Tentam Till sam Inga hj Skriv d TIBYH Denna t med lös
Uppgift
Uppgift , 1
{(
a) Bestä poäng.) b) Bestä Uppgift
Uppgift
Uppgift Bestäm Uppgift Bevisa m (Man få påståen Uppgift Rita följ a) {(x,y
Lycka t
Introd
men ger maxi mtliga uppgi
älpmedel t din klass p
1C).
tentamensla sningar.
t 1. (1p) St
t 2. (2p) Re , 2 ( ), 8 , 2 ( ), 7 ,
äm om relat
äm inversre t 3. (2p). De
t 4. (1p ) Lö
t 5. (2p) Lå funktionen t 6. (2p).
med hjälp a år 0 poäng o ndet på ett a
t 7. (2p) jande punkt
: )R2 x2 y
till!
TE duktionskur Da Tid imalt 12p. F ifter krävs fu tillåtna.
på omslaget app får ej be
täll upp en s
elationen )}
9 , 3 ( ), 9
, .
tionen är en elationen till ela uttrycke ös följande
åt x
x
f
) 3 ( ns lokala ext
av den mate om man inte annat sätt.)
tmängder i }
2 4
y
ENTAMEN rs i Matema tum: 24 aug d: 8:15-10 För godkänd fullständiga
t (TIMEL1 ehållas efter
sanningsvär ( A
från A={1 funktion oc l .
et x x x
4 3
2
i
ekvation cos x x
3
3
. tremvärden
ematiska ind e använder
xy-planet b) {(x,y)
Sida 1 av 5 atik H1009
g 2018
d tentamen lösningar!
1, TIELA1 r tentamenst
rdestabell til (
) A
B
1,2,3,4,5} ti ch motivera
i partiella br
4) 10
(
x
och deras t
duktionen a den matem
9 : 2
2
R x
5
(1.5 hp)
krävs 6p.
, TIDAA1, tillfället, uta
ll följande l )
B . ill B={7,8,9 a svaret. (Et
råk.
1
.
typ.
att n2 5n ä matiska indu
} 9 9y2
, TIBYH1A an ska lämn
logiska uttry
,10,11} def tt svar utan m
är delbart m uktionen uta
A, TIBYH nas in tillsam
yck
finieras som motivering
med 2 för n an bevisar
1B eller mmans
m ger 0
0.
Sida 2 av 5 FACIT
Uppgift 1. (1p) Ställ upp en sanningsvärdestabell till följande logiska uttryck )
( )
(AB AB . Lösning:
A B A AB AB (AB)(AB)
S S F S S S
S F F F F S
F S S S S S
F F S S S S
(Anmärkning. Från tabellen följer att (AB)(AB)är en tautologi dvs. alltid sant) Rättningsmall: Rätt eller fel.
Uppgift 2. (2p) Relationen från A={1,2,3,4,5} till B={7,8,9,10,11} definieras som )}
9 , 3 ( ), 9 , 2 ( ), 8 , 2 ( ), 7 , 1
{(
.
a) Bestäm om relationen är en funktion och motivera svaret. (Ett svar utan motivering ger 0 poäng.)
b) Bestäm inversrelationen till . Lösning:
a) Relationen är INTE en funktion eftersom 2 förekommer två gånger som den första komponenten ( Tvåan finns fins i (2,8) och (2,9) ).
b) 1 {(7,1),(8,2),(9,2),(9,3)}
Rättningsmall: a=1p b=1p (Rätt eller fel för varje del.)
Uppgift 3. (2p). Dela uttrycket
x x
x 4
3
2
i partiella bråk.
Lösning:
Först faktoriserar vi nämnaren:
x x
x 4 3
2 ( 4)
3
x x
x
Därefter gör vi följande ansats:
4 )
4 (
3
x B x A x
x
x (multiplicera med x(x+4) ) Bx
x A
x3 ( 4) (*)
Eftersom (*) gäller för alla x kan vi välja två (vilka som helst) värden på x och substituera i (*) för att få två ekvationer på A och B.
i) Om t ex. x=0 har vi från (*) följande ekvation 0
) 4 0 ( 3
0 A B dvs 34A som ger A=3/4.
ii) Om t ex. x = –4 har vi från (*) följande ekvation
Sida 3 av 5 B
A( 4 4) 4 3
4
dvs 14B som ger B=1/4.
Enligt ansatsen har vi 4 4 / 1 4 / 3 ) 4 (
3
x x x
x x
Svar:
x x
x 4
3
2 4( 4)
1 4
3
x x
Rättningsmall: Korrekt till
4 )
4 (
3
x B x A x
x
x ger 1p. Allt korrekt=2p.
Uppgift 4. (1p ) Lös följande ekvation
1 4) 10
cos(
x .
Lösning:
x k
x 2
10 4 1 4) 10
cos(
5 40 2 3
4 10 3 4 2
10x k x k x k
, där k är ett heltal.
Svar:
5 40 3 k
x , där k är ett heltal.
Rättningsmall: Rätt eller fel.
Uppgift 5. (2p) Låt x x x
f
) 3 (
3
.
Bestäm funktionens lokala extremvärden och deras typ.
Lösning:
x x x
f
) 3 (
3 f(x) x21
Stationära punkter: f(x)0x2 10x2 1x1.. Alltså, två stationära punkter x1 1 och x2 1.
Vi avgör punkternas typ med hjälp av andraderivatatestet:
x x
f ( )2
i) f (x1)20 x är en minpunkt. 1 Funktionens värde i punkten :
3 ) 2 ( 1
min
f x
y .
ii) f (x2)20 x2 1 är en maxpunkt.
Funktionens värde i punkten :
3 ) 2 1
max f(
y .
Grafen till f(x) (ritad med hjälp av ett dataprogram)
Svar: F och ett l Rättning typ=1p.
Allt kor Uppgift Bevisa m (Man få påståen
Lösning a) (Indu För n Alltså g b) (Indu Antag a
n n25 Vi vill v
) 1 (n 2 Vi utvec
) 1 (n 2
=n22
2 n5 n
2 2
c c (
2
Detta be Alltså P Från a)
0 n . Rättning
Funktionen lokalt maxim gsmall: Ko rrekt=2p.
t 6. (2p).
med hjälp a år 0 poäng o ndet på ett a
g:
uktionsbas
0 får vi n gäller påståe uktionssteg att det för gi
=2c (*) visa att då g ) 1 ( 5
n = cklar
) 1 ( 5
n 5 1 2n n
6 2
n 6 2n
d n3)2 etyder att (
( )
(n P n P
och b) får v gsmall: Kor
har ett loka mum ymax orrekta statio
av den mate om man inte annat sätt.)
) n n25 =0 v endet för n
g)
ivet n gäller ) , där c är e gäller P(n+
= 2d för ett
5
(enligt ( d (där d
( 5 ) 1 (n 2
)
1 n .
vi, enligt de rrekt indukt
alt minimum
3
i punkt2 onära punkt
ematiska ind e använder
vilket är delb
= 0.
r påståendet tt helt tal.
1) d v s att heltal d.
*) gäller n2
3
c n d
)
1
n är de en matemati tionsbas =1p
Sida 4 av 5
m 3
2
min y
ten x= –1.
ter =1p. Kor
duktionen a den matem
bart med 2.
t, P(n), dvs
n
2 5 =2c ) 3 är uppenb elbart med 2
iska indukti p. Korrekt i 5 3
2 i punkten
rrekt en stat
att n2 5n ä matiska indu
)
bart ett helta 2.
ionen, att på induktionsst
x=1
tionärpunkt
är delbart m uktionen uta
al).
åståendet gä teg =1p.
t och punkte
med 2 för n an bevisar
äller för all ens
0.
la heltal
Uppgift Rita följ a) {(x,y Lösning a) Cirk
b) Om centrum
Svar: S Rättning
t 7. (2p) jande punkt
: )R2 x2 y
g:
keln med ce
m vi delar x m i origo och
Se ovan.
gsmall: a=1
tmängder i }
2 4
y
entrum i orig
9 9 2
2 y
x
h halvaxlarn
p b=1p (
xy-planet b) {(x,y) go och radie
9 med 9 få na a = 3 o
(Rätt eller f
Sida 5 av 5 9 : 2
2
R x
en r=2.
år vi
1 9
2 y x och b = 1.
fel för varje
5 } 9 9y2
1 1
2
y . Dä
del.)
ärmed är gra
afen en ellip
ps med
