DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER
---
Den trigonometriska enhetscirkeln är en cirkel med radie =1 och mittpunkt i origo.
B(0,1)
C(-1,0)
D(0,-1) O
A(1,0)
---
I en rätvinklig triangel definierar vi trigonometriska funktioner för spetsiga vinklar medan med hjälp av den trigonometriska enhetscirkeln definierar vi trigonometriska funktioner sinus, cosinus, tangens och cotangens för godtyckligt stora vinklar.
Låt P(x,y) vara den punkt som vi får genom att rotera punkten A(1,0) vinkeln v kring origo.
(Moturs-rotation om vinkeln är positiv, medurs-rotation om vinkeln är negativ.)
Funktionerna cos(v och ) sin(v definieras som x- ) respektive y-koordinaten av punkten P.
Med andra ord gäller x
v)= cos(
y v)= sin(
Tangens och kotangens definieras genom )
cos(
) ) sin(
tan( v
v = v , om nämnaren cos(v)≠0
) sin(
) ) cos(
cot( v
v = v , om nämnaren sin(v)≠0
--- Från ovanstående formler ser vi omedelbart följande samband :
v v tan ) 1
cot( = och v v
cot ) 1
tan( = ( om cos(v)≠0 och sin(v)≠0) ---
Anmärkning: I några böcker används även funktionerna secans och cosecans som definieras enligt följande
) cos(
) 1
sec(v = v , om nämnaren cos(v)≠0,
) sin(
) 1 ( cosec
v = v , om nämnaren sin(v)≠0.
P(x,y)
v A(1,0)
x y
O
1 av 5
P(x,y)
v x A(1,0) y
O -v
-y
Udda och jämna trigonometriska funktioner Allmänt säger man att en funktion f(x) är jämn om f(−x)= f(x) och
udda om f(−x)=−f(x).
Från trigonometriska cirkeln har vi )
sin(
)
sin(−v =− v och cos(−v)=cos(v).
Därför =
−
= −
− cos( )
) ) sin(
tan( v
v v tan( )
) cos(
)
sin( v
v v =−
− .
På liknande sätt cot(−v)=−cot(v).
Alltså är cosinus är en jämn funktion medan sinus, tangens och cotangens är udda funktioner:
ÖVNINGAR:
Uppgift 1.
Bestäm a) b) sin(90) c) tan(90) d) cot(90)
Lösning. Om punkten A(1,0) roteras 90 hamnar den i B(0,1). Därför blir )
90
cos( = x-koordinaten av B(0,1) dvs cos(90)=0.
) 90
sin( =y-koordinaten av B(0,1) dvs sin(90)=1
"
0
"1
"
) 90 cos(
) 90
"sin(
) 90
tan( = = ej definierad 1 0
0 ) 90 sin(
) 90 ) cos(
90
cot( = = =
Svar: a) cos(90)=0, b) sin(90)=1 c) tan(90)är inte definierad d) cot(90)=0
Uppgift 2.
Bestäm a) cos(5π), b) )
sin(−π2 c) tan(5π) d) )
cot(−π2 e) cos(545π) f ) ) tan(−π2 Anmärkning: 2π radianer = 360 , π radianer = 180,
2
π radianer = 90.
Svar: a) −1, b) −1 c) 0 d) 0 e) cos(545π =) cos(π)=−1 f) ej definierad )
cos(
)
cos(−v = v ) sin(
)
sin(−v =− v ) tan(
)
tan(−v =− v ) cot(
)
cot(−v =− v
2 av 5
Uppgift 3.
Bestäm a) )
cos(−π4 b) )
sin(−π6 c) )
tan(−π3 d) ) cot(−π4
e) )
cos( π3
− f) )
sin( π4
− g) )
tan( π6
− h) )
cot( π6
−
Lösning d) ) 1
cot(4 4)
cot(−π =− π =−
(Notera att cotangens är en udda funktion) Svar: a)
2
2 b) 2
− c) 1 − 3 d) 1−
e) 2 1 f)
2
− 2 g) 3
− 3 h) − 3
Reduktion till trigonometriska funktioner av spetsiga vinklar
För att bestämma trigonometriska funktioner för vinklarna i andra tredje och fjärde kvadranten, bestämmer vi först tecken för en given funktion enligt teckenschema:
sin(v)
O O O
cos(v) cot(v)
tan(v)
+ +
- -
+ +
- -
+ +
- -
Därefter jämför vi den givna funktionen med motsvarande funktion för en lämplig vinkeln α i första kvadranten, enligt följande:
i) Om vinkeln v är från andra kvadranten dvs 90 < v<180
då jämför vi med motsvarande trigonometriska funktion för α =180−v (eller α =π −v i radianer).
ii) Om 180 < v<270 jämför vi med motsvarande funktion för vinkeln α = v−180 iii) Om 270 < v<360 jämför vi med motsvarande funktion för vinkeln α =360−v Exempel: Bestäm exakt cos(120).
Lösning:
a) Vi jämför cos(120) med cos(60) (skillnaden från 120 till 180)
3 av 5
y
O
120
60
60
A C
D
B
Från ovanstående figuren ser vi att cos(120) och cos(60)har samma absolutbelopp (eftersom |OD|=|OA|) men olika tecken.
Därför .
2 ) 1 60 cos(
) 120
cos( =− =−
Svar: .
2 ) 1 120 cos( =−
Uppgift 4.
Bestäm a) sin(120), b) cos(150) c) tan(240) d) cot(330) Lösning:
y
O
120
60
60
A C
D
B
Lösning: (Kolla ovanstående teckenschema) a) Reduktion till 180−120 =60 . Alltså
2 60 3 sin )
120
sin( =+ = b) Reduktion till 180−150 =30 . Alltså
2 ) 3 30 cos(
) 150
cos( =− =−
c) Reduktion till 240−180 =60 . Alltså tan(240)=+tan(60)= 3 d) Reduktion till 360−330 =60 . Alltså cot(330)=−cot30 =− 3
Svar: a)
2 ) 3 120
sin( = b)
2 ) 3 150 cos( =− c) tan(240)= 3 d) cot(330)=− 3
Uppgift 5.
Bestäm a) )
6 sin(7π
, b) )
4 tan(7π
4 av 5
Lösning: a)
2 ) 1 sin(6 6 )
sin(7π =− π =−
b) ) 1
tan(4 4 )
tan(7π =− π =−
Svar: a)
2 ) 1 6 sin(7π =−
b) ) 1 4
tan(7π =−
5 av 5
