SPECIMEN PHYSICO-
MATHEMATICUM
DE
ABERRATIONE RADIORUM LUMINIS
1 REFLEXI, a FIGURA SPH7ERICA
SPECULORUM ORIUNDA, *
quo d
CONS. AMPL. FAC. PHILOS. UPS.) PUBLICE EXAMINANDUM STSTUNT.
Mag. AD SC GABRIEL HOL. TRI V. AREHN,
LINCOP.
APOLOGISTA,
ET
DANIEL EK
ostrogoihi.
IN AUDIT. GUST. MAJ. DIE MAJI MDCCC.
h. c.
UPS ALIiE,
Litteris Joh. Fred. Edman, Reg. Acad. Typogr.
de
ABERRATIONE RADIORUM LUMINIS
REFLEXI, a FIGUR A SPFLERICA
SPECULORUM ORIUNDA.
i
§ I.
Antequam bus aeque a Cel. ac experimentis comprobata Newtono dete&a & demonftrationi- erat luminis diverfa refrangibiliras, fufpicati funt Optici, omnem per
relefcopia viforum obje&orum errorem confufamque ad- modum imaginem ineprae lentium fphxricae forma esfe
adfcribendum, tollendumque penitus incommodum, mo¬
do vitris, dum poliuntur, geometricam, quam vellent, figuram communicare concederetur. Sed fallax nimis i- fta opinio fuit , & telefcopia dioptrica ab omni re-
fra&ionis errore corrigendi ftudium tantis obvium diffi-
culratibus, ut ipfe Newtonus, aliique maximi nominis Mathemarici, de felici rei fuccesfu valde ambiguam diu foverint fpem; ld quod Nbwtonum, a fcriptis J. Grego-
xii praeterea incitatum, in eam allicuic meditationem, conficine, fubftirutis loco lentis obje£livae fpeculis, tele- fcopium catadioptricum posfet, ab errore, ex diverfa il¬
la luminis refrangibilitate orro, prorfus immune. Hoc
ex voto fuccedens inventum, ad ulteriorem certe perfe-
&ionem eveheretur, fi fpeculo uti parabolicae formae con- tingeret, quippe quo omnis quoque, refpettu radiorum axi
parallelorum, demereiur a figura fpharrica oriunda aber¬
ratio. Sed quoniam ars illa fpecula formandi polien- dique id perfectionis nondum- attigit, ut ipeculum per-
A % fe-
fe&ae parabolicae formae praeftare valear, inftrudla fpecu-
lis fphaericis ejuimodi telefcopia funt, eo certe refpedtu
relefcopiis dioptricis anreferenda, quod, notabiliori illa
refradlionis aberratione fere carentia, errori rantum a fi-
gura fpeculi oriundo obnoxia fint. Hujusce autem aber-
rationis rationem indagare operae pretium duximus, ruo
B. L. judicio rnitique cenfurae deferenres in quantum pro- pofiti compotes fadti fimus.
§ II.
(Fig. /.) Sit Speculum cavum MAR, atque in hujus
fuperficiem radii incidant luminis, a pundto quodam »n
axe B A collocato, 8c infinite diftanti, prodeuntes, hoc
eft ipfi BA parallell, quique omnes in uno eodemque punfto coirent, fi a fuperficie perfedte parabolica refie-
dlerentur. Sit aucem MAR fegmentum aliquot graduum
majöris fphaerae, cujus diameter AB per fpeculi verticem
rranfit: 5c prout angulus refledionis femper aequatur an»
gulo incidentiae, necesfario accidit, ut radii qui propius
ad axem fpeculum feriant, propius quoque ad centrum fpeculi reflexi axem offendant, quam qui longius ab il-
lo diftent. Exhibeat igitur / illud axeos pundum quo
reflexus abeat extremus radius SM, 8c e pundtum ubi mi-
nime a B A diftans radius fecet axem, adeo ur interme-
dii radii in lineola ef colliganrur, unde erit haec illa ab«
errario a figura fpeculi fphaerica in axem oriunda, cujus
ratio eft indaganda.
Jungantur ideo N 8c M cum centro C, 5c ad CA du-
catur normalis MP. Determinabitur pundtum j ita ut angulus CMf aequalis fiat angulo NMC, quorum hic cum angulo akerno MCf convenit. Sunt quoque anguli CMN,
CS/M aequales, unde patent 8c fimilirudo tnangulorum
NMJ, CMf, atque laterum Cf 8c Mf acqualitas, adeoque
NM-
t
1
'5
NM: CM = MC: Cf, vel quod perinde eft 2 CP: CA
= CA: Cf. Sed radio SM ad B A accedenre, pun£lum quoque P ad A accedit, eftque uitima ratio duplae re-
ttae CP ad CA eadem quae ratio binarii ad unitatem»
quare & eadem ultima erit ratio radii CA ad diftanrism puncli / a centro. Ideoque fi e fit ultima pcfirio pun£ti f, CP: Ce, erir id CA Ce eft CP: AP = = Ce: CA, Cf, unde vel CP: 2 CP: CA CA — = CP 2 c= Ce Ce : : Cf, Cf feu —
= Ce: ef, & alternando CP : Ce AP: ef, quare & ultima ratio fegmenti AP ad ef eadem crit quae ultima ipfius CP ad Ce, quae quidem binarii eft ad unitatem* eritque proinde ultimo ef = £ AP.
§ HI.
QFig. 2.) Alter & quidem paulo involutior eft ca-
fus, quando radii, procedentes e pun£to quodam deter- minato in ipfo axe pofiro, & a B A divergentes, fuperfi-
ciem fpeculi feriunr. Fiant eadem prorlus ac in para- grapho proxime antecedente, ut fcilicet ef fit lineola illa
•berrationis radiorum axi BA aequidiftantium. Sitque g»
in eadem refta BA <5c quidem primum omnium ultra centrum C fumendum, punftum e quo radii quaquaver- fum fefe diftundentes quoad partem a fuperficie fphae-
rica MAR excipiantur. Intelligatur porro radius extre- mus QM, angulo CMF fa£lo aequali ang. QMC, ad pun¬
ctum F reflecti. Quibus pofitis, valorem ipfius EF inve-
ftigaturi, primo quidem pun£tum reHexionis
F in gene-
re determinare conabimur, tum vero ultimam hujusce pun£ti pofitionem E eruemus, qua demum data in id
folummodo eft inquirendum quanrum hoc diftet ab illo-
Hase aurem ira obtinebuntur:
Ang. &WC = ang. CMf, & ang. QMC = ang. CMF, quapropter, acqualia aequalibus fubducendo, manebit ang.
A 3
SMQc
SMQ = ang. FM/; «t ang. SMQ = ang. alterno MQC9
unde ang. MQC aequatur ang. FM/; angulo quoque MfF
exfiftente eommuni urrique triangulo MQf, MFf, liquet
limilia esfe haecce triangula, adeoque QM : MF Mf
: Ff. Sed ob bife£tum angulum OMF cit etjam QM: MF
= QC : CFy ideoque QC : CF =; Mf: Ffy at Mf: Ff
= ß/: Mfy ergo QC: CF = 2/ : M/, feu ßC: CF =
Ö/; Cf. Quibus in genere demonftratis quemcunque ob-
tineat fitum radius incidens ßM, féquitur Sc memoratam
analogiam locum habere quantumcunque radius QM ad
QA accedit, eamque proinde ulrimo quoque obtinere.
Sir igirur e ultimus pun£ti/, Sc E ultimus pun&i F fitus
erunr CF, Qe Sc Ce ultimae re&arum CF, Qf & C/ma-
gnitudines, ideoque, per modo demonttrata, QC: CE"=-
Qe : Ce Sc invertendo CE: QC = Ce: Qe ; fed Sc QC :
CF
—Qf: Cfy quare per compolirionem rarionum dä¬
rur CE : CF z=l Ce. Qf : Qe. Cf, Sc inde CE : CF —
CE = Ce. Qf: Qe. Cf — Ce. Qf. ./Equarur vero dif-
ferentia reåangulorum Qe. Cf Sc Ce. Qf re£langulo QC»
ef} (eft enim Qe. Cf zr QC 4- Ce. Ce 4- ef = QC. ef
4- Ce. QC+ Ce -f- efy & Ce. Qf = Ce. QC 4- Ce + ^
unde Qe. Cf — Ce. Qf = QC. ef -+- Ce. QC 4- Ce 4- <f
—
Ce. OC 4- Ce 4- ef = CC. */), quocirca CF : FF
vel ßC. CF: ßC. FF = Ce? Qf: QC. efy & QC. ef :
QC. tF fi ve ef: EF~ Ce. Qf: OC. CE. Per antea vero
demonftrata eft Ce: CE = Qe: QC & Qf: QC — Qf-
QC, unde componendo habetur Ce. Qf: QC. Ck z= Qf.
Qf: QC*, crgo etjam ef: EF = ߣ_. ß/* ö?1* ^ac^ns
vero parallele incidentibus (§11.) demonfiravimus esfe
CP: AP = Ce: ef, id ert : ef = CF : tt vel /4P
: ef CF. ß/: C^. ß/, & fi cum hacce componetur a-
nalogia ef: EF zzzCe. Qf: QC. CE eric AP: EF = CP.
7
Q /; QC. CE, unde & harum rationum limires äquales e- runt, radio fcilicet QM ad BA accedenre. Eft gutem ratio quam rettangulum CA. Qe habet ad re&angulum QC. CE Ihnes rationis CP. Qf ad QC CE; ratio igitur re&anguli CA. Qe ad reftangulum Q£. CE erit limes ra¬
tionis AP ad EF. Sed quoniam Qf: Ff hoc
eft QJ- Cf = Cf: Ff, erunc Sc harum rationum liroites übimet iavicem äquales, five Qe : Ce = Ce : Ee, id eft
QC -h Ce : Ce = CE -4- Ee: Ee vel QC: Ce = CE: Ee feu Ce: Ee = QC: CE> Sc proin de Qe:Cez=, QC: CE five Q'e: QC = Ce :CE hoc eft ut 2 Ce vel CA : 2 CE,
& inde OC9 .* erit £>C9 2 limes rationis Qe = : QC CA. = 2 Q$: CA: AP QC. ad EF. Sc 2 CE, CE hoc eft ss CA: proindc EF ratio CE, 2 idcoque Qe9 ultimo ad
_ AP. QC9
~~
a *
J. IV«
Quo magis ad fpeculum accedit punßum radians Q,
CO magis etjam centro vicina erit EF. Pofito radiante in
ipfo centro C, omnes radii reflexi cum incidentibus coin-
cidunt» «deoque nulla erit EF. Si aurem detur pun&urn
ß. [Fig- 3) inrer centrum fpeculi & pun&lim e, in quo radii paralleli ad axem proxime cadentes reflexi colligun-
turultra centrum fira erit porriuncula axeos EF, iisdem proiTus ac anrea argumentis determinanda. Ne igitur ni-
mis intumefcat opeila, fuo quoque loco liceat referre le-
ftorem ad ea, qua: dudum pro fpetiali cafu demonftra- tt, generaliori folutioni infervire queanr«
Ang. CMFss ang. QMC, Sc ang. SMC = ang. CMf.
Sublato ab utroque angulo aequali, manebit ang. SMF
vel alternus MFC ss ang. QMfi Angulo deinde ad /
exfiftenta communi, liquet fimilia es(e triangula FMJff
QMf, & eandem ac anrea infequendo ratiocinandi viamn,
in hoc quoque cafii conftabit analogis CE: CF = Ce. Q))f
: Qe. Cf, quae fi convectetur dabit CE: CE — CF = Ctée.
Q_f: Ce. Qf — Qe. Cf, vel CE: EF = Ce. Qf: Ce. Q f
-
Qe. Cf. At Ce. QJ - Qe. Cf = (2^2*.
—
2i- 2? *+- & -+- </ = QP- Q* -*• ÖP- <f -+- Q*x -w-
<2*. */" — 2?* Ö£ — Qs2 — Q?- ef =) QP- ef > q «are C1LE
: EF = CV. 2./-" 2P- */» & *n cereris immutata fuperioiiri
/1 • r< i-* Al\ QC*
demonitratione prodit EF = — .
zQ£-
§• V*
Quando 2_. intra ef pervenerir, rad ii parum a fe irm-
vicein difperfi refleduntur paralleli. Si vero ulrra / apn-
propinquando pergit, eo modo repercuili abeunt radii uut
ad axem inclinent, <Sc in continuato poft fpeculum axce imaginario tantum gaudeant foco.
Sit igitur locus pundi 2 inter f & A {Fig. 4) <^5c
ab illo emanent in fpeculum radii, quorum QM refiexuco-
ne fada retrorfum abear in MF. Produda diametro urma
cum MF ad mmuarn interfedionem in F> oritur i bi ftco-
cus imaginarius radiorum parum a diredione ra QM dlii-
fperforum. Eodem modo fit E ultimus quem F obtinuet
fitus pundo M accedente ad A, adeoque EF aberrat:iio
illa cujus elt inquirendus valör. Nil credimus oblhirre
quin demonÜratione in §. Iii. allata hic iterum utamuur,
modo ad praefentem cafum apraca demonftratione firmeun-
tur fimilirudo triangulorum MQF\ MQfy ut etjam app lii-
catio analogiae QM : ME = QC r CF. Illa ex ipfa co>m- flnu-
ftruftione facile patet, haec non ka. Ar repetamus angn- los b A1CtCMF es fe azquales, & ang. VMCsz ang. QMC%
unde ang. VMS vel illi aequalis angulus ad F = ang.
QMf. Eft etjam ang. Ayg^utrique rriangulo MQf, MFf communis, adeoque haec triangula fimilia, quocirca 2^-
MF = Mf: Ff. A cenrro C du£la CV ipfi MQ parallele
erunt quoque triangula CVFy QMF firailia, quare C V
VF = QM : MFy & VM: Vt = QC: C F, Ab srqua litate vero angulorum VMC & VCM, quorum uterque ac
quivaler 4.VMQ, fequitur CV aequalem esfe ipfi VM, ad
eoque QM: MP = QC: CF, unde eijaxn liquet fefe ha bere 2^ - CF = iMf: Ff = Q/'. Mf = > 2./ • #
In ceteris valet memorata demonftratio.
§. VI.
M Reftat jam examinandus cafus, in quo radii luminis
ea ad axem inclinatione in fpeculum impingunt, ut ad determinarum quoddam axeos pun&um 2 u^tra Ipeculum (Fig. /.) tendere videantur.
Sit igitur VM qui ad F refleftatur, angulo reflexio-
nis CMF fa&o inclinationis VMC aequali, pun£loque Af
iccedente ad A accedat F ad E) quod proinde hoc etjam
cafu ultimam pun£ti Fpofitionem denotar. Ducatur CV parallela ipfi MF, rnaneat quoque radiorum parallelorutn conftru&io, & eandem ut antea in § §. Ill & V adhiben*
do demonftrationis feriem, eruetur EF is,
2Q1*
i VII.
De Speculis cavis jam demonftritae ntiones perfaci-
u negotio ad convexa etjam applicantur.
B Spe-
i i lo =
Speculo enim MAR (F/g. /.) exiftente convexo, re—
fte&itur radius SM in dire&ione ipfius ML, angulo KMlU*
fa£lo tequali angulo KMS. Puncto M ad A accedente,,, pun£toque proinde / etjam locum mutante, arque in punctum fernidiamerrum CA bifariam fecans, migrants,,,
ultima re£tae ef magnitudo etjam nunc ita determinabitunv
ut fit 4-/4P aequalis. Quod quidem ex xqualitate angulo—
rum DMKy KML, CMf, CMN, CNM & antea in §. IUI
allatis argumentis manifefte fequi arbitramur.
§. VIII.
Profluant in fpeculum rad ii a pun£lo quodam axeosss
determinato Qj <*"•) firque F punctum in quo radiusss
QM, in ML reflexus & inträ circulum produ£tus, axi oc—
currat, atque E pun£tam in quod migrare ponatur F77
pun£to M accedente ad A> maneatque conltrndlio radio*—
AP. QC2
rum parallelorum & erit EF = .* .
2 g.-2
Ex angulorum incidentiae, refiexionis, verticaliurn 8c.
alrernorum aequalitate evidentisfima eft fimilitudo trian--
gulorum QMf, FMf, unde etjam QM: MF = Mf: Ff...
Ducatur C V parallela ipfi MF ad interfe£lionem produ--
£tae QMy Sc erunt triangula Q_VC, QMF fimilia, ideoque::
VC: VQ = MF : QM Sc VM: VQ^=z CF : QC. JE~
quantur item anguli VMC> VCM, urerque enim £V MF
convenit, adeoque aequalia funt larera VM Sc VC-> quam
ob causfam MF: QM = CF: CQ_, unde ut in § III.
prodit EF = Ke vero quis dicat aequalitatera
2 Ol1
Qe Cf — Ce. Qf Sc QC. ef aliis quam fupra inniti ratio-
«ibus, en demonftrationem huic cafui accommodatam!
11
l!Q?. Cf — Ce. df = QC— Ce. Ce */ — C*. OC ~r
(CO —
ef as 2C G? -H £C. ef — CVa — C?. <?/ - QC.
fCV 4- Ce2 -4- Ce. ef = gC «/.
Quo remorius eric pun£him rsdians a fpeculo, eo jpropius ad centrum lita erit EFt adeo ut infinite q fpecu-
lho diftante 2j EF proximum ad C, quo fieri licet, oc- cc:upet locum : 'contra vero quanro vicinior, donec 2 ac*
qv , punctum interie&ionis tangentis & fecantis arcus M/!y p^)rocesferit, in quo fitu extremus radius qMD refie&i ne- cp^i u i c. g_ vero ultra q accedcnte, radios in omnes fpecu-
lin partes haud ejaculari valet , adeoque ron amplius de MyJAR (ed de minori fpeculo inftituendum esfet examen.
§. IX.
Ira demum ad axem inclinent radii (Fig. 7) ur. nul-
1(0 obftante impedimento, in puncto quodam axcos Tex¬
tura Ipeculum fito, omnes colligerentur, a fuperficie sutem fiipeculi repercusß, Ultimi veluti a pun&is F & E emanas-
r ■ 1« • z?zr Q-C% , 1
lee intelligantur, esirque EF zn ——, quod, ex de-
2 Qe2
dhuftis, ut antea, • fimilitudine rriangulorum MQf, MFf, biiifectique anguli gd^rationibus, facile patere arbitramur.
Adeoque in genere concludere fas erit, aberrationenr El Fy in omni cafu quo pun&um radians in ipfo axe ver-
AP, QC1
faitur, fefe habere ut ——. Immo, conftabit quo- 2 Qr*
qiue hsc ratio in cafu illo primario, quo cum axe paral¬
lel Ii in fneculum incidunt
radii? id eit pun&o 2 at^ di»
ßtantiam infinitem exfiftenre. Eft enim ubique, per jani
B 2 du-
dudum demonftraraj QC ; Qi = CE : Ce, atque QC'n i
yJP. CE•
.Qr1 = CE1: Ce1, igirur FF = ^ . Sed pun£lo i<2
(F/£. 5.) a C recedente, pun&oque proinde E ad e ccoce-
dente, crefcit ratio CE2 ad CV*, tnajorque tandem ti»C
quavis tatione minoris ad majorem, unde aequalitas liiroffisc
erit rationis CE* ad Ce7 , five EF ad \APt qua haec quiiii-
dem femper eft minor, quam vero, radio QM accedeim-
te ad parallelismum cum ipfo axe, propius quam pro di;aa-
ta quadam differentia attingit, quaeque tum ftri£te obtiru<€~t
quando radii incidentes axi aequidiftantes ponuntur. Sice-
qus oftendimus hunc quoque cafum generaiiori ifta fourr-
AP. QC* ,
mula EF zzz — comprehendi.
5 Qe*
§ X.
Arque fic determinata in antecedentibus aberrationte
quae in direttione txeos locum habet, iftam jam attingee*
mus, quae ex radiorurn axi parallelorum reflexione tin
piano oritur ad axem normali.
Sit igitur M4R fFig. $.) fpeculum fphaericum cavurm
CA femidiameter fphaerde, Sc axis fpeculi, per verticetm
A tranfiens. Fiar etjam F pun&um quo axi parallelus Sic
ab illo maxime diftans radius SM, in MFG reflexus, fe?-
cet axem; itemque E pun&um inrerfe&ionis radii infinitte
proximi. lmaginemur denique nobis planum duäum peir
E ad CA normale, oriundumque, ex transverfa reflexo»*
rum radiorurn fe&ione, circulum, cujus femidiameter efft
EO, Sc inquirendum eft, annon in piano per aliud quodl-
dam axeos pun£tum inter E Sc F du£fco, prodeat circu<-,
lus aberrationis omnium minimus, omnes reflexos conn-
pre>
13
forehendens radios ? Qiiod utique fiet ponendo radium arl3, ab altera parte fpeculi quoad SM fitum, eo modo in /2S fpeculum ferne ut, du&isA/Å,& ß\x ad CA normalibus, aaquaies inter fe fiant PB, BR & 7iß. Reflexo enim aß
im ßL, axem in pun£fo aliquo Z, inter E & Fy offendat
mecesfe eft, fecetque MG in F; fi vero per F ducatur ad
CS A normale planum, orietur circulus aberrationis omni-
uim minimus, cujus femidiameter eft XF, omnesque a fpe-
c:ulo reflexi radii inrra circellum iftum continebuntur, id
e:ft maxima erunt XF & XF, quod quidem, rationem ipfl-
uas XF iuveftigando, ira exponere conabimur.
Ex demonftratis antea in § II liquet, aberrttionem ra-
dliorum parallelorum in axem, a fpeculis MAR,nAl3, re-
fllexotum, rationem fequi 4 AP : 4 -<^r» vel fefe habere BF: EL = AP : Att. At PM1: tt/3* = (CA + CP).
sAP: (CA 4- Cor). Att unde, vulgo receptam adhibendo aipproximationem, erit PM1: 7iß2 = AP : A7t feu PM3,
n . EF. 7iß2
.i nß1 == EF: EL > &. EL =2 —-—-—, quare etjam LF
= (EF- > EL = EF- PM* ~ EF- ^ =S\ EF. PM'- *ßX
PM1 ) PM1
Jjam verö, ob fimilitudinem triangulorum MPF, FXF,
eift PF: PM = AF: AZ", unde emergit XF = —
SSimilia iremque funt triangula tt/3Z, XFL, quocirca tt/3:
tttZ = X/': AZ, vel arß: PF z=z XF: XL fi loco ipfius
PM. XF ttiL fubftituatur fere tequalis, 4 id eft ttI2: Pf = —^-—- .*•
PF PM. XF
ML) ergo XL = —'—Ex his prodit alter ipfius LF
Til3
B $ v a-
^XC XP =
Xp PM + ,ß nnde da PM+_*ß _
w/3 w/3
re , _ * _ FAf —fr 7T/3
F/\ — , hoc eft XF. = £,iF.
PM*
_
w/3
PM -f tt/3. PM — */3 FF — 7^
j åt XF z=z . tt/3. /\l/— ^r//3
FM* FA/a
£F
Fi?. FF. Si aurem A^F" erit maximum, valo>r
FA/1
ipfius, adeoquc etjam C omisfis conftanribus) variabile ill*
lud reilangulum ex PB & FF, erit maximum» quod utii-
que fit cum itft in Ipeculum incidit radius aß ut bifeélca
fit FF. Quia vero XP & XP conftantem inter fe ferr-
vant rationem, XP quoque erit maximum. Sed quoniatm
EF
XF = xß. PM — 7iß & xß = 4 erm
FM*
EF FF
XF =
.4 FM 4 FM = —— i PM* = \EF%
PM3 * FM»
adeoque XP rz | £G. At £(7, refpe&u fimilitudinis trii-
angulörum PMP\ FEG & inde datae analogi« PF: PMt
„ „
