SIMON ANDR.

dissertatio mathematica,

de

SPIRAL1BUS PARABOLICIS

ΕT

HYPERBOLICIS.

— ■

"Svfr

*

QÜAM,

ΓΕΝΙΑ AMPL. FACULT. PHIL. UPS.

PUBLICE VENTILANDAM

DEFERUNT

SIMON ANDR. C>

philos. mag,

ET

CHRISTIANUS

^,

S

QSTROGOTHI,

in audit. gust-

maj. die xx nov. mdcgcii;

η. α. μ. s.

Upfaliae, Litteris Joh, Fr. Edman Reg. Acad. Typogrv

£ IB ER 0 BARONI

CLAUDIO H. RÅLÄM

S. ANDR. CHONSTRÄNDS

Tempus erat, meminisfe

juvat,

quo

dulce licebat

Te, qua

noftra lavat Sa'a Lycea, frui.

Contiguas habitando dofnos, conviximus,

artes Haufimus, argutus

Tu, fed obefus

ego.

Jerque vices noftros

operum

laudavimus aufus, Usque

ego

jure Tuos, Tu bonitate

meosS Lufibus & ftudiis ß

quis praeftaret, In

horam

Rex erat - at

regis

quam

mihi

rarus

honos!

Talia,

compoiitis ad

jpetam

viribus

^unam>

Mifcuitnus:

pueris

mens

puerilis ineft:

Mox diverfa placent:· ^ego,

fed fine numine, Phoebum

^

Tu cells en! Martern dexter, uterque

Deos.

Alter ovat

cataphraftus equis, umbratilis alter,

Aulam amat

Hie terfus

^,

barbarus ille Scholam.

Te recclens, angorj

noftris divulfus ab ulnis,

Nunc abes - ftimulos

qui mihi fubdat, abeiL

Vix leve confeci, fine compare

folus, Amico Quod

nunc

abfenti praabet amicus, opus?

•i

Non tarnen illud opus,

quod

gens

eomoeda lucrande

B-liefa dat et

litiens

^— hoc

pietatis erit.

DE

SPIRALIBUS PARABOLICIS

ET

HTPERB0LIC1S.

Οι reda Pr (Fig. ι), extremitate in Ρ fixa, circa pina-

dum Ρ de primitive fitu PR motu angulari ita circum-

vehatur, ut, adfumta curva quavis HHF, cui, pofitis pro

ordinatis GH, GH, abfcisfae CG, CG, refpcndentibus

PM, Pm femper sequales, de origine C in reda CS nu«

merenfcur, 360' habeant fe ad MPm, ut conftans, pro

libitu capta, AB. ad curvae ordinatam GH', erit locus

pundorum Μ, m ejusmodi, quae ex indole curvae de«

terminatricis HHF conftrui poterit, curva. Quare, in-

ter

varias, quibus curvae delineantur, methodos, curvi*

linearum unaquaeque tranfcendentium, monftrata jam le¬

ge oriundarum, Spiralis nomen a Geometris eft fortita,

cujus prima, fecunda &

^,

quse numero iV, integro vel

frado, generaliter defignetur, perada dicitur gyratio,

prout revolutionis angulus RPr 360°, 720°, N, 360®

sequetur,

ex

univerfali itaque hac genefi, corollarii inftar, fe»

quitur, ut quaevis Spiralis ad diftantiam de polo P,' ae-

qualem abfcisfae, quae minimas Generatricis ordinatae re- fpondet, gyrationes ordiatur. Quando proind© HHF re¬

darn CS _pro afymptoto habet, in pundum, de Ρ infinite

disfitum, evagatur Helicis initium. Sic etiana, ii ordina-

Ä ta

ta, quae per C tranfit, finita vel iniinita, pro natura έ- pfius HHP, extendatur, finitus vel infinitus revolutio-

num numerus,

antequam umbilicum adtigerit Spiralis, peragendus eft; fiquidem angulus RPr ordinatse GH fem-

per obtemperat

si

porro, in analogia 360°: MPm: : AB: GH, GHN«

AB ponatur, devenit etiani MPm ⁼ N. 360° atque ideo, quicumque fit integer numeri Ν valor, Pr toties'com- pletam peregit circulationem, quoties conftans AB in GH

contineatur. Cum

vero

unaquaeque Spiralis ad finena perfe<5tee gyrationis fecet PR, fequitur, ut haec fe<5tio in

μ incidat, fi Ρ μ aequetur abfcisiae cuidam CG in curva HHV", cujus refpondentem ordinatatn GH, AB iine refi-

duo commetiatur & ut Pr

tot

abfolutos conficiat circui- tus, quoties, in maxima curvae derivativas ordinata, re- éfca Aß comprehendatur,

ut

exinde omnia, in quibus PR a Spirali interci- datur, inveniantur punfta, fit SP maxima generatricis

HHP ordinata in partes, ©onftanti AB aequales, Sh, hh,

&c. divifa, & ducantur hH parallelse redtae CS, ipil

HHP occurentes in punftis H. Ordinatas ergo GH, quae per HinCSdeinde demittantur,fuis cumCtfinterfe&ionibusGab- fcisfas CG ita determinare, ut.fi his aequales in PPiumafitur

variae Ρμ, punéta quaefita μ inveniantur, ex praecedentibus comperitur. Si itaque AB pro illa generatricis ordina¬

ta adfumatur, _quie abfcisfae CG (= PM) refpondet, ap- paret, Spiralem, prima folurn peradta revolutione, PR

in Μ fecare, ut aut de circulo, centro Ρ & radio PM

defcripto, exeat non amplius in illum introitura, aut in

illum intret numquam de illo exitura, prout GH verfus

S vel C adaugeafur; _{quoniam in} illo cafu inter Af & R,

fed in hoc inter Μ & Ρ fita funt, quae revolutiones ter·

jninant, punéta ^μ. *

xx

ta

3

Ex

his ut generalis Spiraliurn sequatio obtineatur,

Π GH

= z,,

AB = b, ΡΜ=ζα, circuli, qui per Μ cur-

rie,

peiipheria = c, quique ex illa de origine Μ men-

furantur anguli MPw = * ponantur ; erit, per hypothe-

iin

c: χ : :

b:

z., cz,

== bx qnsefita aequatio, c.ui tati- tummodo inferere oportet valörena ipfius z, ex corvas

HHV aquatiohe erutum. Hoc paéto Spiralis Mm Paraboli-

ca9 Hyperbolica, Logarithmica &c. dicitur, prout curva deriva«

tiva HHV Parabola, Hyperbola

^,

Logarithmica &c. fuerit.

multiformem

adhuc & mirificis mntationibus ob-

noxiam Spiraliurn progeniem, pro vario punfti C in CS

loco, fubnafci facile intelligitur; NoS vero adplicationem

formulse generalis ad Spirales, quae ex Parabolis & Hy-

perbolis ad afymptotos emergant, quseque, aut illarum

verticem aut harum centrum pro polo habentes, Para-

bolica vertico

-

centralis vel Hyperbolicce afymptotica Co cen¬

trales

a

VARiGNoN (aj vocatse funt, pro virium mödulo periclitabimur, quarum illas, quse ex Parabolis oriuntur

primum adgredi earnmque tangentes, quadraturam, cur-

vaturam, radiante umbilico Ρ catacaufticam, vis cen- tripetae in corpus, Heli cum arcum percurrens, relatio-

nem,

Spiraliurn reftificatienem cumque Parabolis cogna-

nem

inveftigare lubet, dein autem ad Spirales Hypeibo-

licas afymptoticas co-centrales procedere earum, eodem

©rdine, affe&iones difquifituri. Quocirca fore, ut pri-

snis juvenilis ftudii crepundiis lenöcinetur argumenti ra¬

tio, verecundi confidimus.

SPIRALES

PARABOLlCfi VERTIGO-CENTRALES.

ä-Eprjesentet

PHP" (Fig. generalem Parabo-

lam, cujus fit axis PS} Vertex Ρ & (pofito PA ^{= af}

A

^a

cir-

a) Memoires de l'Akademie RoyaU des Sfienses pour l'm«

mec

fjQ4.

drculi revolutionis circumferentia AaCA

—c ,

Aa, AaGAa

rr Xy

Spiralis ordinata PM (rr Ρ G) rr & GH rr z,)

locus ym = ii valör tunc ipsius z, rr

yirt ,

in aequa-

am-i

tione Helica

cz, rr

bx fubilitutus, Spiralium Parabolica-

rum

vertico

-

centralium aequationem cym rr am~Ibx fubmi·

niftrat. Si

vero

AB, Parabolae ordinata in pundto A,

conflanti b asqualis ponatür; fit eodein momento, quo GH in

AB migraverit, z,rr &jrrd, ex aequatione ym=z am-Tz,

β rr

b prodit fc eym rr xam-zb in cymzzzxam mutatur (b).

x.

axm

qiuoniam itaque y rr

—

evadit; erit ratio inter di-

cm

verfam Helicis ordinatam _y & aliam quamvis, abfciße χ

/ χ t i / ι

reipondentem, y, ut xm: xm, vel _{y^\ ym:} : x: x; unde

/

manifeilum eft, ordinatas y & y, ad generatricis Para¬

bolae gradum m elevatas, inter fe esfe, ut abfcisfae

χ

&

/

χ

b) Ex data aequatione cym rr xam oritur scquatio cy sr ax ad Spiralem Archimedeam, ubi

»i r i,

cy2 rr xa2 ad Spiralem ubi m sr 2 & cy3 ^rr a3* ubi

« r

3 &c.;

acquatio ^vero ad PHV refpective provenit y rr 2, y* rr

az,

y* rr ä23 &c. unde videmus, generatricem Archime- dese Spiralis redlam lineam & Spiralium, quibus ^m >

1 ,

generatrices Parabolam Apolionianam, Cubicam &c. esfe.

Nos, uti Cel. Sttphanus de Angelis in traelatu fuo De

infinitorum Spiralium Spcttiorum menfura docuit, Spiralem,,

prout m rr i,

m rr -2, m rr 3

&c., Simplicem, Qua-

dratieam, Cubicam &c. nuncupamus.

S

x,

hoc eil in Spirali fmiplici y: y i : x: x, in Quadrati-

2 12 s / * /*

ea

y : y: : χ: x' & in Spirali, ubi m

~

y: y:: χ: χ.

Quapropter, ii ponantur anguli ad polum Ρ aequales, or¬

dinale, quae hos angulos compledluntur; ad poteflatem

m

eveetae, in progresiione arithmetica deprehendentur,

& ideo

,

ii variae ym ita fumi queant, ut didta inter U-

las progresfio obtineat, angulo cuivis in aequales partes

fecando Spiralis inferviet. Pofita abfcisfa χ = Nc, peri-

pheriae circuli revolutionis, du&ge in quemvis vel per-

fedtae vel imperfedtae, Ted in Μ terminatae gyrationis

η umer um

Ν; datur am

:

ym : : c: Ne, & ordinata-y, ab-

fcisfae Nc refpondens, = aNm; unde, numero Ν abfolu-

tos

iignificante circuitus, provenit ratio inter primae &

cujuslibet fequentium revolutionis radium

^,

ut ι: Nm h. e,

ut

numeri naturales

ι, α,

3, 4, <$, 6, &c. in Simplici,

ut

radices de iisdem numeris quadraticae Ρ ι, j/3,

j/4, j/ό, &c. in Quadratica, & ut numerorum qua«

drati _1,

4,

9, 16, 24, 36 &c. ubi m = ■§·.

ut

tångens pundbo cuivis Μ adplicetur

^,

fit PL ad:

ordinatam PM normaiis & tangenti ML in L oceurrat.

Uiteriu« iit Pr iitus quidam circumadtae lineae PR ad

PR infinite proximus, unde ab rr dx, Tq = dy &, fi

2

accum

ΡAM denotet, Μ Γ zzz dZ habetur. Erunt ex«

inde, quoniam Pr peripherem circuli revolutionis in b &

circuli, radio PM & eodem centro Ρ defcripti, arcum

©b iimilitudinem triawgulorum MTq Sc MPL

>

Tq ( dy}:

χ

Mq in q feeat, Pb (α): Ρ ^q (y) : : ah (dx): Mq

A ₃ Mq

Mq

■

·Ρ Λί(jr): PL (= y~~) ^{h. c., propter dx =}

mcym~z dy ryicym^ '

—

& cym = xam

,

fubtangens PL

^—

;— =

a"

mxy

a

,

tångens ML ( = J/ ^{PM* -+· PL2 ) =}

y. \/a** i" 2 «4- ml· c* y 2m & dZ ζ = ]/Tq2 Αί^1 ) tzz

am

i* 1

dy. jZa%m i* a rrPc^y2*1. Cum vero Ρ a (λ)'- PM (yji : 4« i 1

Xy *y

Λλ vel AaCAa (x): ^—; fequitur & ut

—

exponat par-

a a

fcem

circumferentiae circuli, cujus radius eft PM (y),

fimilem arcui, quem χ» in peripheria circuli revolutio.

fmxy\

nis fumta, fignificet & ut univerialis fubtangens PL[ ]

fxy \ \ 4 /

fit ad

arcum

variabilem I

^—

!, qui ordinatae adhaeret &

^ a i

per punftum ta&us Μ tranfit, ut π: i, unde PL, fi

m =

i, erit aequalis integro arcui (?) ^, fed duplici, tri-

plici, dimidio &c.5 prout »3 = 3« = | &c.

adfumatur.

mxy

substitutiv

in expresfione PL s — Ιοβο ^χ &

ζ

ρ contemporaneis earum valoribus & uN"*, fit PL zz

m* χ

mcN

m

& fubtangentem ad finera illius

,

quam Η

deßgnet, revoluirionis elicit. Fafta inde in diverfis Spi-

raiibus iubtangentium PL comparatione, earum ratio,

^ mF ι

pro vario m & Ν in mN m valöre, mutatur, Ted in

^un«

eademque Heiice proportionem numeri Ν

^y

ad _potesta-

m "vr

tem ———

elevati fequitur. Idcirco, Π Ν completas

denotat gyrationes, erunt fubtangentes, ut i, 4, 9, 16,

25, 36 &c. fi m = i, ut |/i, ys, V*1

^>

V^4»

^?

I/216 &c. fi

m»~ 2,

ut

i,

8j 27

,

64

^,

125, 216 &c. fi m =

monstrata ex

his lege, qua PL tenentur, earum etiam relationes

cum

ad

eorum

circulorum peripherias,

quae, cenrro Ρ & ordinata PM defcriptae, pundta ta-

dtus refpondentia Μ percurrunt, tum ad circumferenti-

am

circuli revolutionis inveniendae funt. Quod ideo ad

i i χ

prius attinet, erit, ob a: c: : aNm: cN7*, cNm periphe-

ria circuli, qui revolutionem Helicam, numero Ν indi-

JL

catam, claudit & PL ^ad cNm, ut r/iN, generatricis Pa-

rabolae poteilas, dudta in N, ad unitatem

^>

fed

⁹

quod

tn 4ι

ad pofterius, PL ^: AaCA : : mN m : 1 h. ^{e, ut} Ν*:

ι, α

VN3

: ι,

iV3

: α

&c., prout»3=i, 2, ·§· &c, ponatur.

quum

jam ex praecedentibus perfpicuum fit, esfe

ΜΤ

=

dZ; triangulum PMT fluxionem Spiralis ^areae

PMF exprimet Quapropter, quoniam, ob triangulum

evanefcens MJQ, fit PMT ⁼³ PMq, fed PMq ss

fncym * 1 dy f /mcym "t

~

r~—

eft; habetur PMP 1 = /- —J

9>Am

4

\

J * '

Wey'* 4 a mxv2

^* mxy

ΕΠ:

vero

PL

=

&

, ■- ,

ima-\~Aa

xy

arcus

variabilis, abfcisfae

χ

iimiiis,

ss — ^,

unde tan-

a

gente, fubtangente & ordinata comprehenfum triangu-

mxyz

^.

xy1*

-

lum Ρ ML

=z

,feéloris variabilis

area =

&

2a μα

Hel'icse denique ^areae ad illad ratio, ut 1:

m

+

2

& ad hane, ut

m : m hh 2

provenit h. e. in priori cafu, ut 1 : 3, 1: 4, 2: 5 &c. & in pofteriori, ut 1: 3, 1: 2, 1: 5

&c. fi

m

per 1, 2, | &c. refpeftive defignetur.

quod,

ut arearum, quaecumque fint, particularium

in Spirali relationes per nuraeros eodem modo exhibe- antur, repraefentet, ut antea

^,

Af revolutionum de initio

usque ad PM peraétarum numerum, unde punfto Μ re-

fpondens abfcisfa χ = Ne, PM =: aNm &, fubftitutis

mcaN1'

m 4 2

datis valoribus,

area

PMP

,

fi

=

p cen- 2)71-+-

_{4 m}

fetur, obtinetur. Significet

^η

differentiam, qua ma*

jor gvrationis numerus Ν fuperet minorem, qui in m terminetur & exinde habemus perfedtae vel imperfedtae

p mac.

Ν

— η

ad Pm

numerum

Ν

^— «,

PmP

= ,

PmP :

2m

-f-

4

PMP:

:

Ν

—

n:N? ^{& PMP ad} circuli, qui per Μ tran-

macN? acNn

fit, aream ut

:

:

:

Ν:

ρ.

Hujus itaque ra-

2771

«+"

4 2

tionis ope patet, Spiralis aream eirculi, quo includitur, area, eerto terminato circuitu, majorem evadere, quod mirum

faee

9 fane & paradoxon cuicumque videatur nifi ad fequen-

tia animum adtendat. Evidens fcilicefc eft, _{(Fig. 3)} re- ftam PK, perfefta ex. gr. fecunda revolutione PBACM,

etiam primae gyrationis aream iterum percurrisfe,] & i- deQ fecundam

aream non

folum illud fpatium

,

quod in·

ter

umbilicum Ρ & Spiralis arcum PBACM comprehen- ditur,

verum

etiam primae revolutionis aream PBAP

in fe continere. Eadem de caufa tertiae fpirae area aequi- parat fpatium, refpondentem arcum ΡΒΑΟΜΘΗμ inter-

cedens, -f- immediate antecedentis revolutionis

^aream

BB ACM A

i

ita ut, ii

u

aream, quae ex cujus vis fpirae ar-

map Nr mac Ν

—

ιΡ

eu

conncitnr, denotet. fit

^{=3 a}

_4-

2m+

4

a

m

·+* 4

mac

( Ν —Ν —α )

éc

^u= .

Hinc quoque area PACMABP,

α m

-f-

4

quae inter unam & proximo praecedentem interjacet fpirae mac.(Np

^—

N— /) mac.QN—1

^—

Ν —

aream,=

—

- ■—*

iffl

+

4

awi + 4

mac,

( i/

^—

^{α Ν}

^—

ι' ⁺

—

»') Ν

2 «

·+■ 4

MNQMACM

——

j

area exteriör

/-r · -r

i

^gg

^Ν*

^—

^Ν

^{— i}

1

v _a

a«2

+ 4 / """*

« 773

4-

2 —

ί»ΛΓ _4- iV

—

i

_...

■ — -

&

area

anterior

a m

4- 4

MCAETAM

V\

mae.(,V'_

^—

/) ^{oc. Ν} i"

\ 2 »i + 4 2

macNP~

^ac.

Ν

— i

m. mN ·+· i

reperiuntnr. Quo-

1 m

--·+■

4

circa genuinae arearuin proportiones facili negetio erui pos- tunfc, nempe (Fig j) PmP: PMP: : fV — η — iV—- κ~— / :

—

Ν"

^—

i?(Tab. i), /'A//' ad circulum per M, ut

2

NP

^—

iV

—

i?: _(Tab. a), area (Fig. 3) intercepta

Ρ ACM AB Ρ ad circulum MNM,x\t

^1.

Ν—i -\-N—

^{2 :}

pNm (Tab. 3.) & area quasvis exteriör MNQMACM

₂

ad refpoadentem interTorem MCAEFAM, ut N™,

2

Ν

— i

P\inNP —Ν— im. mN -f- 2 (Tab. 4·)ν

"pro indaganda Spiraliumcurvaturajducatur (Fig.a)/W

ad tangentem in pund:o Ν normalis, unde, ob fimilitudinem

triangulorum MTqtk ΡΝΜ.ΜΎ α~™12,Arm2c2ym

m i11

\

a

fmcymdy\

¹

r

mcymdy\

PM (y) ^: PN ⁼ mcJ

V/ %

m

*

2 . _ _

'€m -b tn* c2 _y

&

TAB.

1.

ι

Sin~

Si m 3Ξ

I

-

Si m

·—

2

c.

—

I

Si m

—»

<j·

1

Num»

Num.

Kßv

Ν

ol»

Revol.

PmP

PMP

PmP

PMP

Pi«P

PMP

Ν

,

,

ι

ί

j«

2

I

7

I

•

3

χ

31

2 3

7

19

/■»

5

31

an

3 4

19 37

5

7

211 78x

4 5

37 61

7

9

781

2101

5 6

61 91

9

1X

2101 4651

6 7

91

127

11 13

4651 9031

&e.

&c.

occ.

&c.

&c.

&c.

&c.

occ.

,

—

TAB.

5.

Revol. Num.

Ν

Si m

~

I

Si jn

Si m s i

Revol Num.

'N.

interc. ■rea

circuli

area

interc. area

circuli

area

interc. area

circuli

area

I

I

3

I

2

Χ

5

I 2

,

6

12

2

4

3°

80

2 3

I 2

0 7

/

2

6

ι8ο 4°5

3 4

18

48

2

g

570

ι

280

4 5

24 75

2

10

1320 3125

5 6

30

108

2

12

2550 6480

6

Sic.

&c.

&c.

&C.

&c.

1

&c.

&c.

1

&c.

*

w;

TAB.

2.

Si m

—

I

Si m

=3

*

Si m _

'

- T

Spiral»

circuli Spiral.

circuli Spiral- circuli

ar«a area

area area

area area

I

3

1

I

2

I

5 7

12

i

3

4

3*

80 19

27

5

6

2 I I

405

37 48

*7

8

781

1280

61 75

9

10

2 I

OI

3125

91

iog

j

I I

12

465I 6480

&c.

occ.

J

&

c.

&c.

&c.

&c.

TAB.

4.

Λ

Si m zz

1

Si m

=3

1

Si m 3Ξ ΊΓ

area area

area

area area area

exter·

inter.

exter.

inter.

exter.

inter·

2

I

I

I

4

I 5

4

Ζ

1

49 26

8

7

I

I

194 I3I

I I

10

I

1

499 576

14 13

I

I

1024

82I

17 16

1

I

1829 1526

&G.

&c.

&c.

&c.

<*c.

&c.

v

m

f

r

a

y

& AfN* C = V PM*

—

Pi\P) =

1

/

2mf2

Λ . a«i

|X

^ö

■+· w® c2 _jr inveniuntur. Radium deinde oiculi, in punfto quovis Af, AfO puta, junétisque T & O reftå TO, demittatur /'«ad AfO & T7/?, qpas AfO in / fecet, ad TO _perpen- dicularis. Qnoniam, per hvp., PK & Pr funt infinite

proximae, fequitur, ut etiam MO & TO, Pn & Pp

minima inter fe diftantia femotas fint, & ut particu«.

la ni, quae finitimis P« & Pp interjacet, fluxionem lineae Af« PA7) exponat. Datur exinde, _pro»

pter fimilitudinem triangulorum Pin & AfTO,

T" I

awta

2m. «ι _,

(«2·+· ρ.λ *4"

W2 c

jr ^.mcy dy

¥

^{ιa wτα}

-bm* c*

^'Λ

y

^2ffl

(W ^ρ

^<ι2«'

^2mf2 + I

^{, , , a»J ::}

^{Af Τ (dy}

^{y λ}

^2m-t2

^{tn^i}

^-4-m2c*y

^{, Λ a»}

_>

AfO atque idcirco radius AfO

s

amf

2 . _ . am

4

a

+ m*c*y lT

m—i — am

±2

^{„ Λ} „am

«ty .»l-f-Ι.Λ -f-022C*jr

& pro quovis IV", #0

c2 N2 |£

771-1

In initio itaque _prim»

tfzcN _«t

. m

·+·

ι.

a* -f- m2c*N*

srevolutionis, ubi Ν

=

σ, erit, Π m = i, AfO

=

·—, fed„

ß

/

'■■==

*3

fi

m

> i ve! m <* r adfumatur, MO = o© vel MO = JL refpe&ive proveniet. In fine vero, ubi ΛΓ ⁼ oo

,

evadit

oo

radius curvaturae femper infinitus. Ex his ideo reperitur

radius ofculi MO

z&

a* c* in Simplici, MO =

c.

2ö44-e2 ya

-in Quadratica,MOr- v y 4 J 1

^-

c.ya>+%c*y

"sbi

m =s

4- &e.

mxy

üupNfAM normalis iW = atque ord*-

|/ö3-+"W22 X*

ay

ftatse & normali interjacens MN zs com«

1/Λ* -f-*w3 χ*

periuntur, fed, quando angulus Ρ ML femireéhis ßt9

MN & PN aequaies evadunt, erit» reipondens huic mo-

a m

fi

mento, abfcisfa

^χ

=—

_VYl

& ordinata yz=\/

_'

a_ ^{h. e. χ}

mc

a*

s=

57*, 17', 44" &> = -—

_c

in Simplici, χ =a8\ 38'» 5»" &

yzz a 1/-i

_K

in Qvadratiea, χ ss 114% 35V ^8' & y ss

ar

4**

t

14

——,

nbi m == ■§■ &c> Ad hoc itaqne pnnftum, Γι fub-

tangens, Spiralis area & ofculi radius quaerantur, pro-

veniunt PL

=

PM, PMP =- * m & MO

s=

ut

focus vel pundtum illud, in quod lucis radii, de

centro Helico dimanantes &

a concavo

Spiralis ^{a reu re-} flexi, colliganfcnr, innotefeat, denotent (Fig. 4)Pm& PM (j) radios infinite proximos, MD (= φ) diilantiam foci

D ab Μ vel

m

& MO (== /\) curvafurae in punéto Μ

radium: erifc tunc, conftrudta rite figura, LM ^es PN = mcym 1

PMO angulo refledtionis OMD & PLM angulo DFM xqualis eil, aequales quoque erunt refidui in utroque triangulo anguli MPL & MDF, & ideo PM (y):

c2

Quoniam angulus incidentiae

,

jam vero eil OD2 ( s= MD2

:

:JWD (0) : MF:

<

mc(pym

—

ιΜΟ

^.

MF -h MO3 ) = φ2

^—

zR

^.

V flim

4" _f-Wi *c*y2tn

■+· Ä3 h.

^e.

propter OD& MO conftantes atque dy=:— ί/φ»

, —

^

^

^

—1——i—m1 c2y~m. mcymcl(p

—

m2azm ~^~zcym~I(pd(p ιφάφ

—

iR.

α-η~τ~z-F-m2" c2y-'n\Έ

= o,

qnare, fubftituto radii R vaiore, φ

y. a2"1 * -f- rn c y~,n

_^

_pro qUavjs revolutione φ zzz im-f-1. a2m + 2 -\-m2 c2 yim

0N™-a2 + m'c2N2 ' |7a"+I

__

&, ubi PMN=4$°, —J-

im-^-i.a2-hm2c2 Ν 2

reperitur, cumque fic euivis y refpondens punctum D

invenire licet, competens etiajii catacaufticä DDD, jun-

dtis omnibus D, determinatus- fitque univerfaiiter ^ex-

«4 -4- c2 y2 a6 -f- 4 c2 y4 presfa per φ == y. —

^,

φ ⁼ y. —— -,0 =

* r Ύ J

3a*-\-c*yz 5«6 -f- 4 c2}*4

λ3 4- I ca ^y

y.

&c., prout m = ι., 2, 4· &c. adfumatur, le'+iej»

Si

generalis expresfio iftius vis, ^qua corpus quod-

dam M, Spiralis arcum percurreris, ad centrum Ρ ten- dat, defideretur; dividend# ett fluxio no*nialis PN =

(m +1

^.

a2m~r~z Hl·*·-m 2c'ly2m ') mcym dy

: . - —-

pef ej^sdem pneas

ßim

-4—

ζ 4"

W22

c

2yz m ] 4

au?

fftl

f

3 y3m—{—3

^-

?

cubum

'

du&um in ordinatae fluxionem

azm-+* -+-m*c2yzm\£

dy. Hoc pad:o reperitur virium, ad [centrum Ρ ducen-

,. ,. , η λ l. m

-4-1, α*™-1*-*· -+■ m*c*y2 n

tium, ratio, >ut refpondentes

^.

J

2a*-t-c*yz 3<j6-f-4c*)4

h

e., ut

—

inSimplici, ut

^——

in Qua?

c*y* 4^yri

6a% -\r c*y

dratica,

^'

ut ubi m = 4 &c.

e*y* T

quod

jam ad reftificationem Spiralium pertinefc, erit,

quomam fluxio arcus dZ = J 7

,

il«

am~l·1

Üus integrale 2" =«·-*- +"'''/'1 T-J'—χ

m

i.mac7am-^-z

* ι-*·im. ι —2)» .1—4«

^w4-4

\

f

^ι-*-

·+· — &c. \ quse

V

ι—

m.m2c *y~m ι

—

m

.

i— yn.m^c^y^ )

X

feries,fi^ integro cuidam & pofitivo numero aequatur,

tot terminis,

9

quot

^

— contineat unitates, conficietur. Se-

im

quitur itaque, ut arcus illius folummodo Spiralis, cujus generatricis Parabolae _exponens fit fraftio

^,

unitatem pr©

numeratore

& parem quemvis pro denominatore fiume-

rum

habens, per finitos terminos exponi posfit, etfi ab-

foluta illius re&ificatio exinde neutiquara inveniatur, fi-

qui-

dem refta, circumferentiae circuli revolutionis aequalis,

8 ( a3 -4- ic2y\k adiignari nequeat. Sic habetur Ζ

=— .

\j

3C Κ * J

ubi mzzi-χ. Poiita y = aN

^,

fit Ζ = a c I *

.

fn

-f-

i

m*G2N"

^m

.1 ^{& fi} y = lZfl°-+-J

J

i—a»j

.Λ2

1 —

. ~~~

&c. I & fi y=zlS a ~*, reperi- V

^ι—m.

m*c*Nz

ai/2j / ι

—

2« \

tur Z=——

_{»2·+· 1}

1/(

_ΛΖ(?

f ι &c. I unde Z,

^

1—772

y

fubftituto in refpondenti arcus expresfione ipfius ^m valö¬

re, cum

pro fine cujusvis revolutionis Ν, tum pro or- I ViB+/

dinata _{y =} |Z ———elicitur, quod idem _pro qua vis

erdinata fimili modo perre&u facillimum erit.

PRjECiPurs

ilc expofitis Spiralium proprietatibus,

earum cum

Parabolis, duobus^radibus fe altioribus,

oftendetur adfinitas. Adfumatur hunc in finem (Fig. 5)

mcym '

Parabola AMS aequationis χ =

■ ,

cujus pa- 'IM-f-I. β"*—f-x

rameter, collatus

cum

generatricis Parabolae parametro»

mc

«amdem,

ac

a*:

^,

fervet rationem. Sit Parabola®

tm

+

^I v

vertex ordinata JPM (j), abfeisfa AP (x)9 mn ss dyp

C Pff

18 i-

Fp = Mn = dx & Mm tångens in M. In illo itaque

puncto, nbi Mm femiredum cum reda OMn, axi paral-

lela, conftituit angulutn, erit, ob rectum mnM & ae- quales angulos nMm & Mmn, Μη ζζ mn, mcymdy ^—

=ιζ

_mc

üm

-{-

i

dy & huic pundo refpondens ordinata y

Ob redangulum elementare PMnp (= Pp. PM)

mcym -4- 1dy

— —

^

evadit area femiparabolas AMP = am+j

mcym ~b~ z

am~P1

7Ά 2.

am~P1

&, ob Mw = V/^2-4-^2}paraboiae arcusZ=

/ ^dy

^.

^{Va** + * -t- m'f'y'»} Radius 0fculi in punfto M,

am-\rl

il computetur, fit m<1 c2y2m\^t ^{un^e in ver.}

m2 cazm~~M*ym -1

f

a*

tice illius Parabolae, cui

m

zzsi, radius curvaturae = —,

c

dimidio parametro, fed ubi ^m !> i vel m i ponatur,

radius curvaturae vel infinito, vel nihilo aequalis refpe-

dive provenit.

collatiS

hisce

cum

illis, quae de Spiralibus antea diximus, evidens eft, ii y & m in Spirali asquiparent y

&

m

in Parabola, Spiralis aream PMP dimidio areaa

/

Parabolicae Ρ AM c) & arcum Ζ arcui Ζ aequipollere,

eo-

P) Sit itaque (Fig. 6) PmM Spiralis quasdam Parabolica

vertico-centralis & Pm Parabola,

uno

gradu, quam Spira;

eodem momenfco, quo tangente & ordinära interceptus

angulus Ρ ML in Paraboia feiuiredus evadit, etiam ΡML

in refpondenti Spirali ⁼ 45° exfiftere & radios ofculi

in poio. Spiralis eidern legi, ac in vertice ParaboJaes obe-

dire, excepta Spirali Archimedea

^,

ubi radius curvaturse

in Ρ aequalis eftdimidio radii curvaturae in vertice reipon-

dentis Parabolae Apollonianae.

SPIR ALES HYFERBOLICiE ASYMPTOTICiE

CO

-

CENTRALES.

Esto HHF (Fig. 7) Hyperbola quaevis, ad afympto-

tos PS & Ps relata, cujus centrum in Ρ & abfcisise PG

in

uno

af3^mp:oto PS fumantur, dudis ordinatis GH alte-

ri Ps parallelis & fit AB (= &) una Hyperbolas ordinata.

erit

exinde, fi antea adhibifcae adhuc retineantur dp*

nominationes, Hyperbolae aequatio z,ymc=: am Ί·■*, cumque

illa

ex

antecedentis Parabolae aequatione ym zz ζ,α™-1, ir.u-

tato

exponentis m figno, facile derivetur, patet, hane fo-

1

um

modo. mutationem requiri, ut ex inventis pro Spira-

libus Parabolicis vertico-centralibus formuiis Spiralium,

quae huic refpondeant Hyperbolae fitui, eliciantur propri-

etates.

Obtinetur hoe paéto ad Hyperbolicas ,has aiym-

ptoticas co-centrales Spirales aequatio cy~mzzz xa-mh. e.

ocym zzzcam ex qua, quse in initio dudum monuimus, pro-

naö

fl

uti^η

t conclufiones, esfe nempe, ubi xzzzo & priinus

Ca ini-

lis, ve! ejus generatrix Parabola evedior, cujus vertex Py

axis interiör Poo Si exteriör Ppp fit· Si tunc, radiis Pm,

PMy

arcus

mpt Mp, donec Pp in ρ fecent, defcribantur

& de pundis ρ erigantur verticales pn atque per η du-

cantur

ordinatte

no·,

erit Spiralis area PmP, PMP ~ ^

Pon Si

arcus

PmM refpondenti arcui Pnn aequalis.

/

2,0

initur circqitus, ordinatam y

acT

,

ubi

x= tϊ

& prima finitur gyratio, eamdem j=<s, radio eirculi re- volutionis AaCA & Spiralem denique, poliquam inchoan-

tem

perfeceritpun&um R circulationem, quam ad diftantiam,

de polo Ρ infinitam, adgrediebatur, revolutionis circulum

in A fecare, ut fequentes easque innurnerabiles, nam,

car

poiita ) = 8, fit χ = —

fpiras,

= ,

inträ illurn incipiafc

ad

formam ipfam & figuram Spiralium inquirendam, producatur afymptotus sP, donec in punéto quodam N,

»,

v

fecet Helicem; fit Pm, quae revolutionis circulum

in

a

tranfineat,

⁼

_y & dicantur de punftis m & a de-

misfae normales _{τημ =} d atque (ib Q— Sin. Aa^) =z Sin.

x.

Erit ideo, ob fimilitudinem triangulorum Ρ τημ & Ρ ab.

ad

ab {Sin- χ): ηαμ (d):: Ρα (ja): Pm (y) = *-7 &, hoc

Sin.

^λ:

xdm

valore ordinatae _jf fubftituto _{in xy» = ~ = c.}

•SV«.

λ:

Si

vero arcus

Λ*?, ut infinite _parvus confideretur, etiam

Sin, A

a

aå sequalitatem cum ipfo arcu redigitur, c'Ä.cJ-w

zz

dm.

x1'm

& analogia ^{cm :} dm ::

:

cT-m fuboriun-

tur. Spiralis itaque, cui m <ί ι, arcus in infinitum, pari

modo

ac

vX,

a

PS porrigitur, quoniam, in cm: dm

: : χΐ-m.

cI-m,xI-mt quippe quae infinite parva eft, prorfus

evanefcit. Pofito

m ζ r _,

devenit (d) = c, unde evi-

dens eft, fi, in sP producta, PK zz yföCyi revolutionis circuli circumferentiae fumatur & KIT de K afymproto PS paraüela ducatur, Spiralem» de />£ continuo difce-

den°

ZI

dentem, propius propiusque ad KU venire, ejus, ad in¬

tervallum de Ρ infinitum

_,

maximam de PS diftantiam dzzzc esie reftseque ideo KU velut afymptoto Helicis ^ar-

cuin

nX adpropinquare. Adfumto

m

>

ι,

fit cm: dm

: : cm-r:

xm-zy qnare my =

ο

ad infinitam de Ρ diftan¬

tiam evadit & Spiralis arcus NX reétam PS, ut afym-

ptotum, iubfequetur.

t i *

suBSTiTUTo_I — m

pro m in analögia ym: ym:: x:x't

I

datur ym:ym: : χ : χ, quapropter ordinatae, ad Spiralis gradum eve<ftae, in inverfa abfcisfarum ratione reperiua-

tur, eadem in fecandis aequaliter angulis, ac pro Spira-

Jibus Parabolicis vertico centralibus^obtinet proprietas &,

fi cujusvis perfe&ae revolufeionis ablcisfa

^χ =:

Nc dicatur,

α

huic reipondens ordinata y = —mx devenit, atque ratio

m

Ν

inter diverfarum revolutionum radios, ut

ι,

1 1 JL

i i i

m* χα1 m *

α

3 4

X &c. h.

e,

ubi

m =

i, ut r, §, ■§·, J, } &c., ubi ^m = ^

m

5

* I IX

Ut

_{I, w—) -«/—}

'

s/—»

,

Ubi W2

— Tj·,

Ut I,

4J 9> Tg>

a

3 4

>

Tf7 &c. inverfe, ut numerorum, qui gyrationes indicant, quadrati. Quse, cum ita fint, perfpicue eommonftranfe, Spirales, dum

m

;> 1, numerofiores, ut polum adtfn-

gant, perfolvere revolutiones, quam ubi m ^ 1, fiquidei»

2 pofteriori cafu citius, quam priori nihilo aequabitur.

N"

22, ■

ΐ

s übt αΐίG

ens PL pro his Spiralibus modo oftenfo

mcam -1

evadit

= — —

cumque fignum negativum nihil de

yni

-

I

illius valöre detrahafc, non impedit, quin veluti pofitivus

interdum confiderari queat. Quando m zz ι, omnes fubtan-

gentes circuii revoludönis peripherem c asquiparaßt, Ii vero

m

<q i vel m i, reipéctive aut crefcunt aut decrefcunfc _{mcy1 -m}

fubtangentes creieentibus ordinatis jy, quoniam " M'

mCi;m-i

illi, & —~ huic hypothefi refpondet,

> ■ - -

suö

tä'n gentium in diverßs Spiralibus ratio, ut reipon-

m - ι

dentes mN

^m

deprehenditur & in una eademque Heli-

771- I

ce,

ut Ν

m ,

unde aeqnales iriter fe erunt fubtangentes,

fi

m = i,

led ut fi, fi, j/3. \/4, l/> &c. fi m =2 2,

ut i, j, 4 , j,

&c. fi m =z Subcangens

_m-ι

erit ad pri-

mi circuii circumférentiam, ut mN m : 1 & ad peripheri¬

am

circuii, qui ^per Μ tranfit, ut mN :i , quse relatio ea-

dein eil, ac pro Spiralibus Parabolicis yertico centralibus.

quoniam,

crefcente x, decrefcit y, devenit ordina-

mcy2 ~m-

tcG

fluxio

~ —7

dy & ideo area Spiralis m —

4—2m.aI-m h.

e.

evanefeens aut ii y = o & m < i, aut fi y zzz 00

&

m

>

2.

Patet idcirco, quod area de centro pro ilas

Spiralibus, ubi m <3 2 & de initio revolutiouis, ubi m > α.

fumi debeat, quodque Spiralis area in illo cafn verfus

centrum

& in hoc verfus initium Helicae gyrationis fini¬

ta

fit, etil in utraque hypothefi ejusdem arese corople-

mentum

infinitum evadat. Illius folumjnodo Spiralis area, cui

m = α,

five de polo, five de initio numeretur, con- tinuo crefcit.

ut vero

causfa adpareat, quamobrem haec in fumen-

dis areis exoriatur Spiralium cognominum difcordia, re- deamus oportet ad generalis Parabolae aequationem

mcyr'1 "d™1

x ==· —

ubi monftravimus

,

fi prdinatse Spi¬

tt?

4-

ralis & Parabolae permaneant aeqnales, Spiralis aream di-

midio femi parabolae areae & illius arcum arcui hujus se- quipollere, quod idem etiam heic obtinebit, ii m in — m

I mcam - 1

h.

e. χ zzz ■■

in aliam

χ —--—

permute-

1

i.ym

-

1

tur.

Curvarurn, per hanc aequationem determinatarum,

arese, quod peradto calculo facile perfpicitur, de ordina·

ta

minima numerantur, fi

m

<

α,

de maxima fi

m

> α;

fed infinita

area

evadit, fi

m η

adfumatur, _quas itaque fingularis arearum proprietas ut areis Spiralium eamdem legem imponat, evidens erit, ob sequalitatem ordinatarum

in

curva

& refpondenti Spirali.

_■$.

NON unam

ideo eamdemque, in fupputanda mutua

arearum

reiatione, in cnmibus hiscé Spiralibus viam esfe premendam ex earum indole perfpectum habemus. Pos-

l'e fcilicet arbitramur Spirale« npftras in duas praecipue cjasies dividi, quarum una eas contineat, quse de centra

& altera, quse de revolutioms initio aream numerant.

Quod ad illas primum pertinet, idem, ac pro Spiralibus

34 =====

Parabolicis verticocentralibus argumentum valet, aream nempe, quae numero Ν reipondet, etiam proxime inte-

i — m

riorem

aream

in fe compleéti. Fit itaque, ii

^—

m

mat.iN+i'

—

JV*)

r

ponatur, β = PmP

. : :

π _λΤ

, τr 4-2m .

Ν .2v-f-i JV— «-f-j7*— /V— η* Λ-f-1* -JV*

. : 1

PMP ad circulura

—η*. yV—

η

-fr- ι77 Ν77

^.

^Ν

^{-fr·' i}

^

per M, ut N. ( N-+-17*

^—

Λ/*) ^: τί /V-Fi^. area (Fig. 3) intercepta ΡACM ABΡ ad circuli MNM aream, ut

TT

iV-f-177. _(iV-F /V^)

^—

² /V*. yV-Fi73* ^: JV -F Λ

N+z* &

area

exteriör MNQMACM ad refpondentem

anteriorem MCAEPAM, ut

a

a—«.ΛΡ·.ΛΛ+-ι*—mAK(.N-4-i*·—N®):

2

IV»

— ί—

«.Λ/*.Λ+ι*

^.

a

JV-Fi7*

Secundje clasiis Spirales perpendentibus manifeftum

•ft, fpatium illud Helicum, quod « vocavimus, quodque

inter radium cujusvisperfe&serevolutionis & refpondentem

de

=======

2 5 de

arearum

initio arcum intercedit, pro quocumque in-

tegro circuitu fore aequale -& omnes ideo cotnpletas a-

reas,

fi ita temperentur, ut, corre&is rite corrigendis",

fubfequentes nullam omnino, multipliciter fumtam, ante-

cedentium partem contineant, fibi invicem fore aequalgs,

hac

vero

praetermisfa correcbione, areas (Fig. 7~)

v v m—

Ζ

& SP Mm X inter fe esfe, ut iV- s : Ν

^,

pofito

m

= v.

Arearum, revolutioni Ν ^— i &c Ν refpondentium,

differentia fit ad circulum, primum nominatae gyrationis

7t

radio defcriptum, ut Ν—iV—ι ·

l

^ & (Fig. 3.)

area

exteriör MNQMACM ad interioretn MCAEFAM, ut

α

ι -m —> m

Ν

—-im .

(Ν

—

A/

—

1 )

Ν

- im

t

V

V

m.

Nm

^.

(iV

—

Ν

^—

ⁱ ) m — 2. Adpofitis ita area·

α

-Ν*

rum

relationibus, illas per tabulas planius exponere fu*

pervacaneum ducimus, cum hoc, monftrato fupra pro»

cedendi modo, cuivis pronum videatur.

Mütatis, ut antea, mutandis, habebitur radius cur

y. λ y

vaturae generaliter expresfus = /. J

χ tm ζ 2 »m

-f- in c λ

χ zm ζ ζ zm

ma

.(Kt—ιβ y -mca )

D &

- - -

-'i

pro cujus vis cireulationis numeroAc".'" **~ m c ^ I

m -{-ι

·., R __ 2 2 2£

mcN

m , A1

>m-ι.//-mc i\

infinitus in initio & in fine revolutionum evanefoens. Quo-

circa,

cum

radius ofculi negativus exfifiat, fi m

ι

vel

. a . 2 2A :ζ A

— ι , a m c

Ν & pofitivus

^,

ii m

—· ι.

α m

m

2 2 ·✓

c

Ν

,

fequitur, ut pro illa & hac hypothefi ad oppofi-

tas vergat regiones, fed, ^ut in

eo

momenfco, quo m

—

r.

2 2 2 2

a = m c

Ν & radius ipfe infinitus evadit, Spiralis

habeat flexus contrarii punftum. Ut itaque boc inve-

2 2 2 2

niatur punétum, fit, pofito m —\,a ~

rn

c Ν

^,

Ν c

a ...

(x) =

-

ym

^— i,

qui valör abfcisfa3

^x,

quoniam^ima-

ginarius deprehenditur, ubi m <3 13 arguit, illas folum Spirales, quibus >

i,

curvaturam de convexa ad

a.

fymptotum in

concavam

permutare.

In illo punfto

^,

quo tångens & ordinata femiredlum

conftituunt angulum, devenit, ut in Spiralibus praece-

dentibus, χ =

-

& ordinata y = my ^mca m-J,huicpun-

VI

m β

IS 2 2 2m — 2

cl

o

refpondens Spiralis area = mca gr

ra„

4 —2 m

dius _curvaturas

=

2 ,,.a ™ f/mcam~Tl

Vi — 2

%

ι

Foci

Ktea «■j··»— tm% m

2 2m ^2 2 2m

y.(a y -f m c a ) de arc.uHeiico generalis di ihm tia φ=

2 2m 2 2 2W, i —imß

y ·\· m c (t

m ,

—~f—~ 1

vi. _{m__i}

'

il)'~ ^ //jr/1 r, ^{φ =}

^{r —}

ut' mCa & in fi ne revoln-

a.

a* -\-m2c2iVa

tionis /V, φ =

--—

deprehenditur

^,

A'm. (/—2m.a1 -J-m-c2/V2)

utide in initio φ ==

oo

&, pera&is gyrationibus, φ == o

evadit, -quod in Spiralibus prsecedentibus contrarie o- mnino accidit.

viRiUM

centripetarum, quibus,corpus, in aren Spi¬

ralis Hyperbolicae nioveri pergens

,

verius Ρ urgetur, ra- ι—m.a2y-m'4-:'n2c2az"i

^,

tio per refpondentes

^{; —}

determinatus

m"1 c2

a2my*

quapropter, ii mzzz i

y

vires centripetsé erunt reciproce,

ut

cubi ordioatarum, qnse ratio in Spirali Logarithmica oo ^quoque· obtinet.

viDiMUS

antea, Spiralis srcum sequalem esfe arcui

mcam"x

illius _curvae, qnae per χ =

^-

exprimitur.

m—i.

ym -1

Haec

vero

asquatio Hyperbolas deiignat, fi vt p> i, in

mcy1 -~m

x = ~

mutatur &

omnes

fuperiorum generum

m-i.a1-m

Di Pa-

d) Cfr. NEWTONiPhilof» Naturalis Priftcip. Mathemat» Lib, s;°

Prop. IX.

Parabolas exponit, ίϊ *®<|τ, fed, ubi tn rz i, fit ^— dx

cdy

■— .—

vel

- χ =

cLog.y, aequatio ad Logarithmicam,

?

cujus fubtangens circurnferentise circuli revolutionis ae-

quatur. Spiralis itaque arcus arcui Hyperbolae, qnae u-

no

ordine, quam Spiralis, inferior eft, arcui Parabolae,

mc

cujus parameter = & arcui Logarithmicas,

i—vi.a1—™

cujus iubtangens = fubtangenti Spiralis, refpeélive aequa-

lis eft> prout m >> i, tn <51 & m = 1 adfumatur. Cum

vero

pro his Spiralibvis arcus Ζ fit

2 2m 2 2 2m

_

a y -4-m c a

3 3™

a

y

2 2 21η-ζ —— 4 4 4m-4

yx ($m-i.mca

^i-

^4- yn~i51»-1. m ca ^-&C.J, \

patet, il peripheria ^c cognita ponatur, illas Spiralesper-

fe&am admittere reébificationem, quibus m adfumatur

esfe unitas, _{per numerum} quemvis pofitivum & impa·

m — i

rem

divifa, fiquidem in hoc unico cafu

^numero

in»

2771

tegro & negatiyo aequatur.