System av f¨ orsta ordningens differentialekvationer En n:e-grads differentialekvation

Kort sammanfattning av

ordin¨ ara differentialekvationer

Joakim Edsj¨ o edsjo@physto.se

6 april 2000

System av f¨ orsta ordningens differentialekvationer En n:e-grads differentialekvation

y

= f (x, y, y

, y

, . . . , y

) (1) kan alltid skrivas om som ett system av n stycken f¨ orsta ordningens differentialekvationer. S¨ att in

y

= y, y

= y

, . . . , y

= y

(2) i ekv. (1) ovan s˚ a erh˚ alles











y

= y

y

= y

...

y

= f (x, y

, y

, . . . , y

)

(3)

Linj¨ ara system

Betrakta nu ett system av tv˚ a f¨ orsta ordningens differentialekvationer,







dxdt

= F (x, y, t)

dy

dt

= G(x, y, t) . (4) Om F (x, y, t) och G(x, y, t) ¨ ar linj¨ ara kan (4) skrivas p˚ a formen







dxdt

= a

(t)x + b

(t)y + f

(t)

dy

dt

= a

(t)x + b

(t)y + f

(t) . (5) F¨ or systemet (5) har vi ett viktigt teorem:

Teorem Om t

¨ ar n˚ agon punkt i intervallet

[a, b] och f

(t) och f

(t) ¨ ar kontinuerliga i

intervallet och om x

och y

¨ ar vilka tal som

helst s˚ a har systemet (5) en och endast en

l¨ osning i intervallet [a, b] s˚ adan att x(t

) =

x

och y(t

) = y

.

Homogena linj¨ ara system

Betrakta nu homogena linj¨ ara system av tv˚ a f¨ orsta ordningens differentialekvationer med konstanta ko- efficienter,







dxdt

= a

x + b

y

dy

dt

= a

x + b

y . (6) Detta system l¨ oses med ansatsen

(

x(t) = Ae

y(t) = Be

(7)

d¨ ar A och B ¨ ar konstanter. Om man s¨ atter in (7) i (6) s˚ a erh˚ aller man ekvationssystemet

(

(a

− m)A + B = 0

a

A + (b

− m)B = 0 . (8) F¨ or att (8) ska ha en icke-trivial l¨ osning m˚ aste de- terminanten vara noll, vilket ger den karakteristiska ekvationen

m

− (a

+ b

)m + (a

b

− a

b

) = 0. (9)

Hur l¨ osningarna till (6) ser ut beror p˚ a r¨ otterna m

och m

:

• Om m

och m

¨ ar reella och olika s˚ a ges l¨ osning- arna av

(

x = c

A

e

+ c

A

e

y = c

B

e

+ c

B

e

. (10)

• Om m

och m

¨ ar komplexa och olika, m

= a ± ib, s˚ a ges l¨ osningarna av











x = e

[c

(A

cos bt − A

sin bt) + c

(A

sin bt + A

cos bt)]

y = e

[c

(B

cos bt − B

sin bt) + c

(B

sin bt + B

cos bt)]

. (11)

• Om m

och m

¨ ar reella och lika s˚ a ges l¨ osning- arna av (m

= m

= m)

(

x = c

Ae

+ c

(A

+ A

t)e

y = c

Be

+ c

(B

+ B

t)e

. (12)

Konstanterna A, . . . , B

erh˚ alles genom att var f¨ or

sig s¨ atta in de tv˚ a l¨ osningarna i (6). Detta ger

samband mellan konstanterna och genom att v¨ alja

Icke-linj¨ ara system och kritiska punkter Betrakta nu det icke-linj¨ ara systemet







dxdt

= F (x, y)

dy

dt

= G(x, y) . (13)

Om F (x, y) och G(x, y) ej beror av t ¨ ar systemet autonomt . Systemet (13) har l¨ osningen

(

x = x(t)

y = y(t) (14)

som beskriver v¨ agar i fasrummet (rummet som

sp¨ anns upp av x och y). Om F (x

, y

) = G(x

, y

) =

0 s˚ a ¨ ar (x

, y

) en kritisk punkt.