och går inte att spåra till person dessutom används inte personnummer någonstans i studien. Eftersom berörda elever är äldre än 15 år och inga känsliga personuppgifter, som etnisk tillhörighet eller religion, hanteras i studien har vårdnadshavares samtycke inte inhämtats (Datainspektionen, 2018). Bedömningen är att informanterna själva är kapabla att samtycka till deltagande. Samtyckesformuläret återfinns i bilaga A och samtliga deltagare i studien har skriftligt lämnat sitt samtycke.

5.3 Övergripande

I det följande beskrivs hur och på vilka grunder data samlats in under mätperioden. Studien har ett RTI liknande upplägg i så mening att eleverna först screenas för att utröna vilka elever som är föremål för interventionen. I RTI skulle eleverna anses erhålla sekundär prevention, de integreras i den ordinarie undervisningen och ges möjlighet till mer träning samtidigt som den ordinarie undervisningen inte påverkas. Datainsamling genomfördes sex veckor i följd med två datainsamlingstillfällen varje vecka. Första veckan genomfördes digitala tester i screeningsyfte. 5.4 Instrument

Enkäten som har till syfte att mäta eventuell matematikångest är fritt översatt från Hunt, Clark-Carter och Sheffield (2011). På en femgradig likert-skala angav respondenterna hur mycket oro de känner inför olika situationer där matematisk kompetens är en förutsättning, bilaga B. Frågorna i enkäten kan delas in i tre kategorier: beräkningsoro, vardagliga situationer som kräver beräkningar samt upplevd oro när informanten observerar situationer där matematik är i fokus. Enkäten i sin helhet ger indikation på graden matematikångest individen upplever (Hunt, Clark-Carter & Sheffield, 2011).

Flervalsuppgifterna i diagnosen, med fokus på procenträkning, är modifierade utifrån uppgifter som går att återfinna i ett läromedel för gymnasiet Origo Matematik 1a (2017). Ett utdrag av uppgifter återfinns i bilaga C.

De uppgifter eleverna tränar under lektionstid är av två typer ÖVA och GL. Båda fokuserar enkel entals-addition och entals-subtraktion med tiotalsövergångar samt

(15)

12

multiplikationstabellerna 1-10 men på två olika sätt. I fallet ÖVA är tanken att eleverna genom att räkna mycket kommer att memorera summor, differenser och produkter. Träningsmaterialet eleverna använder under lektionstid finns i sex varianter, för alla aktuella räknesätt, och innehåller i stort sett identiska uppgifter med undantag av multiplikation där alla multiplikationskombinationer inte ryms på arbetsbladet som innehåller 42 uppgifter. Ett utdrag av uppgifter återfinns i bilaga C. Eleverna som arbetar med GL fick förutom uppgifter även olika instruktioner för hur man kan tänka när man utför additioner, subtraktioner och multiplikationer. Inspiration till förklaringsmodeller har hämtats ur Förstå och använda tal-en

handbok (2008), Mathematical reasoning (2006) och http://www.gratisskole.dk/. Ett utdrag av uppgifter återfinns i bilaga C. I det här fallet tilldelades eleven ett häfte där eleven först möttes av en förklaring med typexempel och därefter fick möjlighet att tillämpa olika metoder. Om eleven inte uppnått önskat resultat efter att ha slutfört häftet kompletterades med kopior av tidigare genomförda sidor.

De digitala testerna återfinns samtliga på en websida (www.mattemasken.se) med inloggningsuppgifter som erhållits från LiU. Uppgifter med addition, subtraktion och multiplikation återfinns alla i två varianter A och B. Eleverna har en och en halv minut på sig per test att lösa uppgifter. A4A och A4B innehåller var för sig 45 additionsuppgifter av typen entalsaddition med tiotalsövergång. S4A och S4B innehåller var för sig 45 subtraktionsuppgifter av typen subtraktion med tiotalsövergång i talområdet ett till 18. MBlandatA samt MBlandatB innehåller 48 stycken multiplikationsuppgifter från tabellerna två till tio.

Testet AG7 prövar inte bara det eleverna tränat utan även prioriteringsregler samt multiplikation med hela tiotal. Testet AG8 prövar division samt division med rest, dessa tester återfinns under samma namn i diagnosmaterialet Diamant (Skolverket, 2013).

Varefter eleverna genomför tester i mattemasken fick de digital feedback som relaterades till deras tidigare prestationer.

Datainsamling genomfördes sex veckor i följd med två datainsamlingstillfällen varje vecka. Första veckan genomfördes digitala tester i screeningsyfte, Siffertest, AG7, AG8, A4A/B, S4A/B samt MBlandatA/B.

(16)

13

5.5 Screeningfas

Avsikten med den första datainsamlingen var att efter analys av resultatet urskilja den interventionsgrupp som därefter skulle träna med metoderna ÖVA och GL. De elever som presterade under 30 poäng på något av de digitala testerna A4A/B, S4A/B eller MBlandatA/B sorterades ut och slumpades, genom att namnlappar drogs ur en mängd, i två jämförbart lika stora grupper, utan hänsyn taget till kön eller andra faktorer som skola eller vald gymnasieutbildning. Undantaget de elever som underpresterade på siffertestet. Om siffertestet visade 25-30 poäng samtidigt som eleven presterade 25-30 poäng på övriga tester var de inte föremål för interventionen, ingen elev underpresterade på siffertestet.

En elev som löser 30 uppgifter korrekt på 90 sekunder anses, i denna studie, uppnått deklarativ kunskap och är då inte föremål för interventionen. Elever med svårigheter i matematik är en heterogen grupp (Kaufmann et al., 2013) och kan ha problem att memorera enkla aritmetiska talfakta som 8 + 6 och 14 – 8 (Baroody et al., 2009). Ett sätt att detektera huruvida elever är i behov av särskilt stöd i matematik är att låta dem räkna på tid. Crawford, (u.å) menar att elever ska kunna lösa en uppgift per sekund för att kunskapen ska anses vara automatiserad. Omfånget av denna studie är inte tillräckligt vad avser övningstillfällen för att eleverna ska kunna uppnå en så låg exekveringshastighet.

Figuren nedan illustrerar förfarandet under screeningfasen.

Figur nr 1 Gruppering av elever

De elever som presterade 30 poäng eller över på testerna A4A/B, S4A/B samt MBlandatA/B utgör gruppen övriga. De deltagande eleverna blev indelade i tre differentierade grupper. Vid första tillfället genomförde eleverna dessutom, med papper och penna, en diagnos bestående av flervalsuppgifter inom området procenträkning. Uppgifterna i diagnosen var av den typ eleverna borde stött på under sin tidigare utbildning. Vid andra tillfället genomförde

(17)

14

eleverna utöver de digitala testerna en enkät med syfte är att kartlägga eventuell matematikångest.

5.6 Interventionsfas

Denna etapp omfattade totalt fem tillfällen. Eleverna i interventionsgruppen tränade vid varje tillfälle och samtliga elever i studien genomförde de digitala testerna enligt den tabell som följer.

Tabell nr 1. Genomförande av tillfälle tre till sju.

Tillfälle Träning Digitala tester

3 ÖVA, grupp A Siffertest, A4A, S4A, MBlandatA

GL, grupp B

4 ÖVA, grupp A Siffertest, A4B, S4B, MBlandatB

GL, grupp B

5 ÖVA, grupp A Siffertest, A4A, S4A, MBlandatA

GL, grupp B

6 ÖVA, grupp A Siffertest A4B, S4B, MBlandatB

GL, grupp B

7 ÖVA, grupp A Siffertest, AG7, AG8, A4A, S4A, MBlandatA

GL, grupp B

De elever som slumpats i gruppen ÖVA startade varje datainsamlingstillfälle med att räkna uppgifter på tid. Under en och en halv minut fick de 42 uppgifter att lösa med papper och penna. Detta upprepades sedan två gånger, varje elev räknade i totalt fyra och en halv minut med pauser däremellan. De elever som ännu inte nått gränsen 30 poäng på addition (A4A/B) tränade addition, de elever som ännu inte nått gränsen 30 poäng på subtraktion (S4A/B) tränade subtraktion och de elever som ännu inte nått gränsen 30 poäng på multiplikation (MBlandatA/B) tränade multiplikation. Elever som slumpats i gruppen GL startade varje datainsamlingstillfälle med att i egen takt räkna i ett häfte med uppgifter. De elever som ännu inte nått gränsen 30 poäng på addition (A4A/B) tränade addition, de elever som ännu inte nått gränsen 30 poäng på subtraktion (S4A/B) tränade subtraktion och de elever som ännu inte nått gränsen 30 poäng på multiplikation (MBlandatA/B) tränade multiplikation. Eleverna i gruppen övriga fick uppgifter av annan repetitiv karaktär, som exempelvis räkning med negativa och rationella tal, att arbeta med i egen takt. Totalt ägnades 6 minuter av lektionstiden till att träna. Varje lektion avslutades sedan med att eleverna genomförde digitala tester mellan 10 och 15 minuter.

(18)

15

Efter varje datainsamlingstillfälle analyserades elevernas resultat på de digitala testerna. De elever som vid något tillfälle presterat 30 poäng eller över på samtliga tester A4A/B, S4A/B eller MBlandatA/B flyttades till gruppen övriga.

Figur nr 2 Omgruppering av elever

5.7 Ny interventionsfas

Inför datainsamlingstillfälle åtta gjordes en omgruppering av interventionsgruppen. De som fortfarande fanns kvar i interventionsgruppen och tidigare tränat uppgifter av karaktären ÖVA gick över till att träna uppgifter av karaktären GL och vise versa. Figuren nedan illustrerar förfarandet.

Figur nr 3 Omgruppering av elever

Steg tre omfattade totalt fem tillfällen. Eleverna i interventionsgruppen tränade vid varje tillfälle och samtliga elever i studien genomförde de digitala testerna. Tabellen nedan visar förfarandet.

(19)

16 Tabell nr 2. Genomförande av tillfälle åtta till tolv.

Tillfälle Träning Tester

8 ÖVA, grupp B Siffertest, A4B, S4B, MBlandatB

GL, grupp A

9 ÖVA, grupp B Siffertest, A4a, S4a, MBlandatA

GL, grupp A

10 ÖVA, grupp B Siffertest, A4B, S4B, MBlandatB

GL, grupp A

11 ÖVA, grupp B Siffertest, A4a, S4a, MBlandatA

GL, grupp A

12 ÖVA, grupp B Siffertest, AG7, AG8, A4B, S4B, MBlandatB

GL, grupp A

Förfarandet var detsamma som vid datainsamlingstillfälle 3 till 7. Totalt 6 minuter av lektionstiden används till att träna. Varje lektion avslutades sedan med att eleverna genomförde digitala tester enligt tabellen ovan i mellan 10 och 15 minuter.

Slutligen genomförde eleverna återigen diagnosen bestående av flervalsuppgifter inom området procenträkning samt enkäten med syfte är att kartlägga eventuell matematikångest.

5.8 Analys av data

Data matades successivt in i SPSS. Inför analys av data hanterades bortfall genom att data imputerades, andelen missing uppgick till 25,88%. Little´s MCAR test visade att mekanismen bakom bortfallet inte påverkade mätningarna, 𝜒2(2281) = 1926.28, p = 1.000

I ett första läge undersöktes huvudeffekten av träningstid genom en mixad ANOVA under screeningfasen. Syftet var att undersöka om det fanns en effekt endast genom att eleverna utför testerna i mattemasken två gånger, strikt alpha nivå .05 har valts i denna studie.

För att utvärdera effekten av interventionen under steg 2 och 3 användes mixad ANOVA. Om Mauchly´s test of sphericity var statistiskt signifikant (alpha nivå .05) användes Greenhouse-Geisser korrektion. I de fall Mauchly´s test of sphericity inte var statistiskt signifikant användes Sphericity Assumed. På samma sätt analyserades relationer mellan deklarativ kunskap och andra färdigheter i aritmetik.

För analys av relationen mellan deklarativ kunskapsutveckling och aritmetiska kunskaper i området procenträkning genomfördes bivariata korrelationer i SPSS vid första tillfället samt det

(20)

17

sista. Samma metod användes för analys av relationen mellan deklarativ kunskapsutveckling och matematikångest.

6 Resultat

I det följande redovisas först effekten av tidsfaktorn under screeningsfasen sedan redovisas analys av resultat uppdelat på aktuella frågeställningar.

Effekten under screeningfasen, med avseende på repetitivt tillfälle, gav med mixad ANOVA för addition F(1.00, 49.00) = 2.24, p = .141, för subtraktion F(1.00, 49.00) = 4.27, p = .044 och för multiplikation F(1.00, 50.00) = .19, p = .661.

Tabell nr 3. Medelvärde och standardavvikelse vid testtillfälle 1 och 2

Räknesätt Tillfälle 1 Tillfälle 2

Addition 𝑥̅ 25.63 27.52 sd 8.92 8.55 Subtraktion 𝑥̅ 19.44 22.10 sd 9.06 8.35 Multiplikation 𝑥̅ 24.57 25.19 sd 6.15 8.42

Effekten av tid har ingen signifikant effekt vad avser addition och multiplikation. Däremot finns en effekt som påverkar subtraktion, igenkänningseffekten och det repetitiva momentet har betydelse.

Tabell nr 4. Resultat av screeningfasen

Räknesätt Antal elever som presterar uppsatt mål

Addition 22

Subtraktion 10

Multiplikation 14

Det är endast fem elever som klarar uppsatt gräns på 30 rätt lösta uppgifter på 90 sekunder i alla tre räknesätt, de ingår vidare inte i interventionsgruppen.

(21)

18

6.1 Vilken metod ger bäst effekt på lärandet av aritmetiska fakta hos elever i behov av särskilt stöd i matematik?

Effekten under datainsamlingstillfälle tre till sju gav med mixad ANOVA, där de tre grupperna analyserades i relation till prestation under tillfälle tre till sju, för addition F(3.32, 162.52) = 3.01, p = .028 att huvudeffekten var statistiskt signifikant och ingen interaktion mellan träningstid och grupp detekterades F(6.63, 162.52) = .53, p = .801. För subtraktion var motsvarande resultat också statistiskt signifikant F(3.48, 170.34) = 8.22, p < .001 inte heller här fanns någon interaktion mellan träningstid och grupp F(6.95, 162.52) = 2.02, p = .055 men en tendens kan skönjas. Huvudeffekten av multiplikation var statistiskt signifikant F(2.95, 144.63) = 3.05, p = .031 men ingen interaktion mellan grupp och träningstid detekterades F(5.90, 162.52) = .84, p = .541.

Tabell nr 5. Medelvärde och standardavvikelse vid testtillfälle 3 till 7 vad avser addition

Testtillfälle Grupp ÖVA Grupp GL Grupp Övriga

3 𝑥̅ 27.84 27.90 41.40 sd 9.37 8.14 6.07 4 𝑥̅ 28.02 31.20 42.60 sd 7.66 9.00 4.83 5 𝑥̅ 26.05 29.21 38.20 sd 10.27 9.37 8.04 6 𝑥̅ 29.36 32.65 40.56 sd 9.64 8.09 8.88 7 𝑥̅ 31.27 32.09 44.20 sd 8.95 8.14 1.30

(22)

19

Tabell nr 6. Medelvärde och standardavvikelse vid testtillfälle 3 till 7 vad avser subtraktion

Tabell nr 6. Medelvärde och standardavvikelse vid testtillfälle 3 till 7 vad avser multiplikation

Gymnasieeleverna blir under datainsamlingstillfälle tre till sju bättre på att räkna additioner, subtraktioner och multiplikationer oavsett vilken interventionsgrupp de tillhör, typ av intervention har mindre betydelse.

(23)

20 Tabell nr 7. Resultat av datainsamlingstillfälle tre till sju

ÖVA GL

Addition 17 20

Subtraktion 8 7

Multiplikation 11 15

Ytterligare 14 elever klarar att lösa 30 uppgifter på 90 sekunder med alla tre undersökta räknesätt, de ingår fortsatt inte i interventionsgruppen. Tilläggas bör att ingen av eleverna i interventionsgruppen tränar multiplikation under de fem lektionerna, samtliga tränar antingen addition eller subtraktion.

Effekten under datainsamlingstillfälle åtta till 12 gav med mixad ANOVA, där de tre grupperna analyserades i relation till prestation under tillfälle åtta till tolv, för addition F(3.76, 184.46) = .56, p = .682 att huvudeffekten inte var statistiskt signifikant och ingen interaktionseffekt mellan grupp och träningstid detekterades F(7.53, 184.46) = 1.08, p = .381. För subtraktion var motsvarande resultat också statistiskt signifikant F(3.63, 177.84) = 3.65, p = .009 men ingen interaktionseffekt mellan träningstid och grupp detekterades F(7.26, 184.46) = .75, p = .639. Effekten av multiplikation var statistiskt signifikant F(3.32, 162.45) = 2.34, p = .069. Här återfanns inte någon interaktionseffekt mellan grupp och träningstid F(6.63, 184.46) = 1.98, p = .064.

(24)

21

Tabell nr 8. Medelvärde och standardavvikelse vid testtillfälle 8 till tolv vad avser addition

Tabell nr 9. Medelvärde och standardavvikelse vid testtillfälle 8 till tolv vad avser subtraktion

(25)

22

Tabell nr 10. Medelvärde och standardavvikelse vid testtillfälle 8 till tolv vad avser multiplikation

Gymnasieeleverna blir under datainsamlingstillfälle åtta till 12 inte bättre på att räkna enkla additioner oavsett vilken interventionsgrupp de tillhör. Däremot blir eleverna bättre på subtraktion och multiplikation men det är inte förknippat med interventionstyp. De 38 elever som ingår i interventionsgruppen och som är föremål för interventionen har i detta läge bytt från GL till ÖVA och vice versa.

Tabell nr 11. Resultat av datainsamlingstillfälle åtta till tolv

ÖVA GL

Addition 12 9

Subtraktion 5 4

Multiplikation 8 5

När interventionen avslutas är det fortfarande 16 elever som inte når upp till någon av de uppsatta gränserna 30 rätt på 90 sekunder för addition, subtraktion respektive multiplikation. Sammanfattningsvis kan konstateras att interventioner, av typen ÖVA och GL, har effekt men typen av intervention spelar mindre roll. Konstateras kan att den totala interventionsperioden

(26)

23

sträcker sig över sex veckor med tillfälle för tolv träningstillfällen. Resultatet skulle kunna se annorlunda ut med en längre interventionsperiod eller fler och tätare träningstillfällen.

6.2 Har träning eller Öva någon transfereffekt på andra färdigheter i aritmetik eller procenträkning för elever i behov av särskilt stöd?

Effekten under datainsamlingstillfälle ett, två och sju vad avser andra färdigheter i aritmetik än de som tränats gav med mixad ANOVA, där de tre grupperna analyserades i relation till prestation att huvudeffekten var signifikant F(4.26, 200.08) = 10.46, p < .001. Ingen interaktionseffekt mellan grupp och träningstid detekterades F(8.52, 200.08) = 1.60, p = .122. Effekten under datainsamlingstillfälle åtta och tolv vad avser andra färdigheter i aritmetik än de som tränats gav med mixad ANOVA, där de tre grupperna analyserades i relation till prestation att huvudeffekten var signifikant F(2.09, 106.40) = 9.60, p <.001. Ingen interaktionseffekt mellan träningstid och grupp detekterades F(4.17, 200.08) = 1.39, p = .242. Den slutsats som kan dras är att alla elever presterar bättre på andra aritmetiska färdigheter än dem de tränat. Resultatet är inte förknippat med typ av interventionsmetod, ÖVA eller GL. Korrelationen mellan elevernas resultat vid första och sista tillfället, prestationer i procenträkning samt andra aritmetiska färdigheter redovisas i tabellen nedan.

Tabell nr 12. Korrelationen mellan elevernas resultat vid första och sista tillfället samt prestationer i andra matematiska domäner. 1 2 3 4 5 6 7 1. Siffertest .31 .20 .17 -.03 -.04 -.06 2. Addition .40** .79** .74** .17 .41** .40** 3. Subtraktion .59** .78** .63** .30** .50** .49** 4. Multiplikation .46** .76** .68** .03 .50** .40** 5. Procenttest .13 .24 .27 .20 .13 .30* 6. AG7 .38** .66** .68** .69** .14 .43** 7. AG8 .32* .53** .48** .59** .26 .73**

Övre diagonalen visar förtesttillfället, undre diagonalen visar sista tidpunkten. ** p<.001, *p<.005. Korrelationen mellan för- och eftertest vad avser procenträkning var .83**, p<.001

Korrelationen mellan för- och eftertest vad avser AG7 var .33*, p=.05 Korrelationen mellan för- och eftertest vad avser AG8 var .30*, p=.05

(27)

24

Det finns en stark positiv korrelation mellan subtraktion och förmåga i procenträkning innan interventionen startar. Denna effekt återfinns dock inte när elevernas resultat vid sista tillfället korreleras mot förmåga i procenträkning. Dessutom kan starka korrelationer mellan övriga aritmetiska färdigheter samt de aritmetiska övningsuppgifter eleverna tränat utläsas både innan interventionen startar samt efter densamma utläsas.

Sammanfattningsvis kan slutsatsen dras att elever i behov av särskilt stöd i matematik gynnas av att de tränar enkel aritmetik i så mening att kunskapen blir deklarativ. Deras förmåga i procenträkning påverkas efter interventionen inte av exempelvis förmåga att subtrahera. Interventioner som riktar in sig på enkel aritmetik kan ge resultat på andra matematiska domäner för elever i behov av särskilt stöd. Slutsatsen kan också dras att enkla aritmetiska färdigheter har betydelse för hur eleven kan hantera mer komplicerade i samma domän. 6.3 Vilka relationer mellan deklarativ kunskapsutveckling och matematikångest kan upptäckas hos elever i behov av särskilt stöd?

Korrelationen mellan elevernas resultat vid första och sista tillfället samt matematikångest redovisas i tabellen nedan. Det finns en stark negativ korrelation mellan addition och matematikångest när interventionen startar. Denna effekt återfinns däremot inte efter interventionen när elevernas resultat vid sista tillfället korreleras mot matematikångest.

Tabell nr 13. Korrelationen mellan elevernas resultat vid tillfälle 2 och sista tillfället samt hos eleven upplevd matematikångest. 1 2 3 4 5 1. Siffertest .31* .20 .17 -.23 2. Addition .40** .79** .74** -.53 ** 3. Subtraktion .59** .78** .63** -.39 4. Multiplikation .46** .76** .68** -.40 5. Matematikångest -.25 .001 -.12 .007

Övre diagonalen visar förtesttillfället, undre diagonalen visar sista tidpunkten. ** p<.001, *p<.005. Korrelationen mellan för- och eftertest vad avser matematikångest var .63**, p<.001

Slutsatsen kan dras att den deklarativa kunskapsutvecklingen för elever i behov av särskilt stöd i matematik som påverkas av matematikångest kan med väl valda interventioner ge det resultat att matematikångesten får mindre inverkan på elevernas kunskapsutveckling, vad avser deklarativ kunskap.

(28)

25

7 Resultatdiskussion

I detta stycke kommer analys av resultat diskuteras i förhållande till tidigare forskning samt för studien aktuella frågeställningar.

Upplägget i denna studie gör en ansats i att använda RTI i så mening att en screening genomförs och att sedan elever som är föremål för intervention får riktad undervisning (U.S. Department of Education 2009). Det kan förutsättas att eleverna tidigare under sin skolgång undervisats i aritmetik som behandlar addition, subtraktion och multiplikation. Fuchs och Fuchs, (2001) menar att i RTI:s andra steg används repetitiva övningar, vilket också använts i denna studie om än i två olika former. Elevernas framsteg mäts och noteras, på samma sätt som avsikten är i RTI, och att så långt som möjligt låta elever i behov av särskilt stöd integreras i den ordinarie undervisningen är en metod som prövas i och med att alla elever tränar på det de har behov att öva och ingen särskiljs från gruppen. I denna studie tillämpas inte det tredje steget i RTI som innebär enskild explicit undervisning (Fuchs & Fuchs, 2001). Syftet med den aktuella studien är, att om möjligt, kunna särskilja effekten av två olika interventionsmetoder ÖVA och GL. I förlängningen handlar det om att påvisa vilken metod som leder till att eleven utvecklar deklarativ kunskap inom området aritmetik. Den föreliggande studien ger inget svar på om den bästa effekten är att räkna på tid eller lära genom förståelse för att uppnå deklarativ kunskap. Tidigare forskning visar på två motsatta läger. Alcock et al. (2016) menar att utveckla förståelse och förmåga att hantera procedurer är för ämnet matematik centralt, men hur elever lär sig hantera detta med flyt är outforskat. Dessutom finns en kontrovers i vilken ordning dessa ska undervisas om (Rittle-Johnson et al., 2015).

Några som funnit empiriska evidens för metoder att lära ut förståelse i form av strategier, istället för att memorera, är Henry och Brown, (2008); Rittle-Johnson et al. (2015); Siegler och Stern, (1998); Boaler, (2013); Tournaki, (2003); Mayer, (2004), Fuchs et al. (2009b). Andra som förespråkar mängdträning, i vissa fall på tid är Burns et al. (2010); Codding et al.(2011); Fuchs et al. (2009a); Rohrer et al. (2005) De har under ett antal år argumenterat för sina ställningstaganden. Resultatet i denna studie ger inget tillskott till den empiriska bilden då ingen av metoderna visade sig vara mer framgångsrik än den andra när det handlar om att ge effekt på lärandet av aritmetiska fakta hos elever i behov av särskilt stöd i matematik. Kanske är det så att eleverna befinner sig i gränslandet till att betraktas som vuxna och Alfieri et al., (2011) menar att vuxna lär sig mer än barn när det egna upptäckandet står i fokus, vilket inte undersöktes i denna studie. Det kan också finnas en annan anledning till att ingen av metoderna utvisade sig vara mer effektiv än den andra. Det finns en tidsaspekt inblandad och elever i behov

(29)

26

av särskilt stöd i matematik kan behöva mer tid för att deras kunskap ska bli deklarativ. Det tar helt enkelt olika lång tid för olika elever att lära (Gersten et al., 2005) och antalet repetitionstillfällen i studien kanske var för få.

Elever som snabbt kan ta fram talfakta ur minnet lämnar utrymme för andra kognitiva resurser som kan behövas när ett problem ska lösas (Vasilyeva et al., 2015). Aritmetik är komplext och kräver flera förmågor och dessa förmågor är en förutsättning för att kunna lära mer i ämnet matematik (Träff & Samuelsson, 2013). Den aktuella studien visar att eleverna presterar bättre på andra aritmetiska färdigheter än dem de tränat. Vasilyeva et al. (2015) visar i en studie att elever som har strategier för att kunna genomföra additionsberäkningar med ental även tillämpar strategierna när termerna blir tvåsiffriga. Eleverna i den aktuella studien ger exempel på detta när de visar att de exempelvis, efter ett visst antal gånger med träning, presterar bättre på uppgifter som innehåller aritmetiska beräkningar med tvåsiffriga tal. Utvecklande av aritmetiskt kunnande handlar i grunden om taluppfattning och i förlängningen om att kunna hantera tal i olika former (Butterworth, 2005). Den genomförda studien visar att även elever på gymnasienivå har nytta av att träna enkla aritmetiska beräkningar.

Gersten et al., (2005) menar att elever som använder fingerräkning och inte har förmåga att ta fram enkla talfakta ur minnet kommer att få problem att lära nya matematiska koncept. Henry och Brown, (2008) kommer fram till att deklarativ kunskap är en förutsättning för att kunna lära sig mer matematik. I den aktuella studien visar det sig att det finns en signifikans mellan elevernas förmåga att lösa enkla aritmetiska uppgifter och aritmetiska uppgifter av en annan karaktär än dem de tränat. Studiens resultat visar att träning av att lösa enkla aritmetiska uppgifter har en transfereffekt till aritmetiska uppgifter av en annan karaktär än dem de tränat, både i den matematiska domänen som inbegriper procenträkning samt mer komplicerade aritmetiska beräkningar. Träning av enkla aritmetiska uppgifter som, (3 + 8 15 − 7 6 ∙ 8) befrämjade elevernas förmåga att lösa mer komplexa aritmetiska uppgifter som 9 ∙ 7 + 6 90 ∙ 3 40 8⁄ . Analysen av resultatet leder fram till att deklarativ kunskap i matematik har betydelse för hur eleven kommer att tillgodogöra sig nya kunskaper i matematik samt tillämpa desamma. I normala fall ägnas inte mycket tid i gymnasieskolan till att träna enkel aritmetik, det ingår helt enkelt inte i de nuvarande kursplanerna (Skolverket, 2011). Elevernas utbildning i matematik, från förskola till gymnasium, är hierarkiskt upplagd och varje kursplan bygger på att eleven har tillgodogjort sig innehållet i tidigare kursplan. Denna studie visar att många elever inte behärskar enkel aritmetik i så mening att den är att betrakta som deklarativ. Risken finns att deras kognitiva resurser belastas. Det är inte troligt att eleverna aldrig under

(30)

27

sin skolgång tränat enkel aritmetik och då fått ett flyt i sitt räknande. Däremot kanske det är så att kunskap som inte repeteras faller i glömska. Att öva enkla basala fakta och moment är nödvändigt i alla professioner. En konsertpianist övar inte bara svåra stycken utan tränar även skalor, något som är grunden i pianospel. En 400 meterslöpare springer inte bara 400 meterslopp utan tränar även grundläggande teknik och långdistanslopp. Tyvärr är det nog så att svenska gymnasieelever inte tränar basal aritmetik på egen hand för att kunna prestera bättre i andra matematiska domäner. Nuvarande kursplaner på gymnasiet ger heller inte indikation till undervisande lärare att basal aritmetik är något som bör tränas under lektionstid. I nuvarande kursplan i matematik för gymnasieskolan finns ett flertal förmågor att beakta när eleven ska bedömas, men ingen av dem berör deklarativ kunskap (Skolverket, 2011).

Passolunghi, (2011) kommer fram till att elever i behov av särskilt stöd i matematik gynnas av att öva uppgifter som de klarar av, både för att öka räknehastigheten men även för att minska deras matematikångest. Under studiens gång tränar eleverna uppgifter som de över tid känner att de klarar, det finns en igenkänningseffekt eftersom det bara är två varianter av de digitala testerna som växelvis presenteras för dem. Vid studiens slut finns ingen negativ korrelation kvar för eleverna mellan förmåga att lösa procentuppgifter och att lösa enkla uppgifter i subtraktion. Daly et al., (2007) menar att man kan upprätthålla elevernas motivation genom att tillämpa tidigare kunskaper samtidigt som nya övas. Den undervisning som tillsammans med studien bedrevs i totalt sex veckor kan ha påverkat eleverna i så mening att de kände sig trygga i de övningar studien fokuserade, kunskapen blev deklarativ, samtidigt som de blev mer mottagliga för nya kunskaper. Det finns, enligt den aktuella studien, en korrelation mellan den deklarativa kunskapen eleven behärskar i enkel aritmetik och mer komplicerade aritmetiska beräkningar samt andra matematiska domäner.

Genom att ge eleverna ett matematikprov upptäcker man inte dem som påverkas av matematikångest (Geary et al., 2012). I den här studien genomfördes en enkät, två gånger, med syfte att utröna graden av matematikångest. Den dimension av matematikångest som är affektiv (Dowker et al., 2016) verkar ge effekt på eleverna och påverkar deras kognitiva förmåga negativt (Passolunghi, 2011) i början av studien. Elever med matematikångest använder en del av sina kognitiva resurser för att oroa sig vilket medför att mindre kapacitet finns för att utföra korrekta beräkningarna (Ascraft & Moore, 2009), matematikångesten stjäl arbetsminne (Ramirez et al., 2015). I den aktuella studien är resultatet att elevernas upplevda matematikångest inte har betydelse för deras prestation i slutet av studien. Ascraft och Moore (2009), menar att matematikångesten har mindre betydelse när eleven ska lösa uppgifter som

(31)

28

kan förväntas vara automatiserade. Slutsatsen skulle i det här fallet skulle kunna innebära att eleverna erhållit deklarativ kunskap under de sex veckorna av övning och av den anledningen påverkas deras resultat inte av upplevd matematikångest. Men å andra sidan skulle interventionen inte behöva betyda att kunskapen blivit deklarativ. Det kan helt enkelt vara så att eleverna under interventionen fått så mycket feedback av de digitala testerna att de inte längre upplever sig misslyckade och värdelösa (Lundberg & Sterner, 2009). Kling, Bay-Williams, (2014) menar att det finns en typ av matematikångest som uppträder i samband med att eleven ska räkna på tid och att den påverkar prestationen. Ascraft och Moore, (2009) samt Boaler (2015) understryker detta. Upplevd matematikångest i samband med att uppgifter ska utföras på tid är inte föremål för denna studie men det faktum att eleverna löst uppgifter på tid inte verkar haft någon negativ inverkan på deras prestationer eftersom alla elever utvecklas i positiv riktning skulle tala för det motsatta, att den upplevda matematikångesten inte är kopplad till att utföra beräkningar på tid.

Det förekom en del fingerräknande under denna studies gång och även räkneramsor på främmande språk hördes i klassrummet men detta undersöktes inte vidare. Ur ett specialpedagogiskt perspektiv så är det av intresse att kunna fånga upp de elever som är i behov av särskilt stöd i matematik. Föreliggande studie visar att på ganska kort tid förbättrar eleverna sina resultat, både när det handlar om att tillämpa enkel aritmetik men även när det handlar om mer avancerad aritmetik. Strategier eleverna använder för att utföra enkla aritmetiska beräkningar överförs till mer komplicerade, övning ger färdighet på flera plan.

Denna studie visar att det finns ett samband mellan de tidigare kunskaper eleven införlivat samt vilka kunskaper de senare ska kunna inhämta. Enkel aritmetik ska inte förringas, det är uppenbarligen en förutsättning för att kunna inhämta kunskaper på högre nivå. Det som kanske bör uppmärksammas är att de enkla aritmetiska färdigheterna inte tränas i det vardagliga livet, vem har inte en telefon att räkna på? Å andra sidan kräver studier på högre nivå att man utan digitala hjälpmedel kan lösa problem som innehåller matematik. Rättigheten till elevens fortsatta utvecklig ligger i händerna hos pedagogen., eller specialpedagogen.

8 Metoddiskussion

Gymnasieskolan är en frivillig skolform och elever är frånvarande av olika orsaker som inte alltid är ogiltig. Eleverna närmar sig vuxen ålder och får ofta ta ett vuxenansvar i vardagen, det handlar inte alltid om ointresse för studier. För att kunna hantera bortfallet på 25,88 procent ersattes bortfall med imputerade medelvärden. Little´s MCAR test visade att resultatet inte

(32)

29

påverkades av mekanismen bakom bortfallet. Ett annat sätt att hantera data hade varit att analysera data på individnivå, bedömningen gjordes att en sådan analys inte ryms inom ramen för detta arbete.

8.1 Reliabilitet

Reliabilitet, eller tillförlitlighet, handlar om huruvida resultatet från en studie blir detsamma om undersökningen genomförs på nytt (Bryman, 2011). Eleverna som ingår i studien utgör inte en homogen grupp. De studerar på sex olika nationella gymnasieutbildningar, tre högskoleförberedande program (EK, SH och TE) och tre yrkesprogram (EE, IN och VO). Dessutom är spridningen i ålder att betrakta som stor, 16 till 20 år. Detta kan bidra till att resultatet är att betrakta som reliabelt i så mening att replikerbarheten är stor eftersom många parametrar för att definiera en gymnasieelev går att återfinna i urvalet. De instrument som använts i studien är beprövade med undantag för diagnosen i procenträkning. Men eftersom denna endast använts i syfte att mäta huruvida deklarativ kunskap har betydelse för andra matematiska domäner så skulle densamma kunna ersättas med andra diagnoser.

Elevgruppen som ingår i studien är att betrakta som liten när kvantitativa data ska analyseras. Dessutom är antalet datainsamlingstillfällen i interventionen, totalt tio, förhållandevis litet. På grund av detta har en strikt gräns på alpha nivå valts till .05 även om det inte är så stor skillnad på p = .05 och p = .06. Detta är att betrakta som ett mått på den interna reliabiliteten (Bryman, 2011)

8.2 Validitet

Validiteten talar om huruvida studien mäter det som är avsett att mäta (Bryman, 2011). I denna studie undersöks i vilken grad olika faktorer samvarierar utan att för den delen bestämma vad som är den beroende parametern, vilket är att betrakta som ett stöd för den interna validiteten. Den externa validiteten är kopplad till generaliserbarheten av resultatet (Bryman, 2011). Med den variation i betingelser de ingående eleverna besitter, ålder och val av utbildning, ökar möjligheten till att kunna generalisera resultatet till att representera gymnasieelever generellt. Den ekologiska validiteten handlar om huruvida resultatet är tillämpbart i en verklig kontext (Bryman, 2011). I det aktuella fallet genomförs studien i en verklig kontext med deltagare som dagligen befinner sig i densamma. Man borde kunna anta att den ekologiska validiteten är hög.