∫ x x2 + 1 dx. (Tips: variabelbyte)

(1)

Sida 1 av 9

Tentamen TEN2, (analysdelen) HF1903, Matematik1

Datum: 15 feb 2021 Skrivtid: 8:00-12:00

Lärare: Jonas Stenholm, Joakim Dahlfors, Armin Halilovic Examinator: Armin Halilovic

Jourhavande lärare: Jonas Stenholm För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .

Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad. Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F.

Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).

• Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar.

• Skriv endast på en sida av papperet.

• Skriv namn och personnummer på varje blad.

• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget

• Student får inte behålla tentamenslydelsen eller skriv- och kladdpapper som använts under tentamen.

=====================================

Uppgift 1. (2p)

a) Bestäm definitionsmängden för funktionen ( ) ln( 2) 5 f x x

x

= −

− b) Beräkna följande gränsvärde

3

lim 1 2

sin(2 6)

x

x x

→

+ −

− . Uppgift 2. (2p)

Beräkna följande integraler:

a)

∫ x x

²

+ 1 dx

. (Tips: variabelbyte)

b)

∫ (3 x + ⋅ 2) e dx

^x⁺¹ (Tips: Partiell integration) Uppgift 3. (3p)

Beräkna dubbelintegral

� 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 då D definieras genom 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2, , 0 ≤ 𝑦𝑦 ≤𝐷𝐷 ^𝜋𝜋₂

Var god vänd.

(2)

Sida 2 av 9 Uppgift 4. (2p)

Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som definieras av 0 x π2

≤ ≤ , 0≤ ≤y 3sin( )x roterar kring y-axeln

Uppgift 5. (4p)

Beräkna följande gränsvärde

2 3

0

cos( ) 1 lim^x 5

x

x x

→

− +

a) (2p) med hjälp av L’ Hospitals regel

b) (2p) med hjälp av Maclaurinutveckling (dvs Taylorutveckling kring 0).

Uppgift 6.(2p) Bestäm alla stationära punkter till funktionen

2 2 2

( , ) ^x ^{x y} f x y =e ^{− +}

och avgör deras karaktär (max, min, sadel) .

Uppgift 7. (3p) a) Bestäm Taylorpolynomet av ordning 2 kring punkten 8 för funktionen = √𝑥𝑥³

b) Beräkna approximativt √9³ med hjälp av Taylorpolynomet i a delen.

c) Uppskatta felet med hjälp av formeln för restterm: R= ⁽ ¹⁾ ( ) ¹ )!

1 (

)

( + +

+ −

n n

a n x

c

f , där c

är ett tal mellan a och x .

Uppgift 8. (4p) Låt f x( ) 2= xe²^x.

a) (2p) Bestäm eventuella stationära punkter och deras karaktär.

b)(1p) Bestäm eventuella asymptoter till f(x). c) (1p) Rita funktionens graf.

Uppgift 9. (2p)

Ett område Ω definieras avy≥0, x≥0 , 0≤x² +y² ≤16 och y≥ (se figuren). x Beräkna områdets yttröghetsmoment kring x-axeln.

Lycka till.

(3)

Sida 3 av 9 FACIT

Uppgift 1. (2p)

a) Bestäm definitionsmängden för funktionen ( ) ln( 2) 5 f x x

x

= −

− b) Beräkna följande gränsvärde

3

lim 1 2

sin(2 6)

x

x x

→

+ −

− . Lösning:

a) Funktionen är definierad om 2 0 5

x x

− >

− . (notera att x ≠ 5) a) Teckentabell för 2

5 x

x

−

− :

x-värden: 2 5

x-2 - 0 + + +

5-x + + + 0 -

2 5 x

x

−

- 0 + ej

def -

Därmed är ( ) ln( 2) 5 f x x

x

= −

− definierad om och endast om x ∈(2,5)

b) 3

lim 1 2

sin(2 6)

x

x x

→

+ −

− = [ typ 0/0, L’ Hospitals regel]

3

1 1

2 1

lim^x 2cos(2x 6) 8 x

→

= + =

−

Svar: a) D=(2,5) b) 1/8

Rättningsmall: 1p vardera för a) och b) Uppgift 2. (2p)

Beräkna följande integraler:

a)

∫ x x

²

+ 1 dx

. (Tips: variabelbyte)

b)

∫ (3 x + ⋅ 2) e dx

^x⁺¹ (Tips: Partiell integration) Lösning:

a)

(4)

Sida 4 av 9

(

2

1 1 2

2

1 variabelbyte :

2

1 , 2 )

x x

+ ⋅

dx

= ⋅ 2

x x

+ ⋅

dx

=

x

+ =

t xdx dt

=

∫ ∫

3 3

1 2 2

1 1 2 1

2 2 2 3 3 3

2

t t t t

t dt t dt C C

⋅

C

= ⋅ ∫ ⋅ = ⋅ ∫ ⋅ = ⋅ + = + = + =

2 2

( 1) 1

3

x + ⋅ x + C

= +

b) Formel för partiell integration:

∫

f x g x dx F x g x

( ) ( ) ⋅ ⋅ = ( ) ( ) ⋅ − ∫

F x g x dx

( ) ⋅ ′ ( ) ⋅

där F(x) är en primitiv funktion till f(x). (detta är bokens version av denna formel)

( )

1 1

(3 x + ⋅ 2) e dx

^x⁺

= integrera e

^x⁺

och derivera 3 x + 2 =

∫

1

(3 2)

1

3

1

(3 2)

1

3

1

(3 1)

x x x x x

e ⁺ x e ⁺ dx e ⁺ x e ⁺ C e ⁺ x C

= ⋅ + − ∫ ⋅ ⋅ = ⋅ + − ⋅ + = ⋅ − +

Svar: a)

2 2

( 1) 1

3

x + ⋅ x + C

+ b) e^x⁺¹

⋅ (3 1)

x

− +

C

Rättningsmall: 1p vardera för a) och b)

Uppgift 3. (3p) Beräkna dubbelintegral

� 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑦𝑦)

𝐷𝐷

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 då D definieras genom 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2, , 0 ≤ 𝑦𝑦 ≤^𝜋𝜋₂ Lösning:

[ ]

2 2 2

/2

0 0 0 0

2 2 2

0 0

cos cos sin

2 2

D

x ydxdy dx x ydy x y dx

xdx x

π

= = π

= =   =

 

∫∫ ∫ ∫ ∫

∫

Rättningsmall: Korrekt till (och med) ²

[ ]

₀^/2

0

sin

x y ^π dx

∫

ger 1p

(5)

Sida 5 av 9 Korrekt till ²

0

∫

xdx^{= 2p} Allt korrekt=3p

Uppgift 4. (2p)

Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som definieras av 0 x π2

≤ ≤ , 0≤ ≤y 3sin( )x roterar kring y-axeln.

Lösning: Vi bestämmer rotationskroppens volym, V, med skalmetoden. Cylinderskalen har sin axel på y-axeln.

Volymselement dV =2πrhdr, vilket här blir dV =2πxydx

( )

2 2 2

2 ( ) 2 3sin 6 sin partiell integration, formel se lösning 2b

0 0 0

V x y x dx x x dx x x dx

π π π

= ∫ ⋅ ⋅ = ∫ ⋅ ⋅ = ∫ ⋅ =

[ ]

² ²

[ ]

² ²

[ ]

²

[ ]

²

6 ( cos )0 1 ( cos ) 6 cos 0 cos 6 cos 0 sin 0

0 0

x x x dx x x x dx x x x

π π

π π π π

π π π

     

     

= ⋅ ⋅ − − ∫ ⋅ − ⋅ = ⋅ − + ∫ ⋅ = ⋅ − + =

6 cos 0 cos0 sin sin 0 6 v.e.

2 2 2

π π π

π ^ ^ π

= ⋅ − ⋅ + ⋅ + − =

Svar: 6 v.eπ

Rättningsmall: Rätt uppställd integral med gränser (²₂ _3sin

0 x x dx

π

π ⋅ ⋅

∫ ) ger 1p.

Allting rätt ger 2p.

Uppgift 5. (4p)

Beräkna följande gränsvärde

2 3

0

cos( ) 1 lim^x 5

x

x x

→

− +

a) (2p) med hjälp av L’ Hospitals regel

b) (2p) med hjälp av Maclaurinutveckling (dvs Taylorutveckling kring 0).

(6)

Sida 6 av 9 Lösning:

a) ₂ ₃

0

cos( ) 1 lim^x 5

x

x x

→

− =

+ (Typ 0/0 , L’ Hospitals regel)

= ₂

0

sin( ) lim^x 10 3

x

x x

→

− =

+ (Typ 0/0 , L’ Hospitals regel)

= 0

cos( ) 1 lim^x 10 6 10

x x

→

− = −

+ .

Svar: 1 10

−

Rättningsmall a) : Korrekt till ₂

0

sin( ) lim^x 10 3

x

x x

→

− =

+ ger 1p. Allt korrekt =2p.

b). Eftersom minsta potensen i nämnaren har grad 2 , utvecklar vi täljaren cos( ) 1x − med hjälp av formeln av ordning 2 .

Vi har

( ) cos( ) 1

f x = x − , f x′( )= −sin( )x f x′′( )= −cos( )x och (för restterm) f x′′′( ) sin( )= x (0) 0

f = , f ′(0) 0= f x′′( )= − , 1 f c′′′( ) sin( )= c

2 3

(0) ( )

( ) (0) (0)

2! 3!

f f c

f x = f + f′ x+ ′′ x + ′′′ x

2 3

1 sin( )

( ) 2! 3!

f x − x c x

= + .

Nu har vi

2 3

2 3 2 3

0 0 0

1 sin( ) 1 sin( ) 1 0

cos( ) 1 2! 3! 2! 3! 2 1

lim lim lim

5 5 5 5 0 10

x x x

c c

x x x

x

x x x x x

→ → →

− + − + − +

− = = = = −

+ + + +

Svar: 1 10

−

Rättningsmall a) : Korrekt till ( ) 1 ² sin( ) ³

2! 3!

f x − x c x

= + ger 1p. Allt korrekt =2p.

Uppgift 6.(2p) Bestäm alla stationära punkter till funktionen

2 2 2

( , ) ^x ^{x y} f x y =e ^{− +}

och avgör deras karaktär (max, min, sadel) . Lösning:

Då 𝑒𝑒^𝑟𝑟 är en strängt växande funktion av 𝑟𝑟 sammanfaller alla stationära punkter för 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) med de för exponenten 𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥² − 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦².

𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 = 2𝑥𝑥 − 2 och ^{𝜕𝜕𝜕𝜕}_{𝜕𝜕𝜕𝜕}= 2𝑦𝑦. Stationära punkter då båda dessa partiella derivator är 0.

2𝑥𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥𝑥₁ = 1 och 2𝑦𝑦 = 0 ⇒ 𝑦𝑦₁ = 0 så endast en stationär punkt i (1, 0).

𝜕𝜕²𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕² = 2 = 𝐴𝐴, ^𝜕𝜕_{𝜕𝜕𝜕𝜕}²^𝜕𝜕₂ = 2 = 𝐶𝐶, _{𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕}^𝜕𝜕²^𝜕𝜕 = 0 = 𝐵𝐵. Alltså är 𝐴𝐴𝐶𝐶 − 𝐵𝐵² = 4 > 0 och 𝐴𝐴 > 0 vilket innebär att (1, 0) är en lokal minimipunkt.

Svar: (1, 0) är en lokal minimipunkt.

Rättningsmall: Korrekt stationär punkt (1,0) ger 1p. (-1p om minst en derivata är fel) Allrätt ger 2p.

(7)

Sida 7 av 9

Uppgift 7. (3p) a) Bestäm Taylorpolynomet av ordning 2 kring punkten 8 för funktionen = √𝑥𝑥³

b) Beräkna approximativt √𝑥𝑥³ med hjälp av Taylorpolynomet i a delen.

c) Uppskatta felet med hjälp av formeln för restterm: R= ⁽ ¹⁾ ( ) ¹ )!

1 (

)

( + +

+ −

n n

a n x

c

f , där c

är ett tal mellan a och x . Lösning:

Vi har

1/3 2/3 5/3

3 1 2

( ) , ( ) , ( ) ,

3 9

f x = x x= f x′ = x⁻ f x′′ = − x⁻

2/3 5/3

3 1 1 2 2 1 1

(8) 8 2, (8) 8 , (8) 8 ,

3 12 9 9 32 288

f = = f′ = ⁻ = f′′ = − ⁻ = − ⋅ = −

2

( ) (8) (8)( 8) (8)( 8)

1 1 2!

2 ( 8) ( 8)

12 288

P x f f x f x

x x

′ ′′

= + − + −

= + − − −

b) (9) ³9 (9) 2 1 (9 8) 1 (9 8)² 2 1 1 599

12 288 12 288 288

f = ≈P = + − − − = + − =

c) Vi använder formeln ( )^{( 1)}( ) ¹ ( 1)!

n n

R f c x a

n

+ +

= −

+ , där n=2.

Notera att ( ) 10 ^8/3, f x′′′ = 27x⁻

8/3

3 8/3

8/3

8/3 8

10 5 5

27 (9 8)

3! 81 81

5 5

| | dvs | |

81 8 81 2

R c c

c

R R

−

= − = − =

≤ ≤

 

där

Rättningsmall:

Uppgift 8. (4p) Låt f x( ) 2= xe²^x.

a) (2p) Bestäm eventuella stationära punkter och deras karaktär.

b)(1p) Bestäm eventuella asymptoter till f(x). c) (1p) Rita funktionens graf.

Lösning: a) f x( ) 2= xe²^x, derivera: f x′( ) 2= e²^x+2xe²^x⋅ =2 (2 4 )+ x e⋅ ²^x

Stationära punkter då ( ) (2 4 ) ² 0 2 4 0 1

2 f x′ = + x e⋅ x= ⇒ + x= ⇒ x= − En enda stationär punkt.

(8)

Sida 8 av 9

Punktens karaktär utreds med teckenstudium av förstaderivatan:

2 ( 1) 2

( 1) (2 4 ( 1)) 2 0, alltså avtagande f′ − = + ⋅ − ⋅e ^{⋅ −} = − ⋅e⁻ <

(0) (2 4 0) 2 0 2 0 alltså växande f′ = + ⋅ ⋅e ^⋅ = >

Teckenväxlingen är – 0 + , d.v.s det är en minpunkt.

b) Lodräta asymptoter saknas, eftersom funktionen är definierad för alla x.

Vågräta/sneda asymptoter åt vänster:

2 2

2

lim 2 ^x lim( 2 ^t) lim( 2_t ) 0, Standardgränsvärde

x t t

xe te t

e

−

→−∞ →∞ →∞

= − = − =

En vågrät asymptot, y = 0.

Vågräta/sneda asymptoter åt höger:

lim ( ) lim 2 2^x

x_→∞ f x =x_→∞ xe saknas, d.v.s ingen vågrät asymptot.

( ) 2

lim lim 2 ^x

x x

f x e

x

→∞ = →∞ saknas, d.v.s ingen sned asymptot.

c)

Svar: a) En minpunkt då 1 x = − 2 b) En vågrät asymptot, y = 0, åt vänster.

c) se figur ovan.

Rättningsmall: a) korrekt stationär punkt ger 1p allting rätt ger 2p

b) Rätt eller fel.

c) Rätt eller fel. Grafen ska visa minpunkten, asymptoten och att kurvan snabbt växer åt höger.

Uppgift 9. (2p)

Ett område Ω definieras avy≥0, x≥0 , 0≤ x²+ y² ≤16 och y≥ (se figuren). x Beräkna områdets yttröghetsmoment kring x-axeln.

Lösning:

(9)

Sida 9 av 9

Vi använder polära koordinater: _x=_rcosθ , _y=_rsinθ , _dxdy=_rdrdθ

Gränser i polära koordinater: 0 4

4 2 och r

π ≤ ≤θ π ≤ ≤

b) Yttröghetsmoment med avseende på x-axeln

4 4

2 2

2 2 2 3

0 0

4 4

( sin ) sin

x D

I y dxdy d r rd d r dr

π π

θ θ θ θ θ

=

∫∫

=

∫ ∫

⋅ =

∫ ∫

=

(Vi använder formeln

2 ) 2 cos(

sin²θ =1⁻ θ .)

4 4 4

2 3 2

0 0

4 4

1 cos(2 ) 1 sin(2 )

2 2 2 4

sin(2 2) sin(2 4) 1

( ) ( ) 32 ( ) 32 8 16

2 2 4 2 4 2

d r dr r

π π

θ θ θ θ

π π

π π π π

 

− =  −   ⋅ 

 ⋅ ⋅ 

 

= − − − ⋅ = + ⋅ = +

 

 

∫ ∫

Svar: 8π +16

Rättningsmall: Korrekt till

4 2 2 4 0

1 sin(2 )

2 2 4

π r

π

θ θ ^{ }

  −  ⋅ 

  

    ger 1p.

Allt korrekt=2p.