Innehåll Teori,Fourieranalys

Teori, Fourieranalys

By Robin Andersson 2013-2014

Sammanfattning

Innehåller bevisen från teorilistan för kursen i fourieranalys på Chalmers för F2/TM/Kfkb 2014. För eventuella fel kontakta SNF.

Innehåll

1 Konvergenssatsen 1

1.1 Sats . . . 1 1.2 Bevis. . . 1

2 Termvis derivering av fourierserier 1

2.1 Sats . . . 1 2.2 Bevis. . . 2

3 Termvis integrering av fourierserier 2

3.1 Sats . . . 2 3.2 Bevis. . . 2

4 Sats 7.3 om faltning 2

4.1 Sats . . . 2 4.2 Bevis. . . 3

5 Fouriers inversionsformel då f och ˆf ∈ L¹ 3

5.1 Sats . . . 3 5.2 Bevis. . . 3

6 Plancherels formel f, g, ˆf , ˆg ∈ L¹ 4

6.1 Sats . . . 4 6.2 Bevis. . . 4 7 Definition av lågpassfilter och formulering av samplingssatsen i termer av låg-

passfilter 4

7.1 Definition . . . 4

8 Sats 3.8 om bästa approximationen 4

8.1 Sats . . . 4 8.2 Bevis. . . 4

10 Definition för ett reguljärt Sturm-Liouville-problem 6 10.1 Definition . . . 6 11 Sats 3.9 a) och b) om Sturm-Liouville-problem: Formulering och bevis 6 11.1 Sats . . . 6 11.2 Bevis. . . 6 12 Den genererande funktionen för Besselsfunktioner (formel 5.20) 6 12.1 Sats . . . 6 12.2 Bevis. . . 7 13 Bevis för Hermitepolynomens ortogonalitetsegenskap 7 13.1 Sats . . . 7 13.2 Bevis. . . 7 14 Härledning av den genererande funktionen för hermitepolynomen 7 14.1 Sats . . . 7 14.2 Bevis. . . 8

R. Andersson Teori, fourieranalysis F2/TM/Kfkb

1 Konvergenssatsen

1.1 Sats

Antag f 2π−periodisk och styckvis glatt i [−π,π]. Då konvergerar SNf (θ) i varje θ och gränsvärdet är f(θ) om f kontinuerlig i θ, annars ¹₂(f (θ₋) + f (θ₊)).

1.2 Bevis

Inför en ny funktion

g(θ) = f (θ) − f (θ₀)

e^iθ− e^iθ0 , θ 6= θ₀.

wlog kan vi konstatera att g också är 2π−periodisk. Påstår att g är styckvis kontinuerlig, utanför θ0 är g styckvis glatt.

Nära θ0gäller

g(θ) = f (θ) − f (θ₀) θ − θ0

θ − θ₀ e^iθ− e^iθ0,

där vi får enligt medelvärdessatsen att det vänstra bråket har höger- respektive vänstergränsvärde då θ → θ0, samtidigt gäller

θ − θ₀

e^iθ− e^iθ0 = 1 e^iθ− e^iθ0

θ − θ0

−→

θ→θ₀

1 ie^iθ0 .

Alltså är g Riemann-integrabel och korollariet till Bessel ger cn(g) → 0 då n → ±∞.

∴ f (θ) = e^iθg(θ) − e^iθ0g(θ) + f (θ0) , cn(e^iθg(θ)) = 1 2π

Z π

−π

e^iθg(θ)e^−inθdθ = cn−1(g) .

Vi får alltså

cn(f ) = cn−1(g) − e^iθ0cn(g) +

 f (θ0) , n = 0 , 0 , n 6= 0 . Partialsumman är därmed enligt

S_Nf (θ₀) =

N

X

n=−N

c_n−1(g)e^inθ0−

N

X

n=−N

c_n(g)e^i(n+1)θ0+ f (θ₀) =

= f (θ₀) + c_{−N −1}(g)e^{−iN θ0}− c_N(g)e^{i(N +1)θ0} −→

N →∞f (θ₀) . 

2 Termvis derivering av fourierserier

2.1 Sats

Antag att f är 2π−periodisk, kontinuerlig och styckvis glatt. Låt an, bn och cn

vara fourierkoefficienterna till f samt a⁰n b⁰_n och c⁰n fourierkoefficienterna till f⁰. Då gäller

a⁰_n= nbn, b⁰_n = −nan, c⁰_n= incn.

1

2.2 Bevis

Vi går efter definitionen och får c⁰_n= 1

2π Z π

−π

f⁰(θ)e^−inθdθ = 1

2πf (θ)e^−inθ^π

−π− 1 2π

Z π

−π

f (θ)(−ine^−inθ) dθ =

eftersom f är 2π−periodisk samt e^inπ= e^−inπ, så följer

= 1

2π · 0 + in 1 2π

Z π

−π

f (θ)e^−inθdθ = inc_n.

Analogt följer proceduren för a⁰_n och b⁰_n. 

3 Termvis integrering av fourierserier

3.1 Sats

Antag att f är 2π−periodisk och styckvis kontinuerlig med fourierkoefficienter an, bn och cn, låt F (θ) = R₀^θf (φ) dφ. Om c0=¹₂a0= 0,

⇒ ∀θ , F (θ) = C0+X

n6=0

cn

ine^inθ= 1 2A0+

∞

X

1

 an

n sin θn − bn

n cos θn

 .

3.2 Bevis

Det gäller att F är styckvis glatt, kontinuerlig och 2π−periodisk, ty, f saknar konstant term. Sats 2.2 gäller för F och ger om F har fourierserien

C0+X

n6=0

Cne^inθ ,

att

cn= inCn, n 6= 0 : Cn= cn

in . 

4 Sats 7.3 om faltning

4.1 Sats

Antag g ∈ L¹(R), R g(x) dx = 1, g begränsad och x³g(x) → 0då x → ±∞. Låt f ∈ L¹, om f kontinuerlig i x gäller f ∗ gε(x) → f (x) då ε → 0.

Vidare om f har vänster- respektive högergränsvärde i x och g är jämn gäller

f ∗ g_ε(x) −→

ε→0

f (x₊) + f (x₋)

2 .

R. Andersson Teori, fourieranalysis F2/TM/Kfkb

4.2 Bevis

f ∗ gε(x) − f (x) = Z

f (x − εz)g(z) dz − Z

f (x)g(z) dz = Z

(f (x − εz) − f (x))g(z) dz = Z

|z|<ε^{− 12}

(f (x − εz) − f (x))g(z) dz + Z

|z|>ε^−1/2

f (x − εz)g(z) dz − f (x) Z

|z|>ε^−1/2

g(z) dz =

= I + II + III .

|I| ≤ sup

|y|<√ ε

|f (x − y) − f (x)|

Z

|g(z)| dz −→

ε→00 ,

|II| ≤ Z

|f (x − εz)| dz · sup

|z|>1/√ ε

|g(z)| = 1 ε

Z

|f (x − y)| dy · sup

|z|>1/√ ε

|g(z)| ≤ Z

|f | dy1

εcε³² −→

ε→00 , där c är en konstant. Vidare för den tredje integralen gäller

|III| ≤ |f (x)|

Z

|z|>ε^−1/2

|g(z)| dz −→

ε→00

5 Fouriers inversionsformel då f och ˆ f ∈ L

5.1 Sats

Antag att f är integrerbar och styckvis kontinuerlig på R, definierad i sina dis- kontinuitetspunkter på ett sådant sätt att den uppfyller

f (x) =1

2[f (x−) + f (x+)] ∀x ∈R . Då gäller

f (x) = lim

ε→0

1 2π

Z

e^iωxe^−ε2ω2/2f (ω) dω .ˆ Vidare om ˆf ∈ Ł¹, så är f kontinuerlig och

f (x) = 1 2π

Z

e^iωxf (ω) dω,ˆ x ∈R .

5.2 Bevis

Eftersom ˆf ∈ Ł¹kan vi applicera dominerade konvergenssatsen, alltså 1

2π Z

e^iωxf (ω) dω = limˆ

ε→0

1 2π

Z

e^iωxe^−ε2ω2/2f (ω) dω =ˆ 1

2[f (x₋) + f (x+)] .

Integralen i vänsterledet är 1/2π gånger fouriertransformen av ˆf i x₋, som påpekat tidigare är fouriertransformen av integrerbara funktioner kontinuerliga. Alltså f är kontinuerlig och

1

2[f (x₋) + f (x₊)] = f (x) . 

3

6 Plancherels formel f, g, ˆ f , ˆ g ∈ L

6.1 Sats

Antag att f, g ∈ Ł¹ sådana att ˆf , ˆg ∈ Ł². Då är också f, g, ˆf , ˆg ∈ Ł² och vidare gäller 2πhf, gi = h ˆf , ˆgi .

6.2 Bevis

Ty,

2πhf, gi = 2π Z

f (x)g(x) dx = Z Z

f (x)e^iωxˆg(ω) dω dx =

= Z Z

f (x)e^−iωxg(ω) dω dx =ˆ

Z f (ω)ˆˆ g(ω) dω = h ˆf , ˆgi . 

7 Definition av lågpassfilter och formulering av samplings- satsen i termer av lågpassfilter

7.1 Definition

Antag att f(t) är kontinuerlig med Fouriertransform ˆf (ω) = 0 för |ω| ≥ α. Om signalen samplas med frekvensen _T¹ ≥ ^α_π så kan f(t) återvinnas ur den samplade signalen genom en lågpassfiltrering med avhuggningsfrekvesen α (LPα−filtrering) och multiplikation med T .

8 Sats 3.8 om bästa approximationen

8.1 Sats

Om f ∈ Ł², är P^N1 cn(f )φn den punkt i HN som ligger närmst f, dvs.

min ||f −

N

X

1

dnφn|| = ||f −

N

X

1

cn(f )φn||,

där minimum tas över alla skalärer d1, ..., d_N, samt HN är det delrum av Ł² som spänns upp av vektorerna {φn}^N₁ .

8.2 Bevis

Om vi väljer dn= cn(f )∀n blir normen i vänsterledet lika med högerledet, så det återstår bara att visa att den aldrig blir mindre än högerledet. Observera att vektorn f −PN

1 cn(f )φn är ortogonal mot varje φk, 1 ≤ k ≤ N , ty

hf −

N

X

1

c_n(f )φ_n, φ_ki = hf, φ_ki − c_k(f )hφ_k, φ_ki = 0 ,

R. Andersson Teori, fourieranalysis F2/TM/Kfkb

det sista enl. def. av ck(f ). Den är därmed också ortogonal mot varje vektor i HN. Vi skriver nu

f −

N

X

1

dnφn= f −

N

X

1

cn(f )φn

! +

N

X

1

(cn(f ) − dn)φn,

och observerar att av de två termerna i högerledet ligger den andra i H_N, och den är därför ortogonal mot den första termen. Då ger pythagoras sats

||f −

N

X

1

dnφn||²= ||f −

N

X

1

cn(f )φn||²+

N

X

1

|cn(f ) − dn|²||φn||².

Eftersom den sista termen här aldrig är negativ, ser vi att

||f −

N

X

1

d_nφ_n||²≥ ||f −

N

X

1

c_n(f )φ_n||².

Detta säger att normen i vänsterledet i satsens formulering alltid är minst lika stor som högerledet.



9 Satsen om fullständighet för ortogonalsystem

9.1 Sats

Låt {φn}^∞₁ vara ett ortogormalsystem i Ł². Följande är ekvivalent:

a) {φn}^∞₁ är fullständigt.

b)

∞

X

1

|c_n(f )|²||φ_n||²= ||f ||²∀ f ∈ Ł².

c) om f ∈ Ł² är ortogonal mot alla φn så gäller f = 0 .

9.2 Bevis

Vi vill visa att a) är ekvivalent med b), att a) implicerar c) och att c) implicerar a).

a) ⇔ b): Följer direkt av sats.

a) implicerar c): Vi utgår från att a) gäller och antar att f ∈ Ł² är ortogonal mot alla φn. Då gäller att cn(f ) = 0, alltså fourierserienP∞

1 cn(f )φn = 0. Men på grund utav a) är denna serie f , alltså fås f = 0 och c) följer.

c) implicerar a): Tag en godtycklig funktion f ∈ Ł². Vi vet redan att P∞

1 cn(f )φn kon- vergerar, enligt Bessels olikhet och av ett lemma, så vi kan bilda skillnaden f −P∞

1 cn(f )φn, skalärmultiplicerat med φk fås

hf, φki − ck(f )||φ_k||²= 0 , enligt definitionen av c_k .

där vi utnyttjat skalärproduktens kontinuitet. Skillnaden är alltså ortogonal mot alla vektorer i ortogonalsystemet och därmed 0, ty, vi utgår ifrån c). Därmed är alla tre utsagor ekvivalenta.

5

10 Definition för ett reguljärt Sturm-Liouville-problem

10.1 Definition

Ett reguljärt Sturm-Liouville-problem i intervallet [a, b] ges av

• L f = (rf⁰)⁰+ pf, där r, r⁰ och p är kontinuerliga funktioner i [a, b] samt r > 0 i intervallet.

• Självadjungerade randvillkor.

• En viktfunktion w, kontinuerlig och positiv i [a,b].

11 Sats 3.9 a) och b) om Sturm-Liouville-problem: Formu- lering och bevis

11.1 Sats

Givet ett reguljärt Sturm-Liouville-problem på ett intervall [a, b], då gäller (a) All egenvärden är reella.

(b) Egenfunktioner tillhörande distinkta egenvärden är ortogonala med avse- ende på vikten w; d.v.s. om f och g är egenfunktioner med egenvärde λ och µ : λ 6= µ, så gäller

hf, gi_w= Z b

a

f (x)g(x)w(x) dx = 0 .

11.2 Bevis

A): Om λ är ett egenvärde med egenfunktion f så gäller

λ||f ||²_w= hλwf, f i = −hL(f ), f i = −hf, L(f )i = hf, λwf i = ¯λhf, wf i = ¯λ||f ||²_w,

eftersom f uppfyller själv-adjunkta randvillkor. Men eftersom ||f ||²_w > 0 inses att ¯λ = λ, alltså λ ∈R .

B): Antag L(f ) + λwf = 0 och L(g) + µwg = 0, där f, g 6= 0. Med samma argument som i a) fås

λhf, giw= hλwf, gi = −hL(f ), gi = −hf, L(g)i = hf, µwgi = µhf, giw. Alltså om λ 6= µ måste vi ha hf, gi_w= 0. 

12 Den genererande funktionen för Besselsfunktioner (for- mel 5.20)

12.1 Sats

∀x och ∀z 6= 0 ,

∞

X

−∞

J_n(x)zⁿ= exp x 2

 z −1

z



.

R. Andersson Teori, fourieranalysis F2/TM/Kfkb

12.2 Bevis

Vi vet taylorutvecklingen för e^xoch erhåller exphxz

2 i

=

∞

X

0

z^j j!

x 2

^j

, exp −x 2z



=

∞

X

0

(−1)^k z^kk!

x 2

^k .

Vi vet att serierna är absolutkonvergenta, så vi kan multiplicera summorna och den resulterande dubbelsumman blir

exp x 2

 z −1

z



=

∞

X

j, k=0

(−1)^kz^j−k j!k!

x 2

^j+k .

Vi summerar serien genom att först addera alla termer som innehåller en given potens av zⁿ och sen summerar vi över n. Vi sätter j − k = n eller j = k + n och erhåller mha

1

(k + n)! = 1

Γ(k + n + 1) = 0 , då k + n < 0 , alltså

exp x 2

 z −1

z



=

∞

X

n=−∞

"_∞ X

k=0

(−1)^k k!(k + n)!

x 2

2k+n# zⁿ=

∞

X

−∞

Jn(x)zⁿ . 

13 Bevis för Hermitepolynomens ortogonalitetsegenskap

13.1 Sats

Hermitepolynomen {Hn}^∞₀ är ortogonala på R med avseende på vikten w(x) = e^−x2, och

||Hn||²_w= 2ⁿn!√ π .

13.2 Bevis

Om f är ett godtyckligt polynom, så gäller hf, H_ni_w=

Z ∞

−∞

f (x)H_n(x)e^−x2dx = (−1)ⁿ Z ∞

−∞

f (x) dⁿ

dxⁿe^−x2dx = Z ∞

−∞

f⁽ⁿ⁾(x)e^−x2dx .

I sista ekvationen har vi integrerat partiell n gånger; termerna på randen blir 0 ty P (x)e^−x2 → 0 då x → ±∞ ∀ polynom P . Vidare, om f är ett polynom av grad N < n, och speciellt om f = Hm där m < n så gäller f⁽ⁿ⁾ ≡ 0, och alltså hf, Hniw = 0. Detta visar ortogonaliteten av Hermitepolynomen. Men, om f = Hn fås f (x) = (2x)ⁿ+ ... och vi får alltså f⁽ⁿ⁾≡ 2ⁿn!, så

||Hn||²_w= 2ⁿn!

Z ∞

−∞

e^−x2dx = 2ⁿn!√ π . 

14 Härledning av den genererande funktionen för hermite- polynomen

14.1 Sats

∀ x ∈R, ∀ z ∈ C,

∞

X

0

Hn(x)zⁿ

n! = e^2xz−z2 .

7

14.2 Bevis

Sätt u = x − z där x är fix, vi har då d/ du = − d/ dz och får alltså dⁿ

dzⁿe^−(x−z)2    z=0

= (−1)ⁿ dⁿ duⁿe^−u2

   u=x

= e^−u2H_n(u)    u=x

= e^−x2H_n(x) .

Vidare följer från Taylors formel

e^−(x−z)2 =

∞

X

0

e^−x2H_n(x)zⁿ n! .