Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903
23 sep 2017, kl. 9:00-13:00
Examinator: Armin Halilovic
Undervisande lärare: Nils Dalarsson, Jonas Stenholm, Elias Said För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR.
Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad. Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F.
Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).
• Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar.
• Skriv endast på en sida av papperet.
• Skriv namn och personnummer på varje blad.
• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget
• Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar
Uppgift 1. (4p) (Uppgift 1 kan du som är godkänd på KS1 hoppa över.)
Tre punkter är givna: A = (1,2,2), B = (2,3,3) och C = (2,3,5).
a) Bestäm längden av vektorn
→
AB. (1p)
b) Beräkna arean av triangeln ABC. (1p)
c) Bestäm cos α, där α är vinkeln mellan AB→ och
→
AC . (1p)
d) Bestäm triangelns höjd som går från punkten C till sidan AB. (1p)
Uppgift 2. (4p)
Följande ekvationssystem är givet
+
= +
= +
. 1 2
3 2
a ay x
y ax
För vilket värde (vilka värden) på a har systemet
i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning ?
Var god vänd.
Uppgift 3. (4p)
Betrakta två plan som beskrivs av ekvationerna 3
2 + = + y z
x och x−2y+2z=−1.
a) (2p) Bestäm skärningslinjen mellan de två planen.
b) (2p) Bestäm vinkeln α mellan planen. Vinkeln mellan planen skall ligga i intervallet
0≤α ≤π2. ( Svara med hjälp av arccos.)
Uppgift 4. (4p) En triangel har sina hörn i punkterna A = (1, 1, 0), B = (3, 2, 4) och C = (0, 3, −2).
a) (3p) Bestäm ekvationen för det plan som triangeln ligger i.
b) (1p) Beräkna kortaste avståndet från detta plan till origo.
Uppgift 5. (4p)
a) (2p) Lös matrisekvationen AX+BX =C (med avseende på X)
där
−
=
=
=
0 2 2
1 1 , 1
1 1
0 , 0
1 0
1
1 B C
A .
b) (2p) Lös matrisekvationen MY= N (med avseende på Y)
där
=
=
2 , 1
4 2
2
1 N
M .
Tips. Notera att M inte är inverterbar.
Uppgift 6. (2p)
Tre krafter
= 1 2 3 F1
,
= 1 1 1 F2
och
−
−
= 0
2 3 F3
verkar i punkten P = (2, 0, –4). Låt
3 2
1 F F
F
FTOT + +
= :
a) (1p)Bestäm den totala momentvektorn M OP FTOT
×
= med avseende på origo O=(0,0,0).
b) (1p) Bestäm också vridmomentet. (Tips: vridmomentet = | M | ).
Uppgift 7. (2p)
Bevisa att x+y2 = x2 + y2 om och endast om vektorerna x
och y
är vinkelräta mot varandra.
Lycka till.
FACIT
Uppgift 1. (4p) (Uppgift 1 kan du som är godkänd på KS1 hoppa över.)
Tre punkter är givna: A = (1,2,2), B = (2,3,3) och C = (2,3,5).
a) Bestäm längden av vektorn
→
AB. (1p)
b) Beräkna arean av triangeln ABC. (1p)
c) Bestäm cos α, där α är vinkeln mellan AB→ och
→
AC . (1p)
d) Bestäm triangelns höjd som går från punkten C till sidan AB. (1p) Lösning:
a) AB=(1,1,1) ⇒ AB = 12 +12+12 = 3 l.e.
b) AC=(1,1,3)
) 0 2 2 2 (
| 1 3 1 1
1 1 1 2| 1 2
1 i j k
k j i AC
AB
Arean
+
−
=
=
×
=
. . 2 2
0 8 ) 2 ( 2 2
) 1 0 , 2 , 2 2 (
1 2 2 2
e
= a
= +
− +
=
−
= c)
33 5 11 3
3 1 1 3 1 1 3
) 3 , 1 , 1 ( ) 1 , 1 , 1 cos (
2 2
2 = + + =
+ +
= •
= •
AC AB
AC α AB
d)
2
* höjden basen
Arean=
3 2 2
2⋅ =
=
⇒
AB arean h
(Denna uppgift kan lösas på flera olika sätt.) Svar: a) AB = 3 l.e.
b) Arean= 2 a.e. c)
33 cosα = 5
d)
3 2
= 2 h
Rättningsmall:
Felaktiga vektorer AB och AC ger ingen poäng för samtliga delfrågor.
Annars rätt eller fel.
Uppgift 2. (4p)
Följande ekvationssystem är givet
+
= +
= +
. 1 2
3 2
a ay x
y ax
För vilket värde (vilka värden) på a har systemet
i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning ? Lösning:
+
= +
= +
1 2
3 2
a ay x
y
ax
Låt
= a A a
2 2 .
Då är
2 4
det = 2 =a2 − a
A a
.
Om detA≠0 ⇒ a2−4≠0 ⇒a≠±2 har ekvationssystemet exakt en lösning.
Om a=−2, använder vi Gaussmetoden:
lösning saknar
systemet
⇒
⇒ −
−
−
−
2 3 0 0
2 2 1
3 2 2
2 2
Om a=2 har vi
lösningar många
oändligt har
systemet
⇒
⇒
0 3 0 0
2 2 3
3 2 2
2 2
( Om vi betecknar y=t ⇒ x+ t = ⇒ x= −t 2 3 3
2
2 . )
Svar:
i) oändligt många lösningar om a=2 ii) exakt en lösning om a≠±2 iii) ingena=−2 Rättningsmall:
- Rätt beräknad determinant +1p.
- Rätt metod och slutsats för respektive del ger 1p.
Uppgift 3. (4p)
Betrakta två plan som beskrivs av ekvationerna 3
2 + = + y z
x och x−2y+2z=−1.
a) (2p) Bestäm skärningslinjen mellan de två planen.
b) (2p) Bestäm vinkeln α mellan planen. Vinkeln mellan planen skall ligga i intervallet 0≤α ≤π2. ( Svara med hjälp av arccos.)
Lösning:
a)
−
= +
−
= +
⇔ + +
⇔ −
−
= +
−
= + +
4 4
3 2
) 2 1 ( 1 2 2
3 2
z y
z y x E
E z
y x
z y x
Om vi t.ex. väljer y=t har vi från sista ekv. z=−4+4t och därefter från den första ekv.
t t
t z
y
x=3−2 − =3−2 +4−4 =7−6
Skärningslinjen har ekvationen (x,y,z)=(7−6t,t,−4+4t) (Anmärkning. Svaret kan anges på många ekvivalenta sätt.)
Notera att vi söker den vinkel mellan planen som ligger i intervallet
0≤α ≤π2 (därmed är )
(
cos α icke-negativt tal dvs. 0≤cos(α)≤1). Vektorn n1 =(1,2,1)
är normalvektor till första planet. För andra planet väljer vi den vektor bland ±(1,−2,2) som ger ett icke-negativt värde för
2 1
2
) 1
(
cos n n
n n
⋅
α = .
Genom att välja n2 =−(1,−2,2)=(−1,2,−1)
har vi
6 3
1 9
6 2 4 ) 1
( cos
2 1
2
1 − + − =
⋅ =
= n n n n
α och därmed )
6 3 arccos( 1
α = .
Alternativ svar: )
6 3 arccos( −1
−
=π
α .
Svar a) (x,y,z)=(7−6t,t,−4+4t)
b) )
6 3 arccos( 1
α = .
Rättningsmall:
a) Rätt till
−
= +
−
= + +
4 4
3 2
z y
z y
x ger +1p. Allt korrekt=2p.
b) Beräkning av
6 3
1
2 1
2
1⋅ =±
n n
n n
ger +1p. Korrekt svar med korrekt tecken =2p.
Uppgift 4. (4p) En triangel har sina hörn i punkterna A = (1, 1, 0), B = (3, 2, 4) och C = (0, 3, −2).
a) (3p) Bestäm ekvationen för det plan som triangeln ligger i.
b) (1p) Beräkna kortaste avståndet från detta plan till origo.
Lösning:
En normalvektor till planet är n= AB×AC . Eftersom AB=(2,1,4) AC=(−1,2,−2) har vi
) 5 , 0 , 10 ( 5 0 10 2
2 1
4 1
2 =− + + = −
−
−
= i j k
k j i
m
.
Vi väljer n =(−2,0,1) för enkelhetsskull.
Planets ekvation är −2(x−1)+0(y−1)+1(z−0)=0 eller 0
2 2 + + =
− x z .
b) Avståndet d från punkten P=(x1,y1,z1) till planet Ax+By+Cz+D=0 är
|
| 2 2 2
1 1 1
C B A
D Cz By d Ax
+ +
+ +
= + .
I vårt fall P=(0,0,0) och planet ges av −2x+z+2=0. Därför 5
| 2 1
0 4
2 0 1 0 0 0
| 2 =
+ +
+
⋅ +
⋅ +
⋅
= −
d .
Svar: a) −2x+z+2=0 b)
5
= 2 d
Rättningsmall:
a) Rätt uttryck för en normalvektor n= AB×AC
(eller ekvivalent)= 1p Korrekt beräkning av vektorprodukten +1p
Allt korrekt=3p.
-1p om likhetstecken ”=” saknas i planets ekvation (alltså, max 2p i detta fal) b) Rätt eller fel.
Uppgift 5. (4p)
a) (2p) Lös matrisekvationen AX+BX =C (med avseende på X)
där
−
=
=
=
0 2 2
1 1 , 1
1 1
0 , 0
1 0
1
1 B C
A .
b) (2p) Lös matrisekvationen MY= N (med avseende på Y)
där
=
=
2 , 1
4 2
2
1 N
M .
Tips. Notera att M inte är inverterbar.
Lösning: a) AX +BX =C (A+ )B X =C
(A+B)−1(A+B)X =(A+B)−1C
X =(A+B)−1C (symbolisk lösning med matriser) Därmed:
=
−
⋅
−
= −
−
⋅
=
−
⋅
+
=
−
−
0 2 2
1 1 1 1 1
1 2 0
2 2
1 1 1 2
1 1 1 0
2 2
1 1 1 1
1 0 0 1 0
1
1 1 1
X
−
= 1 1 1 2 0 0
b) MY= N Eftersom M inte är inverterbar måste denna matrisekvation lösas elementvis.
Vi sätter
= y
Y x , där x och y är reella tal.
(om ekvationens båda led ska vara definierade och lika måste Y ha typen 2x1)
=
= +
⇔
= +
=
⇔ +
=
⋅
0 0
1 2 2
4 2
1 2 2
1 4
2 2
1 x y
y x
y x y
x
Ena ekvationen faller bort. Det blir en parameterlösning:
Sätt y = t:
=
−
= t y
t x 1 2
Därmed
= − t Y 1 2t
. Svar:
a)
−
= 1 1 1 2 0
X 0 b)
= − t Y 1 2t
Rättningsmall:
a) Korrekt till
−
⋅
= +
=
−
−
0 2 2
1 1 1 2
1 1 ) 1
(
1 1C
B A
X ger +1p
Allt korrekt=2p.
b) Kommer fram till
= +
= +
2 4 2
1 2
y x
y
x ger +1p. Allt korrekt=2p.
Uppgift 6. (2p)
Tre krafter
= 1 2 3 F1
,
= 1 1 1 F2
och
−
−
= 0
2 3 F3
verkar i punkten P = (2, 0, –4). Låt
3 2
1 F F
F
FTOT + +
= :
a) (1p)Bestäm den totala momentvektorn M OP FTOT
×
= med avseende på origo O=(0,0,0).
b) (1p) Bestäm också vridmomentet. (Tips: vridmomentet = | M | ).
Lösning:
=
−
− +
+
= + +
=
2 1 1
0 2 3
1 1 1
1 2 3
3 2
1 F F
F
FTOT
) 4 , 0 , 2 ( ) 0 , 0 , 0 ( ) 4 , 0 , 2
( − − = −
→ = OP
) 2 , 8 , 4 ( 2 8 4 2 1 1
4 0
2 − = − + = −
=
×
= →
→
z y x z y x
TOT e e e
e e e F
OP
M
84 2
) 8 ( 4 ) 2 , 8 , 4
( − = 2 + − 2+ 2 =
→ = M
Svar: a) M→ =(4,−8,2) b) M→ = 84
Rättningsmall: a) och b) rätt eller fel
Uppgift 7. (2p)
Bevisa att x y2 x2 y2 +
=
+ om och endast om vektorerna x
och y
är vinkelräta mot varandra.
Lösning: x y x y x y
⊥
⇔ +
=
+ 2 2 2 ska visas.
Enligt definition av skalärprodukt gäller:u v= u ⋅v ⋅cosθ
(där θ är vinkeln mellan u och v
) Då gäller följaktligen: u u u u cos0 u2
=
⋅
⋅
= för en godtycklig vektor u . i) Anta först att x ⊥y. Då gäller x y=0
.
Därför x y x y x y x x x y y y
+ 2 =( + ) ( + )= +2 + = x +2 y2. Omvänt, om vi antar att x y2 x2 y2
+
=
+
så gäller x x x y y y x x y y
+ 2 + = + , d.v.s. x y x y
=0 eller ⊥ . V.S.V.
Rättningsmall: Bevisar korrekt endera av implikationerna, men ej ekvivalensen +1p.
Allt korrekt=2p.
