Tentamen i Matematisk analys, HF1905

Sida 1 av 8

Tentamen i Matematisk analys, HF1905

Datum: 5 juni 2019 Skrivtid: 14:00 - 18:00

Lärare: Marina Arakelyan, Jonas Stenholm, Armin Halilovic Examinator: Armin Halilovic 08 790 4810

Jourhavande lärare: Marina Arakelyan tel 08 790 48 51 För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR.

Komplettering sker inom sex veckor efter att resultat meddelats.

Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).

• Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)

• Skriv endast på en sida av papperet.

• Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget)

• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.

• Ange omslagsbladet klasstillhörighet : Klass A, Klass B, Klass C eller Omregistrerad.

• Det här bladet lämnar du in tillsammans med lösningar.

Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f(x)=ln(2x−2)+ 4−x . b) Låt g x( )=(5x+ ⋅3) arcsin(4x+3). Bestäm g′( x).

Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Vi betraktar funktionen f(x,y)=−x²+4x+2y²−4y+1.

Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ (min/max/sadelpunkt).

Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Beräkna dubbelintegral x y dxdy

D

) 1 4 2

∫∫

då D definieras genom 0≤ x≤1, 0≤ y≤2.

--- Var god vänd.

Uppgift 4. (2p) Beräkna följande gränsvärden

a) 3 6

) 2 arcsin(

lim

2 −

−

→ x

x

x

b) x x

x x

x 5 3

lim3 ₄

2 4

+ +

∞

→

Uppgift 5.(4p) Låt f x( )=ln x³−12x .

a) ( 3p) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär.

b) (1p) Bestäm eventuella lodräta asymptoter.

Uppgift 6. (4p)

Beräkna volymen av den ändliga kropp som begränsas av ytorna z=8−x²− y² och

2

2 y

x

z= + .

Tips: Använd polära koordinater.

Uppgift 7. (2p)

a) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y′=(y² +1)cosx+e^x(y²+1). b) Ange lösningen på explicit form (dvs på formen y= f( x)).

Uppgift 8. (3p)

Bestäm den lösning till differentialekvationen 1

2 2

3 ′+ = +

′′− y y x

y

som uppfyller y(0)=2 och y′(0)=1. Uppgift 9. (2p)

Låt y₁ och y₂ vara två olika lösningar till y′′+ay′+by=0 där a och b är två reella tal. Visa utförligt att y₁+y₂ också är en lösning till denna differentialekvation.

Lycka till.

FACIT:

Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f(x)=ln(2x−2)+ 4−x . b) Låt g x( )=(5x+ ⋅3) arcsin(4x+3). Bestäm g′( x).

Lösning:

a) Villkor 1: 2x−2>0 ger x>1 Villkor 2: 4− x≥0 ger x≤4 Båda villkor är uppfyllda om 1< x≤4.

b) 2

) 3 4 ( 1 ) 4 3 5 ( ) 3 4 arcsin(

5 )

( = ⋅ + + + ⋅ − +

′

x x

x x

g

Sida 2 av 8

Svar: a) Funktionen är definierad för 1< x≤4 dvs D=(1,4].

b) 2

) 3 4 ( 1 ) 4 3 5 ( ) 3 4 arcsin(

5 )

( = ⋅ + + + ⋅ − +

′

x x

x x

g

Rättningsmall: 1p för varje del.

Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Vi betraktar funktionen f(x,y)=−x²+4x+2y²−4y+1.

Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ (min/max/sadelpunkt).

Lösning:

4 2 +

−

′= x

f_x f_y′=4y−4

Stationära punkter får vi genom att lösa systemet





′ =

′= . 0 0

y x

f f

dvs





=

−

= +

−

0 4 4

0 4 2 y

x Härav x=2 och y=1. En stationär punkt P=(2,1)

−2

″ =

= f_xx

A B= f_xy″ =0 C= f_yy″ =4

⇒

<

−

=

−

−

=

−B² 8 0 8 0

AC Punkten P=(2,1) är en sadelpunkt.

Svar: Punkten P=(2,1) är en sadelpunkt.

Rättningsmall: 1p för punkten (2,1) och 1p för korrekt typ.

Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Beräkna dubbelintegral x y dxdy

D

) 1 4 2

∫∫

då D definieras genom 0≤ x≤1, 0≤ y≤2. Lösning:

[ ]

0 10 1 2

) 10 4 2 (

4 2 )

1 4 2 ( )

1 4 2 (

2

1

0 2

0 1

0 2 2

0 1

0

= +

=

+

 =



 



 + +

= + +

= +

+

∫ ∫ ∫ ∫

∫∫

x x

dx x

dx y y

xy dy

y x dx dxdy y

x

D

Svar: 12

Rättningsmall: 1p för korrekt beräkning till och med y y dx xy

2

0 1

0

2

4 2

∫

+1p för korrekt till och med (4x 10)dx

1

0

∫

Sida 3 av 8

3p om allt är korrekt.

--- Uppgift 4. (2p) Beräkna följande gränsvärden

a) 3 6

) 2 arcsin(

lim

2 −

−

→ x

x

x

b) x x

x x

x 5 3

lim3 ₄

2 4

+ +

∞

→

Lösning:

a) Test om gränsvärdet kan beräknas enbart med insättning av x = 2:

arcsin(2 2) 0

3 2 6 0

− =

⋅ − Gränsvärde av typ 0/0, använd L’Hospitals regel:

2

2 2

1 1 ( 2)

arcsin( 2) 1

lim L'Hospital lim

3 6 3 3

x x

x x

→ x →

− = = − − =

−

b) Förkorta först med x⁴ :

4 2 2

4

3

3 1

3 3

lim lim

5 3 5 3 5

x x

x x x

x x

x

→∞ →∞

+ +

= =

+ +

Svar: a) 1

3 b) 3 5

Rättningsmall: 1p vardera för a) och b). Rätt eller fel.

Uppgift 5.(4p) Låt f x( )=ln x³−12x .

a) ( 3p) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär.

b) (1p) Bestäm eventuella lodräta asymptoter.

Lösning: a) Derivera:

2 3

3 12

( ) 12

f x x

x x

′ = −

−

( ) 0 3 2 12 0 2

f x′ = ⇒ x − = ⇒ x= ±

(Nämnare: ( 2)± ³− ⋅ ± = ±12 ( 2) 8 24 =16≠0)

Det finns alltså två stationära punkter x=2ochx= − . 2

Andraderivata (tillämpa kvotregeln):

3 2 2

3 2

6 ( 12 ) (3 12) (3 12)

( ) ( 12 )

x x x x x

f x

x x

⋅ − − − ⋅ −

′′ =

− Detta uttryck ser krångligt ut, men hanteras bäst utan förenkling.

Observera att nämnaren är icke-negativ, och därför beror andraderivatans tecken enbart av täljaren. Vidare är den andra termen i täljaren = 0 i de stationära punkterna (se ovan).

3

3 2 2

6 ( 2) (( 2) 12 ( 2)) 0 0 ( 12) 16

( 2) 0

(( 2) 12 ( 2)) (...) f′′ − = ⋅ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ = − ⋅ <

− − ⋅ − (maxpunkt)

Punkten x= − är en maxpunkt. 2

Sida 4 av 8

3

3 2 2

6 2 (2 12 2) 0 0 12 ( 16)

(2) 0

(2 12 2) (...) f′′ = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ − <

− ⋅ (maxpunkt)

Punkten x= är en också en maxpunkt. 2

b) Den elementera funktionen ln( )t har en lodrät asymptot t= , 0 därför f x( )=ln x³−12x har lodräta asymptoter då

1

3 2

2

3

0

12 ( 12) 0 12

12 x

x x x x x

x

 =

− = ⋅ − = ⇒  =

 = −



.

Grafen till funktionen:

Svar: a) Funktionen har två stationära punkter x= och2 x= − . Båda är maxpunkter. 2 b) Tre lodräta asymptoter: x= , 0 x= 12 och x= − 12.

Rättningsmall: a) 1p för korrekt derivering.

+1p för en korrekt punkt med korrekt karaktär. Alt. 1p för båda punkterna korrekta.

3p om allt är korrekt b) Rätt eller fel.

Uppgift 6. (4p)

Beräkna volymen av den ändliga kropp som begränsas av ytorna z=8−x²− y² och

2

2 y

x

z= + .

Tips: Använd polära koordinater.

Lösning:

Skärningslinje får vi ur

2 2 2

8−x2 − y =x + y ⇒2x² + y2 ² =8 ⇒ x² + y² =4 (cirkeln med radien 2 och centrum i origo)

Sida 5 av 8

Volymen: V= z z dxdy

D

) ( ₂ − ₁

∫∫

D

) 2 2 8

( ^{2 2}

∫∫

( vi substituerar polära koordinater)

∫

∫

=

2

0

2 2

0

) 2 8

( r rdr

d V

π θ =

∫ ∫

0

3 2

0

) 2 8

( r r dr d

π θ = π 2π 8 16π

0 2 2 4 4 2

4

2  = ⋅ =



 



 −

⋅ r

r .

Rättningsmall: 1p för korrekt skärningslinjen x² + y² =4. +1p för V= z z dxdy

D

) ( ₂ − ₁

∫∫

D

) 2 2 8

( ^{2 2}

∫∫

+1p för ⁼

∫ ∫

0

2 2

0

) 2 8

( r rdr

d V

π θ

4p om allt är korrekt.

Uppgift 7. (2p)

a) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y′=(y² +1)cosx+e^x(y²+1). b) Ange lösningen på explicit form (dvs på formen y= f( x)).

Lösning:

a) y′ =(y²+1) cosx+e y^x( ²+ ⇒1)

dy ( ² 1) (cos ^x)

y x e

dx = + ⋅ + ⇒

2 (cos )

( 1)

dy x

x e dx

y = + ⋅

+ ⇒

∫ ∫

arctany=sinx e+ + (den allmänna lösningen på implicit form) ^x C b) y=tan(sinx e+ +^x C) (den allmänna lösningen på explicit form) Svar: a) arctany=sinx e+ + b) ^x C y=tan(sinx e+ +^x C)

Rättningsmall: 1p vardera för a) och b). Rätt eller fel.

Uppgift 8. (3p)

Bestäm den lösning till differentialekvationen 1

2 2

3 ′+ = +

−

′′ y y x

y

som uppfyller y(0)=2 och y′(0)=1. Lösning:

i) Vi bestämmer först den homogena lösningen y , _H

d vs den allmänna lösningen till ekvationen y′′−3y′+2y=0. Den karakteristiska ekvationen

0 2

2− r3 + = r

har två reella olika rötter r₁ =1 och r₂ =2 .

Därför är

y

= e

y

= e

⇒ +

=c₁y₁ c₂y₂ y_H

x x

H ce c e

y = ₁ + ₂ ²

är den allmänna lösningen till homogena ekvationen.

ii) För att bestämma en partikulär lösning ansätter vi (vi har ett "enkelt" eftersom 0 finns inte bland ekvationens rötter) ett polynom av andra graden

B Ax y_p = + .

För att bestämma koefficienter A, B, och C beräknar vi derivator A

y′_p = ,

=0

p′′

y

och substituerar i ekvationen 1

2 2

3 ′+ = +

′′− y y x

y ⇒

1 2 ) (

2 ) ( 3

0− A + Ax+B = x+ ⇒ 1

2 3 2

2Ax+ B− A= x+

Identifiering av koefficienter ger följande system med tre ekvationer:





=

−

= 1 3 2

2 2

A B A

Från första ekvationen har vi A=1, andra ger B=2,

Detta ger y_p = x+2.

Därmed är den allmänna lösningen (för hela ekvationen) :

⇒ +

= ( ) ( )

)

(x y x y x

y _{H p}

2 )

(x =c₁e +c₂e² +x+

y ^{x x} .

För att bestämma konstanterna använder vi villkoren:

2 ) 0 ( =

y och y′(0)=1. Först y(0)=2 ger ekvationen

2

2 2

1+ c + =

c dvs

2 0

1+ c =

c (ekv1)

Fron y(x)=c₁e^x+c₂e^2x+x+2 har vi derivatan y′(x)=c₁e^x+2c₂e^2x +1 Vi substituerar y′(0)=1 i y′(x)=c₁e^x +2c₂e^2x+1 och får

1 1 2 ₂

1+ c + =

c eller

0 2 ₂

1+ c =

c (ekv2)

Från ekv1 och ekv2 får vi c₁ =0 och c₂ =0. Därmed är

2 )

(x = x+ y

Svar: y(x)= x+2

Rättningsmall: 1p för y_H =c₁e^x+c₂e^2x +1p för y_H =c₁e^x+c₂e^2x

3p om allt är korrekt.

Uppgift 9. (2p)

Sida 7 av 8

Låt y₁ och y₂ vara två olika lösningar till y′′+ay′+by=0 där a och b är två reella tal. Visa utförligt att y₁+y₂ också är en lösning till denna differentialekvation.

Lösning:

Låt y₁ och y₂ vara två olika lösningar till y′′+ay′+by=0 Då gäller

1 0

1

1′′+ay′+by =

y (*)

och

2 0

2

2′′+ay′ +by =

y (**) .

Vi adderar (*) och (**) och får 0 ) (

) (

)

(y₁′′+y₂′′ +a y₁′+y₂′ +b y₁+y₂ = (***).

Enligt deriveringsregler gäller (y₁′+ y₂′)=(y₁+ y₂)′ och (y₁′′+y₂′′)=(y₁+y₂)′′

så att (***) ger

0 ) (

) (

)

(y₁+y₂ ′′+a y₁+y₂ ′+b y₁+y₂ = ,

som visar att y₁+ y₂är en lösning till ekvationen y′′+ay′+by=0 (V.S.B).

Rättningsmall: 1p för korrekt bevis men dåligt förklaring.

Sida 8 av 8