TATA79/TEN5 Inledande matematisk analys Dugga 1, 2015-11-18
Instruktioner: Svara p˚ a alla uppgifter. Det finns fem uppgifter och varje uppgift kan ge maximalt 3 po¨ ang. F¨ or godk¨ ant betyg r¨ acker 7p. Po¨ angen p˚ a godk¨ anda duggor summeras och avg¨ or slutbetyget. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och ordentligt skrivna. Inga h¨ alpmedel till˚ atna. Kom ih˚ ag att skriva program och grupp p˚ a omslaget. Lycka till!
(1) Kom ih˚ ag axiomen vi har antagit i kursen hittills:
I De algebraiska axiomen:
(a) a + b = b + a och ab = ba f¨ or alla reella tal a och b (kommutativa lagarna);
(b) (a + b) + c = a + (b + c) och (ab)c = a(bc) (associativa lagarna);
(c) a(b + c) = ab + ac f¨ or alla reella tal a, b och c (distributiva lagen);
(d) Det finns tv˚ a olika tal 0 och 1 s˚ a att a + 0 = a och a × 1 = a f¨ or alla reella tal a (existens av neutrala element);
(e) Till varje a 6= 0 finns det inversa element −a och a
−1s˚ a att a + (−a) = 0 och a × a
−1= 1 (existens av invers).
II Ordningens axiom:
(a) F¨ or godtyckliga a och b g¨ aller en och endast en av m¨ ojligheterna a < b, a = b och a > b (trikotomi);
(b) a < b och b < c medf¨ or att a < c (transitiva lagen);
(c) a < b medf¨ or att a + c < b + c f¨ or alla reella tal c;
(d) a < b och 0 < c medf¨ or att ac < bc.
Betrakta ett reellt tal a. Anv¨ anda axiomen f¨ or att bevisa att det finns h¨ ogst ett tal b ∈ R s˚ a att a + b = 0.
(2) (a) Definiera vad det betyder att s¨ aga ` ¨ ar en infimum till en m¨ angd A.
(b) Betrakta f¨ oljderna (a
n)
n∈Noch (b
n)
n∈Nsom definieras enligt a
n= 1
n och b
n= n − 1 n f¨ or alla n ∈ N.
(i) Bevisa att inf
na
n= 0.
(ii) Bevisa att inf
nb
n= 0.
(3) Bevisa att
n
X
k=0
(2k + 1) = (n + 1)
2.
Sida 1 av 2 [V¨ and!]
TATA79/TEN5 Inledande matematisk analys Dugga 1, 2015-11-18
(4) (a) Definiera begreppet v¨ axande som g¨ aller f¨ or en funktion f : R → R.
(b) Betrakta en funktion f : R → R som definieras enligt formeln
f (x) = −
1xom x 6= 0, 0 om x = 0.
(i) Skissa grafen av f .
(ii) Visa att f ¨ ar inte v¨ axande.
(5) (a) Bevisa att
n
X
k=1
ar
k−1= a 1 − r
n1 − r f¨ or a, r ∈ R s˚ a att r 6= 1.
(b) R¨ akna summan
27
X
k=1
