Del II

TENTAMEN I SF1912/SF1914/SF1915/SF1916 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 24:E OKTOBER 2018 KL 8.00–13.00.

Examinator f¨or SF1914/SF1916: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator f¨or SF1915: Bj¨orn-Olof Skytt, 08-790 86 49.

Examinator f¨or SF1912: Per-J¨orgen S¨ave-S¨oderbergh, 08-790 65 85.

Till˚atna hj¨alpmedel : Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik (utdelas vid tentamen), minir¨aknare.

Tentamen best˚ar av tv˚a delar, ben¨amnda del I och del II. Del I best˚ar av uppgifterna 1-12. P˚a denna del skall endast svar anges, antingen i form av ett numeriskt v¨arde med tre v¨ardesiffrors noggrannhet eller i form av val av ett av de m¨ojliga svarsalternativen. Studenter som ¨ar godk¨anda p˚a kontrollskrivningen beh¨over ej besvara uppgift 1-3, utan f˚ar tillgodor¨akna sig dessa tre upp- gifter. Gr¨ansen f¨or godk¨ant ¨ar prelimin¨art 9 po¨ang. M¨ojlighet att komplettera ges f¨or tentander med, prelimin¨art, 8 po¨ang. Tid och plats f¨or komplettering kommer att anges p˚a kursens hemsida.

Del II best˚ar av uppgifterna 13-16 och varje korrekt l¨osning ger 10 po¨ang. Del II r¨attas bara f¨or studenter som ¨ar godk¨anda p˚a del I och po¨ang p˚a del II kr¨avs f¨or h¨ogre betyg ¨an E. P˚a denna del skall resonemang och utr¨akningar skall vara s˚a utf¨orliga och v¨al motiverade att de ¨ar l¨atta att f¨olja. Inf¨orda beteckningar skall f¨orklaras och definieras och numeriska svar skall anges med minst tv˚a v¨ardesiffrors noggrannhet. Studenter som ¨ar godk¨anda p˚a datorlaborationen f˚ar 4 bonuspo¨ang p˚a del II p˚a ordinarie tentamenstillf¨allet och det f¨orsta omtentamenstillf¨allet.

Tentamen kommer att vara r¨attad inom tre arbetsveckor fr˚an skrivningstillf¨allet och kommer att finnas tillg¨anglig p˚a studentexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillf¨allet.

Del I

Uppgift 1

F¨or h¨andelserna A och B g¨aller att P (A) = 1/4, P (B|A) = 1/3 och P (B|A^∗) = 1/2. Ber¨akna P (A|B).

Svar:...

Uppgift 2 En stokastisk variabel X har f¨ordelningsfunktionen

FX(x) =







0, x < 0 x³, 0 ≤ x ≤ 1 1, x > 1 Best¨am E(X).

Svar:...

2

Uppgift 3

Ange f¨ordelningen f¨or Z = 4X − 5Y d˚a X ∈ N (1, 2) och Y ∈ N (1, 3) och ¨ar X och Y oberoende.

Svar:...

Uppgift 4

Antalet samtal till ett f¨oretags callcenter under en tiominuters period antas vara Poissonf¨ordelad med v¨antev¨arde 1.2. Vad ¨ar sannolikheten att det kommer fler ¨an 1 men f¨arre ¨an 4 samtal under perioden 9.30 − 9.40?

A: 0.0867 B: 0.113 C: 0.304 D: 0.330 Svar:...

Uppgift 5

Ber¨akna P (X ≥ 2) d˚a den stokastiska variabeln X ¨ar exponentialf¨ordelad med E(X) = 3.

A: 0.00248 B: 0.513 C: 0.997 D: 0.487 Svar:...

Uppgift 6 Best¨am c s˚a att P (X > c) = 0.05 d˚a X ∈ N (3, 2).

A: 0.290 B: 1.64 C: 5.33 D: 6.29 Svar:...

Uppgift 7

En v¨algjord sexsidig t¨arning kastas fyra g˚anger. Vad ¨ar sannolikhet att exakt tre av kasten ¨ar en sexa?

Svar:...

Uppgift 8

L˚at x = 38 vara ett utfall av en stokastisk variabel X ∈ Bin(600, p) d¨ar p ¨ar ok¨and. Best¨am medelfelet f¨or skattningen p^∗ = X/n.

A: 9.89 · 10⁻⁵ B: 0.00994 C: 0.0593 D: 5.97 Svar:...

Uppgift 9

Man har tv˚a oberoende observationer x₁ = 3 och x₂ = 5 av en stokastisk variabel med t¨athetsfunktionen f_X(x) = x

ae^−(x/a)2/2, x > 0, a > 0.

Best¨am Maximum-Likelihood skattningen av a.

A: 2.00 B: 4.12 C: 6.00 D: 8.72 Svar:...

Uppgift 10

L˚at 20 personer utf¨ora m¨atningar p˚a en N (µ, σ)-f¨ordelad stokastisk variabel. D¨arefter g¨or de var och en ett 95% konfidensintervall f¨or µ. Vilket ¨ar det troligaste v¨ardet p˚a det antal intervall som kommer att missa µ?

Svar:...

4

Uppgift 11

Givet ¨ar 5 oberoende observationer av en stokastisk variabel X som ¨ar N (µ, σ). Stickprovsme- delv¨ardet ¨ar ¯x = 0.16 och stickprovsstandardavvikelsen ¨ar s = 0.0158. Best¨am ¨ovre gr¨ansen f¨or ett ensidigt upp˚at begr¨ansat 95% konfidensintervall f¨or σ.

A: 0.0375 B: 0.00103 C: 0.0456 D: 0.00948 Svar:...

Uppgift 12

Givet ¨ar 7 oberoende observationer av en stokastisk variabel X som ¨ar N (µ, 0.4). Stickprovsme- delv¨ardet ber¨aknat p˚a 7 observationerna ¨ar ¯x = 0.719. Man testar nollhypotesen H0 : µ = 1 mot H₁ : µ < 1. Best¨am testets p-v¨arde.

A: 0.241 B: 0.100 C: 0.0314 D: 0.969 Svar:...

Del II

Uppgift 13

L˚at x₁ och x₂ vara tv˚a oberoende observationer fr˚an N (µ, σ) samt x₃ en observation, oberoende av de f¨orsta tv˚a, fr˚an N (2µ, σ).

a) Skatta µ med hj¨alp av minsta-kvadratmetoden. Alla tre observationerna m˚aste ut-

nyttjas. (4 p)

b) Avg¨or om skattningen ¨ar v¨antev¨ardesriktig. (3 p)

c) En naturlig v¨antev¨ardesriktig skattning av µ ¨ar att ta medelv¨ardet mellan x₁, x₂ och x₃/2, dvs µ^∗ = x₁

3 +x₂ 3 +x₃

6. Unders¨ok vilken av MK-skattningen och µ^∗ som ¨ar effektivast.

(3 p) Uppgift 14

En forskningsenhet som anv¨ander provresultat fr˚an tv˚a olika laboratorier vill unders¨oka om labora- torierna m¨ater likv¨ardigt. Unders¨okningen gick till s˚a att ett prov s¨andes till de tv˚a laboratorierna som vart och ett fick g¨ora fem oberoende m¨atningar av provet. Man antar att provresultaten mo- delleras som oberoende observationer p˚a normalf¨ordelade stokastiska variabler, alla med samma varians. Resultaten fr˚an m¨atningarna anges i tabellen nedan.

Lab 1: 41.33 41.35 41.24 41.24 41.32 Lab 2: 41.24 41.27 41.28 41.27 41.30

Testa p˚a signifikansniv˚an 1% om de tv˚a laboratorierna m¨ater likv¨ardigt. Ange tydligt vilka de uppst¨allda hypoteserna ¨ar och vad slutsatsen ¨ar. (10 p)

Uppgift 15

Vid senaste Folk- och Bostadsr¨akningen, som gjordes f¨or c:a 10-15 ˚ar sedan, har en miljonpopula- tion av individer klassificerats i fyra klasser A, B, C, D, vars relativa storlekar var 20%, 30%, 10%, 40% respektive. I ˚ar klassificerades ett slumpm¨assigt urval om 100 individer p˚a samma s¨att. Av dessa tillh¨orde 13, 37, 17, 33 i n¨amnd ordning ovanst˚aende klasser.

Unders¨ok om proportionerna av klasserna i populationen har f¨or¨andrats eller inte sedan den se- naste Folk- och Bostadsr¨akningen. Anv¨and signifikansniv˚an 5%. Ange tydligt vilka de uppst¨allda

hypoteserna ¨ar och vad slutsatsen ¨ar. (10 p)

Uppgift 16

L˚at oss anta att det i branschen f¨or p¨alsschampoo f¨or hundar finns tv˚a dominerande tillverkare, A och B, som tillsammans har drygt 50% av marknaden.

Tillverkare A g¨or en marknadsunders¨okning i vilken 1000 hund¨agare tillfr˚agas, och 184 av dessa s¨ager sig f¨oredra schampoo som A s¨aljer. Tillverkare B, som ¨ar den st¨orsta p˚a marknaden och vill trycka ner konkurrensen, g¨or d˚a en egen unders¨okning i vilken 196 av 500 tillfr˚agade hund¨agare

s¨ager sig f¨oredra schampoot fr˚an B. Detta tar tillverkare B som int¨akt f¨or att i en stor kampanj p˚ast˚a att ”V˚art schampoo ¨ar mer ¨an dubbelt s˚a popul¨art som n˚agon annan tillverkares schampoo”.

Vi skall unders¨oka, ur statistisk synvinkel, om detta h˚aller.

(a) Definiera storheten, eller parametern,

∆ = andelen hund¨agare som f¨oredrar p¨alsschampoo fr˚an B

− 2 × andelen hund¨agare som f¨oredrar p¨alsschampoo fr˚an A.

Anv¨and tillverkare A:s unders¨okning f¨or att skatta andelen andelen hund¨agare som f¨oredrar p¨alsschampoo fr˚an A, och tillverkare B:s unders¨okning f¨or att skatta andelen andelen hund¨agare som f¨oredrar p¨alsschampoo fr˚an B, f¨or att konstruera en skattning ∆^∗ av ∆. R¨akna ocks˚a ut denna skattnings v¨arde f¨or de aktuella data. Det vill s¨aga, i bokens terminologi, ange b˚ade stickprovsva-

riabel och skattning. (2 p)

(b) Ber¨akna variansen av ∆^∗ uttryckt i l¨ampliga parametrar. (3 p)

(c) Ange medelfelet f¨or ∆^∗ f¨or de aktuella data. (2 p)

(d) Finns det fog f¨or B:s p˚ast˚aende i kampanjen (j¨amf¨or A och B)? Svara p˚a fr˚agan med hj¨alp av ett l¨ampligt konfidensintervall eller test och v¨alj signifikansniv˚a sj¨alv. (3 p)

Lycka till!

Avd. Matematisk statistik

L ¨OSNINGSF ¨ORSLAG TENTAMEN I SF1912/SF1914/SF1915/SF1916 SANNOLIKHETSTEO- RI OCH STATISTIK,

ONSDAGEN DEN 24:E OKTOBER 2018 KL 8.00–13.00.

Del I Uppgift 1

Eftersom A och A^∗ utg¨or en partition av Ω kan vi anv¨anda lagen om total sannolikhet p˚a B P (B) = P (A) P (B | A) + P (A^∗) P (B | A^∗) = 1

4 × 1 3+ 3

4× 1 2 = 11

24 Enligt definitionen av betingad sannolikhet har vi

P (A | B) = P (A ∩ B)

P (B) = P (A) P (B | A)

P (B) =

1 4 × ¹₃

11 24

= 2

11 = 0.182 Uppgift 2

Vi b¨orjar med att ta fram X t¨athetsfunktion fX(x) = dF_X(x)

dx = 3x², 0 ≤ x ≤ 1 0, f¨or ¨ovrigt.

V¨antev¨ardet ges d¨arf¨or som E (X) =

Z ∞

−∞

x · f_X(x) dx = Z 1

0

x · 3x²dx = 3 x⁴ 4



= 3

4 = 0.75 Uppgift 3

Enligt sats 6.3 ¨ar 4X ∈ N (4 × 1, |4| × 2), d.v.s. 4X ∈ N (4, 8). P˚a samma s¨att ¨ar 5Y ∈ N (5, 15).

Enligt sats 6.4 om differenser mellan normalf¨ordelade stokastiska variabler ¨ar 4X−5Y ∈ N 4 − 5,√

8²+ 15²
.

D˚a √

8²+ 15² =√

289 = 17, har vi att 4X − 5Y ∈ N (−1, 17) Uppgift 4

Vi anv¨ander tabell 5 i nedanst˚aende ber¨akning, d˚a X ∈ Po (1.2).

P (1 < X < 4) = P (1 < X ≤ 3) = FX(3) − FX(1) = 0.96623 − 0.66263 = 0.304

Uppgift 5

Vi ber¨aknar sannolikheter f¨or kontinuerliga stokastiska variabler som areor under t¨athetsfunktionen.

I detta fall

P (X ≥ 2) = Z ∞

2

f_X(x) dx = Z ∞

2

1

3e^−x/3dx =−e^−x/3^∞

2 = e^−2/3 = 0.513 Uppgift 6

Villkoret kan skrivas som

P (X ≤ c) = 0.95.

Eftersom X ∈ N (3, 2) finner vi

P (X ≤ c) = P X − 3

2 ≤ c − 3 2



= Φ c − 3 2



= 0.95 vilket inneb¨ar att

c − 3

2 ) = 1.6649 ⇔ c = 3 + 2 × 1.6449 = 6.290 Uppgift 7

L˚at A =sexa. D˚a ¨ar P (A) = ¹₆ och om X =antal sexor under de fyra kasten, s˚a vet vi att X ∈ Bin 4,¹₆
. D˚a har vi att

P (X = 3) =4 3

  1 6

3

 5 6

1

= 4 × 5

6⁴ = 20

1296 = 0.0154 Uppgift 8

d (p^∗) =

rp^∗(1 − p^∗)

n =

s

x

n 1 −^x_n

n =

s

38

600 1 −₆₀₀³⁸

600 = 0.00994

3

Uppgift 9 Likelihooden ¨ar

L (a) = x₁ a

x₂ a exp



−1 2

x₁ a

2

+x₂ a

2 Loglikelihooden

ln L (a) = ln x₁+ ln x₂− 2 ln a − 1

2a² x²₁+ x²₂
S¨att derivatan av loglikelihooden till noll och l¨os f¨or a:

d ln L (a)

da = 0 ⇔ −2

a +x²₁+ x²₂

a³ = 0 ⇔ a =

rx²₁+ x²₂ 2 D˚a x₁ = 3 och x₂ = 4 ¨ar ML-skattningen av a

a =

r9 + 25

2 =√

17 = 4.12 Uppgift 10

L˚at A =konfidensintervallet inneh˚aller inte det sanna parameterv¨ardet. D˚a ¨ar P (A) = 0.05 och om X =antal konfidensintervall som missar, s˚a vet vi att X ∈ Bin (20, 0.05). Om vi studerar tabellen ser vi att sannolikheten f¨or X = 1 ¨ar st¨orst. Allts˚a ¨ar det mest troligt att ett konfidensintervall missar den sanna parametern.

Uppgift 11

Ett ensidigt upp˚at begr¨ansat konfidensinterval f¨or σ ges av (0, ks), d¨ar k = 1/

qχ²_1−α(n−1)

n−1 . Vi har n − 1 = 4 frihetsgrader. F¨or 95% ¨ar χ²_0.95(4) = 0.71. D¨armed blir den ¨ovre gr¨ansen

ks = 1

qχ²_1−α(n−1) n−1

× s = 1 q0.71

4

× 0.0158 = 0.0375

Uppgift 12 Vi vet att X ∼ N

 1,^0.4√₇



, d˚a H0 antas vara sann. Dessutom att x = 0.719.

Definitionen av p-v¨arde ¨ar

p − v¨ardet = P (att f˚a det observerade eller n˚agot extremare | H₀ sann)

Vi f¨orkastar H0 till f¨orm˚an f¨or H1 f¨or avvikande l˚aga v¨arden p˚a X. Det mera extrema som det talas om i definitionen av p-v¨ardet ¨ar allts˚a ¨annu mindre v¨arden av X.

Under f¨oruts¨attning att H₀ ¨ar sann, d v s µ = 1, ber¨aknar vi f¨oljande P X ≤ 0.719

= P X − 1

√0.4 7

≤ 0.719 − 1

√0.4 7

!

= Φ 0.719 − 1

0.4√ 7

!

= Φ (−1.86)

= 1 − Φ (1.86)

= 1 − 0.9686

= 0.0314

Del I

1. 0.182 2. 0.750 3. N (−1, 17) 4. C

5. B 6. D 7. 0.0154 8. B 9. B 10. 1 11. A 12. C

Del II

Uppgift 13

Data x₁, x₂, x₃ ¨ar observationer fr˚an X₁, X₂, X₃, d¨ar X_i:na ¨ar oberoende samt X₁ och X₂ ¨ar N (µ, σ), X₃ ∈ N (2µ, σ).

a)

Q(µ) = (x₁− µ)²+ (x₂− µ)²+ (x₃− 2µ)². Minimera Q genom att s¨atta derivatan av Q med avseende p˚a µ till noll.

dQ

dµ = −2(x₁− µ) − 2(x₂− µ) − 4(x₃− 2µ) = 0, vilket ger

µ^∗_{M K} = x1+ x2+ 2x3

6 .

b)

E(µ^∗_{M K}) = E X₁+ X₂+ 2X₃ 6



= 1

6(E(X1) + E(X2) + 2E(X3)) = 1

6(µ + µ + 2 · 2µ) = µ, dvs MK-skattningen ¨ar v¨antev¨arderiktig.

5

c)

V (µ^∗_{M K}) = V 1

6X₁+ 1

6X₂+ 1 3X₃



= 1

6²V (X₁) + 1

6²V (X₂) + 1

3²V (X₃)

= 1

36σ²+ 1

36σ²+ 1

9σ² = σ² 6 . V (µ^∗) = V 1

3X₁+ 1

3X₂+1 6X₃



= 1

9σ²+ 1

9σ²+ 1

36σ² = σ² 4 > σ²

6 , dvs MK-skattningen har minst varians (¨ar effektivast).

Uppgift 14

Modell: Resultaten fr˚an lab 1, x₁, . . . , x₅ observationer av X ∈ N (µ₁, σ). Resultaten fr˚an lab 2, y₁, . . . , y₅ observationer av X ∈ N (µ₂, σ). Med hj¨alp av r¨aknare f˚as

x = 41.296 s_x = 0.0522 samt

y = 41.272 s_y = 0.0217

Eftersom de tv˚a σ-skattningarna ¨ar n˚agorlunda lika (b¨or egentligen testas med ett test som inte ing˚ar i kursen) anser vi att antagandet om lika σ i modellen ¨ar uppfyllt och vi g¨or d¨arf¨or en gemensam skattning av σ.

σ^∗ = s_p =

s(5 − 1) s²_x+ (5 − 1) s²_y

(5 − 1) + (5 − 1) = 0.0400 L¨ampliga hypoteser: H₀ : µ₁ = µ₂, dvs ingen skillnad i f¨orv¨antat labbresultat H₁ : µ₁ 6= µ₂, dvs skillnad i f¨orv¨antat labbresultat

G¨or ett tv˚asidigt 99% f¨or µ₁− µ₂:

Iµ1−µ2 = x − y ± t0.005(8) sp

r1 5 +1

5

!

= 41.296 − 41.270 ± 3.36 · 0.0400 r1

5+ 1 5

!

= (−0.06, 0.11)

Eftersom intervallet t¨acker ¨over 0, kan H₀ ej f¨orkastas p˚a niv˚an 0.01. Dessa data har allts˚a inte visat att det finns n˚agon skillnad i f¨orv¨antat labbresultat mellan labben. Det finns allts˚a ingen omedelbar anledning till oro.

Uppgift 15 Bilda χ²-teststorheten

Q = (13 − 20)²/20 + (37 − 30)²/30 + (17 − 10)²/10 + (33 − 40)²/40 = 490/48 = 10.2.

Om hypotesen H₀ “relativa storlekarna ¨ar of¨or¨andrade” ¨ar sann s˚a ¨ar 10.2 observation av (ap- proximativt) χ²(3). Hypotesen f¨orkastas f¨or stora v¨arden p˚a Q.

Ur tabell erh˚alls χ²_0.05(3) = 7.81 < 10.2. H¨arav f¨oljer p˚a de angivna signifikansniv˚aerna att H0 kan f¨orkastas p˚a niv˚an 5%.

Uppgift 16

(a) L˚at p_Aoch p_Bbeteckna andelen hund¨agare som f¨oredrar schampoo fr˚an tillverkare A respektive B, l˚at n₁ och n₂ beteckna antalet tillfr˚agade i de b˚ada unders¨okningarna (vi har n₁ = 1000 och n₂ = 500) och l˚at x_A och x_B beteckna antalet tillfr˚agade som i unders¨okning 1 f¨oredrog A respektive i unders¨okning 2 f¨oredrog B (vi har x_A= 184 och x_B = 196).

Vi kan skatta pA och pB med p^∗_A = XA/n1 respektive p^∗_B = XB/n2, d¨ar XA och XB ¨ar de stokastiska variabler som x_A respektive x_B ¨ar observationer av. Som skattning av ∆ kan vi sedan ta ∆^∗ = p^∗_B− 2p^∗_A. Med de aktuella data f˚ar vi skattningenn196/500 − 2 × 184/1000 = 0.024.

(b) Det ¨ar rimligt att anta att de olika hund¨agare som ingick i undes¨okningarna har ˚asikter som

¨ar oberoende av varandra. Vi f˚ar d˚a X_A∈ Bin(n₁, p_A) och X_B ∈ Bin(n₂, p_B). Eftersom resultaten kommer fr˚an olika unders¨okningar ¨ar X_Aoch X_B oberoende (det hade inte varit fallet om de kom fr˚an en och samma unders¨okning), och d¨arf¨or g¨aller

V (∆^∗) = V (X_B/n₂− 2X_A/n₁) = V (X_B)

n²₂ + (−2)²V (X_A)

n²_A = p_B(1 − p_B)

n₂ + 4p_A(1 − p_A) n₁ . (c) Vi kan f˚a en skattning av variansen f¨or ∆^∗ genom att ers¨atta p_A och p_B i ovanst˚aende uttryck med motsvarande skattningar 196/500 = 0.392 och 184/1000 = 0.184. Detta ger variansskatt- ningen 0.00108. Roten ur detta, 0.0328, ¨ar en skattning av standardavvikelsen f¨or ∆^∗, dvs det ¨ar medelfelet f¨or denna skattning.

(d) L˚at d(∆^∗) beteckna medelfelet f¨or skattningen ∆^∗. Under v˚ara f¨oruts¨attningar p˚a n₁, n₂, p_A och p_B g¨aller att f¨ordelningarna f¨or b˚ade X_A och X_B kan approximeras med normalf¨ordelningar.

Eftersom ∆^∗ ¨ar en linj¨arkombination av dessa tv˚a oberoende variabler kan ¨aven ∆^∗ anses vara approximativt normalf¨ordelad. Denna variabel har v¨antev¨arde ∆ = p_B− 2p_A, ty E(p^∗_A) = p_A och E(p^∗_B) = p_B (b˚ada skattningarna ¨ar v¨antev¨ardesriktiga). D¨arf¨or g¨aller att (∆^∗− ∆)/d(∆^∗) ungef¨ar

¨ar f¨ordelad som en N (0, 1)-variabel.

P˚ast˚aendet i kampanjen ¨ar p_B > 2p_A, dvs ∆ > 0. Vi kontrollerar om det ¨ar rimligt att p˚ast˚a detta genom att testa H₀ : ∆ = 0 mot H₁ : ∆ > 0. Om H₀ ¨ar sann g¨aller s˚aledes att (∆^∗− 0)/d(∆^∗) = 0.024/0.0328 = 0.73 ¨ar en observation fr˚an N (0, 1). Vi skall f¨orkasta H0 till f¨orm˚an f¨or H1 om detta v¨arde ligger l˚angt ut i h¨ogra svansen p˚a f¨ordelningen N (0, 1), mer precist om det ¨ar st¨orre

¨an t ex 5%-kvantilen λ_0.05 = 1.64. Detta ¨ar inte fallet, s˚a det finns inget statistiskt underlag f¨or vad som h¨avdas i kampanjen.

Alternativt kan vi g¨ora ett ned˚at begr¨ansat approximativt 95%-igt konfidensintervall f¨or ∆: [∆^∗− λ_0.05d(∆^∗), ∞) = [−0.030, ∞). Intervallet inneh˚aller talet 0, och d¨arf¨or kan inte H₀ f¨orkastas mot H₁.