Något om Matriser och Mathematica

Något om Matriser och Mathematica

Bertil Nilsson 2021-08-15

Denna väntan varje jul  xi 1

1 1

1 2 x_imod 1

x169 x170 x171 x172 x173 x174

x156 x157 x158 x159 x160 x161 x162 x163 x164 x165 x166 x167 x168

x143 x144 x145 x146 x147 x148 x149 x150 x151 x152 x153 x154 x155

x130 x131 x132 x133 x134 x135 x136 x137 x138 x139 x140 x141 x142

x117 x118 x119 x120 x121 x122 x123 x124 x125 x126 x127 x128 x129

x104 x105 x106 x107 x108 x109 x110 x111 x112 x113 x114 x115 x116

x91 x92 x93 x94 x95 x96 x97 x98 x99 x100 x101 x102 x103

x78 x79 x80 x81 x82 x83 x84 x85 x86 x87 x88 x89 x90

x65 x66 x67 x68 x69 x70 x71 x72 x73 x74 x75 x76 x77

x52 x53 x54 x55 x56 x57 x58 x59 x60 x61 x62 x63 x64

x39 x40 x41 x42 x43 x44 x45 x46 x47 x48 x49 x50 x51

x26 x27 x28 x29 x30 x31 x32 x33 x34 x35 x36 x37 x38

x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12

ť Förord

På följande sidor presenteras en elementär “streetwise guide” till matriser med flitig användning av Mathematica. Framställningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteckningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och typiska exempel ges.

ť Matrisbegreppet

En uppsättning av element, oftast vanliga tal, ordnade “rektangulärt” i rader och kolonner kallas för en matris. En sådan betecknas nästan alltid med stora “feta” bokstäver, t.ex. . Om en matris innehåller m rader och n kolonner säger vi att den är av “typen m gånger n” och skriver typ m n. Inte sällan brukar man dekorera matrisens namn med ett index som förtydligar dess typ, m n. Elementen i matrisen anges sedan med motsvarande “lilla” bokstav och ett index som talar om dess position. Exempelvis har vi en matris med m rader och n kolonner

m n aij_{m n}

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn

Elementet aij är elementet i i:te raden och j:te kolonnen räknat uppifrån respektive från vänster. Man säger att element aij befinner sig på plats i, j. Ofta ser man att elementet också refereras med skrivsättet _ij vilket är inspirerat av att matrisen ibland skrivs ut i full form med hakparenteser [] istället för runda ().

Exempel: För matrisen

3 2

2 5

1 3

7 2

gäller att typ 3 2 eftersom den har 3 rader och 2 kolonner. Vidare är exempelvis elementen a21 1 och a32 2.

Definition. Två matriser och för vilka typ m n och typ m n , säges vara av samma typ om m m och n n . Detta skrivs typ typ , annars typ typ .

Exempel: Antag att och är matriser sådana att typ 4 2 och typ 2 4. Då har båda matriserna 4 2 8 element, men de är inte av samma typ, det vill säga typ typ .

Om en matris har lika många rader som kolonner, det vill säga n n, kallas den av naturliga skäl kvadratisk. Sådana är mycket vanliga i tillämpningar, vilket vi får anledning att återkomma till. En matris som består av endast en rad kallas av uppenbara skäl för en radmatris eller radvektor och en matris som består endast av en kolonn för en kolonnmatris eller kolonnvektor. Slutligen faller det sig då naturligt att ibland tolka en matris av typen 1 1 som en skalär eller ett tal. Denna dualitet med lite liberalare syn på typerna gör att räkningarna “flyter” på lite enklare i löpande text. Men när man genomför beräkningar måste man vara på sin vakt.

I Mathematica skrivs feta bokstäver, t.ex. A eller , med “fet” font respektive dsA , där ds står för double-struck. Författaren brukar vara konsekvent och använda det senare både i Mathematica och för hand. Det går naturligtvis lika bra att använda vanliga tecken! Internt i Mathematica sparas en matris radvis som en vektor med vektorer men presenteras på den form vi känner igen från ovan. För att mata in en matris föreslås att man börjar med ny matris i paletten varefter man mekar om till rätt typ och fyller i sina element enligt nedan. Samma gäller naturligtvis för redigering av redan befintlig matris, se nedan. Om man inte får snygga i output cellerna, utan , , , , så ändra i Format>Option Inspector>”Show option values”>Global Preferences>Cell Option- s>New Cell Defaults>CommonDefaultFormatTypes “Output” till TraditionalForm. Det gäller nu för gott på din dator. Om du använder Mathematica 11.1 eller tidigare så Edit>Preferences>Evaluation>Format type of output cells>TraditionalForm.

Ny matris från palette:

Ny radundermarkörens läge:

͓ ͔

͓ ͔

Ny kolonn tillhögerom markörens läge:

͓

͓

Hoppa till nästa : Ta bort hel rad kolonn: svärta med markören, sedan

Så när som vissa funktionsnamn ansluter sig Mathematica väldigt smidigt till definitionerna i matrisalgebra.

4 3 1 1 5 2 ; Dimensions

2, 3

Att välja ut ett eller flera element ur matrisen brukar kallas att indexera. Detta anges med dubbla hakparenteser [[...]]. De två hakparenteserna kan göras lite kompaktare med och , vilket använts i exemplen nedan.

2, 3 Hämta element a23

2

2, All Hämta rad 2 1, 5, 2

All, 3 Hämta kolonn 3 1, 2

2, 3, 1 Hämta delmatris a23 a21 i denna ordning 2, 1

1, 2 , 3, 1 Hämta delmatris a13 a11

a23 a21

 1 4

2 1

1, 3 7 Tilldela element a13 nytt värde 7

4 3 7 1 5 2

1, 2 , 3, 2 100 200

300 400 Tilldela delmatrisen a₁₂ a₁₃ a22 a23

 nya värden

100 200 300 400

4 200 100 1 400 300

ť Likhet för matriser

Definition. Två matriser och säges vara lika, vilket skrivs , om de är av samma typ och elementen på motsvarande platser i de båda matriserna är lika, det vill säga aij bij för alla förekommande i och j. Om dessa villkor inte är uppfyllda säger vi att matriserna är olika och skriver .

Exempel: Matriserna

2 3

2 5 7

1 3 2 och 2 3

2 5 7

1 3 2

uppfyller uppenbarligen kraven för likhet så vi kan skriva . I Mathematica används naturligtvis två likhetstecken!

2 5 7 1 3 2

2 5 7 1 3 2 True

ť Nollmatris

Definition. Om samtliga element i en matris är 0 kallas matrisen för nollmatris och reserverar namnet för denna. Notera att det finns oändligt med nollmatriser, en för varje typ.

Exempel: Matriserna

3 2

0 0 0 0 0 0

och 2 2

0 0 0 0

är exempel på nollmatriser, men 3 2 2 2 eftersom de är av olika typ.

ť Addition och subtraktion av matriser

Definition. Antag att och är två matriser av samma typ. Med summan av och , betecknat , menas den matris för vilken typ typ typ och cij aij bij för alla förekommande i och j.

Addition sker alltså elementvis vilket kräver att matriserna måste vara av samma typ. Så med

m n

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn

och m n

b11 b12 b1n

b21 b22 b2n

bm1 bm2 bmn

har vi

m n m n m n

a11 b11 a12 b12 a1n b1n

a21 b21 a22 b22 a2n b2n

am1 bm1 am2 bm2 amn bmn

m n m n

Exempel: Följande kalkyl går tydligen bra. Inte fel att använda stödlinjer när man “räknar”...

2 5 4 1 3 0

1 2 2

11 8 7

2 1 5 2 4 2

1 11 3 8 0 7

3 7 2

10 11 7 2 5 4

1 3 0

1 2 2

11 8 7 3 7 2

10 11 7

Räknelagar: Om , , och är matriser av samma typ gäller

1 kommutativa lagen

2 associativa lagen

3

Subtraktion av matriser får vi nu odramatiskt genom att snegla på addition ovan och byta alla “+“ till “ ”.

Definition. Antag att och är två matriser av samma typ. Med subtraktion mellan och , betecknat , menas den matris för vilken typ typ typ och cij aij bij för alla förekommande i och j. Som vanligt är subtraktion inte kommuta- tiv, det vill säga .

m n m n m n

a11 b11 a12 b12 a1n b1n

a21 b21 a22 b22 a2n b2n

am1 bm1 am2 bm2 amn bmn

m n m n

Exempel: Följande kalkyl går tydligen bra 2 5 4

1 3 0

1 2 2

11 8 7

2 1 5 2 4 2

1 11 3 8 0 7

1 3 6

12 5 7

2 5 4 1 3 0

1 2 2

11 8 7

1 3 6

12 5 7

ť Multiplikation av matris med en skalär

Definition. Med produkten av skalären s och matrisen , betecknat s , menas den matris för vilken typ s typ och s ij s ij för alla förekommande i och j.

Detta betyder helt enkelt att varje element i multipliceras med s och resultatet ärver typen från .

m n s m n s

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn

sa11 sa12 sa1n

sa21 sa22 sa2n

sam1 sam2 samn

m ns

Exempel: Dé blir bara svårare och svårare

3 2 5 4 1 3 0

3 2 3 5 3 4

3 1 3 3 3 0

6 15 12

3 9 0

3 2 5 4 1 3 0 6 15 12

3 9 0

Räknelagar: Om , är matriser av samma typ och s och t godtyckliga tal gäller

1 s s s distributiva lagen

2 s t s t distributiva lagen 3 s t t s st associativa lagen

ť Multiplikation av matriser

Matrismultiplikation är något mer komplicerad än de nästan självklara operationer vi har sett hittills. Den är dock vald med omsorg för att vara så användbar som möjligt i diverse tillämpningar.

Definition. Multiplikation av och , skrivet utan multiplikationstecken, är tillåtet endast då antalet kolonner i är lika med antalet rader i . Resultatet blir då en ny matris som ärver antalet rader från och antalet kolonner från . Alltså matris- multiplikationen

m p q n m n är utförbar endast om p q. Elementet cij k 1

paikbkj

Elementet cij fås alltså som skalärprodukten mellan den i:te raden i och den j:te kolonnen i , vilket förklarar att antalet kolonner i måste vara lika med antalet rader i . Matrismultiplikation är i allmänhet inte kommutativ, det vill säga . I konstruktio- nen säger vi att eftermultipliceras av och omvänt att förmultipliceras av .

Exempelvis bestämning av elementet c32 vid eftermultiplikation av en 4 3-matris med en 3 2-matris. Lägg märke till typerna för såväl och som resultatmatrisen .

a31 a32 a33 4 3

b12

b22

b_{32 3 2} a31b12 a32b22 a33b32 4 2

Exempel: Låt

2 3

6 4 1

3 5 2 och 3 2

7 4

5 8

3 6 så har vi

2 2 2 3 3 2

6 4 1

3 5 2 2 3

7 4

5 8

3 6 _{3 2}

6 7 4 5 1 3 6 4 4 8 1 6

3 7 5 5 2 3 3 4 5 8 2 6 _{2 2}

59 14

10 40 2 2

eller

3 3 3 2 2 3

7 4

5 8

3 6 _{3 2}

6 4 1

3 5 2 2 3

7 6 4 3 7 4 4 5 7 1 4 2

5 6 8 3 5 4 8 5 5 1 8 2

3 6 6 3 3 4 6 5 3 1 6 2 _{3 3}

30 48 1

54 20 21

0 42 9 _{3 3}

Vi ser att trots att båda multiplikationerna i just detta fall är tillåtna. De får ju inte ens samma typ.

Matrismultiplikation i Mathematica anges med vanlig punkt likt skalärprodukt mellan vektorer (som ju faktiskt är lite inblandad).

Observera att punkten inte får utelämnas eftersom detta tolkas som elementvis listmultiplikation, det vill säga cij aijbij. Vi provkör med matriserna i föregående exempel.

6 4 1

3 5 2 ;

7 4

5 8

3 6

;

. 59 14 10 40

.

30 48 1 54 20 21

0 42 9

Avslutningsvis poängteras ännu en gång att faktorernas ordning i produkten är väsentlig, det vill säga är något helt annat än . Eftersom multiplikation av matriser är definierad endast om antalet kolonner i den första matrisen är lika med antalet rader i den andra så är det inte säkert att produkten är definierad även om är det. Om både och är definierade behöver de ändå inte vara lika. Ett fall då båda produkterna och alltid är definierade är då och båda är kvadratiska matriser av samma typ.

behöver dock inte heller i detta fall vara lika med .

Räknelagar: Om , och är matriser gäller under förutsättning att ingående operationer är tillåtna

1 C distributiva lagen

2 distributiva lagen

3 associativa lagen

ť Matristransponering

Definition. Den matris som bildas av en given matris om man låter rader och kolonner byta roller (det vill säga raderna görs till kolonner och tvärtom), kallas transponatet till och betecknas med , vilket utläses “A-transponat”. Om typ m n, så är alltså typ n m.

I Mathematica finns Transpose, vilket också kan skrivas lite kompaktare som tr direkt efter matrisen med ett litet dekorativt

“ ” som resultat. Detta ska inte förväxlas med “ upphöjt till T”; ^T. 2 5 4

1 3 0

2 1

5 3 4 0

I ingenjörslitteratur ser man ofta skalärprodukt mellan två vektorer skriven som . Detta grundar sig på att vektorer då ömsom betraktas som kolonnmatriser. Exempelvis får vi med god kontroll över ingående typer

2 1 3 _{3 1}

1 1 2 _{3 1}

2 1 3 _{1 3} 1

1 2 _{3 1}

2 1 1 1 3 2_{1 1} 7_{1 1}

För att det ska bli just en skalärprodukt är det nu naturligt att betrakta den sista matrisen med en rad och en kolonn som en skalär, det vill säga ett tal. Det finns uppenbara risker med denna liberala syn på typbegreppet och det finns datorprogram som tillåter det.

Mathematica tillhör inte dessa utan gör alltid en mycket rigorös typkontroll inför varje operation. För den seriöse användaren är detta inget problem utan en trygghet. Använd indexering som vanligt för att hämta ut önskat element.

aTb 2 1 3

. 1

1 2 7

tal aTb 1, 1 7

För att transponera en vektor, vilket egentligen är omöjligt eftersom den bara har en dimension, måste den i Mathematica först göras till en radmatris, det vill säga en matris med en rad. Eftersom en matris sparas radvis som en vektor med vektorer är det bara att

“stänga in” vektorn inom {}.

InputForm 1 2 3 3 4 5 

1, 2, 3, 3, 4, 5

1, 2, 3 1 2 3

1, 2, 3 1 2 3

Räknelagar: Om och är matriser och s ett tal gäller

1 3 s s

2 4 Notera ordningen i högerledet

ť Kvadratisk matris

Om en matris har lika många rader som kolonner, det vill säga n n, kallas den inte oväntat kvadratisk. För sådana matriser är det lite “tårta på tårta” att säga typ n n, så inte sällen säger man istället ordning n. Då och då brukar man också höra ordning som synonym för typ, vilket inte brukar vålla någon förvirring. Kvadratiska matriser är mycket vanligt förekommande i tillämpningar, vilket vi får anledning att återkomma till.

I en kvadratisk matris kallas elementen aii för huvuddiagonalen i . Om alla element under huvuddiagonalen är noll kallas den högertriangulär eller övertriangulär och vänstertriangulär eller undertriangulär om alla element över huvuddiagonalen är noll.

Exempel: Matrisen

2 5 9 0 7 1 0 0 3

är högertriangulär och

7 0 0 0 1 5 0 0 8 9 4 0 1 3 5 3

är vänstertriangulär.

Om det för en kvadratisk matris gäller att kallas matrisen symmetrisk och antisymmetrisk om . Diagonalele- menten i en antisymmetrisk matris är alltid noll, ty aii aii 2aii 0 aii 0. Varje kvadratisk matris kan skrivas som summan av en symmetrisk och en antisymmetrisk matris. Produkten av en godtycklig matris och dess transponat är symmetrisk, ty

och .

Exempel: För godtycklig matris är alltid och symmetriska matriser, dock inte nödvändigtvis lika eftersom de vanligtvis inte ens blir av samma typ.

2 5 4

1 3 0 . 2 5 4 1 3 0 45 13

13 10

2 5 4

1 3 0 . 2 5 4 1 3 0 5 7 8

7 34 20 8 20 16

Summan av talen i huvuddiagonalen kallas för spåret (eng. trace). Tydligen har vi för i senaste Exemplet.

Tr 55

Huvuddiagonalen själv hämtas med en liten variant av samma funktion.

Tr , List 5, 34, 16

ť Diagonalmatris och enhetsmatris

Om en matris är kvadratisk och alla element utom de på huvuddiagonalen är noll kallas matrisen för en diagonalmatris. Ett vanligt sätt att ange en sådan är diag a11, a22, .

DiagonalMatrix 3, 6 3 0

0 6

Om en diagonalmatris har enbart ettor på huvuddiagonalen kallas den enhetsmatris. För denna brukar man reservera namnen (identity matrix) eller (enhetsmatris). Namnet kommer sig av att den tjänar ungefär som en etta gör vid “vanlig” räkning. Notera liksom för nollmatris att det finns oändligt med sådana här matriser, en för varje typ.

IdentityMatrix 2 1 0

0 1

Exempel: Effekten av att förmultiplicera en matris med en diagonalmatris är att multiplicera varje rad i med motsvarande element i .

. 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 6 6 6 6

Effekten av att eftermultiplicera en matris med en diagonalmatris är att multiplicera varje kolumn i med motsvarande element i

1 1 1 1 1 1 1 1

.

3 6 3 6 3 6 3 6

ť Potenser

Kvadratiska matriser är de enda matriser man kan utsätta för upprepad multiplikation med sig själv. Om vi låter vara enhetsma- trisen definierar vi naturligt potenser som ⁰ , ¹ , ² , ³ och så vidare. Eller mera formell rekursiv definition

n om n 0

n 1 om n är ett positivt heltal

Negativa eller brutna exponenter befattar vi oss inte med. Givetvis gäller de vanliga potenslagarna ^{m n m n} och ^{m n mn}. Exempel: När det gäller potenser av matriser så skriv inte upphöjt till i Mathematica. Detta tolkas då som att varje element i matrisen skall upphöjas till angiven exponent.

2 3

4 5

2 3

4 5

2

4 9 16 25

. 16 21

28 37

Då exponenten n blir stor finns funktionen MatrixPower som tröst.

. . . . . . . . . . . . . . 2 549 464 720 604 3 362 053 837 617

4 482 738 450 156 5 911 518 558 221 MatrixPower , 15

2 549 464 720 604 3 362 053 837 617 4 482 738 450 156 5 911 518 558 221

ť Matrisvärd funktion av en variabel

I tidigare kurs har vi stiftat bekantskap med en funktion av en reell variabel. Vi har sett att detta begrepp kan enkelt spilla över till en vektorvärd funktion av en reell variabel. Då är steget litet till en matrisvärd funktion av en reell variabel. Vi låter helt enkelt varje element i matrisen vara en funktion av samma variabel, säg

x

a11 x a12 x a21 x a22 x

Definition av derivation och integration gör knappast någon förvånad.

x x

a₁₁x x

a₁₂x x a₂₁x

x

a₂₂x

x x x

a11 x x a12 x x a21 x x a22 x x

Naturligtvis kan man ha bestämd integral om så önskas.

Exempel: Mathematica är naturligtvis kunnig som vanligt x² Sin x Cos x

2 x Log x ArcTan x ; D , x

2 x cos x sin x 2 ^{2 x 1}_{x x}2¹1

 x

x³

3 cos x sin x

2 x

2 x log x x x tan ¹x ¹₂logx² 1

ť Determinant

Varje kvadratisk matris kan tilldelas ett bestämt tal, som kallas matrisens determinant. Detta tal kan beräknas med en formel som innehåller alla matrisens element. Determinanter har mest teoretiskt värde och kommer till användning i diverse kvalitativa överläg- gningar, bland annat vid lösning av linjära ekvationssystem som vi kommer att studera i ett senare avsnitt.

Låt beteckna en kvadratisk matris av ordning n

n n

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

an1 an2 ann

Till denna matris skall vi definiera ett enda tal som vi kallar determinanten till matrisen . Detta tal betecknar vi med eller det och skrivs ut med samma element som i fast med raka parenteser istället för runda.

det

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

an1 an2 ann

Benämningarna element, rad, kolonn, ordning och huvuddiagonal används på samma sätt för determinanter som för matriser. Hur räknas då detta tal ut? Vi börjar från början

Definition.

(1) Om är av ordning 1 så är a11 a11. (2) Om är av ordning 2 så är a11 a12

a21 a22 a11a22 a12a21.

Determinanter av högre ordning måste utvecklas enligt en visst mönster till en följd av determinanter av ordning 2. Vi beskriver här hur denna utveckling av determinanter går till.

Antag att determinanten är av ordning n. Vi kan välja att utveckla den längs vilken rad eller kolonn som helst. Säg att vi väljer rad i.

För varje element aij i denna rad skapar vi en ny determinant genom att stryka rad i och kolonn j. Det som återstår är en ny determi- nant av ordning n 1 som kallas för underdeterminanten ij med avseende på plats (i, j). Bilda komplementet (eng. cofactor) Cij 1^{i j} ij till plats (i, j). är nu slutligen skalärprodukten mellan elementen i rad i och deras komplement. Om n 1 2 måste alla dessa n 1 determinanter utvecklas enligt samma recept till n 1 determinanter av ordning n 2, å igen å igen ända till dess man kommit ner till (kanske duktigt många) determinanter av ordning 2 som beräknas enligt definitionen ovan. Färdig

Talet 1^{i j} kan anta två värden 1 och 1 och uppträder i ett mönster som liknar ett “schackbräde”

Ŝ

Ŝ

Ŝ

ś ś ś Ş

Detta hjälper oss att genomföra kalkylen som klarnar efter ett

Exempel: Bestäm

2 1 5

4 7 3

1 6 8

.

Lösningsförslag: Eftersom vi har en determinant av ordning 3 måste vi utveckla. Då väljer man en rad eller kolonn som innehåller många nollor. Detta reducerar arbetsinsatsen dramatiskt. Men inga nollor i sikte här så vi väljer lite slumpartat att utveckla längs rad 2. Tecknen framför termerna i skalärprodukten mellan elementen och underdeterminanterna hämtar vi från “schackbrädet” ovan.

Redan efter en utveckling är vi framme vid 3 stycken determinanter av ordning 2 som vi kan “räkna” ut direkt. Vi får

Ʋ

Ŝ

Ŝ

Ŝ

ś ś ś Ş

2 1 5

4 7 3

1 6 8

4

2 1 5

4 7 3

1 6 8

7

2 1 5

4 7 3

1 6 8

3

2 1 5

4 7 3

1 6 8

4 1 5

6 8 7 2 5

1 8 3 2 1

1 6

4 1 8 5 6 7 2 8 5 1 3 2 6 1 1

4 38 7 11 3 13 114

Detta sätt att beräkna en determinant är mycket kostsamt vid stora n. Om vi som illustration väljer att bestämma determinanten för en, kan man tycka måttligt stor, determinant av ordning 25 med hjälp av en dator som klarar 1 miljon multiplikationer per sekund (1 Mflops) så får vi vänta en stund vid datorn; ca 10¹⁷sekunder, vilket är ungefär universums ålder ! Vid all seriös numerisk analys med dator är metodval mycket viktigt och kanske helt avgörande för att lyckas. I ett senare avsnitt ska vi se hur vi kan få svaret på bråkdelar av en sekund.

I Mathematica används en funktion med självdokumenterande namnet Det som väljer olika algoritmer beroende på determinantens storlek och utseende. Lägg märke till att den ska matas med en matris. Här senaste exemplet.

Det

2 1 5

4 7 3

1 6 8



114

Räknelagar: Om och är matriser av ordning n och s ett tal gäller 1

2

3 Om alla element i en viss rad kolonn multipliceras med samma faktor, multipliceras determinanten med samma faktor, t.ex. a11 sa12

a21 sa22 s a11 a12

a21 a22 .

4 s sⁿ

5 Determinantens värde ändras inte om man gör en linjärkombination av rader eller kolonner, t.ex. a11 a12

a21 a22

a11 sa21 a12 sa22

a21 a22 .

6 Om två rader eller kolonner byter plats, byter determinanten tecken.

7 Om två rader eller kolonner är lika, är determinanten noll.

ť Invers matris

Om är en kvadratisk matris och det existerar en (kvadratisk) matris sådan att säger vi att är inverterbar och matrisen kallas inversen till . För denna använder vi beteckningen ¹. Alltså

1 1

Man kan visa att om ¹ existerar så är den unik, det vill säga det finns bara en enda. Ty om är en invers till och även gör anspråk på att vara det, har vi , vilket visar att faktiskt . Om är inverterbar så är 0. I någon mening kan man säga att invers matris fungerar som inverterade värdet gör för vanliga tal, vilket också skrivs “upphöjt till

1”; ⁷₇ 7 ¹₇ 7 7¹ 1, så kanske inte helt fel att viska matrisdivision även om man aldrig får skriva ¹ eller .

Med hjälp av inversen kan vi skriva ner den symboliska lösningen till matrisekvationer, t.ex. , där och är givna och söks. Lösningen får vi genom att förmultiplicera båda sidor med inversen till

1 1 1 1 .

I Mathematica beräknas inversen med hjälp av funktionen Inverse.

Inverse

3 2 1 4 6 5 2 7 3



17 71

13 71

16 71 2

71 11 71

19 71 16

71 17 71

10 71

En matris av typ 2 2 ska man kunna invertera för hand,

1 a11 a12

a21 a22

1 1 a22 a12

a21 a11

1 a₁₁a₂₂ a₁₂a₂₁

a22 a12

a21 a11

En enkel kalkyl verifierar detta 1

a11a22 a12a21

 a₂₂ a₁₂ a21 a11

.a₁₁ a₁₂ a21 a22

 1 0

0 1

Exempel: Lös matrisekvationen ² 2 då 2 1

1 0 och 4 6 .

Lösningsförslag: Stuva om och lös ut . Notera speciellt efter andra ekvivalenspilen att det vid faktoriseringen är nödvändigt att skjuta in en enhetsmatris av passande typ.

2 2 ² 2 ² 2 ² 2 ¹ .

Nu låter vi Mathematica göra räknandet.

2 1

1 0 ; 4

6 ;

Inverse . 2 IdentityMatrix 2 .

16 7 10

7

En ängslig koll

. . 2

True

En symmetrisk matris kallas ortogonal om . För en sådan matris är alltså ¹ . Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att skall vara ortogonal är att :s kolonnvektorer är normerade och parvis ortogonala.

Liksom determinanter förekommer inversen nästan aldrig i praktiken utan används mest vid diverse teoretiska överläggningar. Om man mot förmodan behöver beräkna den finns effektiva algoritmer. Detta återkommer vi till i ett senare avsnitt.

Räknelagar: Om och är matriser av samma ordning, och ortogonala matriser av samma ordning och och passande vektorer gäller

1  ¹ ¹ 6 ortogonal

2 ¹  ¹ 7 ortogonal

3 ^{1 1 1} Notera ordningen i högerledet 8 Enhetsmatrisen är ortogonal

4 speciellt 1 9

5 ¹ 10

ť Linjära ekvationssystem

System av linjära ekvationer utgör grunden för den linjära algebran på ungefär samma sätt som gränsvärden utgör grunden för analysen. I princip alla modeller inom tillämpad matematik, allt från hållfasthetsberäkningar med finita elementmetoden via ekonomisk resursteori till flödesproblem i en blodåder eller runt ett flygplan utmynnar alltid i ett stort linjärt ekvationssystem. Att utveckla effektiva lösningsalgoritmer för sådana problem har därför sysselsatt matematiker i 70 år och kommer att bli än mer aktualiserat i framtiden. Men vi börjar från början.

Med en linjär ekvation i två obekanta x och y menar vi en ekvation av typen ax b y c

där a, b och c är givna reella tal. Ordet linjär syftar på att de obekanta endast får förekomma på formen x, y. Sammansättningar och funktionsuttryck är inte tillåtet. Som exempel har vi en linjär ekvation

6x 2 y 10 medan

6x² 2 y 10 och x 2 y 1 och x y y 3

inte är linjära. Vi ser att t.ex. x 1, y 2 satisfierar ekvationen 6x 2 y 10 ovan och man säger att detta är en lösning. En annan är x 0, y 5. Man kan hitta fler, i själva verket oändligt många eftersom för varje x har vi ett tillhörande y 5 3x. Detta beror på att vi har fler obekanta än ekvationer.

Med ett linjärt ekvationssystem menar vi ett antal linjära ekvationer som gäller samtidigt. Även här kan man ha färre obekanta än ekvationer, fler eller lika många. Man talar då om överbestämt, underbestämt respektive kvadratiskt linjärt ekvationssystem.

Alla fallen är mycket vanliga i diverse tillämpningar, speciellt det sistnämnda. Här ett exempel med tre ekvationer och tre obekanta.

2x 3 y 9z 5 3x 4 y 5z 1 4x 2 y 2z 6 Det är brukligt att skriva linjära ekvationssystem på matrisform

2x 3 y 9z 5 3x 4 y 5z 1 4x 2 y 2z 6

2 3 9

3 4 5

4 2 2

x y z

5 1 6

där kallas koefficientmatris, högerled och lösningsvektor. Om högerledet är nollvektorn säger vi att ekvationssystemet är homogent. För stunden ska vi koncentrera oss på kvadratiska system och eftersom dessa dominerar branschen brukar de också lägga beslag på namnet linjära ekvationssystem. Vill man prata om under- eller överbestämt linjärt ekvationssystem får man lov att nämna detta explicit. Senare kommer vi att studera överbestämda system i samband med minsta kvadratmetoden och underbestämda vid linjärprogrammering.

Det ser sunt ut med lika många ekvationer som obekanta, men vi kan faktiskt ha allt från entydig lösning, ingen lösning till oändligt många lösningar! Vilket fall som inträffar beror på och . En geometrisk betraktelse av situationen blir speciellt åskådlig för ett linjärt ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta x, y. Varje ekvation blir en rät linje i planet.

x y 3 x y 2

x y 3

x y 2

x y 3

x y 3

2 1 1 2 x

1 2 3 4 5 y

2 1 1 2 x

1 2 3 4 5 y

2 1 0 1 2 x

2 3 4 5 y

0 0 0

unik lösning ingen lösning oändligt med lösningar

Vilket fall som inträffar beror på

Om 0 säger vi att ekvationssystemet är illa konditionerat. Genom att studera figurerna ovan förstår vi att små störningar av elementen i eller ger en dramatisk ändring av lösningsvektorn . Sunda ekvationslösare, exempelvis Solve i Mathematica, signalerar en varning när så är fallet. Vanligtvis beror detta på svagheter i modelleringen av det problem som man vill lösa.

Exempel: Betrakta de båda väldigt snarlika ekvationssystemen 400 201 800 401

x y

200

200 och 401 201 800 401

x y

200 200 . Enda skillnaden är att i det andra systemet har a11 ökats obetydligt med 0.25% från 400 till 401. Men de har helt olika lösningar, det första x, y 100, 200 och det andra x, y 40 000, 79 800 . Systemet är alltså illa konditionerat när en liten störning ger en helt annan lösning, så kallad blow up. Man bör då gå tillbaka och göra ändringar i sin modellering.

Vi fortsätter med några exempel på modellering som leder till linjära ekvationssystem. Vi koncentrerar oss på detta för den prak- tiserande ingenjören viktigaste momentet och överlåter åt Mathematica att uttala sig om lösningsmängder. Dock ska vi i ett senare avsnitt orientera om den vanligaste datoranpassade lösningsalgoritmen.

Exempel: AB Len&Fin tillverkar en kräm som enligt reklamen sägs motverka rynkor. Denna kräver tre olika råvaror. Inköpspriset per gram råvara är 1 kr, 1.50 kr respektive 2 kr. Fraktkostnaderna per gram råvara är 2 kr, 1 kr respektive 1.50 kr. Till kund levereras burkar med kräm som väger 50 gram och betingar ett pris av 80 kr i råvarukostnad och 70 kr i fraktkostnad. Hur många gram av de olika råvarorna går det åt för att tillverka en burk?

Lösningsförslag: Antag att råvarornas storlekar är x, y respektive z. Informationen räcker för att möblera ett ekvationssystem med tre ekvationer, en för vikten, en för råvarukostnad och slutligen en för fraktkostnaden.

x y z 50 1x 1.5 y 2z 80 2x 1 y 1.5z 70

Inte helt oväntat är det vår gamle arbetshäst Solve i Mathematica som gör jobbet. Fördelen är bland annat att den lägger sig väldigt nära modelleringen. Inga riskabla omlastningar av ekvationerna till formen vilket många datorprogram kräver, t.ex. Matlab.

Solve x y z 50, 1 x 1.5 y 2 z 80, 2 x 1 y 1.5 z 70 x 10., y 20., z 20.

Vilket är svaret på den brännande frågan angående antal ingående gram av de olika råvarorna.

Exempel: Tre vätskor blandas i volymförhållande 1:2:4 varvid blandningen får densiteten 0.9. Om de blandas i volymförhållande 2:3:1 blir densiteten 0.8 och om de blandas 3:1:5 blir den 1.1. Ställ upp och lös det ekvationssystem som bestämmer densiteterna för de i blandningen ingående tre vätskorna.

Lösningsförslag: Antag att densiteterna är Ρ1,Ρ2 respektive Ρ3. Informationen räcker för att meka ihop ett ekvationssystem med tre ekvationer, en för varje soppa

Solve 1 Ρ1 2 Ρ2 4 Ρ3 1 2 4 0.9, 2 Ρ₁ 3 Ρ₂ 1 Ρ₃ 2 3 1 0.8, 3 Ρ₁ 1 Ρ₂ 5 Ρ₃ 3 1 5 1.1 Ρ₁ 1.41429,Ρ₂ 0.3,Ρ₃ 1.07143

Exempel: För att bestämma temperaturfördelningen i en kvadratisk platta indelas denna i sexton mindre kvadratiska plattor arrangerade i fyra rader och fyra kolonner. Temperaturen i plattorna längs randen är kända. Se fig Bestäm temperaturen i de fyra inre plattorna om man antar att temperaturen i en sådan platta är medelvärdet av temperaturen i de fyra kantgrannarna. Metoden kallas finita differensmetoden

FDM och differentialekvationen vi tillämpat den på heter Laplace differentialekvation och är mycket vanlig i fysik.

38 46 20 19 35 T1 T2 15 10 T3 T4 5

8 5 0 1

C Lösningsförslag: Vi får en ekvation för var och en av de fyra inre plattorna enligt meningen “Bestäm ”

T_{1 4} SolveT₁ 1 4

46 T₂ T₃ 35 , T₂ 1 4

20 15 T₄ T₁ ,

T3

1 4

T1 T4 5 10 , T4

1 4

T2 5 0 T3  First T1 28, T2 18, T3 13, T4 9

ListContourPlotReverse

38 46 20 19 35 T1 T2 15 10 T₃ T₄ 5

8 5 0 1

 . T1 4, InterpolationOrder 2, ContourLabels True

Exempel:En tunn rektangulär glasskiva med massan m hålls i horisontellt läge av tre personer enligt figur, där koordinatsystem och diverse mått är angivna.

a Sök ortsvektorerna A, B, Ctill personerna och Gtill skivans tyngdpunkt.

b Frilägg glasskivan med informationen att personerna endast lyfter i z–led.

c Bestäm med Solve de tre lyftkrafternas z–komponenter ur mekanikens

jämviktssamband i och i i i .

Lösningsförslag: Det är bara att följa receptet. Mekanik räknas alltid i 3D så fungerar vektorprodukter utan problem! Namnsätt intressanta punkter och krafter som par  , . Analysen blir då löjligt enkel i Mathematica. Först a) med intressanta punkter som också är ortsvektorer till krafterna. Räkna inte i huvudet!

A 360, 0, 0 ;

B 720, 480 720, 0 ;

C 720 1680, 480, 0 ;

G

1 2

720 1680, 480 720, 0 ;

b) Personernas sökta lyftkrafter, enligt uppgift verkande endast i z–led. Sist tyngdkraften som verkar på glasskivan i negativ z–led.

Vid sidan om komponentform, som här, är det mycket vanligt med “pekformen” F , där är given och F den sökta storleken.

A 0, 0, FAz ;

B 0, 0, FBz ;

C 0, 0, FCz ;

G 0, 0, mg ;

c) Jämviktssambandet är två vektorekvationer i och i i i . Med enhetlig namnsättning fixar Mathematica lätt genom att låta vargen besöka alla punkter. Varje handpåläggning är en potentiell felkälla!

jämvikt Sum , , , A, B, C, G 0

0 0 mg F_Az F_Bz F_Cz

600 mg 1200 F_Bz 480 F_Cz 1200 mg 360 F_Az 720 F_Bz 2400 F_Cz 0 0

Första raden i matrisen är kraftjämvikt i de tre koordinatriktningarna Fx 0, Fy 0 och Fz 0. Andra raden är motsvarande för momentjämvikt Mx 0, My 0 och Mz 0. De två vektorekvationerna expanderar alltså till 2 3 6 skalära ekvationer. Så blir det alltid i mekanik. Nu är det bara att lösa ut de sökta kraftkomponenterna. Enkel match för Solve.

Solve jämvikt, FAz, FBz, FCz

FAz

23 mg 79 , FBz

57 mg 158 , FCz

55 mg 158 ^

Exempel: Lös matrisekvationen ² 2 då 2 1

1 0 och 4 6 .

Lösningsförslag: Detta är en repris på ett exempel under avsnittet “Invers matris”. Jämför med tidigare lösningsmetod när vi denna gång istället betraktar matrisekvationen som ett linjärt ekvationssystem och låter Solve direkt bestämma de obekanta elementen i

. Det enda vi behöver göra är att ansätta rätt. En titt i högerledet övertygar oss om att typ typ , så smidigt och lätt 2 1

1 0 ; 4

6 ; x₁₁ x21

;

ekv . . 2

5 x₁₁ 2 x₂₁ 2 x₁₁ x₂₁

2 x₁₁ 4 2 x₂₁ 6 . Solve ekv First

16 7 10

7

I Mathematica finns väsentligen två funktioner som löser ekvationssystem. Vilken man väljer beror lite på hur problemet är for- mulerat. Om vi har koefficientmatris och högerled färdigmöblerade passar LinearSolve bra. Lösningen kommer ut på samma form som högerledet. Exempelvis exemplet med AB Len&Fin

x y z 50 1x 1.5 y 2z 80 2x 1 y 1.5z 70

LinearSolve

1 1 1

1 1.5 2 2 1 1.5

, 50 80 70

, LinearSolve

1 1 1

1 1.5 2 2 1 1.5

, 50, 80, 70 

10.

20.

20.

10., 20., 20.

Annars blir oftast valet den gamla välbekanta arbetshästen Solve. Den har fördelen att den ligger nära modelleringen och ger ett självdokumenterat svar på regelform, vilket underlättar fortsatt användning. Dessutom är den smart nog att dra nytta av svagt kopplade ekvationer, det vill säga många nollor i koefficientmatrisen, och sparar systemet i så kallat glest format. Detta sänker lösningstiden dramatiskt om man har väldigt många obekanta. I många tillämpningar är det vardag att lösa ekvationssystem med flera miljoner obekanta. Vi ser att även då det är bäddat för LinearSolve är kanske ändå Solve att föredra.

Solve

1 1 1

1 1.5 2 2 1 1.5

. x y z

50 80 70



x 10., y 20., z 20.

När man matar Solve gäller att båda sidor om tecknet ska ha identisk struktur eller att den ena sidan är en skalär.