Lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik Erixon Hans Heikne
Kurs 1bc Vux lärobok
Natur & Kultur
5000 Matematik
NATUR & KULTUR
Box 27 323, 102 54 Stockholm
Kundtjänst: Tel 08-453 85 00, order@nok.se Redaktion: Tel 08-453 86 00, info@nok.se www.nok.se
Order och distribution: Förlagssystem, Box 30 195, 104 25 Stockholm
Tel 08-657 95 00, order@forlagssystem.se www.fsbutiken.se
Projektledare: Irene Bonde Textredaktör: Mats Karlsson Bildredaktör: Erica Högsborn
Grafisk form och omslag: Graffoto AB och Åsa Lundbom Layout och sättning: Mats Karlsson/Devella HB
Kopieringsförbud!
Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt avtal med Bonus Presskopia och den mycket begränsade rätten till kopiering för privat bruk.
Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
© 2013 Lena Alfredsson, Lars-Eric Björk, Hans Brolin, Kajsa Bråting, Patrik Erixon, Hans Heikne, Anita Ristamäki och Natur & Kultur, Stockholm
Tryckt i Slovakien 2013 Första utgåvans första tryckning ISBN 978-91-27-43505-6
Välkommen till Matematik 5000
Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasie- skolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning och erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning.
Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättning- ar att utveckla de förmågor och nå de kunskaps- mål som beskrivs i den nya ämnesplanen.
Denna bok, Kurs 1bc Vux lärobok, riktar sig till elever som studerar på komvux och liknande utbildningar.
Kapitel 1, 2, 3, 4, 5 och 6 motsvarar kurs 1b.
Kapitel 1, 2, 3, 4.1, 4.2, 5, 6 och 7 motsvarar kurs 1c.
Hur är boken upplagd?
• Teoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel som framställs och förklaras på ett sätt som ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka matematiken.
Teorin avslutas med flera lösta exempel som belyser det viktigaste.
Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad.
• Aktiviteterna ger stora möjligheter att variera undervisningen. De finns i fem olika kategorier:
Upptäck, Undersök, Diskutera, Laborera och Modellera. De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivitet som introducerar delar av kapitlets innehåll.
• I Teman finns teori och uppgifter anpassade till ekonomi-, estetiska-, humanistiska- och samhällsvetenskapsprogrammet samt till vuxenutbildningen. I Historik, med tillhörande uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.
• På många sidor blandas uppgifter av standard- karaktär med uppgifter som kräver matematisk problemlösning. Uppgifter av den senare typen finns även samlade i speciella avsnitt som heter Problemlösning.
Varje kapitel avslutas med:
• En Aktivitet som uppmuntrar till kommunika- tion: Sant eller falskt?
• En kort Sammanfattning av kapitlet.
• Kan du det här? och Diagnos som tillsammans ger eleverna en god möjlighet till egen kunskaps- kontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par eller smågrupper värdera sina kunskaper om matematiska begrepp och strategier och i Diagnos kan de enskilt testa sina grund- läggande kunskaper. Till dessa diagnoser finns fullständiga lösningar i svarsdelen.
• Om en elev behöver repetera delar av kapitlet finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken.
Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta uppgifterna i bokens teoriavsnitt. Efter dessa repetitionsuppgifter finns sex diagnoser. De har ett liknande innehåll som diagnoserna i varje kapitelslut.
• Två olika varianter av Blandade övningar av- slutar varje kapitel. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.
Blandade övningar består av tre delar: Utan räknare, Med räknare och Utredande uppgifter.
I Svarsdelen till denna bok, Kurs 1bc Vux Lärobok, finns ledtrådar och lösningar till ett större antal av uppgifterna jämfört med Kurs 1b Grön lärobok.
Till läroboken finns en lärarhandledning med kommentarer, ytterligare aktiviteter och övnings- uppgifter samt en provbank.
Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elev- er till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder många olika möjligheter för eleverna att utveckla sina matematiska förmågor.
Mer information om läromedlet och digitalt material finns på www.nok.se/matematik5000
Innehåll
1. Aritmetik – Om tal 6 Inledande aktivitet: Lägga tal 7 1.1 Positiva tal 8
Naturliga tal 8 Räkneordning 11 Primtal och delbarhet 14 Tal i decimalform 17
Aktivitet: Undersök – Tiondelar och hundradelar 19 Multiplikation och division med tiondelar och hundradelar 20
1.2 Negativa tal 22
När används negativa tal? 22
Addition och subtraktion med negativa tal 24 Multiplikation och division med negativa tal 26 Tema: Tidszoner 28
Tema: Vinst eller förlust? 30 1.3 Tal i bråkform 32
Hur stor andel? 32
Aktivitet: Undersök – Jämföra bråktal 34 Förlängning och förkortning 35 Addition och subtraktion av bråk 37 Multiplikation och division av bråk 40 1.4 Tal i potensform 44
Vad menas med 35? 44 Några potenslagar 46 Grundpotensform 48 Enhetsbyten 50 Prefix 52
Talsystem med olika baser 54 Historik: Två historiska talsystem 57 1.5 Problemlösning 58
Avrundning och värdesiffror 58 Överslagsräkning 60 Tema: Läkemedel 62
Aktivitet: Diskutera – Det är inte bara svaret som räknas 64 Tillämpningar 65
En problemlösningsstrategi 67
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 69 Sammanfattning 1 70
Kan du det här? 1 72 Diagnos 1 73
Blandade övningar kapitel 1 74 2. Procent 78
Inledande aktivitet: Pärlorna 79 2.1 Andelen, delen och det hela 80
Beräkning av andelen i procentform 80 Beräkningar då vi vet procentsatsen 83 Tema: Försäljningspris, pålägg och marginal 86 Historik: Varifrån kommer procenttecknet? 89 Procent utan räknare 90
Promille och ppm 91 Tema: Alkohol och promille 94
2.2 Procentuella förändringar och jämförelser 96 Förändringsfaktor 96
Flera procentuella förändringar 99 Förändringar och jämförelser 102 Problemlösning 105
Tema: Moms 106 Procentenheter 108 Tema: Är skolan jämställd? 109 2.3 Lån, ränta och amortering 110
Ränta 110 Amortering 112 Avgifter 114 Index 116
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 120 Sammanfattning 2 121
Kan du det här? 2 122 Diagnos 2 123
Blandade övningar kapitel 2 124 Blandade övningar kapitel 1–2 126 3. Algebra 130
Inledande aktivitet: Beräkna värdet 131 3.1 Uttryck och ekvationer 132 Uttryck 132
Aktivitet: Diskutera – Vilka uttryck är lika? 135 Aktivitet: Undersök – Hur många stickor är det i asken? 136
Vad menas med en ekvation? 137 Att lösa ekvationer 140
Ekvationer med flera x-termer 143 Aktivitet : Undersök – Ekvationsbilder 144 3.2 Potensekvationer 148
Kvadrater och kvadratrötter 148 Ekvationen xn = a 150 3.3 Formler och mönster 152
Beräkningar med formler 152
Ställa upp och tolka formler och uttryck 155 Tema: Hastighet – sträcka – tid 158 Lösa ut ur formler 160
Aktivitet: Undersök – Bakom varje formel finns ett mönster 162
3.4 Olikheter och problemlösning 163 Olikheter 163
Problemlösning 166 3.5 Undersök och bevisa 169
Uttryck och ekvationer med parenteser 169 Faktorisera 171
Ta bort parenteser 172
Beskriva, troliggöra och bevisa 174 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 178 Sammanfattning 3 179
Kan du det här? 3 180 Diagnos 3 181
Blandade övningar kapitel 3 182 Blandade övningar kapitel 1–3 185
4. Geometri 188
Inledande aktivitet: Omkrets och area 189 4.1 Grundläggande geometri 190
Omkrets och area 190 Areaenheter 194
Omkrets och area av en cirkel 196 Historik: Talet π – Historiska fakta 198 Aktivitet: Laborera – Bygg en låda 199 Volymenheter 200
Volym 202
Aktivitet: Laborera – Slösar du med vatten? 207 Begränsningsarea av rätblock, cylinder och klot 208 4.2 Geometri och algebra 210
Aktivitet: Undersök – Trianglar och månghörningar 210 Vinklar och vinkelsumma 211
Geometri och bevis 215 Implikation och ekvivalens 218 Pythagoras sats 220
Aktivitet: Modellera – Hur många och hur länge? 224 4.3 Likformighet och symmetrier 225 (kurs 1b)
Likformighet och skala 225 Tema : Det gyllene snittet 228 Mönster och symmetrier 230
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 235 Sammanfattning 4 236
Kan du det här? 4 238 Diagnos 4 239
Blandade övningar kapitel 4 240 Blandade övningar kapitel 1–4 243 5. Sannolikhetslära och statistik 246
Inledande aktivitet: Kasta kapsyler 247 5.1 Enkla slumpförsök 248
Inledning 248
Den klassiska sannolikhetsmodellen 249 Experimentella sannolikheter 252 5.2 Slumpförsök med flera föremål eller steg 254
Försök med två föremål 254
Aktivitet: Laborera – Kasta två tärningar 256 Träddiagram 257
Aktivitet: Laborera – Lika eller olika färg? 261 Beroende händelser 262
Komplementhändelse 264 Tema: Kombinatorik 266 5.3 Statistik 267
Vad handlar statistik om? 267 Tolka tabeller och diagram 268 Medelvärde och median 273 Rita diagram med kalkylprogram 276 Vilseledande statistik 278
Tema: Hästar i Sverige 280 Tema: Spel om pengar i Sverige 281 Tema: Länder och befolkning 284 Tema: Risker i trafiken 286
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 288 Sammanfattning 5 289
Kan du det här? 5 290 Diagnos 5 291
Blandade övningar kapitel 5 292 Blandade övningar kapitel 1–5 295
6. Grafer och funktioner 298 Inledande aktivitet: Finn regeln 299 6.1 Grafer och proportionalitet 300
Koordinatsystem 300
Formel, värdetabell och graf 302 Aktivitet: Laborera – Väg –tid–diagram 306 Tolka grafer som beskriver vardagliga förlopp 307 Proportionalitet 310
Grafritande räknare 313 6.2 Funktioner 316
Funktionsbegreppet 316 Aktivitet: Upptäck – Räta linjer 320 Linjära funktioner 321
Skillnader mellan begreppen algebraiskt uttryck, ekvation, olikhet och funktion 325
Aktivitet: Upptäck – Exponentialfunktionen y = C · a x 328 Exponentialfunktioner 329
Potensfunktioner 332
Grafisk lösning av ekvationer och olikheter 334 Olika matematiska modeller 337
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 340 Sammanfattning 6 341
Kan du det här? 6 342 Diagnos 6 343
Blandade övningar kapitel 6 344 Blandade övningar kapitel 1–6 346 7. Komplettering till kurs 1c 349 7.1 Aritmetik och algebra 350
Avrundning och gällande siffror 350 Tema: Makrokosmos och mikrokosmos 352 Algebraiska uttryck 354
Ekvationer 355 Potensekvationer 356 Formler och mönster 357 7.2 Trigonometri 358
Inledning 358 Räkna med tangens 360 Sinus och cosinus 364 Blandade uppgifter 367 7.3 Vektorer 369
Definitioner och räkneoperatorer 369 Komposanter, koordinater och vektorlängd 372 Tema: Krafter och hastigheter 375
7.4 Geometri 378
Några bevis med vinklar 378 Problemlösning 380
Blandade övningar kapitel 7 382
Repetitionsuppgifter 384 Extra diagnoser med svar 393 Svar, ledtrådar och lösningar 402 Register 458
1 ARITMETIK − OM TAL
Centralt innehåll
✱ Metoder för beräkningar med tal skrivna i olika former.
✱ Primtal, delbarhet och olika talbaser.
✱ Strategier för problemlösning.
✱ Matematiska begrepp och metoder
i situationer kopplade till samhälls-
vetenskap, ekonomi, vardags- och
samhällsliv.
15343274
894789475849 777 7547 112 894789475849
55 482398678567
23 887 6744 894789475849
15343274
894789475849 777 7547 112 894789475849
55 482398678567
23 887 6744
LÄGGA TAL
Arbeta tillsammans två och två.
Skaffa fyra papperslappar och skriv siffrorna 2, 5, 1 och 7 på lapparna.
1 Med hjälp av lapparna kan du lägga olika fyrsiffriga tal. Lägg dem så att du får a) ett så stort tal som möjligt b) ett så litet tal som möjligt c) ett tal så nära 5 000 som möjligt d) ett tal så nära 6 000 som möjligt e) ett tal så nära 1 400 som möjligt.
2 Välj bland lapparna och lägg dem så att summan + blir så
a) liten som möjligt b) stor som möjligt c) nära 60 som möjligt.
3 Välj bland lapparna och lägg dem så att produkten ∙ blir så
a) liten som möjligt b) stor som möjligt c) nära 100 som möjligt.
4 Multiplikation beräknas före addition.
Välj bland lapparna och lägg dem så att + ∙ blir så
a) liten som möjligt b) stor som möjligt c) nära 20 som möjligt.
5 Skaffa nio papperslappar med siffrorna 1 till 9. Kan du lägga lapparna så att alla tre beräkningarna stämmer? Du får bara använda varje siffra en gång.
+ = − = ∙ =
Inledande aktivitet
2 5 1 7
1.1 Positiva tal
Naturliga tal
Exempel
Sveriges befolkning var 9 393 648 personer den 1 augusti 2010.
När vi ska skriva och läsa stora tal är det praktiskt att börja bakifrån och skriva siffrorna tillsammans tre och tre.
9 393 648
nio miljoner trehundranittiotre tusen sexhundrafyrtioåtta
I talet ovan har 3:an längst till vänster värdet 300 000. Vilket värde har den andra 3:an?
positionssystem Ett talsystem där siffrans värde bestäms av siffrans plats i talet kallas ett positionssystem.
9 miljoner = 9 000 000 9 miljarder = 9 000 000 000 9,4 miljoner = 9 400 000 9,4 miljarder = 9 400 000 000 miljon och
miljard
1101 Antalet kvinnor i Sverige den 30 juni 2010 var 4 706 622.
a) Skriv talet 4 706 622 med bokstäver.
b) Vilket värde har de två 6:orna i talet 4 706 622?
a) Fyra miljoner sjuhundrasex tusen sexhundratjugotvå.
b) Den vänstra 6:an visar att det är 6 tusental. Värdet är 6 000.
Den högra 6:an visar att det är 6 hundratal. Värdet är 600.
1102 Ge två olika exempel på
a) en addition av tre tal där summan är 1 200.
b) en multiplikation av två tal där produkten är 1 200.
a) T ex 900 + 100 + 200 = 1 200 och 400 + 400 + 400 = 1 200 b) T ex 30 · 40 = 1 200 och 2 · 600 = 1 200
Det finns många olika typer av tal, t ex heltal, decimaltal och tal i bråkform.
När vi som barn började räkna använde vi talen 0, 1, 2, 3, 4, 5, … naturliga tal De kallas naturliga tal och består av de positiva heltalen och talet noll.
Vi repeterar de fyra räknesätten och några matematiska begrepp.
Fyra räknesätt
Addition Subtraktion
5 + 13 = 18 18 – 5 = 13
Multiplikation Division
5 · 80 = 400 = 80
termer
summa
termer
differens
faktorer
produkt
400 5 täljare
nämnare kvot
1112 Ge två olika exempel på en
a) addition av tre tal där summan är 40 000 b) multiplikation av två tal där produkten är 40 000.
1113 Angela har glömt sin portkod. Men hon kommer ihåg att första siffran är en 1:a och att siffrorna 3, 5 och 7 också finns med i den fyrsiffriga koden.
Vilka är de möjliga koderna?
1114 År 2008 gick det 460 000 barn i förskolan i Sverige. Den totala kostnaden per barn var ca 100 000 kr per år.
Ungefär hur stor var den totala kostnaden för förskolan i Sverige år 2008? Svara i miljarder.
1115 Produkten 16 ∙ 40 = 640. Vad är då a) 17 ∙ 40 b) 16 ∙ 41 c) 40 ∙ 15 1116 Ett naturligt tal som slutar på 1, 3, 5, 7 eller
9, är ett udda tal. Leon påstår att det finns 12 udda tresiffriga heltal där hundratals siffran är dubbelt så stor som tiotalssiffran.
Är det sant?
Lös följande uppgifter utan räknare.
1103 Skriv med siffror a) tjugofem tusen
b) tjugofem tusen tre hundra c) två miljoner
d) två miljoner femhundra tusen e) tre miljarder
1104 Vilka tal saknas?
a) 378 = 300 + + 8 b) 1 026 = 600 + + 26 c) 55 804 = 48 000 + + 804 1105 Beräkna
a) 3 000 kr – 500 kr b) 30 000 kr – 5 000 kr c) 30 000 kr – 500 kr d) 3 000 kr – 50 kr 1106 Beräkna
a) 4 ∙ 8 c) 400 ∙ 80 b) 400 ∙ 8 d) 2 ∙ 4 ∙ 8 1107 I vilket räknesätt beräknar man
en differens?
1108 Skriv med bokstäver
a) 86 400 (antal sekunder på ett dygn) b) 720 000 (antal fritidsbåtar i Sverige) c) 36 000 000 000 (kostnaden i kr för den svenska gymnasieskolan 2008)
1109 Vilket värde har siffran 3 i talet a) 237 c) 375 000 b) 13 066 d) 83 000 000?
1110 Vid multiplikation spelar ordningen ingen roll, t ex 4 ∙ 7 = 7 ∙ 4.
Gäller det alla räknesätt?
1111 Steve skulle skriva 3 850 kr, men skrev fel.
Siffrorna 3 och 5 bytte plats med varandra.
Hur mycket större blev beloppet?
Räkneordning
När vi ska beräkna en summa spelar det ingen roll i vilken ordning vi adderar termerna. 31 + 86 = 86 + 31.
Denna räknelag kan skrivas: a + b = b + a
När vi ska beräkna en produkt spelar det ingen roll i vilken ordning vi multiplicerar faktorerna. 31 ∙ 86 = 86 ∙ 31.
Denna räknelag kan skrivas: a ∙ b = b ∙ a eller ab = ba.
Spelar det någon roll i vilken ordning vi räknar när flera räknesätt är inblandade?
Exempel På ett gym kostar det 700 kr per år att vara medlem.
Ett träningspass kostar 85 kr.
Kostnaden (kr) att bli medlem och gå på 10 träningspass kan skrivas
som 700 + 10 ∙ 85.
Här måste vi beräkna multiplikation före addition.
700 + 10 ∙ 85 = 700 + 850 = 1550
Skulle vi beräkna additionen först, får vi ett annat resultat!
Räkneordning
Vid beräkningar med flera räknesätt:
1. Först parenteser
2. Därefter upphöjt till (potenser) 3. Sedan multiplikation och division 4. Sist addition och subtraktion.
1117 Beräkna utan räknare
a) 12 – 7 + 3 b) (4 + 5) · 7 c) 4 + 5 · 7
a) Vi kan räkna på olika sätt.
Alternativ 1: 12 – 7 + 3 = 5 + 3 = 8 Alternativ 2: 12 – 7 + 3 = 15 – 7 = 8 b) Parentesen först: (4 + 5) · 7 = 9 · 7 = 63
c) Multiplikationen först: 4 + 5 · 7 = 4 + 35 = 39
1118 Beräkna med räknare
a)
87 122
415 775
−
+ b)
6 19 8208
·
När vi använder räknare till dessa beräkningar måste vi sätta ut parenteser.
a)
87 122
415 775
−
+ = (775 + 415) / (122 – 87) = 34
b)
6 19 8208
· = 8 208 / (19 ∙ 6) = 72
1119 Beräkna utan räknare
a) 8 – 5 + 1 c) 6 + 3 · 2 b) 3 · 8 – 6 d) 30 – 10 · 2 1120 Beräkna utan räknare
a) 150 – 30 + 10 c) 40 + 30 · 2 b) 10 · 8 – 5 d) 800 – 300 · 2 1121 Beräkna utan räknare
a) 2 + 5 · 8 c) 2
14 16 +
b) (5 + 2) · 4 d) 3 5
12 20
+ +
1122 Beräkna utan räknare. Kontrollera sedan dina svar med räknare.
a) 25 + 25 · 6 c) 30/5 – 2 b) (25 + 25) · 6 d) 30 /(5 – 2)
1123 Entrépriserna till Kolmårdens djurpark år 2010 var 150 kr för barn och 250 kr för vuxna.
Beräkna utan räknare kostnaden för en grupp på
a) 10 barn och 4 vuxna b) 4 barn och 10 vuxna.
1124 Malin har handlat några av de frukter som bilden visar.
Vad har hon köpt om hon ska betala a) 2 · 5 + 3 c) 4 + 7 · 3 + 5 b) 2 · (5 + 3) d) 9 · 4 + 7 · (3 + 5)
3 kr/st 4 kr /st 5 kr/st
3 kr/st 4 kr/st 5 kr/st1125 Lenny använder sin räknare till beräkningen
1 2
6 9
+ + .
Han trycker 9 + 6 / 2 + 1.
a) Vilket resultat visar räknaren?
b) Vilket fel gör Lenny?
c) Vilket är rätt svar?
1126 Beräkna a)
65 37
1326
+ c)
149 327
4272
− b)
13 69
87 + d)
33 23 76659
·
1127 Jasmine köper 4 godispåsar till sina 3 barn.
Varje påse innehåller 18 godisbitar.
Hur många bitar får varje barn om de delar lika?
A: 4 · 318 C: 4 · 18 · 3 B: 4 · 183 D: 4 + 3 · 18
1128 I en hiphop-förening kostar det 250 kr att vara medlem. För medlemmar är priset per konsert 150 kr. Hassan är medlem i föreningen och går på fem konserter.
Genomsnittskostnaden per konsert kan beräknas med
5 150 5 250 + ·
Beräkna genomsnittskostnaden a) utan räknare
b) med räknare.
1129 Beräkna utan räknare a)
20 60
7 · b)
30 40 60 ·
1130 Beräkna utan räknare. Kontrollera dina svar med räknare.
a) 7 · 5 + 3 · 5 c) 3
7 3 6+ ·
b) 13 – 3 · 2 + 2 d)
1 3
7 2 6 5
+
· +
·
1131 Vilket tal ska stå i rutan?
a) 5 + 5 ∙ = 20 c) 4 ∙ 8 – 2 ∙ = 20 b) ∙ 8 + 2 = 50 d) 30 + 5 ∙ = 70 1132 Beräkna utan räknare. Kontrollera dina
svar med räknare.
a) 50 · 6 + 4 · 50 – 10 b) 450 – 50 · 6 + 2 · 15 c)
5 7 40
40 + ·
d)
4 25 20 5
800 5 25 200
· +
·
· +
·
1133
På en lunchrestaurang kostar Dagens rätt 79 kr. Om man köper ett rabatthäfte får man 10 lunchkuponger för 700 kr.
Lovisa skriver (10 ∙ 79 – 700) / 10.
Vad är det som Lovisa vill beräkna?
Primtal och delbarhet
Exempel En lärare ska dela upp 17 elever i grupper. Hur hon än gör är det omöjligt att dela upp eleverna så att de blir lika många i varje grupp.
Talet 17 går bara att dela med 1 och 17.
primtal Positiva heltal som bara går att dela med 1 och sig självt kallas primtal.
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11 och 13.
Talet 1 räknas inte som primtal.
sammansatta tal Alla heltal större än 1 är antingen primtal eller sammansatta tal.
primtalsfaktorer Alla sammansatta tal kan delas upp i primtalsfaktorer, dvs faktorer som är primtal. Talet 30 är ett sammansatt tal.
30 = 2 ∙ 3 ∙ 5
Redan Euklides, som var en grekisk matematiker på 300-talet f Kr, visade att listan på primtal aldrig tar slut. Det finns alltså hur stora primtal som helst!
Primtal används idag inom datasäkerhet för att kryptera känsliga data.
Krypteringen sker med ett mycket stort tal som är en produkt av två 100-siffriga primtal.
Även med dagens datorer är det tidsmässigt omöjligt att identifiera det 200-siffriga talet och knäcka koden!
Primtalsfaktorer (=primfaktorer)
När du gör bankaffärer över nätet används primtal för att kryptera informationen.
1134 a) Dela upp talet 42 i primfaktorer.
b) Vilka positiva tal är 42 delbart med (utöver 1 och 42)?
a) Faktoruppdelningen underlättas om vi ritar ett s k faktorträd.
De kan se olika ut, men resultatet blir detsamma.
Vi avläser primfaktorerna 42 = 2 ∙ 3 ∙ 7
b) 42 är delbart med 2, 3 och 7 och produkter av dessa tal.
2 ∙ 3 = 6 2 ∙ 7 = 14 3 ∙ 7 = 21 Svar: 42 är delbart med 2, 3, 6, 7, 14 och 21.
42
2 21
3 7
42
6 7
2 3
42 = 2 · 21
delbarhet Ett sammansatt tal är alltid delbart med primfaktorerna och deras produkter. Talet 18 kan delas upp i primfaktorerna 2 ∙ 3 ∙ 3
Produkter av dessa tal är 2 ∙ 3 = 6
3 ∙ 3 = 9
18 är alltså delbart med 2, 3 , 6 och 9 (förutom 1 och 18).
Detta innebär också att kvoterna 18/2, 18/3, 18/6 och 18/9 är heltal.
Ytterligare några delbarhetsregler:
1 Vilka tal är delbara med 2?
Svar: Alla jämna tal, t ex 18, 280 och 6 590.
2 Vilka tal är delbara med 3?
Delbarhetsregler Svar: Alla tal vars siffersumma är delbara med 3, t ex 201 och 642.
3 Vilka tal är delbara med 5?
Svar: Alla tal som slutar på 0 eller 5, t ex 45, 920 och 1 015.
642 har siffersumman 6 + 4 + 2 = 12
42 = 6 · 7
1135 Är talet ett primtal eller ett sammansatt tal?
a) 9 b) 11 c) 21 d) 23 1136 Vilka av talen 165, 168 och 170 är
a) delbara med 2 b) delbara med 5?
1137 Rasmus skriver 60 = 2 ∙ 5 ∙ 6. Har Rasmus delat upp talet 60 i primfaktorer?
Motivera.
1138 a) Rita av faktorträdet och fyll i de tal som
saknas.
b) Dela upp talet 54 i primtalsfaktorer.
1139 Vilka primtal finns mellan 10 och 30?
1140 a) Rita av faktorträdet och fyll i de tal som saknas i rutorna.
b) Dela upp talet 24 i primfaktorer.
c) Vilka postiva tal är 24 delbart med (förutom 1 och 24)?
1141 a) Vilken siffersumma har talet 231?
b) Är 231 delbart med 3?
c) Vilken siffersumma har talet 521?
d) Är 521 delbart med 3?
1142 Är talet ett primtal eller ett sammansatt tal?
a) 63 b) 19 c) 592 d) 327 Förklara hur du tänker.
1143 Vilka av talen 135, 235, 448, 640 och 2010 är delbara
a) med 3 b) med 5 c) med 15?
1144 a) Rita av faktorträdet och skriv tal i rutorna.
b) Dela upp talet 48 i primfaktorer.
c) Vilka positiva tal är 48 delbart med?
1145 Varför måste ett tal som är delbart med 10 också vara delbart med både 2 och 5?
1146 Vilket är det största tvåsiffriga primtalet?
1147 Summan av tre på varandra följande heltal är alltid delbar med 3.
a) Visa med ett eget exempel att detta är
sant.
b) Förklara varför detta är sant.
1148 Inför en temadag på en skola ska eleverna delas upp i grupper. Om eleverna delas upp i par, så blir det en elev över. Likadant blir det om antalet elever i grupperna är
3, 5 eller 7.
Antalet elever på skolan är mindre än 500.
Vilket är antalet?
2 24 6
54
48
Tal i decimalform
Exempel 1 Vid VM i friidrott 2009 vann Usain Bolt löpning 100 m på den nya världsrekordtiden 9,58 sekunder.
Decimalerna i talet 9,58 kan uttryckas på olika sätt:
eller
5 tiondelar
8 hundradelar 58 hundradelar Talet 9,58 kan visas på två olika tallinjer.
Exempel 2 Vi jämför talet 9,58 med talet 9,6. Vilket är störst?
9,6 kan skrivas som 9,60 eftersom 6 tiondelar = 60 hundradelar.
9,6 är större än 9,58.
9 , 5 8
9,0 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 10,0
9,00 9,10 9,20 9,30 9,40 9,50 9,60 9,70 9,80 9,90 10,00
9 , 5 8
Hundradelar Tiondelar
1151 Skriv som ett tal i decimalform a) 2 tiondelar
b) 4 hundradelar c) 24 hundradelar
d) 4 tiondelar och 5 hundradelar.
1152 Skriv talen i storleksordning med det minsta talet först.
a) 7,1 7,08 7,15 7,2 7,18 b) 2,01 2,005 2,105 2,11 2,015 c) 0,9 0,87 0,902 0,099 0,805 1153 Vilket tal pekar pilen på?
1154 Beräkna utan räknare
a) 0,3 + 0,25 c) 0,65 + 0,2 b) 0,3 – 0,25 d) 0,65 – 0,2 1155 Skriv med ord
a) 0,009 b) 0,072
1156 Skriv som ett tal i decimalform
a) 5 tusendelar c) 175 tusendelar.
b) 75 tusendelar
1157 Vilket tal pekar pilarna A och B på?
1158 Anna sprang 100 m på 14,76 sekunder.
a) Belinda sprang två tiondelar snabbare.
Vilken var Belindas tid?
b) Carlos sprang sju hundradelar långsam- mare än Anna. Vilken var Carlos tid?
c) Dolores sprang 35 hundradelar snabbare än Anna. Vilken var Dolores tid?
d) Eric sprang 82 hundradelar snabbare än Anna. Vilken var Erics tid?
1159 Vilket samband finns mellan begreppen tiondel och hundradel?
1160 Kostnaden för sjukvården i ett landsting beräknades ett år till 6,3 miljarder kr.
De verkliga kostnaderna blev 500 miljoner kr större.
Hur stora blev de verkliga kostnaderna?
1161 Vilket tal ligger mitt emellan a) 0,4 och 1,4
b) 0,02 och 0,03 c) 0,02 och 0,2 ?
1162 Beräkna utan räknare differensen mellan a) en tiondel och en hundradel
b) en hundradel och en tusendel
c) tre hundradelar och fjorton tusendelar.
1 2 1 2
a) b)
c) d)
1149 Skriv som ett tal i decimalform
a) 7 hundradelar b) 45 tusendelar
a) 7 hundradelar = 0,07 b) 45 tusendelar = 0,045
1150 Beräkna utan räknare
a) 2,1 + 4,65 a) 2,1 + 4,65 = 2,10 + 4,65 = 6,75 b) 0,4 – 0,38 b) 0,4 – 0,38 = 0,40 – 0,38 = 0,02
0,1 0,2
A B
Tiondelar och hundradelar
Materiel: Räknare
1 Du har fyra tal: 24 50 3,8 0,42 Undersök med hjälp av miniräknare:
a) Dividera talen med 10. Skriv upp divisionen och svaret.
b) Multiplicera talen med 0,1. Skriv upp multiplikationen och svaret.
c) Vad kan du säga om resultatet då ett tal divideras med 10 jämfört med resultatet då samma tal multipliceras med 0,1?
d) Skriv en regel som visar hur decimalkom- mat flyttas då ett tal multipliceras med 0,1 eller divideras med 10.
e) Använd din regel för att med huvudräkning beräkna följande uppgifter:
4510 0,1 ∙ 750 2,5 ∙ 0,1
0,5
10 0,3 ∙ 0,1 0,85 10
Skriv upp divisionen/multiplikationen och svaret. Kontrollera sedan svaren med räknaren.
2 Välj två heltal och två decimaltal.
Undersök med hjälp av räknare:
a) Multiplicera talen med 100. Skriv upp multiplikationen och svaret.
b) Dividera talen med 0,01. Skriv upp divisionen och svaret.
c) Vad kan du säga om resultatet då ett tal divideras med 0,01 jämfört med resultatet då samma tal multipliceras med 100?
d) Skriv en regel som visar hur decimalkom- mat flyttas då ett tal multipliceras med 100 eller divideras med 0,01.
e) Använd din regel för att med huvudräkning beräkna följande uppgifter:
20,01 100 ∙ 7,5 0,35 ∙ 100
3,8
0,01 0,008 ∙ 100 0,045 0,01 Skriv upp divisionen/multiplikationen
och svaret. Kontrollera sedan svaren med räknaren.
UNDERSÖK
Aktivitet
Multiplikation och division med tiondelar och hundradelar
Exempel 1 Hur kan vi inse att 5
10 = 0,5?
5 äpplen ska delas lika av 10 personer.
Varje person får då ett halvt äpple. En halv = 0,5.
likadelning Detta sätt att tänka om division kalls likadelning.
Exempel 2 Hur kan vi inse att 6
0,1 = 60 ? Vi tar hjälp av följande exempel:
Du vill dela ett snöre som är 6 m i lika långa delar.
Om du gör delarna 2 m långa, får du 6
2 = 3 stycken delar Om du gör delarna 0,5 m långa, får du 60,5 = 12 stycken delar
Om du gör delarna 0,1 m långa får du 6
0,1 = 60 stycken delar
Vi kan tänka hur många nämnare ”får plats” i täljaren eller hur många nämnare ”innehåller” täljaren.
innehållsdivision Detta sätt att tänka om division kallas innehållsdivision.
Exempel 3 Hur kan vi inse att 0,1 · 5 = 0,5 ?
0,1 ∙ 5 = 5 ∙ 0,1 = 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,5
en tiondel + en tiondel + en tiondel + en tiondel + en tiondel = fem tiondelar Faktorerna kan byta plats: a · b = b · a
6 m
2 m
2 m 2 m
0,5 m
0,1 m
Lös följande uppgifter utan räknare.
1165 Beräkna
a) 10 ∙ 12,5 c) 0,1 ∙ 15,3 b) 10 ∙ 43,28 d) 0,1 ∙ 9 1166 Beräkna
a) 25,4
10 b) 32,50
0,1 c) 2
0,1 1167 Beräkna
a) 100 ∙ 50,25 c) 0,01 ∙ 600 b) 100 ∙ 4,2 d) 0,01 ∙ 26 1168 Beräkna
a) 95
100 b) 32,50
0,01 c) 28
0,01 1169 En bunt med 100 papper är 12 mm tjock.
Vilken tjocklek har ett papper?
1170 Priset på ett 10-pack med batterier är 58,90 kr. Vilket pris per styck motsvarar det?
1171 Vilket tal ska stå i rutan?
a) 75 ∙ = 7,5 c) ∙ 5 = 0,05 b) 3 = 0,03 d) 5,3
= 53 1172 Du har ett snöre som är 120 m långt. Du
delar snöret i lika långa delar. Hur många delar får du om varje del är
a) 10 m c) 0,5 m
b) 2 m d) 0,1 m?
1173 Vilket tal ska stå i rutan?
a) 20
0,1 = 20 ∙ c) 100 ∙ 7 = 7 b) 4,5 ∙ 0,1 = 4,5 d) 0,25 ∙ = 0,25
0,01 1174 1 centiliter = 0,01 liter. Hur många
10-centilitersglas kan du fylla om du har 25 liter saft?
1175 Vid frukosten läser Erika innehålls- deklarationen på mjölkförpackningen.
Beräkna mängden a) protein i 1 g mjölk b) socker i 10 g mjölk c) natrium i 1 000 g mjölk.
1163 Beräkna
a) 100 · 25,2 b) 0,1 · 3,5 c) 0,01 · 64
a) 100 · 25,2 = 2520 b) 0,1 · 3,5 = 0,35 c) 0,01 · 64 = 0,64
1164 Beräkna a) 3
0,1 b) 8,1
0,01 c) 8,1
100
a) 3
0,1 = 30 b) 8,1
0,01 = 810 c) 8,1
100 = 0,081
1.2 Negativa tal
När används negativa tal?
När temperaturen är under noll grader använder vi negativa tal för att tala om hur många grader det är.
Negativa tal används även för att ange t ex behållningen på ett konto, utgifter, ekonomiska resultat och tidsskillnad mellan olika länder.
tallinje Här nedan ser du några tal markerade på en tallinje.
Vi jämför de markerade talens storlek på följande sätt:
olikhetstecknen Lägg märke till att båda olikhetstecknen > (större än) och < (mindre än) pekar med spetsen mot det mindre talet.
När du ska räkna med negativa tal kan du ta hjälp av en termometerskala.
Negativa tal
–2 3
Positiva tal 0
–1
–5 –4 –3 1 2 4 5
Nollpunkten kallas origo.
På tallinjen Med ord Med symboler
2 ligger till höger om –3 2 är större än –3 2 > –3 –5 ligger till vänster om –3 –5 är mindre än –3 –5 < –3
minskar 7°
0 1 2 3 4 5 6 7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
0 1 2 3 4 5 6 7 ökar 7°
–6 –5 –4 –3 –2 –1
Temperaturen är −5° och ökar 7 °.
−5 + 7 = 2
Temperaturen är 4° och minskar 7 °.
4 − 7 = −3
1201 Beräkna utan räknare
a) 2 – 5 b) –2 + 5 c) – 2 – 5 + 1
a) 2 – 5 = – 3 b) –2 + 5 = 3 c) –2 – 5 + 1 = –7 + 1 = –6
1.2 Negativa tal
När används negativa tal?
1210
Idealresultat på en golfbana är 72 slag.
Resultatet 74 slag anges då som +2.
Ange följande resultat på detta sätt.
a) Henrik 69 slag c) Anna 71 slag b) Sophie 75 slag d) Darren 70 slag 1211 Temperaturen sjönk från 3 ºC till –2 ºC på
en timme.
Vilken blir temperaturen, om den sjunker med lika många grader nästa timme?
1212 En dag varierade utomhustemperaturen mellan –2,5 ºC och +4,1 ºC.
Hur stor var temperaturskillnaden den dagen?
1213 Vilka belopp ska stå i de tomma vita rutorna?
1214 Vilket tal ligger mitt emellan a) 3 och 7 d) –8 och –2 b) –2 och 6 e) –5 och 0 c) –3 och 5 f) –25 och –3?
Insättning Uttag Behållning 2 000
3 800 –1 800
2 500
–800 Lös följande uppgifter utan räknare.
Kontrollera svaren med räknare.
1202 Temperaturen är –2º. Vad blir den om den a) ökar med 5º b) minskar med 4º?
1203 9 – 5 = 4 Vad blir 5 – 9?
1204 Beräkna
a) 3 – 5 d) –8 + 2 b) –3 – 5 e) 2 – 8 c) –3 + 5 f) –8 – 2
1205 När Lotta var på vintersemester i fjällen noterade hon temperaturen några gånger under ett dygn.
kl 07.00 –6º kl 18.00 –3º kl 12.00 +2º kl 22.00 –10º Med hur många grader
a) steg temperaturen under förmiddagen b) sjönk temperaturen under eftermiddagen c) sjönk temperaturen under kvällen?
1206 Vad betyder –1 500 kr på ett bankkonto?
1207 Agnes saldo på bankkontot är –450 kr.
Hur mycket pengar har hon på sitt konto om hon
a) sätter in 500 kr c) tar ut 200 kr b) sätter in 200 kr d) sätter in 350 kr?
1208 Beräkna
a) 7 – 5 + 1 c) –1 – 3 + 1 b) –2 + 5 – 1 d) 1 – 7 + 2 1209 Sätt ut rätt olikhetstecken, > eller <,
mellan talen.
a) 5 –2 c) –2 –1
b) –2 5 d) 0 –7
Addition och subtraktion med negativa tal
Exempel 1 Vad blir 3 000 + (−400)?
Karl har två bankkonton med kredit.
På det ena kontot har han 3 000 kr och på det andra en skuld på 400 kr.
Om man slår ihop, dvs adderar, de två kontona blir summan:
3 000 kr + (−400 kr) = 2 600 kr
Vi ser att detta kan beräknas med subtraktionen 3 000 kr − 400 kr = 2 600 kr
Sammanfattning
Två olika tecken efter varandra kan ersättas med ett minustecken.
3 000 + (−400) = 3 000 − 400 = 2 600
Exempel 2 Vad blir 300 − (−50) ? Vi tar hjälp av följande bild.
a) Hur högt över huset flyger luftballongen?
300 m − 100 m = 200 m b) Hur högt över dykaren flyger
luftballongen?
På samma sätt som ovan får vi 300 m − (−50) m = ?
Av figuren ser vi att detta kan beräknas med additionen 300 m + 50 m = 350 m
Sammanfattning
Två lika tecken efter varandra kan ersättas med ett plustecken.
300 − (−50) = 300 + 50 = 350
På de flesta räknare finns det två olika knappar för minustecken.
(−) för negativa tal och – för subtraktion.
300
100
– 50 0 m
Bilden visar läget av en luftballong, en dykare och en u-båt.
1216 a) Vilket avstånd svarar mot 200 − (−50)?
b) Vad blir 200 − (−50)?
1217 a) Vilket avstånd svarar mot 200 − (−200)?
b) Vad blir 200 − (−200)?
1218 Två konton slås ihop.
Bestäm summan.
a) + 2 700 kr och – 700 kr b) – 900 kr och – 400 kr
Lös uppgifterna 1219−1222 utan räknare.
1219 a) 5 + (−2) c) −5 + (−7) b) 9 + (−5) d) −6 + (−2) 1220 a) 8 − (−2) c) −7 − (−9) b) 1 − (−1) d) −9 − (−5) 1221 a) 25 + (−15) c) 25 − (−15)
b) −25 + (−15) d) −25 − (−15)
1222 a) − 12 − 5 d) − 16 − (−10) b) 24 + (− 7) e) − 23 + 5 c) − 9 + 19 f) − 14 + (− 7) 1223 Ge exempel på två tal som gör att beräk-
ningen stämmer. Du kan tänka på två konton.
a)
positivt tal +
negativt tal
= 2 000
b)
positivt tal +
negativt tal
= −2 000
c)
negativt tal +
negativt tal
= −2 000
1224 Beräkna temperaturändringen,
dvs sluttemperatur minus starttemperatur.
Starttemperatur Sluttemperatur a) +17 °C +23 °C
b) +9 °C −3 °C
c) −11 °C +4 °C
d) −4 °C −13 °C
1225 Kan två negativa tal ha a) summan 20? Förklara.
b) differensen − 20? Förklara.
1226 Vilket tal ska stå i den tomma rutan?
a) 21 + = 5 c) − 42 + = 37 b) 12 − = 30 d) − 15 − = 24 1215 Beräkna
a) 5 + (−2) c) 5 − (−2)
b) −5 + (−2) d) −5 −(−2)
a) 5 + (−2) = 5 − 2 = 3
b) −5 + (−2) = −5 − 2 = −7 c) 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 d) −5 − (−2) = −5 + 2 = −3
Tecknen + (–) ersätts med –
Tecknen – (–) ersätts med +
200
– 50 0 m
–200
Multiplikation och division med negativa tal
Våra vanliga räkneregler gäller även för negativa tal.
multiplikation 3 · (–4) = (–4) + (–4) + (–4) = –12
(–4) · 3 = 3 · (–4) = –12
(–4) · (–3) = 12
division 3
–12 = –4 eftersom 3 · (–4) = –12
–3
12 = –4 eftersom (–3) · (–4) = 12
–3
–12 = 4 eftersom (–3) · 4 = –12
Vid multiplikation och division med negativa tal gäller:
1227 Beräkna
a) 8 ∙ (– 6) b) (– 5) ∙ (– 7) c) (– 72) /8 d) (– 56) /(– 8)
a) 8 ∙ (– 6) = – 48 c) (– 72) /8 = – 9
b) (– 5) ∙ (– 7) = 35 d) (– 56) /(– 8) = 7
1228 Beräkna
a) 14 + (– 2) ∙ 3 b) 25 – (– 5) ∙ (– 2)
Vi räknar multiplikationen först.
a) 14 + (– 2) ∙ 3 = 14 + (– 6) = 14 – 6 = 8 b) 25 – (– 5) ∙ (– 2) = 25 – 10 = 15
Olika tecken ger minus.
Sammanfattning
2 · (–5) = –10
(–2) · 5 = –10 (–2) · (–5) = 10 (–10) / 2 = –5 (–10) / (–2) = 5 10 / (–2) = –5
Lika tecken ger plus.
Multiplikation är upprepad addition 3 · a = a + a + a
Faktorerna kan byta plats a · b = b · a
Se uppgift 1237.
Division kan omformas till multiplikation.
ba = c kan skrivas bc = a
1229 Beräkna utan räknare
a) 7 ∙ (– 9) c) (– 6) ∙ (– 2) b) (– 4) ∙ 8 d) (– 12) ∙ 0 1230 a) (– 14) / 2 c) (– 81) / (– 9)
b) 36 / (– 4) d) –3 /1 1231 Vilket tal ska stå i den tomma rutan?
a) (– 7) ∙ = 21 c) (– 4) ∙ = – 24 b) ∙ (– 5) = – 40 d) 2 ∙ (– 2) ∙ = 8 1232 Vilket tal ska stå i den tomma rutan?
a) – 16 = – 8 c) – 6 = 6 b) 45 = – 5 d)
– 4 = – 8 1233 Beräkna utan räknare
a) 3 ∙ (– 4) + 2 c) 5 + (– 2) ∙ (– 3) b) 10 + (– 5) ∙ 6 d) – 8 + 3 ∙ (– 4)
1234 a) (– 6) · (– 2)
4 b) – 24
2 · (– 6) 1235 a) (– 2) ∙ (– 3) ∙ (– 4)
b) (– 3) ∙ 7 + (– 4) ∙ (– 5)
1236 Beräkna och ordna därefter resultaten i storleksordning med det minsta först.
(– 5) ∙ 3 – 28
– 4 9 ∙ (– 2) (– 3) ∙ (– 2) 32 – 2 1237 Läs uppifrån och ned.
Studera mönstret i multiplikationerna.
3 ∙ (–3) = –9 2 ∙ (–3) = –6 1 ∙ (–3) = –3 0 ∙ (–3) = 0 (–1) ∙ (–3) = ?
a) Hur ändras den första faktorn?
b) Hur ändras produkten?
c) Vad bör (–1) ∙ (–3) bli om mönstret fortsätter?
d) Vad är (–4) ∙ (–3)?
1238 Daniel läser i en bok att beräkningen 1,8 ∙ (– 10) + 32 omvandlar temperaturen – 10 grader Celsius (°C) till grader Fahren-
heit (°F).
Vilken temperatur i grader Fahrenheit a) motsvarar –10 °C
b) motsvarar –20 °C om man räknar på samma sätt som för – 10 °C?
1239 När det blåser storm och termometern visar – 4 °C ger beräkningen 3 · (– 4)
2 – 15 den temperatur vi upplever.
a) Vilken temperatur ger beräkningen?
b) Beräkna på samma sätt den temperatur vi upplever i en storm om termometern visar – 20 °C.
1240 Du har talen
3, – 2, 0, 1, – 1, – 4, 2 Vilka två tal ger den a) största produkten b) minsta produkten?
1241 Vilket tal ska stå i den tomma rutan?
a) 40– 4 + = 30 b) 4 + (– 3) ∙ = 25 c) 50 + (– 2) ∙ = – 10 d) 8 ∙ – 35 = – 75
Tema
Tidszoner
Jorden är indelad i 24 tidszoner med normalt 1 timmes tidsskillnad.
Nollzonen går genom samhället Greenwich strax utanför London.
Greenwich Mean Time (GMT) är världens standardtid.
Tidsskillnaden i timmar mellan några olika platser och London
Los Angeles – 8 London 0 Moskva +3
Chicago – 6 Stockholm +1 Tokyo +9
New York – 5 Athen +2 Melbourne +10
Så här tolkas tabellen:
När klockan är 18 i London, är den i Chicago 18 – 6 = 12.
När klockan är 18 i London är den i Moskva 18 + 3 = 21.
Plats Chicago – 6 London 0 Moskva +3
6 timmar efter London 3 timmar före London
Tid kl 12.00 kl 18.00 kl 21.00
Moskva är 9 timmar före Chicago, eftersom skillnaden mellan 3 och –6 är 9.
1 Hur många timmar före Stockholm är a) Moskva b) Tokyo?
2 Hur många timmar efter Stockholm är a) New York b) Los Angeles?
3 Hur många timmar före Los Angeles är a) New York b) Moskva?
4 Hur många timmar efter Tokyo är
a) Athen b) Chicago?
5 Vad är klockan på följande platser, om den är 10.00 i London?
a) Stockholm c) Moskva b) New York d) Chicago
6 Vad är klockan på följande platser, om den är 16.00 i Stockholm?
a) Athen c) London
b) Tokyo d) Los Angeles
7 Finalen i US Open i tennis avgörs i New York.
Den sänds direkt i TV via satellit.
Matchen börjar kl 19.00 lokal tid.
När kan den ses i
a) London c) Melbourne b) Stockholm d) Los Angeles?
8 Ett flygplan startar kl 10.30 från Kastrup i Danmark (Stockholms tidszon) och flyger direkt till Seattle (Los Angeles tidszon).
Flygtiden är 9 h.
När är planet framme lokal tid i Seattle?
9 Ett flygplan startar kl 15.05 från Arlanda utanför Stockholm och flyger direkt till Tokyo. Flygtiden är 10 h 15 min.
När är planet framme lokal tid i Tokyo?
10 Du flyger från Los Angeles till Melbourne.
Flygtiden är 16 h. Du startar den 10 januari kl 09.00.
När är du framme?
Tema
Vinst eller förlust?
Exempel 1 Jenny och Mia har ett litet företag som designar, tillverkar och säljer kläder. Förra året köpte de varor för 150 000 kr och sålde dem för 385 000 kr. Företagets kostnader för löner, lokaler, reklam m m var sammanlagt 165 000 kr.
Företagets intäkter och kostnader var:
Intäkter Kostnader
Försäljning: 385 000 kr Inköp av varor: 150 000 kr
Försäljningskostnader: 165 000 kr
315 000 kr
Resultatet = 385 000 kr – 315 000 kr = 70 000 kr.
Resultat
Exempel 2 Ett företag köpte ett år nya maskiner till sin tillverkning. Maskinerna kostade 100 000 kr. Under året köpte man varor för 43 000 kr.
Försäljningskostnaderna (löner, marknadsföring mm) var 60 000 kr.
Under året sålde man varor för 150 000 kr.
Det kan verka som om verksamheten gick med förlust under året. Man hade utgifter på sammanlagt 203 000 kr men fick bara in 150 000 kr.
I det här fallet måste man dock tänka på att de inköpta maskinerna kan användas under flera år.
Om vi antar att maskinerna kan användas i 5 år och att de minskar i värde lika mycket varje år blir värdeminskningen 20000
5 100000
= kr per år.
Siffrorna för året blir då så här:
Intäkter Kostnader
Försäljning: 150 000 kr Värdeminskning: 20 000 kr
Inköp av varor: 43 000 kr
Försäljningskostnader: 60 000 kr
123 000 kr
Resultatet = 150 000 kr – 123 000 kr = 27 000 kr
Verksamheten har alltså under året gett en vinst på 27 000 kr!
Resultat = Intäkter – Kostnader
Positivt värde på resultatet innebär vinst.
Negativt värde på resultatet innebär förlust.
Resultat räknas utan moms. I detta avsnitt är alla priser givna utan moms.
1 Företaget AlfaStar redovisar följande:
Intäkter 210 000 kr
Kostnader
Inköp av varor 169 000 kr
Hyra 28 000 kr
Övriga kostnader 17 000 kr Beräkna företagets resultat.
2 Under en sommarvecka säljer Petter jordgubbar vid en badstrand. Hans kostnader är följande:
Inköp av 300 liter
jordgubbar 3 600 kr
Frakt 500 kr
Reklam 400 kr
Beräkna resultatet om han säljer a) alla jordgubbarna för 20 kr/l
b) 200 liter för 29 kr/l och resten för 19 kr/l.
3 Ett företag köper en maskin för 180 000 kr.
a) Den används i 5 år, därefter skrotas den.
Vad är maskinen värd efter 2 år om värde- minskningen är lika stor varje år?
b) Vad är maskinen värd efter 2 år om dess värde varje år minskar med en tredjedel av föregående års värde?
4 Företaget Tryck-till-tusen ska köpa in t-shirts och trycka text på tröjorna.
Första årets budget såg ut så här:
Intäkter
Starta-eget-bidrag 78 000 kr Försäljningsintäkter
Modell A 98 kr/st
Modell B 149 kr/st
Kostnader
Inköp av material 236 000 kr Hyra av lokaler
och utrustning 95 000 kr
Reklam 45 000 kr
a) Beräkna resultatet om man säljer 2 300 st tröjor av modell A och 1 400 st tröjor av modell B under året.
b) Hur mycket skulle var och en av de två del- ägarna få om de delar lika på överskottet?
5 En hotellkedja köpte in 3 200 souvenirdockor för 35 kr/st. Övriga försäljningskostnader uppgick till 48 000 kr.
Anta att man lyckas sälja alla dockorna.
a) Hur stor blir vinsten om försäljningspriset är 69 kr/st?
b) Vid vilket försäljningspris blir resultatet en förlust?
6 Helena har ett familjebageri. Förra året köpte hon maskiner för 640 000 kr med en beräknad livs- längd på 8 år. Bageriets kostnader under året för inköp, löner mm fördelade sig på följande sätt:
Råvaror 1 275 000 kr
Löner 540 000 kr
Lokaler 120 000 kr
Reklam 40 000 kr
Bageriet sålde för 2 340 000 kr under året.
a) Vad är kostnaden för värdeminskning av maskinerna om den är lika stor varje år?
b) Beräkna bageriets totala kostnader under året.
c) Vad blev bageriets årsresultat?
1.3 Tal i bråkform
Hur stor andel?
Exempel Elna delar sin pizza i fjärdedelar och äter
tre av delarna. Hur stor andel av pizzan
äter hon?
4
3 4 1 4
1 + =
4 1 +
Hon äter tre fjärdedelar av pizzan.
Tre fjärdedelar är ett tal som i bråkform kan skrivas
43 eller 3/4.
Talet under bråkstrecket talar om vilka delar vi har (fjärdedelar).
Talet ovanför bråkstrecket talar om hur många delar vi har (3 stycken).
Omvandla tal i bråkform till decimalform kan vi enkelt göra med räknare.
Tabellen visar några viktiga omvandlingar du bör kunna utantill!
1301 Hur stor andel av figuren är färgad?
Vi måste först dela området i lika stora delar.
3 trianglar av 8 är färgade.
3
8 av figuren är färgad.
Täljare Nämnare
Bråkform Decimalform En halv
2
1 0,5
En tredjedel
3
1 0,333...
En fjärdedel
4
1 0,25
En femtedel
5
1 0,2
1302 Skriv talen i bråkform.
a) en åttondel b) sju åttondelar c) tre femtedelar d) en tiondel
1303 Skriv ett bråk som anger hur stor andel av respektive figur som är färgad.
a) c)
b) d)
1304 Willy ska åka till Stockholm.
När han har åkt
54 av sträckan tar han paus.
Hur stor del av resan har han kvar?
1305 Bestäm utan räknare vilket bråk är störst, 1/5 eller 1/6?
Förklara hur du tänker.
1306 Skriv i decimalform. Kontrollera med räknare.
a)
101 b)
52 c) 3 2
1307 I en butik arbetar fem män och sju kvinnor.
a) Hur stor är andelen män?
b) Hur stor är andelen kvinnor?
1308 Malin och Leila har delat en pizza i två lika stora delar. Malin har ätit 3/8 av sin del och Leila 3/5 av sin del.
Vem har ätit mest?
Förklara hur du tänker.
1309 Jennys farmor har sytt ett lapptäcke. Hon påstår att 2/9 av lapptäcket är grönt.
a) Förklara varför hon har fel.
b) Hur stor andel av täcket är grönt?
c) Hur stor andel av täcket är blått?
1310 a) Vad är hälften av 62 ?
b) Ge exempel på ett bråktal som är dubbelt så stort som
6 2 1311
Det kinesiska Tangram-pusslet består av en kvadrat som delats i sju delar. Hur stor andel av pusslet utgör
a) A e) F
b) A + B f) D
c) G g) E + F
d) E h) E + F + C + D?
1312 Skriv ett tal i bråkform a) som kan skrivas 0,025
b) som är hälften så stort som 0,1 c) som ligger mellan 0,10 och 0,11.
A
B C
D
E
F G
Aktivitet
Jämföra bråktal
1 En chokladkaka med 24 rutor kan delas i lika stora delar på många olika sätt. Rita sex bilder av kakan och
dela kakan i två delar dela kakan i tre delar dela kakan i fyra delar
dela kakan i sex delar dela kakan i åtta delar dela kakan i tolv delar
2 Skugga eller färglägg en av dina bilder.
Skriv bråktalet bredvid den skuggade delen.
a) 3
2 av kakan c) 6
2 av kakan
b)
43 av kakan d)
86 av kakan 3 Två av bråktalen i uppgift 2 beskriver lika mycket choklad. Vilka?
4 Studera dina bilder och skriv flera olika bråktal som är lika stora som
21 . 5 Vilka tal är större än
21 ? Förklara hur du tänker.
14 11 12
7 8 5 5
2 10 5 28
13 14 8
6 Vilket tal är störst?
a) 6 3
6 eller4 b)
6 1
8 eller c) 1
4 2
3 eller 2
7 Använd bilderna i uppgift 1. Vad ska det stå i rutorna?
a) 3 1
= 24 c) 6 5
= 24 e) 12 10
=24 b)
3 2
= 24 d) 8 7
= 24
8 Använd resultatet i uppgift 7 för att avgöra vilket bråk som är störst.
a) 3 2
6 eller5 b)
8 7
12 eller10
9 Vilket bråk är störst? Visa en beräkning eller förklara hur du tänker.
a) 5 3
2 eller c) 1
4 3
9 eller 7
b) 5 2
3 eller d) 1
8 7
9 eller8
UNDERSÖK
Förlängning och förkortning
Exempel 1 Det är viktigt att förstå att flera olika bråk kan beskriva samma sak.
Vi kan därför förlänga eller förkorta ett bråk utan att ändra dess värde.
Vi förlänger med 2. Vi förkortar med 2.
förlänga/
förkorta 1 3
1 2 3 2
2
= · =6
·
2 6
2 2 6 2
1
= / =3 /
Täljare och nämnare Täljare och nämnare
multipliceras med 2. divideras med 2.
enklaste form Ett bråk som inte kan förkortas mer är skrivet i enklaste form.
förhållande Bråktal används både för att ange en andel och för att beskriva ett förhållande mellan två tal.
Exempel 2 I en skolklass med 30 elever finns 12 pojkar och 18 flickor.
Förhållandet mellan antalet pojkar och flickor skrivs i enklaste form.
antalet flickor 18 18/6 3 antalet pojkar 12 12/6 2= = =
Förhållandet
32 skrivs ofta som 2 : 3.
Med andra ord kan man säga att ”det går två pojkar på tre flickor”.
1313 Bestäm utan räknare vilket bråk som är störst,
65 eller 86 ? Vi förlänger till samma nämnare (24) för att kunna jämföra talen.
6 6 · 4 24
5 5 · 4 20
= = och
8 8 · 3 24 6 6 · 3 18= =
Svar:
2420 är mer än
2418 , alltså är
65 större än 86 .
Man säger: ”två till tre”.
13
6
2
7 Använd bilderna i uppgift 1. Vad ska det stå i rutorna?
a) 3 1
= 24 c) 6 5
= 24 e) 12 10
= 24 b)
3 2
= 24 d) 8 7
=24
8 Använd resultatet i uppgift 7 för att avgöra vilket bråk som är störst.
a) 3 2
6 eller5 b)
8 7
12 eller10
9 Vilket bråk är störst? Visa en beräkning eller förklara hur du tänker.
a) 5 3
2 eller c) 1
4 3
9 eller 7
b) 5 2
3 eller d) 1
8 7
9 eller8
1314 Förhållandet mellan den långa och den korta sidan är olika för olika flaggor. En svensk flagga som är 70 cm bred skall vara 112 cm lång.
Beräkna på enklaste sätt förhållandet mellan 70 och 112.
Förhållandet =
112 112/2 56/7 8 70 70/= 2 35/ = =7 5
Svar: Förhållandet är 5 : 8.
1315 Hur stor andel av figuren är a) färgad
b) ofärgad?
Svara i enklaste form.
1316 Förläng bråken så att nämnaren blir 18.
a) 49 b) 5
6 c) 2
3
1317 Miriam arbetade 4 kvällar kl 18–22 under en vecka.
Hur stor del av full tid, 40 h, arbetade hon?
Svara i enklaste bråkform.
1318 När man förkortar ett bråk så minskar bråkets värde, säger Tim.
Är det sant? Motivera ditt svar.
1319 Bestäm utan räknare. Kontrollera ditt svar med räknare.
a) Vilket bråk är störst 3
5 eller 5 7 ? b) Vilka av följande tal är lika med 25? 20
50 12 25 6
15 4 9 8
20 1320 Hur stor andel av en timme är
a) 10 minuter c) 3 minuter b) 45 minuter d) 5 minuter?
1321 Ange ett bråk som har samma värde som 2 /7 men en nämnare som är
a) 21 b) 56
1322 En TV kan ha olika förhållanden mellan bredd och höjd på bilden. 4:3 var tidigare ett standardformat och 16:9 kallas för widescreen. Ayla mäter bredden på sin TV till 56 cm och höjden till 42 cm.
Är Aylas TV standard eller widescreen?
1323 48 g koppar, 12 g zink och 20 g nickel smälts samman till nysilver.
Bestäm i enklaste form a) andelen koppar
b) förhållandet mellan mängden zink och mängden koppar.
1324 Två tal förhåller sig som 3 : 4. Vilka är talen om deras summa är 28?
1325 Bråket x
36 har ett värde som ligger mellan 1
3 och 12. Vilka tal kan x vara?
1326 Dela upp täljare och nämnare i primfaktorer och förklara varför 35
66 inte går att förkorta.
Addition och subtraktion av bråk
Exempel 1 Hur mycket blir 56 + 26 ?
Två bråk med samma nämnare kan adderas direkt.
56 + 26 = 76
Bråk större än 1 kan skrivas antingen i bråkform eller i blandad form.
76 = 1 16
Exempel 2 Två bråk med olika nämnare kan inte adderas direkt.
Om du får 1
4 av en chokladkaka och 1
3 av en annan likadan kaka, hur stor del av en hel kaka har du fått?
olika nämnare
Kakorna är delade på olika sätt.
1
4 + 1 3
När bråken har olika nämnare måste man först skriva om, förlänga, bråken till samma nämnare. Båda bråken skrivs med nämnaren 12.
gemensam nämnare Detta kallas att använda en gemensam nämnare till bråken.
1 · 3
4 · 3 + 1 · 4
3 · 4 = 3 12 + 4
12 = 7 12
förlänger med 3 förlänger med 4
Tips Genom att multiplicera nämnarna med varandra i två bråktal får du alltid en gemensam nämnare.
Blandad form, uttalas en hel och en sjättedel.
Bråkform
+ =
+
+ =
