TENTAMEN HF1006 och HF1008 Datum TEN2 8 april 2015 Tid 8.15-12.15

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Datum TEN2 8 april 2015 Tid 8.15-12.15

Analys och linjär algebra, HF1008 (Medicinsk teknik), lärare: Jonas Stenholm Analys och linjär algebra, HF1008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär algebra och analys , HF1006 (Datateknik), lärare: Armin Halilovic

Examinator: Armin Halilovic

Betygsgränser: För godkänt krävs 10 av max 24 poäng.

För betyg A, B, C, D, E, Fx krävs 22, 19, 16, 13, 10 respektive 9 poäng.

Hjälpmedel på tentamen TEN2: Utdelad formelblad. Miniräknare ej tillåten.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .

--- Skriv endast på en sida av papperet.

Skriv namn och personnummer på varje blad.

Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.

---

Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna.

--- Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter.

Uppgift 1. (4 p)

a) Låt f(x)=x²+4x+5, x∈R. Bestäm den eventuella inversen till funktionen f(x) b) Bestäm derivatan till ₂

2 3

) 1 ( ) cos

( x

x x x

f = − . (Tips. Använd logaritmisk derivering.)

c) Beräkna

x x

x x

x

+

+

∞

→ 3

2 3

4

lim 2

d) Beräkna

x e ^x

x

sin 3

lim 1

2 0

−

→ .

Uppgift 2. (4 p) Låt ₂

3

) 2 ) (

( = −

x x x f

a) (2 p) Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ.

b) (1p) Bestäm eventuella asymptoter till f(x). c) (1p) Skissa funktionens graf.

Uppgift 3. (2 p) a) Bestäm andra ordningens Taylorpolynom kring punkten x=0 (dvs Maclaurinpolynom) till funktionen f(x)=cos3x (x i radianer).

b) Beräkna skillnaden mellan funktionen och Taylorpolynomet då x = 6

π _. (Tips: Ett Taylorpolynom av ordning två, som utvecklas kring x= , beräknas på följande a sätt:

2 ) ) (

( ) ( ) ( ) ( )

( ²

2

a a x

f a x a f a f x

P = + ′ ⋅ − + ′′ ⋅ − ) .

Var god vänd!

Uppgift 4. (2p) Bestäm arean mellan kurvan f(x)= x⋅ x+2och x-axeln då 0≤ x≤2. Tips: (Använd variabelsubstitution.)

Uppgift 5. (2p) Bestäm följande integral dx x x

∫

Uppgift 6. (2p) Beräkna följande två generaliserade integraler:

a)

∫

1

1 dx

x b)

∫

0 4 dx e ^x

Uppgift 7. (2p) Lös följande differentialekvation med avseende på v(t) 4 v²

dt

dv = − ,

v(0)=0.

Ange lösningen på explicitform.

Uppgift 8. (2p) Lös differentialekvationen y′′−4y′+5y=3e^x.

Uppgift 9. (4p) Bestäm strömmen i(t) och kondensatorns laddning q(t) i nedanstående RC krets

där R= 10 ohm , C=

100

1 farad u

(

) = 220 sin( 100 π

)

Tips: Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R⋅i(t) eller kortare U_R =R⋅i(t). Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C är lika med q(t)/C, dvs

C t U_C q( )

= . Dessutom gäller q′(t)=i(t).

Lycka till!

FACIT

Uppgift 1. (4 p)

a) Låt f(x)=x²+4x+5, x∈R. Bestäm den eventuella inversen till funktionen f(x) b) Bestäm derivatan till ₂

2 3

) 1 ( ) cos

( x

x x x

f = − .

c) Beräkna

x x

x x

x

+

+

∞

→ 3

2 3

4 lim 2

d) Beräkna

x e ^x

x

sin 3

lim 1

2 0

−

→

Lösning:

a) f(x)=x²+4x+5,x∈R

1 2

) 5 ( 4 2

0 5

4

, 5 4

2 2

−

±

−

=

−

−

±

−

=

=

− + +

∈ + +

=

y x

y x

y x

x

R x x x y

Vi har två lösningar för några y∈R , därför saknar f(x) en invers funktion Svar a: Funktionen saknar en invers funktion

b) Med hjälp av logaritmlagarna får vi

x x

x x x x x

f = + − −

= − 3ln 2lncos 2ln1 )

1 ( ln cos ) (

ln ^{3 2}₂

Deriverar ln f(x) :

x x x

x x

x x x

f

D = − + −

+ −

−

= 1

2 1 tan 1 2

1 3 2 1 cos 2sin 31

) ( ln

) ( ln ) ( ) ( ) '

( ) ( ) ' (

ln f x f x D f x

x f

x x f

f

D = ⇒ = ⋅

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

+ −

−

− ⋅

= x x

x x

x x x

f 1

tan 2 3 2

) 1 ( ) cos (

' ₂

2 3

Svar b: ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

+ −

−

− ⋅

= x x

x x x x x

f 1

tan 2 3 2

) 1 ( ) cos (

' ₂

2 3

c)

2

1 4 1

2 1 4 lim

lim 2

2 3

2 3

= +

= + + +

∞

→

∞

→

x x x

x x x

x x

Svar c:

2 1

d)

− =

→ x

e ^x

x

sin 3

lim 1

2

0 [typ 0

0, L' Hospitals regel]

3 2 3 cos 3 lim 2

2

0 =

=_→

x e ^x

x

Svar d:

3 2

Rättningsmall: rätt eller fel för varje del a,b,c eller d.

Uppgift 2. (4 p) Låt ₂

3

) 2 ) (

( = −

x x x f

a) (2 p) Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ.

b) (1p) Bestäm eventuella asymptoter till f(x). c) (1p) Skissa funktionens graf.

Lösning:

Stationära punkter.

4 2 2

4 2 3

4 4

3 4 2 3

4 4

3 2

2

) 2 (

) 12 8 (

) 2 (

12 8

) 2 (

4 2 12 12

3 )

2 (

) 2 ( 2 ) 2 ( ) 3

(

− +

= −

− +

= −

−

+

− +

= −

−

−

−

= −

′

x x x

x

x x

x x

x x x x

x x

x x x

x x f

0 ) 12 8 ( 0

)

( = ⇒

− + =

′

f

6 ,

2 ,

0 = =

=

x .

Funktionen ₂

3

) 2 ) (

( = −

x x x

f är inte definierad i x=2, därför x=2är inte en stationär punkt Förstaderivatans teckenstudie:

x 0 2 6

x2 + 0 + + + + +

12

2 8 +

− x

x + + + 0 - 0 +

)4

2

(x− + + + 0 + + +

) (x

f′ + 0 + ej def - 0 +

) (x

f ↗ terraspunkt ↗ ej def ↘ min ↗

I punkten x

= 6

2 ) 27 6

( =

f .

Punkten x

= 0

b) Asymptoter till ₂

3

) 2 ) (

( = −

x x x

f :

I punkten x=2 är nämnaren = 0 och täljaren ≠0. Därför f(x)_→±∞ då x→2 och därmed är x=2 en vertikal asymptot.

Polynomdivision:

4 4

16 4 12

) 2 ) (

( _{2 2}

3

+

− + − +

− =

= x x

x x x

x x

f .

Från

4 4

16 4 12

)

( ₂

+

− + − +

= x x

x x x

f ser man att

4 4

16 4 12

)

( ₂

+

− + −

=

− x x

x x x

f går mot 4 då x→∞

Därför y= x+4 är en sned asymptot.

c) Grafen

Svar: a) x

= 6

= 0

b) x=2 en vertikal asymptot.

+4

= x

y är en sned asymptot.

c) se ovanstående graf

Rättningsmall: a) 1p för uträkning av två stationära punkter eller 1p för uträkning av en stationär punkt samt en korrekt bedömning av punktens typ

b) 1p för korrekta asymptoter.

c) 1p för korrekt graf ( med alla element från a och b)

Uppgift 3. (2 p) a) Bestäm andra ordningens Taylorpolynom kring punkten x=0 (dvs Maclaurinpolynom) till funktionen f(x)=cos3x (x i radianer).

b) Beräkna skillnaden mellan funktionen och Taylorpolynomet då x = 6

π _. (Tips: Ett Taylorpolynom av ordning två, som utvecklas kring x= , beräknas på följande a sätt:

2 ) ) (

( ) ( ) ( ) ( ) (

2 2

a a x

f a x a f a f x

P = + ′ ⋅ − + ′′ ⋅ − )

Lösning: Beräkna funktionens derivator: f′(x)=−3sin3x, f ′′(x)=−9cos3x 1

) 0 ( =

f , f′(0)=0, f ′′(0)=−9

Detta insättes i formeln:

2 2

2 2

1 9 2

) 0 ) (

0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )

( x x

f x

f f

x

P = + ′ ⋅ − + ′′ ⋅ − = − ⋅

Skillnad mellan funktion och Taylorpolynom då x = 6 π _:

8 1 36 2 1 9 cos 2

6 2 1 9 6 cos 3 6

6

2 2 2

2 ⎟− + ⋅ = −

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅⎛

−

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛π _P π π π π π π

f

Svar: Taylorpolynomet är ₂ ² 2 1 9 )

(x x

P = − ⋅ . Skillnaden är 1 8

2 − π _.

Rättningsmall: Korrekt Taylorpolynom ger 1 poäng Korrekt skillnad ger 1 poäng

Uppgift 4. (2p) Bestäm arean mellan kurvan f(x)= x⋅ x+2och x-axeln då 0≤ x≤2. Tips: (Använd variabelsubstitution.)

Lösning: Funktionen har en definitionsmängd: x≥−2

Dess graf skär x-axeln då x = –2 och då x = 0. För positiva x är också funktionen positiv.

Sökt area = A=

∫

∫

0

12 2

0

) 2 ( 2

Integralen kan beräknas med både variabelsubstitution och partiell integration.

Variabelsubstitution:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⇒ =

=

⇒ =

=

⇒ =

=

−

⇒ = +

=

=

⋅ +

⋅

=

∫

4 2

, 2 0

1

2 2

) 2 (

2

0

12

t x

t x

dx dx dt

dt

t x x

t dx

x x A

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡ −

=

⋅

⋅

−

=

⋅

⋅

−

=

∫ ∫

2 32 52

4

2

12 32

4

2

12

3 4 5

) 2 2 ( )

2

(t t dt t t dt t t

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅ − ⋅

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅ − ⋅

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡ ⋅ − ⋅

= 2 2

3 2 4 5 2

4 2 3 4 4 4 5 4 2 3

4 5

2 ⁴ _{2 2}

2

2 t t t

t

. . ) 2 2 15 (

...=16⋅ + ae

=

Svar: Arean är (2 2) 15

16⋅ + areaenheter (a.e.).

Rättningsmall: Korrekt variabelsubstitution alt korrekt partiell integration, men sedan fel ger 1 poäng

Litet räknefel i slutet av beräkningarna, -0 poäng

Uppgift 5. (2p) Bestäm följande integral: dx x x

∫

Lösning: Integranden är en rationell funktion, vars täljare har lägre grad än nämnaren. Då behöver man inte utföra polynomdivision. Däremot ska nämnaren undersökas.

3 ,

1 0

3

2 _{1 2}

2 + x− = ⇒ x = x =−

x

Då gäller att: x² +2x−3=(x−1)⋅(x+3)

Eftersom nämnaren kan faktoriseras kan man göra en partialbråksuppdelning:

) 3 ( ) 1 (

) 1 ( )

3 ( ) 1 (

) 3 ( 3

1 )

3 ( ) 1 (

17 3 3

2 17 3

2 − ⋅ +

− + ⋅

+

⋅

− +

= ⋅ + +

= − +

⋅

−

= +

− +

+

x x

x B x

x x A x

B x

A x

x x x

x x

) 3 ( ) 1 (

3 ) ( 3 2

17 3

2 − ⋅ +

− +

⋅

= +

− +

+

x x

B A x B A x

x x

Identifikation av koefficienterna i vänster täljare med motsvarande koefficienter i höger täljare ger följande ekvationssystem:

⎩⎨

⎧

=

−

= +

17 3

3 B A

B A

vilket ger att ⎩⎨⎧

−

=

= 2 5 B

A

3 2 1 5 3 2

17 3

2 − +

= −

− +

+

x x

x x

x

Nu kan integralen bestämmas:

C x

x x dx

dx x x

x

x ⎟⋅ = ⋅ − − ⋅ + +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

= −

− ⋅ +

+

∫

∫

Svar: Integralen blir 5⋅lnx−1−2⋅lnx+3+C

Rättningsmall: Korrekt partialbråksuppdelning ger 1 poäng

Uppgift 6. (2p) Beräkna följande två generaliserade integraler:

a)

∫

1

1 dx

x b)

∫

0 4 dx e ^x

Lösning: a) _⎥^{⎥ =}

[ ]

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

=⎡

=

⋅

=

⋅ ^∞

∞ ∞

∞ −

∫

∫

2 1 1

12

1 12 1

x x dx x

x dx ∞

Integralen divergerar.

b) 4

1 4 0 1 4 4

4

0 4 4

0 4

0

4 = + =

− −

= −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

⋅ ^{−⋅∞ − ⋅}

− ∞

∞ −

∫

Svar: a) ∞ (dvs integralen är divergent). b) 1/4.

Rättningsmall: 1 poäng per deluppgift (rätt eller fel).

Uppgift 7. (2p) Lös följande differentialekvation med avseende på v(t) 4 v²

dt dv = −

v(0)=0.

Ange lösningen på explicitform.

Lösning:

För att separera variabler delar vi ekvationen med 4 v− under antagande ² 0

4− v² ≠ v dt dv =

− ²

4 , dvs v≠±2

Anmärkning: Funktionerna v=2 och v=−2, uppenbart satisfierar ekvationen 4 v2

dt

dv = − , men inte villkoret v(0)=0, alltså är de INTE lösningar till vår begynnelsevärdesproblem.

Vi integrerar ekvationen:

∫

∫

Vi löser ut v:

C v t

v) 4 4 2

ln(2 = +

−

+ ⇒ e ^{t C}

v

v _{4 4} 2

2 ₊

− =

+ ⇒ De ^t

v

v ₄

2

2 =

−

+

Från v(0)=0 får vi D=1.

Alltså e ^t

v

v ₄

2 1

2 = ⋅

−

+ ⇒ 2+v=(2−v)e^4t ⇒ v+ve^4t =−2+2e^4t

⇒ v(1+e^4t)=2(1−e^4t) ⇒

) 1 (

) 1 ( 2

4 4

t t

e v e

+ +

= − .

Svar:

) 1 (

) 1 ( 2

4 4 t

t

e v e

+ +

= −

Rättningsmall: 1 poäng för den allmänna lösningen.

Uppgift 8. (2p) Lös differentialekvationen y′′−4y′+5y=3e^x. Svar: y Ce ^x x C e ^x x e^x

2 cos 3 sin ₂ ²

2

1 + +

= .

Rättningsmall: 1 poäng för den homogena delen, 1 poäng för den partikulära lösningen.

Uppgift 9. (4p) Bestäm strömmen i(t) och kondensatorns laddning q(t) i nedanstående RC krets

där R= 10 ohm , C=

100

1 farad u

(

) = 220 sin( 100 π

)

Tips: Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R⋅i(t) eller kortare U_R =R⋅i(t). Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C är lika med q(t)/C, dvs

C t U_C q( )

= . Dessutom gäller q′(t)=i(t).

Lösning:

a) Från kretsen får vi följande diff. ekv.

) ) ( ) (

( u t

C t t q i

R⋅ + = (ekv1) Efter subst. R och C har vi

) 100 sin(

220 ) ( 100 ) (

10i t + q t = πt

eller i(t)+10q(t)=22sin(100πt) (ekv2) Från q'(t)=i(t) får vi :

) 100 sin(

22 ) ( 10 )

(t q t t

q′ + = π (ekv 3)

Härav q_H(t)=C₁e^−10t (*) [ Lösningen för homogena delen ] Ansatsen

) (t

q_p =Asin(100πt)+Bcos(100πt) och därmed ) 100 cos(

100 ) 100 sin(

100 )

(t A t B t

q′ = π π − π π

substitueras i ekv3 som gör

) 100 cos(

10 ) 100 sin(

10 ) 100 sin(

100 ) 100 cos(

100πA πt − πB πt + A πt + B πt =22sin(100πt)^. Vi identifierar koefficienter framför sinus- och cosinusfunktioner på båda sidor:

0 10

100πA+ B= och 22 10

100 + =

− πB A .

Härav _{2 2} 100 1

1 5

11 1000

10 22

π π = ⋅ +

= +

A

och _{2 2}

100 1

22 100

1 1 5

10 11

π

π +

= −

⋅ +

⋅

−

= B Därmed

) (t

q_p = cos(100 )

100 1 ) 22 100 100 sin(

1 1 5

11

2

2 t πt

π π

π − +

⋅ +

Den allmänna lösningen är

q(t)= C₁e^−10t .

Från q(0)=0 för vi _{1 2} 100 1

22 π

= +

C och då blir

= ) (t q

För att få i(t) deriverar vi q(t): )

(t

i =

Svar: q(t)= )

(t

i =

Rättningsmall: 1 poäng för den homogena delen, 1 poäng för den partikulära lösningen.

Korrekt q(t) eller i(t) ger 3 poäng. Allt korrekt =4p