Examensarbete (del 2)
för grundlärarexamen inriktning F–3 Avancerad nivå
Problemlösning i läroböcker
Författare: Elin Rydén Handledare: Jonas Jäder Examinator: Anna Teledahl
Ämne: Pedagogiskt arbete, inriktning matematik Kurskod: APG246
Poäng: 15 hp
Examinationsdatum: 2021-03-28
Vid Högskolan Dalarna finns möjlighet att publicera examensarbetet i fulltext i DiVA.
Publiceringen sker open access, vilket innebär att arbetet blir fritt tillgängligt att läsa och ladda ned på nätet. Därmed ökar spridningen och synligheten av examensarbetet.
Open access är på väg att bli norm för att sprida vetenskaplig information på nätet.
Högskolan Dalarna rekommenderar såväl forskare som studenter att publicera sina arbeten open access.
Jag/vi medger publicering i fulltext (fritt tillgänglig på nätet, open access):
Ja ☐ Nej ☐
Abstract:
Problemlösningsförmågan är en stor och viktig del av matematikundervisning, trots detta så visar tidigare forskning att läroböcker ofta innehåller en väldigt liten del av problemlösnings- uppgifter. Eftersom läroböcker är en så stor del av matematikundervisning är det viktigt att undersöka hur problemlösning representeras i olika läroböcker. I denna studie undersöktes vilka möjligheter elever i årskurs tre ges för att utveckla sin problemlösningsförmåga när de arbetar med läroböcker. Problemlösningsförmågan har delats upp i tre delar. Förmågan att lösa problem, förmågan att formulera egna problem och förmågan att värdera valda strategier och metoder. De tre delarna ligger även till grund för kategorier som skapades för att kunna kategorisera matematikuppgifter. Tre läroböcker analyserades utifrån de tre kategorierna för att se vilka möjligheter elever får att utveckla de tre delarna av problemlösningsförmågan.
Resultatet visar att mängden uppgifter som ger eleverna möjlighet att utveckla sin problemlösningsförmåga var låg inom alla tre delarna av problemlösningsförmåga. Vilket kan leda till att eleverna hindras i sin utveckling av problemlösningsförmågan.
Nyckelord: Problemlösning, problemlösningsförmåga, matematiskt problem, lärobok
1. Inledning ... 4
2. Syfte och frågeställningar ... 6
3. Bakgrund ... 6
3.1. Litteratursökning ... 6
3.2. Centrala begrepp ... 6
3.3. Styrdokument och rapporter ... 7
3.4. Tidigare forskning ... 7
4. Teoretiskt ramverk ... 11
4.1. Tidigare forskning ... 11
4.2. Anpassning till denna studie ... 11
4.3. Kategorisering i denna studie ... 12
5. Metod ... 13
5.1. Läromedelsanalys ... 13
5.2. Urval ... 14
5.3. Genomförande av analys ... 15
5.4. Exempel på analys ... 16
5.5. Reliabilitet och Validitet ... 19
5.6. Etiska överväganden ... 19
6. Resultat ... 20
7. Diskussion: ... 21
7.1. Metoddiskussion ... 22
7.2. Resultatdiskussion ... 23
8. Referenslista ... 25
1. Inledning
I Läroplanen beskriver Skolverket (2019 s. 54–55) matematisk verksamhet som en kreativ, reflekterande och problemlösande aktivitet och i kommentarmaterialet skriver Skolverket (2017 s. 6) att kursplanen i matematik har en tydlig inriktning mot problemlösning. Detta synliggörs bland annat genom att problemlösning finns med som både kunskapsområde inom det centrala innehållet och som en förmåga. En av de fem förmågorna som elever ska få möjlighet att utveckla genom undervisning i matematik är sin förmåga att ”formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder” (Skolverket 2019 s.55).
Enligt Taflin (2007 s.55) kan elever genom att arbeta med problemlösning utveckla bland annat: sitt matematiska språk med matematiska begrepp och förmåga att föra resonemang, sina kunskaper om matematiska metoder och strategier samt sina förmågor att använda olika representationsformer (Taflin 2007 s.55). Problemlösning kan även ge elever möjlighet att tänka djupare och relatera, utvidga samt förfina sina tidigare kunskaper (Lester och Lambdin 2007 s.98). Även Sidenvall (2019 s.v) skriver att elever kan utveckla sin problemlösnings- förmåga, sin förmåga att föra resonemang och sin begreppsförståelse när de arbetar med att lösa matematiska problem.
Sidenvall (2019 s. v), Jäder (2019 s. v) och Skolverket (2017 s. 6–7) skiljer alla på matematiska problem och rutinuppgifter. I mötet med rutinuppgifter vet elever hur uppgifterna ska lösas, med en välbekant metod eller genom att härma en förlaga. När elever möter matematiska problem behöver de konstruera en för dem ny lösningsmetod (Jäder 2019 s. v och Skolverket 2017 s. 6–7). Sidenvall (2019 s. v) menar att undervisningen generellt domineras av rutinuppgifter och utantillinlärning men genom denna typ av undervisning får eleverna inte utveckla sina problemlösningsförmågor (Sidenvall 2019 s. v). Elever bör därför få arbeta med både rutinuppgifter och matematiska problem (Jäder 2019 s. v).
I den matematikundervisning som Skolinspektionen (2009) observerat arbetade eleverna cirka 60% med uppgifter i den egna läroboken och 40% med uppgifter som de fått av läraren (Skolinspektionen 2009 s. 17). Johansson (2003) skriver också att matematikundervisningen i Sverige domineras av läroböcker. Läroböcker är ofta designade för att underlätta för lärare att organisera sin undervisning, vilket gör det naturligt för lärare att utgå från läroboken (Johansson 2003 s.1). Skolverket (2012) skriver i sin TIMSS rapport att nästan alla lärare använder läroboken som basmaterial i matematikundervisningen (Skolverket 2012 s.97).
Enligt van den Ham och Heinze (2018 s.133) anses läroböcker som en viktig del av matematikundervisning. Av lärarna från van den Ham och Heinzes (2018 s.136) studie svarade 96,6 % att de använde sig utav läroböcker dagligen och 87,2% höll med om att deras undervisning styrdes av läroböcker.
van den Ham och Heinze (2018 s.136) menar även att valet av lärobok kan ha betydelse för elevers möjlighet att lyckas inom matematiken. I sin studie såg van den Ham och Heinze (2018 s.138) även att det fanns väsentliga skillnader mellan hur olika läroböcker påverkade elevers förmåga att prestera inom matematik. Jäder (2019 s. v) menar också att elevers möjlighet att utveckla sina förmågor och kunskaper påverkas av de uppgifter som de arbetar med. Enligt Skolinspektionen (2009 s.9) är undervisning i matematik starkt styrd av läroböcker och detta ledde i den granskning av matematikundervisningen som gjordes till att elever fick små eller inga möjligheter att utveckla kompetens i problemlösning, förmåga att använda logiska resonemang samt förmåga att sätta in matematiska problem i sammanhang (Skolinspektionen 2009 s.9). Efter Skolinspektionens (2009) granskning har läroplanen ändrats och läromedel kan ha ändrats efter de nya styrdokumenten.
Johansson (2003 s.22) skriver att intresset för läroböckers användning i matematik- undervisning inte är nånting nytt. Trots detta så menar Johansson (2003 s.73–74) att det behövs mer forskning kring läroböckers användning i matematikundervisning. I sin studie kom Johansson (2003 s.74) fram till att det finns läroboksförfattare som inte har lyckats representera innehållet från läroplanen på ett bra sätt i sina läroböcker. Enligt Johansson (2003 s.75) är det inte läroboksförfattarna som ansvarar för att läroböckerna följer läroplan och kursplan, utan ansvaret ligger på skolorna att välja läromedel som gör det. Detta betyder att lärare måste kunna granska läroböcker för att veta om det eventuellt behöver kompletteras med annan typ av undervisning. Stridsman (2014) skriver i ett inlägg i facktidningen Skolvärden att sju av tio lärare, av de 1 500 som deltagit i Skolvärdens undersökning, upplever att valet av läromedel ligger helt i deras egna händer. En stor majoritet av lärarna saknade även tid för att granska läromedel. De lärare som undervisade i grundskolans tidigare år ansågs ha det värst (Stridsman 2014).
Enligt läroplanen ska alltså alla elever få möjlighet att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem samt värdera valda strategier och metoder (Skolverket 2019 s.55). Eftersom läroböcker används flitigt i matematikundervisning (Ham och Heinze 2018 s.133;
Skolinspektionen 2009 s. 17; Johansson 2003 s.1.) påverkar det elevernas möjligheter att utveckla problemlösningsförmågan (van den Ham och Heinze 2018 s.136; Jäder 2019 s. v;
Skolinspektionen 2009 s.9). Det är därför viktigt att granska läroböcker för att se vilka möjligheter som eleverna erbjuds att utveckla sin problemlösningsförmåga.
2. Syfte och frågeställningar
Enligt kursplanen i matematik ska elever ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att
”formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder” (Skolverket 2019 s.55). Syftet med denna studie är att undersöka vilka möjligheter elever i årkurs 3 får att utveckla sin förmåga att lösa och formulera problem samt värdera metoder och strategier när de arbetar med uppgifter i ett urval av läroböcker.
Frågeställningar:
• Vilka möjligheter ges eleverna att formulera egna problem?
• Vilka möjligheter ges eleverna att lösa problem?
• Vilka möjligheter ges eleverna att värdera valda strategier och metoder?
3. Bakgrund
I detta avsnitt kommer litteratursökningen redovisas, centrala begrepp förklaras och tidigare forskning presenteras med hjälp av litteratur.
3.1. Litteratursökning
Litteratursökningen till bakgrunden har påverkats av problemformuleringens utveckling. För att läsa in mig på problemområdet så började litteratursökningen på Skolverkets hemsida.
Därefter började sökandet efter vetenskapliga artiklar och avhandlingar med fokus på definitioner av nyckelbegreppen ”problemlösning” och ”matematiska problem”. Allt eftersom problemformuleringen avsmalnade hamnade fokus mer och mer på läroböcker. I det inledande sökandet efter vetenskapliga artiklar och avhandlingar användes framförallt nyckelbegreppen ”problemlösning”, ”lärobok” och ”matematiska problem” som sökord.
Andra sökord som användes var ”matematik”, ”läromedel” och ”lågstadiet”. Sökorden användes på både svenska och engelska och i olika kombinationer. Databaserna som användes var Google Scholar, Libris, Web of Science och Diva. Texterna som sökningarna resulterade i lästes översiktligt för att kunna ta bort dem som inte var relevanta. De texter som berörde problemområdet, var peer-reviewd samt fanns i fulltext valdes ut. Utifrån referenslistorna från de texter som jag läst kunde jag sedan göra kedjesökningar för att hitta fler artiklar och avhandlingar. I kedjesökningarna användes ”Google Scholar”, där jag sökte på författarens namn samt arbetets titel.
3.2. Centrala begrepp 3.2.1. Problemlösning
Taflin (2007 s.55) skriver att problemlösning handlar om den matematik och det matematiska språk som elever kan använda och utveckla genom att lösa problem. Medan Lester och Lambdin (2007 s.95) beskriver problemlösning som ett redskap för att utveckla nya matematiska kunskaper. Utvecklandet sker genom att elever löser problem som har den
matematik som ska studeras inbäddad. I denna studie syftar begreppet problemlösning på aktiviteten att lösa matematiska problem. Begreppet problemlösningsförmåga kommer att syfta till förmågan att lösa matematiska problem.
3.2.2. Matematiskt problem
Om en uppgift kan klassas som ett matematiskt problem eller inte, beror på vem som ska lösa uppgiften, menar både Jäder (2019 s. v), Taflin (2007 s.19) och Skolverket (2017 s.6–7). Jäder (2019 s. v) och Taflin (2007 s.19) menar även att problemlösaren måsta lösa problemet med en för hen ny lösningsmetod. Problemlösaren ska alltså inte i förväg veta hur problemet kan lösas. En uppgift kan vara ett matematiskt problem för en elev som inte ser en lösningsmetod, medan samma uppgift inte behöver vara ett problem för en elev som kan se en klar lösningsmetod (Skolverket 2017 s.6–7). I denna studie definieras begreppet problem som en uppgift där problemlösaren inte i förväg vet hur uppgiften kan lösas.
3.3. Styrdokument och rapporter
I detta avsnitt beskrivs hur problemlösning skrivs fram i styrdokument och rapporter. Det centrala innehållet i kursplanen för matematik är indelat i sex olika kunskapsområden;
”taluppfattning och tals användning”, ”algebra”, ”geometri”, ”sannolikhet och statistik”,
”samband och förändring” samt ”problemlösning”. Undervisningen inom ett arbetsområde berör dock oftast innehåll från flera olika kunskapsområden samtidigt. Kunskapsområdet
”problemlösning” sticker ut genom att innehållet från kunskapsområdet ”problemlösning” ska appliceras på alla de andra kunskapsområdena (Skolverket 2017 s.11). Detta innebär en förskjutning i synen på matematik från att se det som begrepp och färdigheter att bemästra, till att se det mer som en meningsfull problemlösande aktivitet (Skolverket 2013 s.8).
Problemlösning innefattar alltså många delar av matematiken. Bland annat: användning av begrepp, metoder och uttrycksformer men även att kunna resonera, reflektera och värdera olika resultat (Skolverket 2017 s. 6). Enligt Skolinspektionen (2009 s.8) fanns det lärare som inte var tillräckligt insatta i läroplanen, när studien genomfördes. Detta ledde till att elever fick undervisning i begränsade delar av ämnet och fick då inte möjlighet att utveckla förmågor som problemlösning och förmåga att se samband (Skolinspektionen 2009 s.8).
3.4. Tidigare forskning
3.4.1. Problemlösning och problemlösningsförmågan
I detta avsnitt presenteras olika forskares syn på problemlösning och problemlösnings- förmågan. Niss och Højgaard (2019 s.15) beskriver problemlösningsförmågan som förmågan att kunna identifiera, formulera och lösa matematiska problem med hjälp av matematikens alla områden. Även förmågan att kunna kritiskt granska och värdera sina egna och andras lösningar av problem. En viktig del i detta är förmågan att kunna tänka ut och använda olika strategier för att lösa problem. Detta stämmer bra överens med vad Ahlberg (1992 s.9) menar att syftet med problemlösning nämligen är att eleverna ska få tillägna sig matematiska färdigheter, inte för att träna på redan inlärda färdigheter.
Alberg (1992 s.84–85) har dessutom tagit fram fem delmål i elevers utveckling av problemlösningsförmågan.
”De fem delmålen innebär att eleverna skall upptäcka:
1. att det finns olika sätt att lösa ett problem och att en konfrontation av olika lösningssätt bidrar till förståelsen av problemet
2. att matematiska problem är en del av den mängd problem som människor dagligen ställs inför vardagslivet
3. att det vardagliga språket kan förbindas med det matematiska symbolspråket 4. att tala, skriva och rita är betydelsefulla verktyg vid problemlösning
5. att det tar tid att lösa problem ” (Ahlberg 1992 s.8–9).
Sidenvall (2019 s. v-vi) och Ahlberg (1992 s.251) skriver båda om förutsättningar som kan påverka elevers möjligheter att utveckla sin problemlösningsförmåga. De är överens om att elevers syn på matematikundervisning är en påverkande faktor. Sidenvall (2019 s. v-vi) skriver att elever kan begränsas av sin syn på matematikundervisning och Ahlberg (1992 s.251) menar att elevers tidigare erfarenheter samt deras attityd mot matematikundervisning kan påverka deras utveckling av problemlösningsförmågan. Sidenvall (2019 s. v-vi) menar även att elevernas förutsättningar att arbeta med problemlösningsuppgifter påverkas av att problemlösningsuppgifter saknades bland de enklare uppgifterna i matteböcker, att elever använder sig av imitativa lösningsstrategier och att elever blir lotsade fram till en lösning.
3.4.2. Matematiskt problem
I detta avsnitt presenteras olika forskares syn på matematiska problem. Jäder (2019 s. v) beskriver ett matematiskt problem som en uppgift som kräver att eleven konstruerar en för eleven ny lösningsmetod. Genom detta skiljer sig matematiska problem från rutinuppgifter som elever kan lösa genom att använda en välbekant metod eller genom att imitera en förlaga. Taflin (2007) menar också att en uppgift först blir ett problem i mötet med en problemlösare som anstränger sig för att hitta en lösning. Problemlösaren ska vilja lösa problemet men inte veta hur det ska ske. Problemlösaren måste även ha förmåga att tolka problemet och veta vad som ska lösas (Taflin 2007 s. 19). Ahlberg (1992 s.8) skriver att bara för att en uppgift är ett problem för en elev idag betyder inte det att samma uppgift är ett problem imorgon. Ahlberg (1992 s.8) menar därför, precis som Taflin (2007 s.19), att det är relationen mellan elev och uppgift som avgör om uppgiften blir ett problem eller inte.
Stein och Smith (1998) skiljer uppgifter genom att dela in dem i hög- och lågnivåuppgifter.
Indelningen baseras på den kognitiva ansträngning och de resonemang som krävs för att lösa uppgiften. Högnivåuppgifter kräver att lösaren använder ett utforskande arbetssätt där lösningsmetoden inte är given alternativt att lösaren använder sig av metoder kopplade till ingående begrepp. Lågnivåuppgifter däremot kan lösas genom att en metod som saknar koppling till ingående begrepp används eller genom att ett redan memorerat svar eller metod används (Stein och Smith 1998 s. 269–270). Stein och Smiths (1998 s. 269–270) högnivåuppgifter påminner väldigt tydligt om det som Jäder (2019 s. v) och Taflin (2007 s. 19)
kallar för ett matematiskt problem. Lågnivåuppgifter kan även liknas med rutinuppgifter som Jäder (2019 s. v) skriver om.
3.4.2.1. Olika typer av problem
Det finns olika typer av matematiska problem Taflin (2007) skriver till exempel om rika problem. Genom att lösa rika problem kan elever utveckla sin matematiska medvetenhet samt upptäcka, utvidga, fördjupa och använda sina matematiska kunskaper (Taflin 2007 s.57). Taflin (2007 s. 11–12) skriver att begreppet rika problem inte har någon tydlig definition och har därför tagit fram sju kriterier för ett rikt problem.
”1. Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer.
2. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det.
3. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid.
4. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika matematiska idéer och representationer.
5. Problemet ska kunna initiera till matematiska resonemang utifrån elevernas skilda lösningar, ett resonemang som visar på olika matematiska idéer.
6. Problemet ska kunna fungera som brobyggare.
7. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem.” (Taflin 2007 s. 11–12).
Ahlberg (1992 s.11) skriver om fyra andra typer av matematiska problem. Enkla översättningsproblem kallas även enstegsproblem, en vanlig typ av problem i läroböcker där orden i problemet direkt kan översättas till matematiska utryck, Ahlberg (1992 s.11) ger följande exempel: Jenny har sju fiskar och Tommy har fyra. Hur många fler fiskar har Jenny? I detta exempel kan frasen hur många fler översättas till sju minus fyra. Komplexa översättningsproblem kallas även flerstegsproblem, orden i problemet måste här översättas till matematiska utryck genom två steg. Processproblem, löses genom gissningar och kontroller, logiskt resonemang, rita en bild eller liknande. Tillämpningsproblem kallas även realistiska problem, lösandet av dessa problem kväver mer än matematik.
3.4.4. Skapa egna problem
Niss och Højgaard (2019 s. 15) skriver att en del av problemlösningsförmågan är förmågan att kunna skapa matematiska problem. Winograd (1992 s.64) skriver om elever som får skapa sina egna matematiska problem och sedan lösa varandras problem i små grupper. Eleverna skrev ofta sina problem utifrån egna erfarenheter, om saker som de uppfattade som problem och inte kunde lösa själva. Winograd (1992 s.64–65) kunde kategorisera de problem som eleverna skapade i fyra olika kategorier. Problem som innehöll begrepp som var relativt nya för eleven, till exempel begreppet volym. Problem som kräver en viss typ av lösningsmetod som eleven inte själv behärskar ännu, till exempel multiplikation med decimaltal. Problem som kräver problemlösningskunskaper som eleven ännu inte besitter, till exempel skapa en tabell för att ordna data. Slutligen problem som eleverna förstod och visste hur de skulle lösas men misslyckades med själva lösningsprocessen, till exempel genom att göra ett mindre räknefel.
I arbetet med att skapa egna problem skapades möjligheter för eleverna att lära sig det som de upplevde som svårt. Beroende på kategori av problem så kunde eleverna lära sig nya begrepp, metoder och lösningsstrategier som sedan kan användas för att lösa liknande problem (Winograd 1992 s.64–65). Enligt eleverna i Winograds (1992 s.65–66) studie var problem som eleverna själva skapat mer intressanta och utmanande att arbeta med än problemen från läroboken
3.4.5. Problemlösning i läroböcker
I detta avsnittet presenteras först läroböckers olika upplägg och sedan hur problemlösning presenteras i olika läroböcker. Lepik, Grevholm och Viholainen (2015 s.130) som undersökt hur lärare i Estland, Finland och Norge arbetar med läroböcker inom matematikundervisning, skriver att läroböcker innehåller en mängd olika aktiviteter, så som texter som presenterar nytt innehåll, uppgifter att lösa och exempeluppgifter som visar på olika lösningsmetoder.
Hadar (2017 s.155) skriver att läroböckerna i hans studie var ordnade efter ämnesområde.
Områdena började med definitioner och arbetsexempel och därefter följde liknande uppgifter på olika nivåer som eleverna själva får lösa. Winograds (1992 s.65-66) menar också att uppgifter i läroböcker ofta är grupperade efter gemensamma begrepp, metoder eller lösningsstrategier. Detta leder till att uppgifterna på samma sida i en lärobok ofta kan lösas på liknade sätt, efter att eleverna löst de första uppgifterna vet de hur resten ska lösas. Utifrån tidigare redovisning av problemlösning och matematiska problem är detta något negativt utifrån att eleverna ska utveckla sin problemlösningsförmåga.
Enligt van den Ham och Heinze (2018 s.133) anses läroböcker som en viktig del av matematikundervisning. Av lärarna från van den Ham och Heinzes (2018 s.136) studie svarade 96,6 % att de använde sig utav läroböcker dagligen och 87,2% höll med om att deras undervisning styrdes av läroböcker. van den Ham och Heinze (2018 s.136) menar att valet av lärobok kan ha betydelse för elevers möjlighet att lyckas inom matematiken. I deras studie såg van den Ham och Heinze (2018 s.138) även att det fanns väsentliga skillnader mellan hur olika läroböcker påverkade elevers förmåga att prestera inom matematik.
Brehmer, Ryve och van Steenbrugge (2016) har studerat svenska läroböcker i matematik för gymnasieelever. Av de 5 722 uppgifter som studerades kunde endast 312 kategoriseras som matematiska problem, detta motsvarar 5,45% (Brehmer, Ryve och van Steenbrugge 2016 s.586). De uppgifter som kunde definieras som matematiska problem var generellt placerade i slutet av ett kapitel och var på den högsta svårighetsnivån. Problemen kan även ses som uppgifter för att summera vad eleverna lärt sig under det aktuella kapitlet (Brehmer, Ryve och van Steenbrugge 2016 s.589). Eftersom problem ofta är placerade i slutet av kapitlen och eftersom de ofta är svåra så menar Brehmer, Ryve och van Steenbrugge (2016 s. 590) att de flesta eleverna inte har tillräckligt med tid för att arbeta med problemuppgifterna. För att alla elever ska få möjlighet att utveckla sin problemlösningsförmåga bör det finnas fler matematiska problem särskilt på en enklare nivå (Brehmer, Ryve och van Steenbrugge 2016 s. 590).
Jäders (2019) avhandling består utav fem studier. De tre första studierna syftade till att undersöka vilka möjligheter som elever i gymnasieskolan får att arbeta med problemlösning genom matematikuppgifter. I studie ett och två undersöktes detta genom att analysera läroböcker från 12 olika länder. Andelen matematiska problem under olika rubriker samt andelen matematiska problem där eleverna kunde imitera tidigare presenterade lösningsmetoder undersöktes (Jäder 2019 s. v). Endast 10 % av uppgifterna som analyserades från de olika läroböckerna kunde enligt Jäder (2019 s.vi) anses vara matematiska problem, där eleverna inte kunde imitera lösningsmetoden.
4. Teoretiskt ramverk
I detta avsnitt kommer det teoretiska ramverket presenteras och anpassningar av ramverket kommer att redovisas.
4.1. Tidigare forskning
Jäder (2019), Sidenvall (2019) och Brehmer, Ryve och van Steenbrugge (2016) har alla använt sig av Lithners (2008) ramverk för att kategorisera matematikuppgifter. Enligt Lithner (2008 s.
272) är de två huvudsakliga syftena med ramverket att kategorisera viktiga aspekter av resonemang och synliggöra skillnader och konsekvenser av de olika typerna av resonemang.
Ramverket skiljer mellan CR- creative reasoning och IR- imitative reasoning. IR har sedan underkategorier i form av MR- memorised reasoning och AR- algorithmic reasoning. Även CR har underkategorier LCR (local creative reasoning) och GCR (global creative reasoning (Lithner 2008 s. 263).
Creative reasoning innebär att eleverna måste skapa en för eleven ny eller återskapa en bortglömd lösningsmetod. Eleverna måste även kunna ge argument för rimlighet och val av strategi. Argumenten ska då baseras på relevanta matematiska egenskaper (Lithner 2008 s.
266). LCR (local creative reasoning) är en typ av CR där eleverna inte helt behöver skapa en ny eller återskapa en bortglömd lösningsmetod. LCR betyder att eleven tar inspiration från en lösningsmetod men justeras den sedan något, alltså inte kopiera den rakt av. GLC (global creative reasoning) innebär att eleven skapar en helt ny eller återskapar en bortglömd lösningsmetod, till skillnad från IR som innebär att eleverna imiterar en lösningsmetod (Lithner 2008. 258). Eftersom detta arbete inte fokuserar på elevers resonemang utan på deras möjligheter att utveckla sin problemlösningsförmåga, har ett annat ramverk skapats utifrån det syftet men med inspiration från Lithners (2008) ramverk.
4.2. Anpassning till denna studie
Syftet med studien är att undersöka vilka möjligheter elever i årkurs tre får att utveckla sin problemlösningsförmåga när de arbetar med läroböcker. Problemlösningsuppgifter från olika läroböcker där eleverna får möjlighet att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem samt värdera valda strategier och metoder kommer att identifieras. Matematiska problemen i läroböckerna kommer att identifieras med hjälp utav Lithners (2008) definition av CR. CR innebär att eleven behöver skapa en ny eller återskapa en bortglömd lösningsstrategi, vilket
enligt Sidenvall (2019 s.25) är desamma som problemlösning. Beskrivningen av CR kan även liknas med hur begreppet problemlösning har beskrivits i bakgrunden. Uppgifterna kommer att analyseras utifrån vilken del eller vilka delar av problemlösningsförmågan som eleverna får möjlighet att utveckla. De olika delarna kommer att kategoriseras med hjälp av kategorierna:
• FORM- formulera ett problem
• VÄRD- värdera metod och strategi
• LÖS- lösa problem
Kategorierna VÄRD och LÖS kommer även att innehålla underkategorier vilket presenteras nedan.
4.3. Kategorisering i denna studie Figur 1 Redovisning av kategorier
FORM
Enligt läroplanen så ska eleverna få möjlighet att utveckla sin förmåga att formulera egna problem (Skolverket 2019 s.55). Uppgifter som uppmanar eleverna att formulera egna problem kommer att placeras under kategorin FORM. Även uppgifter som uppmanar eleverna att formulera räknehändelser och frågor kommer att kategoriseras som FORM-uppgifter.
VÄRD
En annan del av problemlösningsförmågan är förmågan att kunna värdera valda strategier och metoder (Skolverket 2019 s. 55). En uppgift som uppmanar eleverna att värdera deras metoder eller strategier kommer att placeras under kategorin VÄRD. Skolverket (2017 s. 26) beskriver strategier som olika tillvägagångssätt för att lösa och formulera matematiska problem. I de tidigare årskurserna kan värdera strategier och metoder även betyda att eleven värderar svarets/resultatets rimlighet (Skolverket 2017 s. 29). VÄRD-uppgifterna kommer därför att kategoriseras inom två underkategorier utifrån om eleverna uppmanas att värdera metod/strategi eller om elever uppmanas att värdera ett svar.
LÖS
För att identifiera matematiska problem bland uppgifterna i läroböckerna så kommer analysen att ta stöd av Lithners (2008) ramverk. I analysen så kommer uppgifter som passar in på CR att betraktas som matematiska problem. Alltså uppgifter där eleverna inte kan härma en lösningsstrategi utan måste skapa en egen lösningsstrategi för att lösa uppgiften. Dessa
uppgifter kommer att placeras under kategorin LÖS, eftersom eleverna ges möjlighet att lösa ett matematiskt problem. Även LÖS-kategorin kommer att bestå av två underkategorier, även dem inspirerade av Lithners (2008) ramverk. Underkategorierna Lokal och Global kommer ifrån Lithners (2008 s. 263) LCR och GCR. Uppgifter där eleverna behöver skapa helt nya eller återskapa bortglömda lösningsmetoder kommer att kategoriseras som globala LÖS-uppgifter.
Alltså uppgifter där eleverna inte har fått någon information om hur uppgiften kan lösas.
Uppgifter där eleverna fått information som kan justeras för att skapa en lösningsmetod kommer att kategoriseras som lokala LÖS-uppgifter. Informationen kan eleven få genom informationsrutor eller genom att lösa liknande uppgifter.
5. Metod
Syftet med denna studie är att undersöka vilka möjligheter elever i årkurs tre får att utveckla sin förmåga att lösa och formulera problem samt värdera metoder och strategier när de arbetar med uppgifter i läroböcker. För att besvara detta syfte kommer uppgifter i ett urval av läroböcker för årskurs tre att analyseras.
5.1. Läromedelsanalys
Stukát (2011 s.60–61) skriver om textanalys som även kan kallas för dokumentanalys eller innehållsanalys. Exempel på texter som brukar analyseras i utbildningsvetenskaplig forskning är läroplaner och läroböcker. Detta arbete grundar sig på en textanalys av läroböcker inom matematiken. Metoden textanalys har valts utifrån syftet att undersöka vilka möjligheter elever i årskurs tre får att utveckla sin problemlösningsförmåga.
Widén (2019 s. 202–206) beskriver fyra steg i en kvalitativ textanalys: 1) identifiera problem 2) välj texter 3) skapa analytiska teman 4) genomför analysen. Denna studie har följt Widéns (2019 s.202–206) fyra steg. Studien startades genom att problemet med problemlösning i läroböcker identifierades och skrevs fram i bakgrunden. Därefter togs beslutet att analysera läroböcker för årskurs tre. De tre kategorierna togs sedan fram för att strukturera analysen.
Slutligen så genomfördes analysen av tre läroböcker. Analysen resulterade slutligen i en presentation av olika typer av uppgifter, från urvalet av matteböcker, som ger eleverna möjlighet att utveckla sin problemlösningsförmåga.
Fejes och Thornberg (2019 s. 37) skriver om kategorisering som en del av en kvalitativ analys.
Kategorisering används för att dela in datamaterialet från en undersökning i olika kategorier.
Genom att analysera datamaterialet kan kategorier byggas av likheter och skillnader som kommer fram. Kategorierna kan sedan användas för att reducera och strukturera det stora datamaterialet. I denna studie så har kategorierna skapats med inspiration från Lithners (2008) ramverk som presenterades i teoriavsnittet. Denna studie har både en kvalitativ och kvantitativ ansats. Kvantitativ i och med att syftet är att undersöka i vilken utsträckning som det finns möjlighet för eleverna att utveckla sin problemlösningsförmåga. Kvalitativ genom att
uppgifterna även ska identifieras, tolkas och kategoriseras. Genom att använda båda en kvalitativ och kvantitativ ansats kan resultatet ge en mer heltäckande bild (Bryman 2006 s.105–106)
5.2. Urval
Ett godtyckligt urval innebär att forskaren väljer ut enheterna utifrån sin bedömning av hur typiska de är eller utifrån att forskaren vill ha ett varierat urval. Enheterna väljs utifrån olika kriterier som till exempel kön och ålder (Larsen 2018 s.125). I denna studie så har urvalet av läroböcker valts genom ett godtyckligt urval. Urvalet består av tre utvalda matteböcker som har valts utifrån följande kriterier: publicerade under de senaste fem åren, rikta sig till elever i årskurs tre och utgöra ett basmaterial som sträcker sig över en termins matematiklektioner.
Genom att välja läroböcker som publicerats under de senaste fem åren har läroboks- författarna fått möjlighet att anpassa boken till aktuell forskning och rådande läroplan. För att säkerhetsställa att urvalet av böcker var typiska och användes så valdes böcker som jag vet används på skolor som jag besökt. Böckerna är även publicerade av stora och välkända bokförlag.
Ett annat möjligt sätt att välja ut de tre läroböckerna hade varit med ett sannolikhetsurval.
Poängen med ett sannolikhetsurval är att alla i populationen har lika stor chans att bli utvalda (Larsen 2018 s. 51). Det visade sig dock vara svårt att genomföra ett sannolikhetsurval eftersom en lista över alla läroböcker som stämmer in på kriterierna för urvals gruppen inte gick att ta fram, det hade tagit för lång tid och därför valdes sannolikhetsurvalet bort.
Två av studiens utvalda läroböcker saknade numrering av uppgifterna. För att kunna få ett jämförbart resultat så räknades uppgifterna i alla de tre böckerna på samma sätt. Uppgifterna räknades utifrån frågor och uppmaningar. Se avsnitt 5.4 Exempel på analys för att se exempel.
Alla böckerna består av kapitel som är indelade i avsnitt. Avsnitten inleds ofta med en ny rubrik och en informationsruta som presenterar vad avsnitten kommer att handla om.
Favorit matematik 3A
Favorit matematik är ett basläromedel i matematik med anpassning till Lgr 11 som är reviderad 2017. Boken består utav fyra kapitel och kapitlen är indelande i 52 avsnitt. Avsnitten är cirka fyra sidor och är tänkta att utgöra en matematiklektion. Bokserien är publicerad av Studentlitteratur AB år 2018 och består av 213 sidor.
Koll på matematik 3B
Koll på matematik är också ett basläromedel som består av fyra kapitel samt ett repetitionskapitel. Kapitlen är indelade i 74 avsnitt. Avsnitten varierar i storlek men i genomsnitt består ett avsnitt av cirka fem sidor. Bokserien är publicerad av Sanoma utbildning år 2017 och består av 175 sidor.
Mondo matematik 3B
Mondo matematik är även det ett basläromedel i matematik som är anpassat till Lgr 11. Boken är uppdelad i tre kapitel och 15 olika avsnitt. Avsnitten varierar i storlek men i genomsnitt består ett avsnitt av cirka 10 sidor. Boken är publicerad av Gleerups utbildning år 2018 och består av 159 sidor.
5.3. Genomförande av analys
De tre kategorierna LÖS, FORM och VÄRD analyserades var för sig och uppgifterna i läroböckerna analyserades även dem noga var för sig. Analysen startade med kategorin LÖS med tillhörande underkategorierna lokal och global. Analysen av LÖS-kategorin gick ut på att hitta uppgifter som gav eleverna möjlighet att utveckla sin förmåga att lösa matematiska problem. För att hitta dessa uppgifter baserades analysen på Lithners (2008) definition av CR, GCR och LCR. Analysen av LÖS-kategorin gick ut på att hitta CR uppgifter och kategorisera dem som lokala eller global LÖS-uppgifter. Uppgifter där en lösningsstrategi inte var given och därför krävde att eleven skapade en egen lösningsstrategi kategoriserades antingen som lokala eller globala LÖS-uppgifter. För att ta reda på om uppgiften var en global eller en lokal LÖS-uppgift undersöktes avsnittet där uppgiften var placerad. Analysen av LÖS-kategorin genomfördes i tre steg för att identifiera vilka möjligheter eleverna fick för att lösa matematiska problem.
1. I det första steget löste jag uppgiften.
2. I det andra steget undersökte jag om det fanns andra möjliga sätt att lösa uppgiften 3. I det tredje och sista steget för analysen av LÖS-kategorin undersöktes avsnittet där på.
uppgiften var placerad. De olika lösningssätten som tagits fram i de två första stegen av analysen togs med som grund för undersökningen av avsnittet. Avsnittet undersöktes utifrån om det fanns uppgifter som kunde lösas på samma sätt eller om det fanns någon information i avsnittet som informerade om hur uppgiften kunde lösas. De uppgifter som var placerade i avsnitt som hade uppgifter som kunde lösas på samma sätt sorterades bort. Även uppgifter i avsnitt där det fanns information om hur uppgiften skulle lösas sorterades bort. I detta tredje steg så avgjordes det även om uppgiften skulle kategoriseras som en lokal LÖS-uppgift eller som en global LÖS- uppgift. Uppgifter som var placerade i avsnitt som innehöll uppgifter som kunde lösas på att liknande sätt, alltså uppgifter som skiljde sig lite men som ändå underlättade lösandet av uppgiften kategoriserades som lokala LÖS-uppgifter. Uppgifter som var placerade i avsnitt utan liknade uppgifter kategoriserades som globala LÖS-uppgifter.
Efter att alla uppgifter från de tre läroböckerna genomgått analysen av LÖS-kategorin startade analysen av VÄRD-kategorin. Analysen av VÄRD-kategorin genomfördes på ungefär samma sätt som FORM-kategorin. Alla uppgifter i böckerna undersöktes och de uppgifter som uppfyllde kraven för respektive kategori kategoriserades som VÄRD respektive FORM. I analysen av VÄRD-kategorin undersöktes uppgifterna utifrån vilka som uppmanade eleverna att värdera strategier/metoder eller svar. Uppgifter som uppmanade eleverna att värdera metoder eller strategier kategoriserades som VÄRD-uppgiften med fokus på metod/strategi
medan uppgifter som uppmanade eleverna att värdera ett svar eller ett resultat sorterades som VÄRD-uppgift med fokus på svar. På vissa ställen i böckerna så uppmanades eleverna att värdera sitt svar eller metod/strategi i en informationsruta. Informationsrutorna fanns ofta i början av ett avsnitt men ibland förekom dem även mitt i ett avsnitt. På grund av det var det svårt att räkna på antalet uppgifter där eleverna uppmanades att värdera sitt svar eller metod/strategi. Därför har sådana informationsrutor räknats som en egen uppgift till kategorin VÄRD, exempel på detta finns i 5.4. I analysen av FORM-kategorin kategoriserades uppgifter som uppmanade eleverna att formulera problem, frågor och räknehändelser som FORM-uppgifter.
Analysen av böckerna avslutades med att det totala antalet uppgifter i böckerna beräknades.
Eftersom endast en av de tre böckerna hade numrerade uppgifter så beräknades det totala antalet uppgifter på ett liknade sätt för alla böcker för att få ett jämförbart resultat. För att se exempel på detta se avsnitt 5.4 där det totala antalet uppgifter på två uppslag av böckerna redovisas. Det totala antalet uppgifter beräknades för att kunna undersöka hur stor andel av böckerna som gav eleverna möjlighet att utveckla sin problemlösningsförmåga.
5.4. Exempel på analys
Bild 1: Mondo matematik s. 120–121
På detta uppslag finns en LÖS-uppgift, en VÄRD-uppgift samt en FORM-uppgift. Uppslaget kommer från ett avsnitt som består av totalt åtta sidor. Det totala antalet uppgifter på uppslaget är beräknats till sex stycken. Den andra uppgiften på den vänstra sidan har
kategoriserats som en lokal LÖS-uppgift. ”Yafet bakar tolv kakor. Han lägger hälften av kakorna i frysen. Resten delar han, Milo och Amira på. Hur många kakor får varje barn?”. Uppgiften kan lösas genom att först dividera tolv med två för att få antalet kakor som Yafet fryser in. För att sedan ta reda på hur många kakor barnen får var så dividerar man antalet kvarvarande kakor, som är sex med antalet barn som är tre. Detta ger svaret att barnen från två kakor var.
Uppgiften kan till exempel lösas med hjälp av att skriva en ekvation eller genom att rita en bild. Eftersom det finns andra uppgifter i samma avsnitt som kan lösas på ett liknande sätt, till exempel uppgiften som kommer efter ” En violin har fyra strängar. Hur många violiner räcker trettiotvå strängar till?”. Det som skiljer dessa uppgifter åt är att den första kräver att eleverna tänker i flera steg. Den andra uppgiften kan lösas genom att dividera trettiotvå med fyra för att se hur många violiner strängarna räcker till. Medan den första uppgiften kräver att man dividerar i två olika steg, först 12/2 och sedan 6/2. Eftersom det finns uppgifter som kan lösas på ett liknande sätt i samma avsnitt kategoriserades uppgiften med kakorna som en lokal LÖS- uppgift. På uppslaget så finns det även en informationsruta som presenterar fem olika steg som eleverna kan följa när de jobbar med uppgifterna. Informationen i rutan säger ingenting om hur uppgifterna kan lösas utan ger bara eleverna en ordning att följa. Därför har uppgiften kunnat kategoriserats som en LÖS-uppgift.
Uppslaget innehåller även en VÄRD-uppgift. Den finns i informationsrutan högst upp på den vänstra sidan; ”5. Kontrollera svaret”. Som sagt har jag valt att beräkna informationsrutor som en uppgift i VÄRD-kategorin eftersom det kan vara svårt att avgöra hur många uppgifter som informationsrutan riktar sig mot. Informationsrutan innehåller fem steg som eleverna uppmanas att följa. I informationsrutan så uppmanas eleverna att kontrollera sitt svar. När eleverna kontrollerar det svar som de fått fram måste eleverna gå tillbaka och se över hur de löst uppgiften. Detta kan ske genom att eleven läser uppgiften en gång till och tänker på svarets rimlighet eller funderar över vad uppgiften egentligen frågar efter. Det kan även innebära att eleverna provar att sätt in svaret i uppgiften om det är en sådan uppgift eller så kollar eleverna att den uträkning som de gjort stämmer. Genom att eleverna kontrollerar sitt svar så tvingas eleverna alltså att gå tillbaka och reflektera vilket kan innebära att metoden eller lösningsstrategin värderas. Genom att eleverna uppmanas att kontrollera sitt svar så har
”uppgiften” kategoriseras som en VÄRD-uppgift där svaret ska värderas.
På samma uppslag så finns även en FORM-uppgift, som kan hittas på den högra sidan. ”Hitta på en liknande uppgift tillsammans.” Symbolen intill uppgiften betyder att eleverna ska jobba tillsammans. Eleverna uppmanas alltså att tillsammans formulera en uppgift som liknar uppgiften innan. Uppgiften innan handlar om Ismar som ritar djur. ”Ismar ritar fyra djur. Det är myror och spindlar. Tillsammans har djuren tjugosex ben. Myror har __ ben. Spindlar har __ ben. Hur många myror är det och hur många spindlar?” Ett möjligt sätt att formulera en liknande uppgift är att lägga till eller ta bort en myra eller en spindel så att det totala antalet ben ändras. Ett annat möjligt sätt är att byta ut djuren till exempelvis katter och fåglar.
De tre resterande uppgifterna kunde inte kategoriserades som LÖS, FORM eller VÄRD. Ingen av dem uppmanade eleverna att värdera något eller formulera ett problem. Uppgifterna
kunde heller inte kategoriseras som LÖS-uppgifter eftersom det fanns uppgifter i samma avsnitt som kunde lösas på samma sätt. Till exempel så finns det en uppgift i samma avsnitt som kan lösas på samma sätt som uppgiften längst upp på högra sidan, uppgiften med myror och spindlar. ”Olga ritar sex cyklar. Några är trehjulingar. Några är vanliga cyklar med två hjul.
Tillsammans är det fjorton hjul. Hur många trehjulingar är det och hur många är vanliga cyklar?”. Eftersom uppgifterna kan lösas på samma sätt så kan ingen av uppgifterna kategoriseras som LÖS-uppgifter.
Bild 2: Koll på matematik s. 166–167
Uppslaget innehåller tre LÖS-uppgifter och en VÄRD-uppgift. Det totala antalet uppgifter på uppslaget är beräknats till sex stycken. De tre resterande uppgifterna har inte kategoriserats som LÖS-uppgifter eftersom det finns uppgifter i samma avsnitt som kan lösas på samma sätt.
Uppslaget är placerat i ett avsnitt som är totalt fyra sidor. Avsnittet innehåller inte några informationsrutor eller andra typer av texter som informerar eleverna om hur uppgifterna kan lösas. Uppgiften längst ner på den vänstra sidan har kategoriserats som en VÄRD-uppgift.” Ella vill besöka Zoo tio gånger under sommarlovet. Vilken biljett ska hon köpa, tycker du?
Motivera.” Till uppgiften så finns även en bild där tre olika sorters biljetter presenteras.
Eftersom eleverna uppmanas att motivera svaret så har uppgiften kategoriserats som en VÄRD-uppgift där svaret ska värderas. Samma uppgift har även kategoriserats som en global LÖS-uppgift. Uppgiften kan lösas genom att beräkna hur mycket det kostar att besöka Zoo tio gånger med de tre olika biljettyperna. Kostanden för endagsbiljetter kan beräknas genom att multiplicera 60 med tio. Eftersom den andra biljettypen sju valfria dagar endast räcker till sju besök så behöver Elle köpa två sådana biljetter, vilket ger 320 multiplicerat med två. Eleven kan därefter jämföra kostanden för de tre olika biljettyperna. Eftersom uppgiften inte går ut på att hitta det billigaste priset så kan eleven välja viken typ av biljett som hen vill men valet
behöver motiveras. I avsnittet finns det ingen annan uppgift där ett alternativ ska väljas på detta sätt. Uppgiften har därför kategoriserats som en global LÖS-uppgift.
På uppslaget finns även två till LÖS-uppgifter. Den första uppgiften på den högra sidan har kategoriserats som en global LÖS-uppgift. ”Hur stor del av kuvertet är blått?” uppgiften kan lösas genom att använda en linjal och mäta det blåa området och därefter mäta hur stort hela kuvertet är, för att få fram hur stor del som är blå. Ett annat möjligt sätt att lösa uppgiften på är att dela in kuvertet i lika stora delar. Genom att dela in kuvertet i olika trianglar så kan man se att det består av åtta lika stora bitar som den blåa triangeln. Den tredje LÖS-uppgiften är den sista uppgiften på den högra sidan. ”Kim, Li, Alex och Tage är födda samma år. Li och Tage fyller år samma månad. Tage och Alex fyller år samma dag, men i olika månader. Deras födelsedagar är 15 april, 23 mars, 12 juni och 15 juni. Vem av barnen är äldst?”. Uppgiften kan lösas genom att läsa uppgiften mening för mening och koppla samman barnen med vilka datum som passar in på dem. Ett annat sätt att lösa uppgiften på är att prova sig fram, dela ut datum till barnen och sedan läsa texten och se om det stämmer. Båda LÖS-uppgifterna på den högra sidan har kategoriserats som globala LÖS-uppgifter eftersom det inte finns någon uppgift som kan lösas på ett liknande sätt i det avsnitt som de är placerade.
5.5. Reliabilitet och Validitet
Larsen (2018 s. 59–62) skriver om reliabilitet och validitet. Validitet handlar om att mäta det som faktiskt ska mätas. För att höja validiteten i detta arbeta så har analysen grundats på definitionerna som redovisats i bakgrunden samt att kategorierna har baserats på Lithners (2008) definition av CR för att kunna identifiera matematiska problem. Reliabilitet handlar enligt Larsen (2018 s. 61) om pålitlighet och precision. För att öka reliabiliteten för studien så har genomförandet tydligt redovisats, så att studien går att genomföras igen av någon annan.
5.6. Etiska överväganden
Ett informationsbrev om studien har skickats till förlagen som publicerat de tre läroböckerna.
Förlagen har alla godkänt att bilder på uppgifter och sidor används för att exemplifiera resultatet. Det framgår tydligt vilken lärobok som bilderna kommer ifrån.
Vetenskapsrådet (2017 s.8) beskriver åtta allmänna regler som alla forskare måste ta hänsyn till:
1. ”Du ska tala sanning om din forskning.
2. Du ska medvetet granska och redovisa utgångspunkterna för dina studier.
3. Du ska öppet redovisa metoder och resultat.
4. Du ska öppet redovisa kommersiella intressen och andra bindningar.
5. Du ska inte stjäla forskningsresultat från andra.
6. Du ska hålla god ordning i din forskning, bland annat genom dokumentation och arkivering.
7. Du ska sträva efter att bedriva din forskning utan att skada människor, djur eller miljö.
8. Du ska vara rättvis i din bedömning av andras forskning.” (Vetenskapsrådet 2017 s.8).
I denna studie så har dessa åtta regler legat till grund för hur arbetet har genomförts. Allt som står i studien är sant och tillvägagångssättet och resultatet har öppet redovisats.
6. Resultat
Den första tabellen redovisar resultatet av antalet uppgifter i böckerna som placerades i de tre olika kategorierna. Uppgifterna från de tre olika kategorierna slogs även ihop för att kunna få fram antalet uppgifter som gav eleverna möjlighet att utveckla sin problemlösnings- förmåga.
Tabell 1 Antal uppgifter i respektive kategori
Bok Totala
antalet uppgifter
Antal LÖS-uppgifter
Antal FORM- uppgifter
Antal VÄRD- uppgifter
Antal uppgifter som utvecklar
problemlösningsförmågan Koll på
Matematik 2 189 15 13 13 41
Favorit
matematik 2 457 33 7 16 56
Mondo
matematik 1 332 20 5 30 55
Den andra tabellen redovisar andelen av respektive kategori av det totala antalet uppgifter.
Även den totala andelen uppgifter där eleverna får möjlighet att utveckla sin problemlösnings- förmåga redovisas.
Tabell 2 Andelen av respektive kategori
Bok Totala
antalet Andelen LÖS-uppgifter
Andelen FORM- uppgifter
Andelen VÄRD- uppgifter
Andelen uppgifter som utvecklar
problemlösningsförmågan Koll på
matematik 2 189 0,7% 0,6 % 0,6 % 1,9%
Favorit
matematik 2 457 1,3% 0,3% 0,7% 2,3%
Mondo
matematik 1 332 1,5% 0,4% 2,3% 4,1%
I denna tredje tabell redovisas LÖS-kategorins två underkategorier. Både andelen och antalet lokala och globala LÖS-uppgifter redovisas.
Tabell 3 LÖS-kategorin
Bok Totala
antalet LÖS-uppgifter
Antal lokala LÖS-uppgifter
Andel lokala LÖS-uppgifter
Antal globala LÖS-uppgifter
Andel globala LÖS-uppgifter Koll på
matematik 15 4 26,7% 11 73,3%
Favorit
matematik 33 21 63,6% 12 36,4%
Mondo
matematik 20 18 90% 2 10%
Uppgifterna under kategorin VÄRD kategoriserades utifrån om det var ett svar eller en metod/strategi som eleverna uppmanades att värdera. Både andelen och antalet redovisas nedan.
Tabell 4 VÄRD-kategorin
Bok Totala
antalet VÄRD- uppgifter
Antal
uppgifter där svaret ska värderas
Andel uppgifter där svaret ska värderas
Antal
uppgifter där metoden ska värderas
Andel uppgifter där metoden ska värderas Koll på
matematik 13 7 53,8% 6 46,2%
Favorit
matematik 16 14 87,5% 2 12,5%
Mondo
matematik 30 19 63,3% 11 36,7%
7. Diskussion:
7.1. Metoddiskussion
Kategorin VÄRD skiljer sig en del från den ursprungliga frasen ”värdera valda strategier och metoder” (Skolverket 2019 s. 55) genom att även uppgifter där eleverna uppmanas att värdera svar har kategoriserats som VÄRD-uppgifter. Detta beror på att uppgifter som uppmanade eleverna att värdera metoder eller strategier var svåra att identifiera. Ingenstans i böckerna stod orden värdera metoden/strategin utskrivna. I analysen av läroböckerna fick jag därför tänka ett steg längre. Uppgifter som till exempel uppmanade eleverna att motivera sitt svar eller se över rimligheten av sitt svar, leder till att eleverna måste se över sin lösning så att den stämmer. Genom detta menar jag att eleverna på ett sätt värderar den metod/strategi som de valt att lösa uppgiften med. Även Skolverket (2017 s. 29) skriver att värdera metoder och strategier kan i lägre åldrar betyda att eleverna värderar ett svar. Det är inte säkert att alla uppgifter där eleverna uppmanas att värdera ett svar leder till att eleverna också värdera sin metod eller lösningsstrategi. Däremot så ges eleverna möjlighet att göra det.
Eftersom syftet med denna studie är att ta reda på vilka möjligheter eleverna får att utveckla alla delar av problemlösningsförmågan så har sådana uppgifter kategoriserats som VÄRD- uppgifter. Validiteten för denna studie kan ha påverkats av detta. Eftersom det inte är helt säkert att eleverna kommer att värdera metod/strategi när eleverna möter alla uppgifter från VÄRD-kategorin. Ett annat sätt att undersöka värderingsuppgifter hade varit att låta elever arbeta med uppgifter där de uppmanas att värdera ett svar och sedan undersöka om dem genom det även värderar en metod eller strategi. Detta var dock inte relevant att ta med i denna studie men kan mycket väl vara ett syfte för fortsatta studier inom värderingsuppgifter.
För att en uppgift ska kunna kategoriseras som ett matematiskt problem så krävs det att den som löser uppgiften behöver konstruera en för hen ny lösningsmetod (Jäder 2019 s. v och Skolverket 2017 s. 6–7). Problemlösaren får alltså inte i förväg veta hur problemet kan lösas (Jäder 2019 s. v och Taflin 2007 s.19). Om det tillsmans med uppgiften finns en informations- ruta som visar hur uppgiften kan lösas så kan uppgiften alltså inte kategoriseras som ett matematiskt problem. Detta gäller även om eleven precis löst en liknande uppgift som kan lösas på ett liknande sätt. För att kunna identifiera vilka uppgifter som inte hade sådan information valde jag att undersöka avsnittet där uppgiften var placerad. Hadar (2017 s.155) och Winograds (1992 s.65–66) skriver att läroböcker oftast är ordnade efter ämnesområde och uppgifterna grupperade efter gemensamma begrepp, metoder eller lösningsstrategier.
Detta stämde även in på läroböckerna i denna studie som alla var indelade i olika avsnitt.
Eftersom alla läroböckerna var indelade i avsnitt var detta även ett smidigt sätt att kunna göra dessa undersökningar på samma sätt i alla böcker. Avsnitten i de olika böckerna var dock olika långa. Avsnitten i Favorit matematik var cirka fyra sidor, avsnitten i Koll på matematik var cirka fem sidor medan avsnitten i Mondo matematik var cirka tio sidor. Avsnittens längd kan ha påverkat resultatet för LÖS-kategorin. Även om inte det totala antalet LÖS-uppgifterna verkar ha påverkats så kan man i tabellen över LÖS-kategorin se att Mondo matematik har 90% lokala och 10% globala LÖS-uppgifter. Detta kan bero på att Mondo matematik innehöll längre avsnitt och att avsnitten därför innehöll flera uppgifter som kunde lösas på liknande sätt.
7.2. Resultatdiskussion
Låg andel matematiska problem
Både Brehmer, Ryve, van Steenbrugge (2016 s.586) och Jäder (2019 s. vi) har studerat läroböcker i matematik för gymnasieelever. I Brehmer, Ryve och van Steenbrugges (2016 s.586) studie kom de fram till att endast 5,45% av uppgifterna i läroböckerna kunde kategoriseras som matematiska problem. I Jäders (2019 s. vi) studie som analyserade läroböcker från olika länder var det 10% som kunde kategoriseras som matematiska problem.
Även i denna studie så blev andelen matematiska problem låg hos alla de tre läroböckerna som analyserades. Andelen LÖS-uppgifter i de tre läroböckerna motsvarar 0,7%, 1,3% och 1,5% av det totala antalet uppgifter. Detta ger ett snitt på cirka 1,2% av böckerna som är matematiska problem. Andelen problemlösningsuppgifter i de tre läroböckerna motsvarar 1,9%, 2,3% och 4,1%. Eftersom andelen problemlösningsuppgifter var låg i alla tre böcker som analyserades i studien är det troligt att de flesta läroböckerna som riktar sig till årskurs tre skulle få ett liknande resultat. Detta trots att många forskare visar på fördelar för elever som får arbeta med problemlösning (Taflin 2007 s.55, Lester och Lambdin 2007 s. 98 och Sidenvall 2019 s. v). Denna studiens resultat visar en något lägre andel jämfört med den tidigare forskningen. Det som skiljer denna studie från Jäder (2019 s.vi) och Brehmer, Ryve och van Steenbrugges (2016 s.586) undersökningar är att de har undersökt läroböcker på gymnasie- nivå och denna studie för årskurs tre. Detta borde inte påverka eftersom Skolverket (2019 s.55) har skrivit fram problemlösning som en central del av matematikundervisningen i årskurs tre såväl som i gymnasieåldern. Får eleverna i de lägre åldrarna inte arbeta tillräckligt med problemlösning riskerar de att få en dålig grund för fortsatt utveckling.
Förmågan att formulera problem och värdera metoder och strategier
Problemlösningsförmågan består även av förmågan att kunna formulera egna problem och värdera valda strategier och metoder (Skolverket 2019 s.55). Niss och Højgaard (2019 s. 15) beskriver förmågan att kunna formulera egna problem som en viktig del av problemlösnings- förmågan. Enligt Winograd (1992 s.64–65) kan eleverna lära sig nya begrepp och metoder och lösningsstrategier som sedan kan användas för att lösa liknande problem när de formulerar egna problem. I Winograds (1992 s.64) studie fick eleverna skapa sina egna matematiska problem och sedan lösa varandras problem i små grupper. Ett exempel på en sådan uppgift har presenterats i avsnitt 5.4. exempel på analys. Där en FORM-uppgift från en utav läroböckerna redovisats. Enligt eleverna i Winograds (1992 s.65–66) studie var problem som eleverna själva skapat mer intressanta och utmanande att arbeta med än problemen från läroboken, vilket kan bidra till att elevernas motivation och intresse för problemlösning ökar.
Trots att även denna del av problemlösningsförmågan har beskrivits som en viktig del visar resultatet en låg andel. Andelen FORM-uppgifter i de tre analyserade läroböckerna var 0,6%, 0,3% och 0,4% vilket ger ett snitt på cirka 0,4%. Detta gör att FORM-kategorin har den lägsta
andelen uppgifter av de tre kategorierna. Andelen VÄRD-uppgifter var 0,6%, 0,7% och 2,3%
vilket ger ett snitt på cirka 1,2%. Trots att det i läroplanen är beskrivet att det är ”valda strategier och metoder” (Skolverket 2019 s.55) som eleverna ska kunna värdera så är andelen uppgifter som uppmanar eleverna att värdera sitt svar högre i alla de tre analyserade böckerna. Men Skolverket (2017 s. 29) menar att i de tidigare årskurserna kan värdera strategier och metoder även betyda att eleven värderar svaret.
Läroböckers betydelse för matematikundervisning
Skolinspektionens (2009 s.17), Skolverkets (2012 s. 97) och van den Ham och Heinzes (2018 s.
133) undersökningar visar att läroböckerna har en stor och betydande roll för matematik- undervisning. Johansson (2003 s.1) menar också att matematikundervisningen i Sverige domineras av läroböcker. De tre läroböckerna som analyserades i denna studie visade alla liknande resultat. Andelen uppgifter där eleverna fick möjlighet att utveckla sin problemlösningsförmåga var mellan 1,9%–4,1% av det totala antalet uppgifter. Eftersom läroböckerna fick liknande resultat är chansen att de flesta läroböckerna för årskurs tre innehåller en liknande andel problemlösningsuppgifter är stor. Jäder (2019 s. v) och van den Ham och Heinze (2018 s.136) skriver att eleverna påverkas av de uppgifter som de får arbeta med. Eftersom läroböcker spelar en sån stor roll inom matematikundervisningen kan eleverna hindras i sin utveckling av problemlösningsförmågan om de får arbeta med läroböcker som innehåller en låg andel problemlösningsuppgifter. Det är därför viktigt att lärare kan analysera de böcker som de väljer att använda för att se om böckerna behöver kompletteras med andra uppgifter eller övningar.
8. Referenslista
Ahlberg, Ann. 1992. Att möta matematiska problem: en belysning av barns lärande. Diss, Göteborgs universitet. http://hdl.handle.net/2077/13316
Brehmer, Daniel, Ryve, Andreas och Van Steenbrugge, Hendrik. 2016. Problem solving in Swedish mathematics textbooks for upper secondary school. Scandinavian Journal of Educational Research, 60(6): 577-593. https://doi.org/10.1080/00313831.2015.1066427 Bryman, Alan. 2006. Integrating quantitative and qualitative research: how is it done?
Qualitative Research, 6(1): 97-113. https://doi.org/10.1177/1468794106058877
Fejes, Andreas och Thornberg, Robert. 2019. Kvalitativ forskning och kvalitativ analys. I:
Fejes, Andreas och Thornberg, Robert. Handbok i kvalitativ analys. Stockholm: Liber, 16-43.
Hadar, Linor. 2017. Opportunities to learn: Mathematics textbooks and students’
achievements. Studies in Educational Evaluation, 55: 153-166.
https://dx.doi.org/10.1016/j.stueduc.2017.10.002
Johansson, Monica. 2003. Textbooks in mathematics education, a study of textbooks as the potentially implemented curriculum. Lic.- avh., Luleå universitet. http://www.diva-
portal.org/smash/get/diva2:991466/FULLTEXT01.pdf (Hämtad: 2020-12-13).
Jäder, Jonas. 2019. Med uppgift att lära: om matematikuppgifter som en resurs för lärande.
Diss, Högskolan Dalarna. urn:nbn:se:du-31724 (Hämtad 2020-11-16).
Larsen, Ann Kristin. 2018. Metod helt enkelt. 2. uppl. Malmö: Gleerups Utbildning AB.
Lepik, Madis, Grevholm, Barbro och Viholainen, Antti. 2015. Using textbooks in the mathematics classroom — the teachers’ view. Nordic Studies in Mathematics Education, 20(3-4):129-156.
https://www.researchgate.net/publication/287994658_Lepik_Grevholm_Viholainen_2015 (Hämtad: 2021-01-04).
Lester, Frank K. och Lambdin, Diana V. 2007. Undervisa genom problemlösning. Nationellt Centrum för Matematikutbildning: 95–108.
Lithner, Johan. 2008. A research framework for creative and imitative reasoning. Educ Stud Math, 67: 255–276. https://doi-org.www.bibproxy.du.se/10.1007/s10649-007-9104-2 Niss, Mogens A. och Højgaard, Tomas. 2019. Mathematical competencies revisited.
Educational Studies in Mathematics, 102(1): 9-28. https://doi.org/10.1007/s10649-019- 09903-9
Sidenvall, Johan. 2019. Lösa problem, om elevers förutsättningar att lösa problem och hur lärare kan stödja processen. Diss, Umeå universitet. http://umu.diva-
portal.org/smash/get/diva2:1303310/FULLTEXT01.pdf (Hämtad 2020-11-16).
Skolinspektionen. 2009. Undervisningen i matematik –utbildningen innehåll och ändamålsenlighet. (Skolinspektionens kvalitetsgranskning 2009:5). Stockholm:
Skolinspektionen. https://www.skolinspektionen.se/globalassets/02-beslut-rapporter- stat/granskningsrapporter/tkg/2009/undervisning-i-matematik/granskningsrapport- matematik.pdf (Hämtad: 2020-12-11).
Skolverket. 2012. TIMSS 2011: Svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Stockholm: Skolverket.
https://www.skolverket.se/getFile?file=2942 (Hämtad: 2020-12-13).
Skolverket. 2013. PISA 2012 15-åringars kunskaper i matematik, läsförståelse och naturvetenskap - Resultat i koncentrat. Stockholm: Skolverket.
Skolverket. 2017. Kommentarmaterial till kursplanen i matematik: reviderad 2017.
Stockholm: Skolverket. https://www.skolverket.se/publikationer?id=3794 (Hämtad 2020-12- 12).
Skolverket. 2019. Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet: reviderad 2019. Stockholm: Skolverket.
https://www.skolverket.se/publikationsserier/styrdokument/2019/laroplan-for-
grundskolan-forskoleklassen-och-fritidshemmet-reviderad-2019 (Hämtad 2020-12-12).
Stukát, Staffan. 2011. Att skriva examensarbete inom utbildningsvetenskap. 2. uppl. Lund:
Studentlitteratur AB.
Taflin, Eva. 2007. Matematikproblem i skolan- för att skapa tillfällen för lärande. Diss, Umeå universitet. urn:nbn:se:umu:diva-1384 (Hämtad: 2020-12-22).
van den Ham, Ann-Katrin. och Heinze, Aiso. 2018. Does the textbook matter? Longitudinal effects of textbook choice on primary school students’ achievement in mathematics. Studies in Educational Evaluation, 59: 133-140. https://doi.org/10.1016/j.stueduc.2018.07.005 (Hämtad: 2021-01-01).
Widén, Pär. 2019. Kvalitativ textanalys. I: Fejes, Andreas och Thornberg, Robert. Handbok i kvalitativ analys. Stockholm: Liber, 193-210.
Winograd, Ken. 1992. What Fifth Graders Learn When They Write Their Own Math Problems. Educational Leadership, 49(7): 64-67.
