LOGARITMEKVATIONER Vi ska visa först hur man löser två ofta förekommande grundekvationer Typ 1.

LOGARITMEKVATIONER

Vi ska visa först hur man löser två ofta förekommande grundekvationer

Typ 1. log

�𝑓𝑓(𝑥𝑥)� = 𝑛𝑛 och

Typ2. log

�𝑓𝑓(𝑥𝑥)� = log

�𝑔𝑔(𝑥𝑥)�

När vi löser logaritmekvationer måste vi tänka på att argument till logaritmer måste vara positiva.

( i ovanstående ekvationer 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0 och 𝑔𝑔(𝑥𝑥) > 0).

Det är best att börja lösningsprocess med ekvationens definitionsmängd.

Bland våra formella lösningar accepterar vi endast de som ligger i ekvationens definitionsmängd.

==========================================================

Typ1-ekvationer löser vi enligt logaritmens definition

log_𝑎𝑎�𝑓𝑓(𝑥𝑥)� = 𝑛𝑛 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎^𝑛𝑛

==========================================================

Typ2-ekvationer löser vi genom att identifiera argument log_𝑎𝑎�𝑓𝑓(𝑥𝑥)� = log_𝑎𝑎�𝑔𝑔(𝑥𝑥)� ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔(𝑥𝑥)

dessutom måste alla argument vara positiva d v s 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0 och 𝑔𝑔(𝑥𝑥) > 0.

============================================================

Exempel 1. ( Typ1) Lös ekvationen

log5(2𝑥𝑥 − 3) = 2.

Lösning:

Ekvationen är definierad om 2𝑥𝑥 − 3 > 0 d v s om villkor

V1: x > 𝟑𝟑/𝟐𝟐 är uppfylld

1 av 6

Vi har

log₅(2𝑥𝑥 − 3) = 2 ⇒ 2𝑥𝑥 − 3 = 5² ⇒ 2𝑥𝑥 = 28 ⇒ 𝑥𝑥 = 14 Eftersom x=14 satisfierar villkor V1, accepterar vi lösningen.

Svar: = 14.

Exempel 2. (Typ2) Lös ekvationen

log3(𝑥𝑥 − 3) = log3(7 − 𝑥𝑥) Lösning:

Först bestämmer vi ekvationens definitionsmängd:

Ekvationen är definierad om följande två villkor är uppfyllda:

V1: 𝑥𝑥 − 3 > 0 dvs 𝒙𝒙 > 3 och V2: 7 − 𝑥𝑥 > 0 dvs 𝒙𝒙 < 𝟕𝟕

Båda villkor är uppfyllda om 3< x <7 Nu har vi

log3(𝑥𝑥 − 3) = log3(7 − 𝑥𝑥) ( typ 2; vi identifierar argument)

⇒ 𝑥𝑥 − 3 = 7 − 𝑥𝑥 ⇒ 2𝑥𝑥 = 10 ⇒ 𝑥𝑥 = 5

Eftersom 𝑥𝑥 = 5 satisfierar båda villkor, V1 och V2, accepterar vi lösningen.

Svar: x = 5

=====================================================================

Om vi har mer komplicerade ekvationer använder vi logaritmlagar och förenklar ekvationer till Typ1 eller Typ2. Oftast använder vi följande tre lagar:

log𝑎𝑎𝑥𝑥 + log𝑎𝑎𝑦𝑦 = log𝑎𝑎(𝑥𝑥𝑦𝑦) log_𝑎𝑎𝑥𝑥 − log_𝑎𝑎𝑦𝑦 = log_𝑎𝑎(𝑥𝑥/𝑦𝑦) 𝑛𝑛 ∙ log_𝑎𝑎𝑥𝑥 = log_𝑎𝑎(𝑥𝑥^𝑛𝑛)

Vi upprepar att

lg𝑥𝑥 = log10𝑥𝑥 och

ln𝑥𝑥 = log𝑒𝑒𝑥𝑥 där e ≈ 2.7

=====================================================================

2 av 6

Exempel 3. Lös ekvationen

log3(𝑥𝑥 − 2) + log3𝑥𝑥 = 1 Lösning:

Först bestämmer vi ekvationens definitionsmängd:

Villkor V1: 𝑥𝑥 − 2 > 0 dvs 𝒙𝒙 > 𝟐𝟐 Villkor V2: x > 𝟎𝟎

Anmärkning: Varje lösning måste uppfylla båda villkor.

( I vårtexempel, om x>2 är båda villkor uppfyllda.)

Vi löser ekvationen genom att skriva vänsterledet som en logaritm:

log3(𝑥𝑥 − 2) + log3𝑥𝑥 = 1 ⇒ log₃[x(𝑥𝑥 − 2)] = 1 ⇒

x(𝑥𝑥 − 2) = 3¹ ⇒ 𝑥𝑥²− 2𝑥𝑥 − 3 = 0 ⇒ ( 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑔𝑔𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛)

𝑥𝑥1 = 3 𝑎𝑎𝑜𝑜ℎ 𝑥𝑥2 = −1 Endast lösningen 𝑥𝑥1 = 3 uppfyller båda villkor V1 och V2.

Svar : En lösning 𝑥𝑥1 = 3

Exempel 4. Lös ekvationen

lg(𝑥𝑥 + 2) + lg 4 = lg(x + 1) + lg 2 Lösning:

Först bestämmer vi ekvationens definitionsmängd:

V1: 𝑥𝑥 + 2 > 0 dvs 𝑥𝑥 > −2 V2: 𝑥𝑥 + 1 > 0 dvs 𝑥𝑥 > −1

Anmärkning 1. Om 𝑥𝑥 > −1 är båda villkor samtidigt uppfyllda.

3 av 6

Anmärkning 2. Argument i lg 4 och lg 2 , d v s konstanter 4 och 2, är positiva.

Vi skriver varje sida som EN logaritm:

lg(𝑥𝑥 + 2) + lg 4 = lg(x + 1) + lg 2 ⇒

lg[ 4(𝑥𝑥 + 2)] = lg[ 2(x + 1) ] ⇒ ( vi identifierar argument) 4𝑥𝑥 + 8 = 2𝑥𝑥 + 2 ⇒

2𝑥𝑥 = −6 ⇒ 𝑥𝑥 = −3

Eftersom −3 INTE uppfyller krav V1, V2, kan vi INTE acceptera 𝑥𝑥 = −3 som en lösning.

Svar: Ekvationen har INGEN lösning.

Exempel 5. Lös ekvationen

ln(𝑥𝑥 + 2) − 2ln 5 = 3 ln 2 Lösning:

Först bestämmer vi ekvationens definitionsmängd:

V1: 𝑥𝑥 + 2 > 0 dvs 𝒙𝒙 > −2.

Med hjälp av logaritmlagar skriver vi varje sida som EN logaritm:

ln(𝑥𝑥 + 2) − 2ln 5 = 3 ln 2 ⇒ ( vi använder regeln 𝑛𝑛 ∙ ln 𝑥𝑥 = ln 𝑥𝑥^𝑛𝑛 ) ln(𝑥𝑥 + 2) − ln 5² = ln 2³ ⇒ ( vi använder regeln ln 𝑥𝑥 − 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦 = ln^𝑥𝑥_𝑦𝑦 ) ln^(𝑥𝑥+2)₂₅ = ln 8 ⇒ ( vi identifierar argument)

𝑥𝑥+2

25 = 8 ⇒ 𝑥𝑥 + 2 = 200 ⇒ 𝑥𝑥 = 198

Eftersom 𝑥𝑥 = 198 satisfierar villkor V1 är det en lösning.

Svar: x = 198

4 av 6

Uppgift 1. Lös nedanstående ekvationer.

a) log4(𝑥𝑥 − 2) = 2 b) 3log2(𝑥𝑥 + 1) = 2 c) 3lg(2 − 𝑥𝑥) = 6 d) 2 ln(2𝑥𝑥 + 1) = 4 e) lg(𝑥𝑥 + 1) + 2 lg 3 = 1

Lösning c) Definitionsmängd: 2 − 𝑥𝑥 > 0 ⇒ 2 > 𝑥𝑥 ⇒ 𝒙𝒙 < 2

3lg(2 − 𝑥𝑥) = 6 ⇒ lg(2 − 𝑥𝑥) = 2 ⇒ 2 − 𝑥𝑥 = 10² ⇒ 2 − 𝑥𝑥 = 100 ⇒ 𝑥𝑥 = −98 Eftersom vi accepterar lösningen eftersom 𝑥𝑥 = −98 uppfyller kravet 𝒙𝒙 < 2 .

Svar: a) 𝑥𝑥 = 18 b) 𝑥𝑥 = −1 + 2^2/3 c) 𝑥𝑥 = −98 d) = ^{−1+𝑒𝑒}₂ ²

Uppgift 2. Lös nedanstående ekvationer.

Tipps: Glöm inte ekvationens definitionsmängd.

a) log2(𝑥𝑥 − 2) + log2(5) = log2(𝑥𝑥 − 3) + log2(3) b) lg(𝑥𝑥 − 3) + lg(5) = lg(𝑥𝑥 − 4) + lg(6)

c) lg(𝑥𝑥) + lg(𝑥𝑥 − 1) = lg 2

Svar: a) Ingen lösning b) 𝑥𝑥 = 9 c) x =2 ( notera att definitionsmängden är x > 1) Uppgift 3. Lös nedanstående ekvationer med hjälp av lämpliga substitutioner.

a) (lg 𝑥𝑥)²− 5 lg 𝑥𝑥 + 6 = 0 b) (ln 𝑥𝑥)²− 3 ln 𝑥𝑥 + 2 = 0 Lösning a) ekvationen är definierad om 𝒙𝒙 > 0

Substitutionen 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒙𝒙 = 𝒕𝒕 ger

𝑎𝑎² − 5𝑎𝑎 + 6 = 0 och 𝑎𝑎1 = 2, 𝑎𝑎2 = 3.

Från 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒙𝒙 = 𝒕𝒕 får vi

lg 𝑥𝑥 = 2 ⇒ 𝑥𝑥 = 10² ⇒ 𝑥𝑥₁ = 100 lg 𝑥𝑥 = 3 ⇒ 𝑥𝑥 = 10³ ⇒ 𝑥𝑥2 = 1000

5 av 6

Båda lösningar ligger i definitionsmängden.

Svar: a) 𝑥𝑥1 = 10² , 𝑥𝑥2 = 10³ b) 𝑥𝑥₁ = e , 𝑥𝑥₂ = 𝑎𝑎² Uppgift 3. Lös nedanstående ekvationer

a) 𝑥𝑥^{𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥} = 10⁴ b) 𝑥𝑥(−3+𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 ) = 10⁴ Tips. Logaritmera båda leden.

Lösning a)

Definitionsmängd: x>0

𝑥𝑥^{𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥} = 4 ⇒ lg(𝑥𝑥^{𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥} ) = lg 10⁴ ⇒ lg 𝑥𝑥 ∙ lg 𝑥𝑥 = 4 ⇒ (lg 𝑥𝑥)² = 4 ⇒ lg 𝑥𝑥 = ±2 𝑥𝑥₁ = 10² , 𝑥𝑥2 = 10⁻²

Svar: a) 𝑥𝑥1 = 10² , 𝑥𝑥2 = 10⁻², b) 𝑥𝑥1 = 1/10 , 𝑥𝑥2 = 10⁴,

6 av 6