Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903
22 sep 2016, kl. 8:15-12:15
Examinator: Armin Halilovic
Undervisande lärare: Erik Melander, Jonas Stenholm, Elias Said För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR.
Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad. Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F.
Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).
• Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar.
• Skriv endast på en sida av papperet.
• Skriv namn och personnummer på varje blad.
• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget
• Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar
Uppgift 1. (4p) (Uppgift 1 kan du som är godkänd på KS1 hoppa över.)
Tre punkter är givna: A = (1,3,5), B = (2,0,4) och C = (–1,–2,–3).
a) Bestäm punkten D så att
→
→ = AB
CD . (1p)
b) Bestäm vektorn
→
→ + ⋅
⋅
= AB AC
vC 4 3
. (1p)
c) Bestäm cos α, där α är vinkeln mellan AB→ och
→
AC . (1p)
d) Är vinkeln α spetsig (< 90°), rät (= 90°) eller trubbig (> 90°)? Motivera! (1p)
Uppgift 2. (4p)
Följande ekvationssystem är givet:
= +
−
=
− +
= +
−
0 3
5 2
10 4 2
az y
z y x
z y x
.
a) För vilket värde på a har systemet oändligt många lösningar. Lös systemet för detta värde
på a. (2p)
b) Lös systemet om a = 1. (2p)
Var god vänd.
Uppgift 3. (4p) Låt uC=( a1, ,1)
, vC =(1,−a,2)
och wC =(1,0,3a)
. Bestäm alla värden på a så att volymen av den parallellepiped som spänns upp av uC
, vC
och wC
är 0.
Uppgift 4. (2p)
Två parallella linjer bestäms av (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = (4, −2,2) + 𝑡𝑡(1, −1,1) respektive (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = (0, −2, −1) + 𝑠𝑠(−1, 1, −1).
Bestäm en ekvation för det plan som de två linjerna ligger i.
Uppgift 5. (2p) Beräkna determinanten �
1 −2 0 3
13 0 5 7
2 6 0 6
1 2 0 3
�.
Uppgift 6. (4p)
a) Lös matrisekvationen AX B=C
där
= −
=
=
5 1 4
3 0 , 3
1 0 0
1 1 0
1 1 1 1 ,
0 1
1 B C
A (3p)
b) Undersök om matrisekvationen AX B=Char några lösningar om
= 1 1
1
A 1 medan
matriserna B och C är samma som ovan. (1p)
Uppgift 7. (4p) På en kropp verkar tre krafter, FC1, FC2 och FC3 : FC1
har storleken x Newton och riktningen (2, 2, 1). FC2
har storleken y Newton och riktningen (3, 0, 4). FC3
har storleken z Newton och riktningen (1,–2,–2). De tre krafternas resultant är FCR
= (33, 0, 19). Sambandet mellan krafterna och resultanten är: FC FC FC FCR
= +
+ 2 3
1 . Bestäm de tre krafternas respektive storlek (x, y och z).
Lycka till.
FACIT
Uppgift 1. (4p) (Uppgift 1 kan du som är godkänd på KS1 hoppa över.)
Tre punkter är givna: A = (1,3,5), B = (2,0,4) och C = (–1,–2,–3).
a) Bestäm punkten D så att
→
→ = AB
CD . (1p)
b) Bestäm vektorn
→
→ + ⋅
⋅
= AB AC
vC 4 3
. (1p)
c) Bestäm cos α, där α är vinkeln mellan AB→ och
→
AC . (1p)
d) Är vinkeln α spetsig (< 90°), rät (= 90°) eller trubbig (> 90°)? Motivera! (1p)
Lösning: a)
→
→
→
→
→
→
→ =OD−OC= AB ⇒ OD=OC+AB
CD
1) 3, (1, (1,3,5)
(2,0,4)− = − −
→ = AB
) 4 , 5 , 0 ( )
4 , 5 , 0 ( 1) 3, (1, 3) 2, 1,
(− − − + − − = − − ⇒ = − −
→ =
D OD
b) AC→ =(−2,−5,−8)
28) 27, 2, ( 8) 5, 2, ( 3 1) 3, (1, 4 3
4⋅ + ⋅ = ⋅ − − + ⋅ − − − = − − −
= AB→ AC→ vC
c) Vinkeln mellan två vektorer (uC,vC
) bestämd med hjälp av skalärprodukt:
| v
|
| u
| v cos Cu C
C C
⋅
= ⋅ α
I vårt fall: =
− +
− +
−
⋅
− +
−
= +
⋅
= → →
→
→
2 2
2 2
2
2 ( 3) ( 1) ( 2) ( 5) ( 8) 1
(-2,-5,-8) (1,-3,-1)
AC AB
AC
cosα ABA A
93 11
21 93
11
(-2,-5,-8) (1,-3,-1)
= ⋅
= A⋅
d) Cos α > 0 (se ovan), eftersom täljaren är positiv och rötterna i nämnaren alltid är positiva.
Men om cos α > 0 måste α vara en spetsig vinkel (<90°). Enhetscirkeln visar detta.
Svar: a) D=(0,−5,−4) b) vC=(−2,−27,−28) c)
93 11
21
⋅ d) spetsig (<90°) Rättningsmall: Rätt eller fel på samtliga deluppgifter.
Uppgift 2. (4p)
Följande ekvationssystem är givet:
= +
−
=
− +
= +
−
0 3
5 2
10 4 2
az y
z y x
z y x
.
a) För vilket värde på a har systemet oändligt många lösningar. Lös systemet för detta värde
på a. (2p)
b) Lös systemet om a = 1. (2p)
Lösning:
a) Ekvationssystemet på matrisform: AX B
z y x
a
=
⇔
=
−
−
−
0 5 10 3
0
2 1 1
4 1 2
) 8 ( 3 3 24 ) 1 2 ( ) 4 4 ( 1 3 1
1 2 2 1
4 )2 3 ( 3
0
2 1 1
4 1 2
det − = − − + + =− + = −
− +
−
−
=
−
−
−
= a a a a
a A
Om a≠8 har ekvationssystemet exakt en lösning. Om a=8:
−
−
⇔
−
−
−
⇔
−
−
−
0 0 10
0 0 0
2 4 0 3
4 1 2 0
0 10
8 3 0
2 4 0 3
4 1 2 0
5 10 8 3 0
2 1 1
4 1 2
Rad 3 gäller alltid.
Rad 2: z t y t y t
3 4 8
2
3 = ⇒ =
⇒
=
Rad 1: x t t x t x t
3 5 2 3
10 4 2 10 3 4
2 −8 + = = − ⇒ = −
Svar: Ekvationssystem har oändligt många lösningar
=
=
−
=
t z
t y
t x
3 83 5 2
b)
−
−
−
⇔
−
−
−
⇔
−
−
−
0 0 10
7 0 0
2 4 0 3
4 1 2 0
0 10
1 3 0
2 4 0 3
4 1 2 0
5 10 1 3 0
2 1 1
4 1 2
Rad 3:−7z=0 ⇔ z=0
Rad 2: 0 0
2
3y= ⇔ y=
Rad 1: 2x=10 ⇔ x=5 Svar: x=5, y=0,z=0. Rättningsmall:
Rätt löst determinant, rätt löst a samt rätt slutsats att för a≠8 ekvationssystemet exakt har en lösning ger 1p. Fel löst ger 0p.
Rätt lösning för a=8 ger 1p.
a) En korrekt variabel x, y eller z ger 1p . Allt korrekt= 2p.
Uppgift 3. (4p) Låt uC=( a1, ,1)
, vC =(1,−a,2)
och wC =(1,0,3a)
. Bestäm alla värden på a så att volymen av den parallellepiped som spänns upp av uC
, vC
och wC
är 0.
Lösning:
Volymen av den parallellepiped som vektorerna spänner upp ges av determinanten med dessa som radvektorer. Vi har alltså att sökt volym V ges av
| 3 6
|
| 3 0 1
2 1
1 1
| a2 a
a a a
V = − = − +
V=0 om a=0 eller a=1/2.
Svar: a=0 eller a=1/2.
Rättningsmall: Korrekt uppställning | 3 0 1
2 1
1 1
|
a a a
V = − ger 1p.
Korrekt beräkning av determinanten= −6a2+3a ger +1p.
Korrekt en lösning ( a=0 eller a=1/2) ger +1p.
Allt korrekt= 4p
Uppgift 4. (2p)
Två parallella linjer bestäms av (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = (4, −2,2) + 𝑡𝑡(1, −1,1) respektive (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = (0, −2, −1) + 𝑠𝑠(−1, 1, −1).
Bestäm en ekvation för det plan som de två linjerna ligger i.
Lösning:
Beteckna A=(4, –2,2) och B=(0,–2,–1) Låt uC= AB=
(–4,0,–3).
Riktningsvektorer (1,–1, 1) och (,–1, 1,–1) är parallella.
Låt vC=
(1,–1, 1).
Planets normal är NC =uC×vC=
(–3, 1,4) Planets ekvation:
0 6 4 3
0 ) 2 ( 4 ) 2 ( 1 ) 4 ( 3
0 ) ( ) ( )
( 1 1 1
= + + +
−
⇒
=
− + + +
−
−
⇒
=
− +
− +
−
z y x
z y
x
z z c y y b x x a
Svar: Planets ekvation: −3x+ y+4z+6=0 Rättningsmall: Korrekt NC =
(–3, 1,4) ger 1p. Allt korrekt =2p.
Uppgift 5. (2p) Beräkna determinanten �
1 −2 0 3
13 0 5 7
2 6 0 6
1 2 0 3
�.
Lösning:
�
1 −2 0 3
13 0 5 7
2 6 0 6
1 2 0 3
� = −5 ⋅ �1 −2 3
2 6 6
1 2 3� = −5 ⋅ 0 = 0
Rättningsmall: Korrekt uttveckling till −5 ⋅ �1 −2 3
2 6 6
1 2 3� ger 1p. Allt korrekt =2p.
Uppgift 6. (4p)
a)Lös matrisekvationen AX B=C
där
= −
=
=
5 1 4
3 0 , 3
1 0 0
1 1 0
1 1 1 1 ,
0 1
1 B C
A (3p)
b) Undersök om matrisekvationen AX B=Char några lösningar om
= 1 1
1 A 1
medan matriserna B och C är samma som ovan. (1p)
Lösning:
a) Matrisekvation: AX B=C ⇔ A−1AXBB−1=A−1CB−1 ⇔ X = A−1CB−1
−
− =
1 0
1
1 1 A
[ ]
−
−
⇒
−
−
⇒
=
1 0 0
1 1 0
0 1 1 1 0 0
0 1 0
0 0 1 1
0 0
1 1 0
1 0 1 1 0 0
0 1 0
0 1 1 1
0 0
0 1 0
0 0 1 1 0 0
1 1 0
1 1 1
| E B
−
−
=
⇒ −
1 0 0
1 1 0
0 1 1 B 1
−
−
= −
−
−
−
−
=
= − −
6 5 4
3 2 1 1
0 0
1 1 0
0 1 1 5 1 4
3 0 3 1 0
1
1 1
1CB A X
b) Matris
= 1 1
1
A 1 saknar invers; därför kan vi inte använda föregående metod. Vi gör
ansats
6 5 4
3 2 1
x x x
x x
x (notera att X måste ha format 2x3):
Först litet förenkling
−1
=
⇔
=C AX CB
B X
A där
−
= −
−
−
= −
−
6 5 4
3 3 3 1 0 0
1 1 0
0 1 1 5 1 4
3 0
1 3 CB
alltså
−
= −
6 5 4
3 3 AX 3
eller
−
= −
6 5 4
3 3 3 1
1 1 1
6 5 4
3 2 1
x x x
x x
x .
Detta ger följande ekvationssystem:
= +
= +
−
= +
−
= +
= +
= +
6 3 5 3 4 3
6 3
6 3
5 2
5 2
4 1
4 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
som saknar lösning
eftersom t.ex. x1 +x2 =3 och x1+x2 =4 kan inte gälla samtidigt.
Svar: a)
−
−
= −
6 5 4
3 2
X 1 b) Ingen lösning
Rättningsmall:
a) Rätt X = A−1CB−1 ger 1p.
Rätt beräkning av båda inversmatriser ger 1p.
Allt rätt =3p.
b) Rätt eller fel.
Uppgift 7. (4p) På en kropp verkar tre krafter, FC1, FC2 och FC3 : FC1
har storleken x Newton och riktningen (2, 2, 1). FC2
har storleken y Newton och riktningen (3, 0, 4). FC3
har storleken z Newton och riktningen (1,–2,–2). De tre krafternas resultant är FCR
= (33, 0, 19). Sambandet mellan krafterna och resultanten är: FC FC FC FCR
= +
+ 2 3
1 . Bestäm de tre krafternas respektive storlek (x, y och z).
Lösning: Krafterna kan skrivas FCi Fi eCi
⋅
= , d.v.s. som kraftens storlek gånger en
enhetsvektor riktad i kraftens riktning (i är 1, 2 eller 3). Först måste alltså riktningsvektorerna normeras:
3) ,1 3 ,2 3 (2 9
1) 2, (2,
1 = =
eC
5) 0,4 5 , (3 25
4) 0, (3,
2 = =
eC
3) ,-2 3 ,-2 3 (1 9 (1,-2,-2)
3 = =
eC
Detta ger att:
3) ,1 3 ,2 3 (2
1= x⋅ FC
5) 0, 4 5 , (3
2 = y⋅ FC
3) ,-2 3 ,-2 3 (1
3 = z⋅ FC
Sambandet mellan krafterna och deras resultant blir då:
19) 0, (33, 3)
,-2 3 ,-2 3 (1 5) 0,4 5, (3 3)
,1 3 ,2 3 (2
3 2
1+F +F =F ⇒ x⋅ +y⋅ +z⋅ =
FC C C CR
Detta är alltså ett ekvationssystem:
=
− +
=
−
= + +
19 0
33
3 2 5 4 3 1
3 2 3 2
3 1 5 3 3 2
z y x
z x
z y x
som har lösningen
=
=
=
15 30 15 z y x
Svar: x = 15 N, y = 30 N och z = 15 N.
Rättningsmall: Korrekt uppställning ) (33,0,19)
3 ,-2 3 ,-2 3 (1 5) 0,4 5, (3 3)
,1 3 ,2 3
(2 + ⋅ + ⋅ =
⋅ y z
x
(eller motsvarande a⋅(2,2,1)+b⋅(3,0,4)+c⋅(1,2,2)=(33,0,19)) ger 1p Korrekt system =+1p.
En korrekt av |FC1|,FC2 |
eller |FC3 |
(dvs korrekt x, y eller z) ger +1p.
Allt korrekt =4p.
