(b) Anv¨and (a) f¨or att rekonstruera ekvationen y00+ y = 0 fr˚an varje ovan givet par av linj¨art oberoende l¨osningar

UPPSALA UNIVERSITET Att r¨akna till lektion 3 MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ordin¨ara differentialekvationer

Civilingenj¨orsutbildning

15.10 Det ¨ar klart att sin x , cos x och sin x , sin x − cos x ¨ar tv˚a olika par av linj¨art oberoende l¨osningar till y⁰⁰+ y = 0 . Att y₁ och y₂ ¨ar linj¨art oberoende l¨osningar f¨or homogen ekvation y⁰⁰+ P (x)y⁰+ Q(x)y = 0 , medf¨or inte att y₁ och y₂ ¨ar entydigt best¨amda genom ekvationen.

(a) Visa att P (x) = −y₁y⁰⁰₂ − y2y₁⁰⁰

W(y₁, y₂) och Q(x) = y₁⁰y₂⁰⁰− y₂⁰y⁰⁰₁

W(y₁, y₂) , dvs. att ekvationen ¨ar entydigt best¨amd genom ett givet par av linj¨art oberoende l¨osningar.

(b) Anv¨and (a) f¨or att rekonstruera ekvationen y⁰⁰+ y = 0 fr˚an varje ovan givet par av linj¨art oberoende l¨osningar.

(c) Rekonstruera ekvation fr˚an Problem 4 ( y⁰⁰− 4y⁰+ 4y = 0 ) utg˚aende fr˚an ett par linj¨art oberoende l¨osningar e^2x och xe^2x.

16.2 Anv¨and Liouvills metod med variabla koefficienter f¨or att hitta andra linj¨art oberoende l¨osning y₂ om du k¨anner en l¨osning y₁ till ekvationen:

(a) y⁰⁰+ y = 0 och y₁ = sin x , (b) y⁰⁰− y = 0 och y1 = e^x.

16.6 Ekvationen x²y⁰⁰+ xy⁰+ (x² − ¹₄)y = 0 ¨ar ett speciall fall av Bassel’s ekvation x²y⁰⁰+ xy⁰+ (x²− p²)y = 0 som svarar mot p = ¹₂ . Verifiera att y₁ = x⁻¹²sin x

¨ar en l¨osning i ett intervall som inneh˚aller bara positiva v¨arden f¨or x , och best¨am allm¨ann l¨osning till ekvationen.

17.5 Ekvationen x²y⁰⁰+ pxy⁰+ qy = 0 , d¨ar p och q ¨ar konstanter, kallas F¨or Eu- lers equidimensionel ekvation. Visa att variabelbyte given genom x = e^z trans- formerar ekvationen till en ekvation med konstanta koefficienter och anv¨and den teknik f¨or att hitta allm¨ann l¨osning till f¨oljande ekvationer:

(a) x²y⁰⁰+ 3xy⁰+ 10y = 0 ; (f) x²y⁰⁰+ 2xy − 6y = 0 ; (b) 2x²y⁰⁰+ 10xy⁰+ 8y = 0 ; (g) x²y⁰⁰+ 2xy⁰+ 3y = 0 ;

(c) x²y⁰⁰+ 2xy⁰− 12y = 0 ; (h) x²y⁰⁰+ xy⁰− 2y = 0 ; (d) 4x²y⁰⁰− 3y = 0 ; (i) x²y⁰⁰+ xy⁰− 16y = 0 .

(e) x²y⁰⁰− 3xy⁰+ 4y = 0 ;

18.3(a) Visa att om y₁(x) och y₂(x) ¨ar l¨osningar till ekvationer

y⁰⁰+ P (x)y⁰+ Q(x)y = R₁(x) resp. y⁰⁰+ P (x)y⁰+ Q(x)y = R₂(x) , d˚a y(x) = y₁(x) + y₂(x) ¨ar l¨osningen till ekvationen

y⁰⁰+ P (x)y⁰+ Q(x)y = R₁(x) + R₂(x) .

Detta ¨ar s.k. superpositions princip. Anv¨and denna princip f¨or att l¨osa ekvationen:

(a) y⁰⁰+ 4y = 4 cos 2x + 6 cos x + 8x² − 4x .

19.6 Best¨am den allm¨anna l¨osningen till f¨oljande ekvationen:

(d) xy⁰⁰− (1 + x)y⁰+ y = x²e^2x.